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【50道热点题型】湘教版数学七年级下册期中试卷·综合题专练
1．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元买了一支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；
（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？
2．党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央引领推动下，全民阅读工作深入推进书香社会建设进展明显，读书学习蔚然成风.阅读提升人民思想境界、增强人民精神力量的作用更加凸显，中华民族的精神世界更加厚重深邃.某社区为增加“社区书屋"图书的数量，现决定购买 ，两种图书共本，已知购买本种书和本种书共需元购买本种书和本种书共需 元.
（1）求，两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过 元，那么该校最多可以购买 种书多少本
3．计算∶
（1）把下列各数近似地表示在数轴上.，，，2.
（2）观察（1）中的数轴，则大于小于的所有整数的和为 .
4．已知关于x，y的方程组，的解满足x为非正数，y为负数.
（1）求m的取值范围；
（2）计算|m﹣4|＋|m＋2|.
5．有下列各数：一 ，3.14，一 ，0，一 ，π，1.3030030003，，（每两个3之间多一个0）.
（1）其中无理数有
（2）请将正实数按从小到大的顺序排列，并用“< ”连接。
6．光明电器超市销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 2台 6台 1840元
第二周 5台 7台 2840
元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共40台，这40台电风扇全部售出后，若利润不低于2660元，求A种型号的电风扇至少要采购多少台？
7．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《艾青诗选》的数盘不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？
8．解不等式（组）
（1）解不等式 ≤ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
原不等式组的解集为 ．
9．在荔枝种植基地有A、B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多20元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需200元．
（1）问A、B两种树苗每株分别是多少元？
（2）为扩大种植，某农户准备购买A、B两种树苗共36株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．
10．为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
（1）求每棵甲、乙树苗的价格．
（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
11．某学校带领九年级学生开展了一系列情境教育活动，其中一项是主题为“走进西夏古国，徒步贺兰山阙”的研学活动．西夏王朝一直以来都以神秘著称，素有“东方金字塔”之称的西夏王陵、独创的西夏文字、英姿飒爽的西夏女兵……无不吸引着我们的注意．在纪念品馆，同学们看到了“西夏公主”“西夏武士”两种深受欢迎的特色卡通形象公仔．已知购买5个“西夏武士”和3个“西夏公主”公仔共需255元，购买2个“西夏武士”和4个“西夏公主”公仔共需200元．
（1）求每个“西夏武士”和“西夏公主”公仔的价格．
（2）若学校准备购买“西夏武士”和“西夏公主”公仔总共100个，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少个“西夏公主”公仔？
12．某校为了普及推广冰雪活动进校园，准备购进速滑冰鞋和花滑冰鞋用于开展冰上运动，若购进30双速滑冰鞋和20双花滑冰鞋共需8500元；若购进40双速滑冰鞋和10双花滑冰鞋共需8000元．
（1）求速滑冰鞋和花滑冰鞋每双购进价格分别为多少元？
（2）若该校购进花滑冰鞋的数量比购进速滑冰鞋数量的2倍少10双，且用于购置两种冰鞋的总经费不超过9000元，则该校至多购进速滑冰鞋多少双？
13．2024年3月27日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动．
燃油车 新能源车
油箱容积：50升 电池电量：200千瓦时
油价：8元升 电价：0.6元千瓦时
续航里程：千米 续航里程：千米
刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.4元，请根据以上信息回答：
（1）分别求出这两款车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7200元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其他费用）
14．小李在某网店选中A、B两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 45
（1）第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求这两款玩偶各购进的数量．
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进这两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？请通过计算说明．
15．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积.
方法1： ；方法2： .
（2）从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论： .
（3）运用你所得到的结论，解决问题：已知 求 的值.
16．华盛印染厂生产某种产品，每件产品出厂价为30元，成本价为20元（不含污水处理部分费用）．在生产过程中，平均每生产1件产品就有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计了两种对污水进行处理的方案并准备实施．
方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用的原料费用为2元，并且每月排污设备损耗等其它各项开支为27000元．
方案二：将污水排放到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付8元排污费．
（1）若实施方案一，为了确保印染厂有利润，则每月的产量应该满足怎样的条件？
（2）你认为该工厂应如何选择污水处理方案？
17．基础计算：
（1）计算：；
（2）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
18．笔、墨、纸、砚是中国独有的书法绘画工具，又称“文房四宝”．某校计划购买两种型号的“文房四宝”，其中每套型号的价格比每套型号的价格少元，买套A型号和套型号共用元．
（1）求每套型号的“文房四宝”的价格；
（2）若该校需购进两种型号的“文房四宝”共套，总费用不超过元，要求购进型号的数量不超过型号数量的倍，求购得以上工具的最低费用．
19．资江风光带绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲乙两种树苗共400棵对某段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
20．我校组织八年级全体学生前往红色研学基地开展以“红色路 三农情 中国梦”为主题的研学活动，在某条研学战路中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带：若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：该条研学线路计拟共租8辆车，租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
21．已知：的平方根是与，且．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
22．为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格及月处理污水量如下表：
型 型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多4万元，购买3台型设备比购买5台型设备少4万元．
（1）求的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过90万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1840吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
23．解不等式组与方程
（1）解不等式组
（2）解方程： = ﹣3．
24．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： ；
（2）如果图中的、满足，，求的值；
（3）已知，求.
25．我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
26．“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱．某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买“冰墩墩”和“雪容融”玩偶共20件作为奖品．已知“冰墩墩”玩偶的零售单价是198元，“雪容融”玩偶的零售单价是100元．
（1）如果购买“冰墩墩”和“雪容融”玩偶共花费了2784元，求“冰墩墩”和“雪容融”玩偶各购买了多少件？
（2）如果购买“雪容融”玩偶的件数不超过“冰墩墩”玩偶件数的2倍，请为该公司设计一种最省钱的购买方案，并求出此时的总费用．
27．某校暑假准备组织该校的“三好学生”参加夏令营，由1名老师带队.
甲旅行社说：“若老师买全票一张，则学生可享受半价优惠.”
乙旅行社说：“包括老师在内都6折优惠”
若全票价是1200元，则：
（1）设三好学生人数为x人，则参加甲旅行社的费用是 1200+600x
元；参加乙旅行社的费用是 元.
（2）当学生人数取何值时，选择参加甲旅行社比较合算？
28．已知关于x、y的二元一次方程组
（1）若x+y=1,则a的值为 ；
（2）-3≤x-y≤3,求a的取值范围。
29．已知关于 的方程 .
（1）求方程组的解(用含 的代数式表示)；
（2）若 ，求 的取值范围.
30．某公司要将一批物资运往超市，计划租用A，B两种型号的货车．在每辆货车都满载的情况下，若租用12辆A型货车和18辆B型货车可装载570箱物资；若租用10辆A型货车和20辆B型货车可装载550箱物资．
（1）A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？
（2）初步估算，运输的这批物资不超过1215箱．若该公司计划租用A，B两种型号的货车共70辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的4倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明．
31．如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为9时，y值为 ；
（2）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件： ；
（3）当输出的y值是时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x值： ．
32．某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2000元．
（1）该水果店两次分别购买了多少元的水果？
（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3% 的损耗，第二次购进的水果有4% 的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于3780元，则该水果每千克售价至少为多少元？
33．某电器经营业主两次购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，第一次购进8台空调和20台电风扇；第二次购进10台空调和30台电风扇.
（1）若第一次用资金25600元，第二次用资金32800元，求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）在（1）的条件下，若该业主计划再购进这两种电器50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，问该经营业主最多可再购进空调多少台？
34．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因为 ，所以 的整数部分是1， 就是小数部分．
请据此解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值；
（3）若设 的整数部分为x，小数部分为y，求 的值．
35．计算下列各题
（1）计算： + ﹣
（2）求x的值：4x2﹣36=0．
36．
（1）求式子(x-2)3-1=-28中x的值.
（2）已知有理数a满足|2019-a|+ =a，求a-20192的值.
37．借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果，下面尝试利用表格试一试：
例题：（a＋b）（a－b）
解：填表
则（a＋b）（a－b）＝a2－b2.
根据所学完成下列问题：
（1）如表，填表计算（x＋2）（x2－2x＋4），（m＋3）（m2－3m＋9），直接写出结果.
结果为 ；
结果为
（2）根据以上获得的经验填表：
结果为 △3 ＋ ○3，根据以上探索，请用字母a、b来表示发现的公式为 ．
（3）用公式计算：（2x＋3y）（4x2－6xy＋9y2）＝ ；
因式分解：27m3－8n3＝ ．
38．“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加．
（1）比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？
（2）比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？
39．定义：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”.如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”.
（1）当28=m2-n2时，m+n= ；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
40．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是160元/台，B型号家用净水器进价是240元/台，购进两种型号的家用净水器共用去33600元．
（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；
（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于10400元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）
41．（1）已知 是最大的负整数， 是绝对值最小的数， 是倒数是它本身的正数， 是9的负平方根.
① . . . .
②求
（2）已知a与b互为相反数，c与d是倒数，求3（a+b）-（-cd）3-2的值.
42．阅读运用：
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
例如：2x+m=4，那么如何解这样的方程呢？实际上，我们可以把m当作常数，解出方程，
解得：2x=4﹣m．
x= ，
请仿照上面的解法解答下列问题：
（1）解关于x，y的二元一次方程组 ，
（2）若关于x，y的二元一次方程组： 的解满足不等式组 ，求出整数a的所有值．
43．购买冰箱时，需要综合考虑冰箱的价格和耗电情况，通过对市场的了解，相同容量的冰箱单位时间内1级耗电量最低，但购买价格相对较贵．小明准备从当年生产的相同容量的A款与B款冰箱中选购一台，其中两款冰箱的部分基本信息如下表所示：
款式 能效等级 平均每年耗电量 售价/元
A款 1级 200 2236
B款 3级 280 1900
若冰箱投入使用后一直开着，并按0.6元电费计算，请帮小明回答下列问题：
（1）若选A款冰箱，每年花费的电费是________元．
（2）若冰箱使用t年，则A，B两款冰箱的综合费用分别是多少？（用含t的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，请你分析小明购买哪款冰箱比较合适？
44．一家游泳馆暑期推出两种游泳付费方式．
方式一：每次购买30元入场券．
方式二：办理实名制会员证150元，仅限本人使用，每次凭证需再购入场券18元．
（1）当乐乐去游泳8次时，选哪种方式更划算？
（2）当乐乐去游泳至少多少次时，方式二比方式一划算？
45．（列方程（组）及不等式解应用题）
水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．（注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数）
（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？
（2）如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？
46．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： ．
（2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；
（3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．
47．将图1中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y．
（1）求5号长方形的面积（用含x，y的代数式表示）；
（2）若图1中长方形的周长为24．
①若2号正方形与1号正方形的面积差为3，求5号长方形的面积；
②将图1中的1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ▲ ．
48．某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5﹣a）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
49．2020年3月，野生亚洲象群从西双版纳一路向北出发，2021年6月初入昆明．为应对象群继续北迁，云南省林草局提前部署，为象群筹备食物，准备从批发市场一次性购买若干箱玉米和香蕉（每箱玉米的价格相同，每箱香蕉的价格相同）．若购买2箱玉米和3箱香蕉共需340元，购买1箱玉米和2箱香蕉共需200元．
（1）求玉米、香蕉每箱的单价各是多少元；
（2）根据云南省林草局的实际需要，需一次性购买玉米和香蕉共100箱．要求购买玉米和香蕉的总费用不超过6450元，则林草局最多可以购买多少箱玉米？
50．如图1所示是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若m，n为实数，且，，求的值．
②如图3，，分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
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【50道热点题型】湘教版数学七年级下册期中试卷·综合题专练
1．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元买了一支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；
（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？
【答案】（1）每支钢笔3元，每本笔记本5元
（2）一共有5种方案
2．党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央引领推动下，全民阅读工作深入推进书香社会建设进展明显，读书学习蔚然成风.阅读提升人民思想境界、增强人民精神力量的作用更加凸显，中华民族的精神世界更加厚重深邃.某社区为增加“社区书屋"图书的数量，现决定购买 ，两种图书共本，已知购买本种书和本种书共需元购买本种书和本种书共需 元.
（1）求，两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过 元，那么该校最多可以购买 种书多少本
【答案】（1）种书的单价是元，种书的单价是元；
（2）该校最多可以购买种书本
3．计算∶
（1）把下列各数近似地表示在数轴上.，，，2.
（2）观察（1）中的数轴，则大于小于的所有整数的和为 .
【答案】（1）解：且更靠近3，把点表示在数轴上，如图所示：
（2）0
【解析】【解答】解：（2）-3.5到的所有整数为：-3，-2，-1，0，1，2，3，
则大于-3.5小于的所有整数的和为：
.
故答案为：0.
【分析】（1）根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点的上方写出该点所表示的数即可；
（2）根据数轴上的点所表示的数，右边的数总是大于左边的数，找出大于-3.5小于的所有整数，进而再根据有理数的加法法则算出其和即可.
4．已知关于x，y的方程组，的解满足x为非正数，y为负数.
（1）求m的取值范围；
（2）计算|m﹣4|＋|m＋2|.
【答案】（1）解：，
①+②，得，
∴，
①-②，得，
∴，
为非正数，为负数，
，
解得；
∴的取值范围为.
（2）解：，
∴，.
∴
.
【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程分别相加、相减并化简可得x、y，根据x为非正数，y为负数可得关于m的不等式组，求解即可；
（2）根据m的范围判断出m-4、m+2的符号，然后根据绝对值的性质以及合并同类项法则进行化简.
5．有下列各数：一 ，3.14，一 ，0，一 ，π，1.3030030003，，（每两个3之间多一个0）.
（1）其中无理数有
（2）请将正实数按从小到大的顺序排列，并用“< ”连接。
【答案】（1）- 、π、1.3030030003，，
（2）解：1.3030030003，，< 一 <3.14<π
【解析】【解答】解，（1）其中无理数有- 、π、1.3030030003，，（每两个3之间多一个0）
【分析】（1）依据无理数的三种类型进行解答即可；（3）先找出其中的整数，然后再比较大小即可．
6．光明电器超市销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 2台 6台 1840元
第二周 5台 7台 2840
元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共40台，这40台电风扇全部售出后，若利润不低于2660元，求A种型号的电风扇至少要采购多少台？
【答案】（1）解：设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A种型号的电风扇的销售单价为260元/台，B种型号的电风扇的销售单价为220元/台．
（2）解：设采购A种型号的电风扇m台，则采购B种型号的电风扇（40-m）台，
根据题意得：（260-190）m+（220-160）（40-m）≥2660，
解得：m≥26．
答：A种型号的电风扇至少要采购26台．
【解析】【分析】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，根据总价=单价×数量结合该超市近两周的销售情况表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购A种型号的电风扇m台，则采购B种型号的电风扇（40-m）台，根据总利润=每台利润×购进数量结合利润不低于2660元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
7．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《艾青诗选》的数盘不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设购买《艾青诗选》的单价为x元，《格列佛游记》的单价为y元，
由题意得： ，
解得 ，
答：购买《艾青诗选》的单价为35元，《格列佛游记》的单价为30元；
（2）解：设购买《艾青诗选》的数量n本，则购买《格列佛游记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得 ，
解得：16 ≤n≤20，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为17本和33本，
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为18本和32本，
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为19本和31本，
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为20本和30本．
【解析】【分析】（1）设购买《艾青诗选》的单价为x元，《格列佛游记》的单价为y元，根据题意建立方程组求解即可；
（2）设购买《艾青诗选》的数量n本，则购买《格列佛游记》的数量为（50﹣n）本，根据题意的两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
8．解不等式（组）
（1）解不等式 ≤ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）解：移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
解集在数轴上表示如下：
（2）x < 1；x <-1；；x <-1
【解析】【解答】解：（Ⅱ）
解：解不等式①，得 x < 1；
解不等式②，得x <-1；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
原不等式组的解集为 x <-1．
【分析】（Ⅰ）移项、合并同类项、系数化为1即可求得不等式的解集；（Ⅱ）首先解不等式，然后利用数轴确定两个不等式的解集的公共部分，即得到不等式组的解集．
9．在荔枝种植基地有A、B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多20元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需200元．
（1）问A、B两种树苗每株分别是多少元？
（2）为扩大种植，某农户准备购买A、B两种树苗共36株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．
【答案】（1）解：设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，由题意，得
，
解得 ，
答：A种树苗每株80元，B种树苗每株60元。
（2）解：设购买A种树苗a株，由题意得：
a≥ （36-a），
解得：a≥12，
∵A种树苗价格高，
∴尽量少买a种树苗，
∴a的最小值为12，
当a=12时，36-12=24，
答：费用最省的购买方案是购买A树苗12株，B种树苗24株。
【解析】【分析】（1）设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，根据“A种比B种每株多20元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需200元”列出方程，解出方程组即可.
（2）设购买A种树苗a株， 可得购买B种树苗（36-a）株,根据“A种树苗数量不少于B种数量的一半”列出不等式，求出范围，然后求出a的最小值即可.
10．为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
（1）求每棵甲、乙树苗的价格．
（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
【答案】（1）解：设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元， 由题意可得：
， 解得：，
答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；
（2）解：设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，
∴，
解得：，
∴的最小整数解为100．
答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．
【解析】【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元， 根据“已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，结合题意即可列出不等式，进而即可得到m的取值范围，从而即可求解。
11．某学校带领九年级学生开展了一系列情境教育活动，其中一项是主题为“走进西夏古国，徒步贺兰山阙”的研学活动．西夏王朝一直以来都以神秘著称，素有“东方金字塔”之称的西夏王陵、独创的西夏文字、英姿飒爽的西夏女兵……无不吸引着我们的注意．在纪念品馆，同学们看到了“西夏公主”“西夏武士”两种深受欢迎的特色卡通形象公仔．已知购买5个“西夏武士”和3个“西夏公主”公仔共需255元，购买2个“西夏武士”和4个“西夏公主”公仔共需200元．
（1）求每个“西夏武士”和“西夏公主”公仔的价格．
（2）若学校准备购买“西夏武士”和“西夏公主”公仔总共100个，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少个“西夏公主”公仔？
【答案】（1）每个“西夏武士”公仔的价格为30元，每个“西夏公主”公仔的价格为35元
（2）最多能购买40个“西夏公主”公仔
12．某校为了普及推广冰雪活动进校园，准备购进速滑冰鞋和花滑冰鞋用于开展冰上运动，若购进30双速滑冰鞋和20双花滑冰鞋共需8500元；若购进40双速滑冰鞋和10双花滑冰鞋共需8000元．
（1）求速滑冰鞋和花滑冰鞋每双购进价格分别为多少元？
（2）若该校购进花滑冰鞋的数量比购进速滑冰鞋数量的2倍少10双，且用于购置两种冰鞋的总经费不超过9000元，则该校至多购进速滑冰鞋多少双？
【答案】（1）每双速滑冰鞋购进价格为150元，每双花滑冰鞋购进价格为200元；（2）该校至多购进速滑冰鞋20双．
13．2024年3月27日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动．
燃油车 新能源车
油箱容积：50升 电池电量：200千瓦时
油价：8元升 电价：0.6元千瓦时
续航里程：千米 续航里程：千米
刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.4元，请根据以上信息回答：
（1）分别求出这两款车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7200元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其他费用）
【答案】（1）燃油车：元，新能源车：元
（2）每年行驶里程超过千米时
14．小李在某网店选中A、B两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 45
（1）第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求这两款玩偶各购进的数量．
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进这两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？请通过计算说明．
【答案】（1）解：设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个．
根据题意，得，
解得，
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个．
（2）解：设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进（30-a）个．
获得利润为：（56-40）a+（45-30）（30-a）=a+450．
由题意，得，
解得a≤10
∴当a=10时，获得利润最大，最大利润为10+450=460（元）．
∴B款玩偶为：30-10=20（个）．
答：A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个能获得最大利润，最大利润是460元．
【解析】【分析】（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进（30-a）个，根据题意列出不等式求出a的取值范围，再求解即可。
15．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积.
方法1： ；方法2： .
（2）从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论： .
（3）运用你所得到的结论，解决问题：已知 求 的值.
【答案】（1）；
（2）
（3）解：由（2）可得：
∵ ，
∴ .
【解析】【解答】解：（1）由图可得：
方法一： ，方法二： ；
故答案为 ， ；（2）由（1）得：
，
∴ ，即 ；
故答案为 ；
【分析】（1）根据题意阴影部分的面积可直接利用正方形面积计算公式求解和用大的正方形的面积减去空白部分的面积，据此得出答案；（2）根据（1）可直接进行解答；（3）由（2）结论直接进行代值求解即可.
16．华盛印染厂生产某种产品，每件产品出厂价为30元，成本价为20元（不含污水处理部分费用）．在生产过程中，平均每生产1件产品就有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计了两种对污水进行处理的方案并准备实施．
方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用的原料费用为2元，并且每月排污设备损耗等其它各项开支为27000元．
方案二：将污水排放到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付8元排污费．
（1）若实施方案一，为了确保印染厂有利润，则每月的产量应该满足怎样的条件？
（2）你认为该工厂应如何选择污水处理方案？
【答案】（1）解：设每月的产量x件，（1）由题意，得 ，
解得：x＞3000．
答：每月的产量大于3000件．
（2）解：方案一每月利润：9x﹣27000，
方案二每月利润： ，
若9x﹣27000＜6x，则x＜9000，即每月的产量小于9000件时选择方案二利润较高；
同理，每月的产量大于9000件时选择方案一利润较高；每月的产量9000件时，两种方案利润相同．
【解析】【分析】（1）根据题意得出 ，进而求出x的取值范围；（2）分别求出两种方案的利润进而得出答案．
17．基础计算：
（1）计算：；
（2）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：原式＝﹣1+2+3﹣（2﹣）
＝﹣1+2+3﹣2+
＝2+；
（2）解：解不等式﹣2x+6≥4，得：x≤1，
解不等式＞x﹣1，得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再在数轴上画出解集即可。
18．笔、墨、纸、砚是中国独有的书法绘画工具，又称“文房四宝”．某校计划购买两种型号的“文房四宝”，其中每套型号的价格比每套型号的价格少元，买套A型号和套型号共用元．
（1）求每套型号的“文房四宝”的价格；
（2）若该校需购进两种型号的“文房四宝”共套，总费用不超过元，要求购进型号的数量不超过型号数量的倍，求购得以上工具的最低费用．
【答案】（1）每套型号的价格是元，每套B型号的价格是元；
（2）购得以上工具的最低费用是元．
19．资江风光带绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲乙两种树苗共400棵对某段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
【答案】（1）解：设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，由题意，得
200x+300（400﹣x）=90000，
解得：x=300，
∴购买乙种树苗400﹣300=100棵，
答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵
（2）解：设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，由题意，得
200a≥300（400﹣a），
解得：a≥240．
答：至少应购买甲种树苗240棵
【解析】【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，列出方程即可解决．（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，列出不等式即可解决问题．
20．我校组织八年级全体学生前往红色研学基地开展以“红色路 三农情 中国梦”为主题的研学活动，在某条研学战路中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带：若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：该条研学线路计拟共租8辆车，租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
【答案】（1）参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人
（2）学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元
21．已知：的平方根是与，且．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：的平方根是与，
，
解得：，
，
的值为49；
（2）解：，
，
，
的立方根为2．
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质可得，求出a的值，再求出x的值即可；
（2）先利用求出b的值，再将a、b的值代入计算即可。
22．为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格及月处理污水量如下表：
型 型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多4万元，购买3台型设备比购买5台型设备少4万元．
（1）求的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过90万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1840吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【答案】（1）
（2）有三种购买方案：①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台
（3）为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台．
23．解不等式组与方程
（1）解不等式组
（2）解方程： = ﹣3．
【答案】（1）解： ，
解①得x＜3，
解②得x≥ ．
则不等式组的解集是： ≤x＜3；
（2）解：去分母，得﹣1=1﹣x﹣3（2﹣x），
去括号，得﹣1=1﹣x﹣6+3x，
移项，得﹣3x+x=1﹣6+1，
合并同类项，得﹣2x=﹣4，
系数化成1得x=2，
检验：当x=2时，2﹣x=0，则方程无解．
【解析】【分析】（1）首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集；（2）去分母化成整式方程，解整式方程求得x的值，然后进行检验即可．
24．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： ；
（2）如果图中的、满足，，求的值；
（3）已知，求.
【答案】（1）
（2）解：由（1）题结果可得，
∴当，时，
，
∴；
（3）解：设，，
∴，
则，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
【解析】【解答】解：（1）该图形的总面积为：或
故答案为：；
【分析】（1）由图形可得：大正方形的面积=长为a、宽为b的矩形面积的2倍+边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积，据此解答；
（2）由（1）可得(a+b)2=a2+2ab+b2，将已知数据代入计算即可；
（3）设x+9=a，x-1=b，则a-b=10，(x+9)2+(x-1)2=a2+b2=(a+b)2-2ab，代入求解可得ab的值，据此解答.
25．我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
【答案】（1）解：设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元
（2）解：设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，
根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，
解得：a≤ ，
∵a为整数，
∴a≤41，
答：A种奖品最多购买41件．
【解析】【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
26．“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱．某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买“冰墩墩”和“雪容融”玩偶共20件作为奖品．已知“冰墩墩”玩偶的零售单价是198元，“雪容融”玩偶的零售单价是100元．
（1）如果购买“冰墩墩”和“雪容融”玩偶共花费了2784元，求“冰墩墩”和“雪容融”玩偶各购买了多少件？
（2）如果购买“雪容融”玩偶的件数不超过“冰墩墩”玩偶件数的2倍，请为该公司设计一种最省钱的购买方案，并求出此时的总费用．
【答案】（1）解：设“冰墩墩”玩偶购买了x件，“雪容融”玩偶购买了y件，根据题意，得
解得：
答：“冰墩墩”玩偶购买了8件，“雪容融”玩偶购买了12件．
（2）解：设购买“雪容融”玩偶m件，则购买“冰墩墩”玩偶（20-m)件，
依题意得：m≤2(20-m)，
解得：m≤
m为整数，
m ≤13．
又“冰墩墩”玩偶的单价高于“雪容融”玩偶的单价，
购买“雪容融”玩偶越多，所需总费用越少，
当m=13时，20-m=20-13=7
此时所需总费用为100×13＋198×7=2686（元)．
答：最省钱的购买方案为：购买“雪容融”玩偶13件，“冰墩墩”玩偶7件，此时的总费用为2686元．
【解析】【分析】（1）设“冰墩墩”玩偶购买了x件，“雪容融”玩偶购买了y，根据购买“冰墩墩”和“雪容融”玩偶共20件，花费了2784元，列出方程组并解之即可；
（2）设购买“雪容融”玩偶m件，则购买“冰墩墩”玩偶（20-m)件，根据“ 购买“雪容融”玩偶的件数不超过“冰墩墩”玩偶件数的2倍 ”列出不等式并求出解集，由于“冰墩墩”玩偶的单价高于“雪容融”玩偶的单价，可知购买“雪容融”玩偶越多，所需总费用越少，所以求出m的最大整数解即可求出结论.
27．某校暑假准备组织该校的“三好学生”参加夏令营，由1名老师带队.
甲旅行社说：“若老师买全票一张，则学生可享受半价优惠.”
乙旅行社说：“包括老师在内都6折优惠”
若全票价是1200元，则：
（1）设三好学生人数为x人，则参加甲旅行社的费用是 1200+600x
元；参加乙旅行社的费用是 元.
（2）当学生人数取何值时，选择参加甲旅行社比较合算？
【答案】（1）720（x+1）
（2）解：由题意得 1200+600x﹣720（x+1）＜0
解不等式得 x＞4
答：当学生人数多于4人时，选择参加甲旅行社比较合算.
【解析】【解答】解：（1）设三好学生人数为x人
由题意得，参加甲旅行社的费用是1200+1200×0.5×x＝1200+600x；
参加乙旅行社的费用是1200×0.6×（x+1）＝720（x+1）.
故答案为：1200+600x，720（x+1）；
【分析】（1）设三好学生人数为x人，由参加甲旅行社的费用是一名教师的费用+x名学生费用及参加乙旅行社的费用票价六折后的费用×购票数量，分别列出代数式；
（2）由参加甲旅行社的费用小于参加乙旅行社的费用列出不等式，求解即可.
28．已知关于x、y的二元一次方程组
（1）若x+y=1,则a的值为 ；
（2）-3≤x-y≤3,求a的取值范围。
【答案】（1）
（2）解：
①-②，得：x-y=3a-3，
∵-3≤x-y≤3，
∴-3≤3a-3≤3，
解得：0≤a≤2；
【解析】【解答】（1） ，
①+②，得：3x+3y=3a+1，
则x+y=a+ ，
∵x+y=1，
∴a+ =1，
解得：a= ，
故答案为： ；
【分析】（1）观察方程组中同一未知数的系数特点：x、y的系数之和为3，因此将两方程相加，再除以3，可得到x+y=a+ ，再由x+y=1，可得到关于a的方程，解方程求出a的值。
（2）将两方程相减求出x-y的值，再根据-3≤x-y≤3，建立关于a的不等式组，解不等式组，就可求出a的取值范围。
29．已知关于 的方程 .
（1）求方程组的解(用含 的代数式表示)；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解
②-①得3y=3+5a，得y=
把y= 代入②得x=
∴方程组的解为 ；
（2）∵
∴
解得a＜
【解析】【分析】（1）利用加减消元法，用 ②-① 消去x求出y的值，再将y的值代入 ② 求出x的值，从而求出方程组的解；
（2）根据 整体替换，列出关于a的不等式，求解即可得出a的取值范围。
30．某公司要将一批物资运往超市，计划租用A，B两种型号的货车．在每辆货车都满载的情况下，若租用12辆A型货车和18辆B型货车可装载570箱物资；若租用10辆A型货车和20辆B型货车可装载550箱物资．
（1）A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？
（2）初步估算，运输的这批物资不超过1215箱．若该公司计划租用A，B两种型号的货车共70辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的4倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明．
【答案】（1）型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资
（2）租车方案共有3种，具体如下：①型货车14辆，型货车56辆；②型货车15辆，型货车55辆；③型货车16辆，型货车54辆．
31．如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为9时，y值为 ；
（2）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件： ；
（3）当输出的y值是时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x值： ．
【答案】（1）
（2）x<0
（3）x=2或x=4（答案不唯一）
【解析】【解答】（1）解：当x为9时，y值为，
故答案为：；
（2）解：当x＜0时，因为负数没有算术平方根，所以导致开平方运算无法进行；
故答案为：x<0；
（3）解：x的值不唯一．如：x=2时，y=；x=4时，，y=；
故答案为：x=2或x=4（答案不唯一）．
【分析】（1）把x=9代入流程图计算可求解；
（2）根据算术平方根的双重非负性可知：负数没有算术平方根；结合题意可得x<0；
（3）由题意可知x=2或4.
32．某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2000元．
（1）该水果店两次分别购买了多少元的水果？
（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3% 的损耗，第二次购进的水果有4% 的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于3780元，则该水果每千克售价至少为多少元？
【答案】（1）解：设水果店第一次购进水果x元，第二次购进水果y元
由题意，得
解之，得
故水果店第一次购进水果800元，第二次购进水果1200元.
（2）解：设该水果每千克售价为m元，第一次购进水果 千克，第二次购进水果 千克，由题意
解之，得
故该水果每千克售价为10元.
【解析】【分析】（1）设该水果店两次分别购买了x元和y元的水果．根据“购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，”、“两次购进水果共花去了2000元”列出方程组并解答；（2）设该水果每千克售价为m元，则由“售完这些水果获利不低于3780元”列出不等式并解答．
33．某电器经营业主两次购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，第一次购进8台空调和20台电风扇；第二次购进10台空调和30台电风扇.
（1）若第一次用资金25600元，第二次用资金32800元，求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）在（1）的条件下，若该业主计划再购进这两种电器50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，问该经营业主最多可再购进空调多少台？
【答案】（1）解：设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，
根据题意，得，
解得.
即挂式空调和电风扇每台的采购价分别是每台元，元.
（2）解：设再购进空调a台，则购进风扇（50-a）台，由已知，得，
解得：，
为正整数，
的最大整数值为 即经营业主最多可再购进空调8台.
答：挂式空调每台的采购价是2800元，电风扇每台的采购价是160元.该经营业主最多可再购进空调8台.
【解析】【分析】(1)设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，根据“购进8台空调和20台电风扇共花资金25600元”和“购进10台空调和30台电风扇共花资金32800元”，列方程组求解，即可解答；
(2)设再购进空调a台，则购进风扇(50-a)台，根据购买这两种电器的资金不超过30000元，列不等式求解，再其范围内取最大整数即可.
34．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因为 ，所以 的整数部分是1， 就是小数部分．
请据此解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值；
（3）若设 的整数部分为x，小数部分为y，求 的值．
【答案】（1）3；
（2）解：∵4＜7＜9，
∴ ，
∴ ，
∵36＜41＜49，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：∵1＜3＜4，
∴ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴ ．
【解析】【解答】解：（1）∵9＜11＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 的整数部分是3，小数部分是 -3，
故答案为3、 ；
【分析】（1）由3＜ ＜4可得出答案；
（2）由 ，得出 ，由 ，得出 据此求解得出；
（3）由 ，得出 ，据此得出x、y的值代入计算即可。
35．计算下列各题
（1）计算： + ﹣
（2）求x的值：4x2﹣36=0．
【答案】（1）解： + ﹣
=3+2﹣（﹣3）
=5+3
=8
（2）解：4x2﹣36=0．
4x2=36
x2=9
x=±3
【解析】【分析】（1）根据算术平方根、立方根，即可解答；（2）根据平方根，即可解答．
36．
（1）求式子(x-2)3-1=-28中x的值.
（2）已知有理数a满足|2019-a|+ =a，求a-20192的值.
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∴
∴所求x的值是－1
（2）解：∵①
∴ ，即
∴
∴①式可变形为
∴
∴
∴ .
【解析】【分析】（1）直接利用平方根的定义求出方程的解；（2）根据算术平方根的性质确定a的取值范围，去绝对值，根据等式求出a的值，代入求解即可.
37．借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果，下面尝试利用表格试一试：
例题：（a＋b）（a－b）
解：填表
则（a＋b）（a－b）＝a2－b2.
根据所学完成下列问题：
（1）如表，填表计算（x＋2）（x2－2x＋4），（m＋3）（m2－3m＋9），直接写出结果.
结果为 ；
结果为
（2）根据以上获得的经验填表：
结果为 △3 ＋ ○3，根据以上探索，请用字母a、b来表示发现的公式为 ．
（3）用公式计算：（2x＋3y）（4x2－6xy＋9y2）＝ ；
因式分解：27m3－8n3＝ ．
【答案】（1）x3+8；m3+27
（2）（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3
（3）8x3 ＋27y 3 ；（3m－2n）（9m2＋6mn＋4n2 ）
【解析】【解答】解： (1)如表，填表计算(x+2)(x2 x+4)，(m+3)(m2 3m+9)，先填表并直接写出结果。
结果为x +8；
结果为m +27；
( 2 )根据以上获得的经验填表：
结果为△ + ，根据以上探索，请用字母a、b来表示发现的公式为(a+b)(a ab+b )=a +b ；
( 3 )(2x+3y)(4x 6xy+9y )=8x +27y ；
因式分解：27m +8n =(3m+2n)(9m 6mn+4n ).
故答案为：(1)x +8；(2)m +27；(3)(a+b)(a ab+b )=a +b ；(4)8x +27y ；(3m+2n)(9m 6mn+4n ).
【分析】（1）根据题意先填写表格，在表格内进行合并同类项即可直接得出结果；（2）逆用所给知识，先根据表格将第一列与第一行尽可能填写，在结合结果填写其它表格，最后补全表格的第一列与第一行，最后将符号换成字母即可得出结论；（3）列表计算结果后直接写出答案即可；将其看作利用（2）中所得公式进行因式分解即可.
38．“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加．
（1）比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？
（2）比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？
【答案】（1）该班级胜了6场，负了8场
（2）该班级在这场比赛中多选题最多能得44分
39．定义：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”.如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”.
（1）当28=m2-n2时，m+n= ；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
【答案】（1）14
（2）解：（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1）
k为非负整数，
2k+1一定为正整数，
4（2k+1）一定能被4整除，则由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数
【解析】【解答】解：（1）28=m2-n2=（m+n）（m-n），且m-n=2
m+n=14故答案为14.
【分析】(1)利用平方差公式分解因式，结合m-n=2，即可求出结果；
(2)利用平方差公式分解因式，得出其结果含有因数4，结合k为非负整数，2k+1一定为正整数，即可解答.
40．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是160元/台，B型号家用净水器进价是240元/台，购进两种型号的家用净水器共用去33600元．
（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；
（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于10400元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）
【答案】（1）A型号家用净水器购进了60台，B型号家用净水器购进了100台
（2）200元
41．（1）已知 是最大的负整数， 是绝对值最小的数， 是倒数是它本身的正数， 是9的负平方根.
① . . . .
②求
（2）已知a与b互为相反数，c与d是倒数，求3（a+b）-（-cd）3-2的值.
【答案】1,0,1,-0,解： 解：
（1）1；0；1；-3；原式==0-3+1=-2.
（2）解：∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c，d互为倒数，
∴cd=1
∴原式=3×0-（-1）3-2=-1
【解析】【解答】（1）①∵a是最大的负整数，
∴a=-1，
∵b是绝对值最小的数，
∴b=0；
∵c是倒数等于它本身的正数，
∴c=1；
∵d是9的负平方根，
∴d=-3，
故答案为：-1；0；1；-3.
【分析】（1）①先根据题意分别求出a，b，c，d的值，②然后将a，b，c，d的值代入代数式即可求值。
（2）利用互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，分别求出a+b，cd的值，再代入代数式求值。
42．阅读运用：
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
例如：2x+m=4，那么如何解这样的方程呢？实际上，我们可以把m当作常数，解出方程，
解得：2x=4﹣m．
x= ，
请仿照上面的解法解答下列问题：
（1）解关于x，y的二元一次方程组 ，
（2）若关于x，y的二元一次方程组： 的解满足不等式组 ，求出整数a的所有值．
【答案】（1）解： ，
①×2﹣②，得：3x=6a，
解得：x=2a，
将x=2a代入①，得：10a+2y=5a，
解得：y=﹣ a，
∴方程组的解为
（2）解：将 代入不等式组 ，
得： ，
解得：﹣2＜a＜ ，
∴整数a的所有值为﹣1、0、1、2、3
【解析】【分析】（1）把a当作常数,利用加减消元法①×2﹣②可求出；（2）解出第一个方程组的解代入不等式组得出双边不等式，找出整数解.
43．购买冰箱时，需要综合考虑冰箱的价格和耗电情况，通过对市场的了解，相同容量的冰箱单位时间内1级耗电量最低，但购买价格相对较贵．小明准备从当年生产的相同容量的A款与B款冰箱中选购一台，其中两款冰箱的部分基本信息如下表所示：
款式 能效等级 平均每年耗电量 售价/元
A款 1级 200 2236
B款 3级 280 1900
若冰箱投入使用后一直开着，并按0.6元电费计算，请帮小明回答下列问题：
（1）若选A款冰箱，每年花费的电费是________元．
（2）若冰箱使用t年，则A，B两款冰箱的综合费用分别是多少？（用含t的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，请你分析小明购买哪款冰箱比较合适？
【答案】（1）120
（2）款冰箱的综合费用是元，款冰箱的综合费用是元；
（3）当时，选、两款冰箱的综合费用相等；当时，选款冰箱的综合费用少，比较合适；当时，选款冰箱的综合费用少，比较合适
44．一家游泳馆暑期推出两种游泳付费方式．
方式一：每次购买30元入场券．
方式二：办理实名制会员证150元，仅限本人使用，每次凭证需再购入场券18元．
（1）当乐乐去游泳8次时，选哪种方式更划算？
（2）当乐乐去游泳至少多少次时，方式二比方式一划算？
【答案】（1）选择方式一更划算；
（2）去游泳至少13次时，方式二比方式一划算．
45．（列方程（组）及不等式解应用题）
水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．（注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数）
（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？
（2）如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？
【答案】（1）解：设每立方米的基本水价是x元，每立方米的污水处理费是y元
解得：
答：每立方米的基本水价是2.45元，每立方米的污水处理费是1元
（2）解：设该用户7月份可用水t立方米（t＞10）
10×2.45+（t-10）×4.9+t≤64
解得：t≤15
答：如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水15立方米.
【解析】【分析】（1）设每立方米的基本水价是x元，每立方米的污水处理费是y元，甲用户4月份用水没有超过10立方米，则需要的水费应该就是8吨水的基本水费+8吨水的污水处理费，乙用户4月份用水12立方米，超过了10立方米，需要的水费应该就是10吨水的基本水费+2吨水的高价水费+12吨水的污水处理费，根据甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．列出方程组，求解即可；
（2）设该用户7月份可用水t立方米（t＞10），则该用户7月份需要的水费应该就是10吨水的基本水费+（t-10）吨水的高价水费+t吨水的污水处理费，根据用户7月份生活用水水费计划不超过64元，列出不等式，求解即可得出答案。
46．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： ．
（2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；
（3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）a2+ b2＝（a+b）2-2ab
（2）解：由（1）得，a2+ b2＝（a+b）2-2ab，∵a+b＝7，ab＝10，∴a2+ b2＝72-2×10=29 ；
（3）解：设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，∵AC+BC=8， S1+S2＝40，∴a+b＝8，a2+b2＝40，∵a2+ b2＝（a+b）2-2ab，∴40＝64-2ab，∴ab＝12， ∴阴影部分的面积为ab＝6．
【解析】【解答】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即a2+b2，也可表示为边长是a+b的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即（a+b）2-2ab．∴等量关系为a2+ b2＝（a+b）2-2ab；
【分析】（1）利用不同的表达式表示阴影部分的面积即可得到答案；
（2）利用（1）的结论，将数据代入计算即可；
（3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，可得a+b＝8，a2+b2＝40，再利用（1）的结论将数据代入计算即可。
47．将图1中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y．
（1）求5号长方形的面积（用含x，y的代数式表示）；
（2）若图1中长方形的周长为24．
①若2号正方形与1号正方形的面积差为3，求5号长方形的面积；
②将图1中的1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ▲ ．
【答案】（1）解：由图形可知：
3号正方形的边长为：，
4号正方形的边长为：
5号长方形的长为：，宽为：
∴5号长方形的面积为：
（2）①∵长方形的长为：，宽为：
又长方形的周长为24，
∴，
∴
∵2号正方形与1号正方形的面积差为3，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
把代入得5号长方形的面积为5；
②34
【解析】【解答】解：（2）②∵图1中长方形的周长为24
∴，
∴
如图，可得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∵
且图2的大长方形周长为40，
∴，
∴
∴四边形ABCD的周长为
【分析】（1）观察图1找出五个图形边长之间的关系，从而可用x、y表示出5号长方形的长与宽，继而求出长方形的面积即可；
（2）①根据所给的长方形的周长，可求出x+y的值，再根据2号正方形与1号正方形的面积差为3，可求出y-x的值，进而求出x、y的值，然后代入代数式求解即可；②根据所给的长方形的周长，可求出x+y的值，然后求出图2中BC的长，再根据图2的大长方形周长为40，可求出AB+BC的长，由2（AB+BC）即可求出没有覆盖的阴影部分的周长.
48．某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5﹣a）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
【答案】（1）解：设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，则
，解得．
答：A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元．
（2）解：设购买A种纪念品m件，则购买B种纪念品（100- m）件，则
750≤10m+5（100-m）≤764，
解得50≤m≤52.8，
∵m为正整数，
∴m=50，51，52，
即有三种方案．
第一种方案：购A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；
（3）解：设商家购进x件A纪念品，所获利润为y，
则y=ax+（100-x）（5-a）=（2a-5）x+500-100a．
∵商家出售的纪念品均不低于成本，
，即0≤a≤5．
①若2a-5＞0即时，y=（2a-5）x+500-100a，y随x增大而增大．
此时购进52件A纪念品，48件B纪念品获利最大．
②若2a-5＜0，即时，y=（2a-5）x+500-100a，y随x增大而减小．
此时购进50件A纪念品，50件B纪念品获利最大．
③若2a-5=0，即时，则y=250，为常数函数，
此时三种进货方案获利相同．
【解析】【分析】（1）设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，根据题中的相等关系“A种纪念品8件的价格+B种纪念品3件的价格=95；A种纪念品5件的价格+B种纪念品6件的价格=80”可列关于x、y的方程组求解；
（2）设购买A种纪念品m件，则购买B种纪念品（100- m）件，根据题中的不等关系“购买m件A种纪念品的价格+购买（100- m）件B种纪念品的价格≤764，购买m件A种纪念品的价格+购买（100- m）件B种纪念品的价格≥750”可得关于m的不等式组，解之可求得m的取值范围，根据m取正整数可得进货方案；
（3）设商家购进x件A纪念品，所获利润为y，根据所获利润=单件A种纪念品的获利×件数+单件B种纪念品的获利×件数可得y=ax+（100-x）（5-a）=（2a-5）x+500-100a；由题意可得关于a的不等式组，解不等式组可得a的范围0≤a≤5，结合已知可分三种情况讨论求解：①若2a-5＞0时，根据一次函数的性质可求解；②若2a-5＜0时，根据一次函数的性质可求解；③若2a-5=0时，则y=250，为常数函数，综合这三种情况可求解.
49．2020年3月，野生亚洲象群从西双版纳一路向北出发，2021年6月初入昆明．为应对象群继续北迁，云南省林草局提前部署，为象群筹备食物，准备从批发市场一次性购买若干箱玉米和香蕉（每箱玉米的价格相同，每箱香蕉的价格相同）．若购买2箱玉米和3箱香蕉共需340元，购买1箱玉米和2箱香蕉共需200元．
（1）求玉米、香蕉每箱的单价各是多少元；
（2）根据云南省林草局的实际需要，需一次性购买玉米和香蕉共100箱．要求购买玉米和香蕉的总费用不超过6450元，则林草局最多可以购买多少箱玉米？
【答案】（1）解：设玉米的单价是元，香蕉的单价是元，
由题意得，解得．
答：玉米的单价是80元，香蕉的单价是60元．
（2）解：设林草局可以购买箱玉米，则可以购买箱香蕉，
由题意得：，解得，
又∵为正整数，∴的最大值为22（或）．
答：林草局最多可以购买22箱玉米．
【解析】【分析】 (1)、设玉米的单价是元，香蕉的单价是元 ，根据题意找出等量关系式列出方程组，求解即可。
(2)、设林草局可以购买箱玉米，则可以购买箱香蕉， 列出不等式，求解即可。
50．如图1所示是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若m，n为实数，且，，求的值．
②如图3，，分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：①，，
，
，
或．
②，，分别表示边长为，的正方形的面积，
，，
，
，
，
，
，
，
由图可知，阴影部分面积．
阴影部分面积为11．
【解析】【解答】（1）解：由图可知，
大正方形面积四个矩形的面积中间小正方形的面积，
即，
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示出阴影部分的面积可得；
（2）①先求出，再求出或即可；
②根据，可得，再结合，求出，最后利用阴影部分的面积求出答案即可。
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