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【50道热点题型】湘教版数学八年级下册期中试卷·综合题专练
1．如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）．
（1）请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程）
（2）甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
2．如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，连接MN，EF.
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若AD=6cm，求MN的长.
3．如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？
4．如图，平行四边形ABCD中，AB=3 cm，BC=5 cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE： cm时，四边形CEDF是菱形．(直接写出答案，不需要说明理由)
5．如图，在 ABCD中，点E在BC的延长线上，EC=BC，连接DE、AC，AC⊥AD于点A
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BD，交AC于点F，若AC=2AD，求∠BDE的度数。
6．已知：如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，线段DE与菱形对角线AC交于点F，点O是AC的中点，EO的延长线交边DC于点G
（1）求证：∠AED＝∠FBC；
（2）求证：四边形DEBG是平行四边形．
7．若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ．（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（初步应用）
（2）如图，在绝妙四边形ABCD中，AC＝AD，且AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
（3）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
8．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）若∠AOC=50°，求出∠BOD的度数；
（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
9．在平面直角坐标系中，有 ， ， 三点．
（1）当 轴时，求A、B两点间的距离；
（2）当 轴于点D，且 时，求点C的坐标．
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积.
11．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池深多少尺？”
12．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有 个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则 ．
13．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O．点E，F在BD上，且BE=DF．连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：四边形AGCH是平行四边形；
（2）若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．
14．如图在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，
求：
（1）△ABC的面积；
（2）DE的长？
15．如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求平行四边形ABCD的面积．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F；
（2）求证：且AF＝BC．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t=2时，CD= ，AD= ；
（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；
（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．
18．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在直线y=﹣3上，D、E两点在y轴上．
（1）在△ABC中，作AH、CK分别垂直BC、AB于H、K，求证：KC=HA；
（2）求F点到y轴的距离．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF．
（1）求证：BD=CE；
（2）连接BE，请直接写出4个图中与△BEF面积相等的三角形．
21．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．
（1）如图1，求出点，的坐标；
（2）如图，若，且，分别平分，，求的值；
（3）如图，坐标轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角．
23．如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF.
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
24．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
25．如图，四边形 中， ， ， 于 交 的延长线于 ， ， .
（1）求证： .
（2）求证：四边形 是菱形.
26．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
27．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F.
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝ BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数.
28．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 ， ， 均在格点上.
（1） 的大小为 （度）；
（2）在如图所示的网格中， 是 边上任意一点. 为中心，取旋转角等于 ，把点 逆时针旋转，点 的对应点为 .当 最短时，请用无刻度的直尺，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）
29．如图，过 边 的中点 ，作 ，交 于点 ，过点 作 ，与 的延长线交于点 ，连接 ， ，若 平分 ， 于点 .
（1）求证：
① ，
②四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的长.
30．如图，在中，．
（1）尺规作图：以AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，OD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：．
31．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线m（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若直线m分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F．连结AF，若AF=2，求△ABC的周长．
32．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形．
（2）求DE的长．
33．如图，在菱形ABCD中，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F。
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并说明理由。
34．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.
35．已知四边形的对角线，交于点，，，且，，．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，点为边上一点，点为延长线上一点，连接交于点，连接，，，在不添加任何辅助线的情况下，请你直接写出图中长度为的四条线段．
36．在 中， ， ，且 ．
（1）如图1，点D，E分别在边 ， 上，连接 ．直接写出 的值 ， 的值 ；
（2）现将 如图2放置，连接 ， ， ，求证： ；
（3）现将 如图3放置，使C，A，E三点共线，延长 交 于点F，求证： 垂直平分 ．
37．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.
（1）试说明△BDE≌△CDF；
（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由.
38．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，且，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的边长．
39．如图，AC是 ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.
（1）求证：AB＝BC；
（2）若AB＝2，AC＝2 ，求 ABCD的面积.
40．如图，点O是等边三角形ABC内部一点，且满足∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转至△ADC的位置，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=2，OC=3，求AO的长.
41．已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．
42．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
43．△ABC是一块直角三角形纸片，∠ACB=90°，将该三角形纸片折叠，使点A与点C重合，DE为折痕.
（1）线段AE和BE有怎样的数量关系？写出你的结论并进行证明.
结论： .
证明：
（2）直角三角形斜边的中线和斜边有怎样的数量关系？写出你的结论（不证明）.
结论： .
44．已知△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=17cm．
（1）尺规作图：在BC上作出一点D，使得DA=DB．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接DA．求△ACD的周长．
45．如图，在 中，已知 ， ．
（1）求证： 为直角三角形；
（2）求 边上的中线长．
46．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点为A、B分别在y轴正半轴、x轴负半轴上，直线CD分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且AB∥CD．
（1）如图1，若点A（0，a）和点B（b，0）的坐标满足
ⅰ）直接写出a、b的值，a＝_____，b＝_____；
ⅱ）把线段AB平移，使B点的对应点E到x轴距离为1，A点的对应点F到y轴的距离为2，且EF与两坐标轴没有交点，则F点的坐标为_____；
（2）若G是CD延长线上一点DP平分∠ADG，BH平分∠ABO，BH的反向延长线交DP于P（如图2），求∠HPD的度数；
（3）若∠BAO＝30°，点Q在x轴（不含点B、C）上运动，AM平分∠BAQ，QN平分∠AQC，（如图3）直接出∠BAM与∠NQC满足的数量关系．
47．已知：如图1，，BD平分，，过点A作直线，延长CD交MN于点E
（1）当时，的度数为 ．
（2）如图2，当时，求的度数；
（3）设，用含x的代数式表示的度数．
48．如图，在 ABCD中，点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动（分别运动到点D，C即停止），AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H。
（1）若AD=8cm，则在此运动过程中，线段GH的长始终等于 cm；
（2）当E，F分别运动到AD，BC的中点时，求证：EF与GH互相平分。
49．如图，已知：AB CD，E为平面内一动点，连接AE、CE．
（1）如图1，若∠A＝120°，∠C＝150°，则∠E＝ °；
（2）如图2，∠EAB的角平分线与∠ECD的角平分线相交于点F．求证：∠AEC+2∠AFC＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作AH CE，连接AC，AC恰好平分∠EAH，过点E作PQ⊥DC，交DC延长线于点Q，交HA延长线于点P，若∠APQ：∠ECF＝5：7，求∠CAG的度数．
50．已知，．且点C在x轴的正半轴上，三角形ABC的面积为18
（1）求a，b的值；
（2）求出点C的坐标；
（3）过点C作平行于y轴的直线，在该直线上是否存在一点D，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由
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【50道热点题型】湘教版数学八年级下册期中试卷·综合题专练
1．如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）．
（1）请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程）
（2）甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
【答案】（1）是直角三角形；
（2）甲方案所搭建的传送带较短．
2．如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，连接MN，EF.
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若AD=6cm，求MN的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC
∵DE=CF，
∴AE=BF.
∴四边形ABFE是平行四边形
（2）解：∵DE=CF，AD∥BC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DN=FN，
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AM=MF，
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质：平行四边形的一组对边平行且相等，可得AD∥BC，AD=BC，又利用平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明.
(2)根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以得出四边形DEFC是平行四边形，再通过平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，可以得到AM=MF，再根据中位线定理可知.
3．如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？
【答案】水的深度是15米，芦苇长为17米
4．如图，平行四边形ABCD中，AB=3 cm，BC=5 cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE： cm时，四边形CEDF是菱形．(直接写出答案，不需要说明理由)
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
CF∥ED，
∠FCG=∠EDG，
G是CD的中点，
CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
△FCG≌△EDG(ASA)，FG=EG，
CG=DG，四边形CEDF是平行四边形
（2）3.5；2
【解析】【解答】解：(2)①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∠B==60°，AB=3，BM=1.5，
四边形ABCD是平行四边形，
∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5。
AE=3.5，
DE=1.5=BM．
在△MBA和△EDC中，
△MBA≌△EDC(SAS)，∠CED=∠AMB=90°，
四边形CEDF是平行四边形，四边形CEDF是矩形，
故答案为：3.5；
②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，
理由是：AD=5，AE=2，DE=3，
CD=3，∠CDE=60°，
△CDE是等边三角形，CE=DE，
四边形CEDF是平行四边形，
四边形CEDF是菱形．
故答案为：2．
【分析】（1） 四边形ABCD是平行四边形，CF平行ED，得内错角相等 ，所以∠FCG等于∠EDG，
G是CD的中点，加上对顶角相等，证得△FCG和△EDG全等，所以FG等于EG，一组对边平行且相等，所以四边形CEDF是平行四边形 。
（2）过A作BC边上的高，只要证得△ABM和△CED全等即可。由AB等于3，∠B=60°，求得BM等于1.5，当AE=3.5时，ED等于AD减AE也等于1.5， 因为四边形ABCD是平行四边形，AB等于CD，∠B等于∠CDE，所以证得△ABM全等于△CED，所以∠AMC等于∠CED等于90°，得到四边形CEDF是矩形。
（3）当AE等于2时，ED等于AD减AE等于3，所以DE等于DC，又因为∠EDC=60°，所以△CDE是等边三角形，得CE=ED，又因为四边形CEDF是平行四边形，所以四边形DECF是菱形。
5．如图，在 ABCD中，点E在BC的延长线上，EC=BC，连接DE、AC，AC⊥AD于点A
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BD，交AC于点F，若AC=2AD，求∠BDE的度数。
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，AD∥BC ∵EC= BC，
∴AD= EC，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC⊥AD，∴∠DAC=90°，∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵ ABCD中，AC=2AF ，AC= 2AD，∴AD=AF，∴∠CADF =∠AFD= 45°，∴∠BDE=45°
【解析】【分析】（1）先证出四边形ACED是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得出四边形ACED是矩形；
（2）先证出AD=AF，再根据等腰三角形的性质得出∠ADF=∠AFD=45°，利用∠BDE=90°-∠ADF，即可得出∠BDE=45°.
6．已知：如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，线段DE与菱形对角线AC交于点F，点O是AC的中点，EO的延长线交边DC于点G
（1）求证：∠AED＝∠FBC；
（2）求证：四边形DEBG是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DCF＝∠BCF，DC＝BC．
在△DCF和△BCF中，
∴△DCF≌△BCF，
∴∠FBC＝∠FDC．
∵DC∥AB，
∴∠FDC＝∠AED．
∴∠AED＝∠FBC
（2）证明：如图，连接BD． ∵四边形ABCD是菱形，O是AC的中点， ∴OD＝OB． ∵DC∥AB， ∴∠GCO＝∠EAO．
在△GCO和△EAO中，
∴△GCO≌△EAO，
∴OE＝OG． ∴四边形DEBG是平行四边形
【解析】【分析】（1）首先证明△CBF≌△CDF，从而得到∠FBC＝∠FDC，然后由平行线的性质可知∠FDC＝∠AED，从而可证得∠AED＝∠FBC；（2）连接BD，由菱形的性质可知；OB＝OD，然后再证明OG＝OE，从而可证得四边形DEBG是平行四边形．
7．若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ．（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（初步应用）
（2）如图，在绝妙四边形ABCD中，AC＝AD，且AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
（3）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
【答案】（1）③④
（2）解：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝∠DAC＝40，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝70°＝∠BCA，
∴∠BCD＝140°，
（深入研究）
（3）∠BCD的度数是45°或135°或90°．
【解析】【解答】（1）∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案是：③④；
【深入研究】（3）∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°
∴四边形AHCG是矩形，
AH＝CG＝ AB＝ CD
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°
∴∠DAC＝∠DCA＝15°
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，且∠ACB＝30°
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图
∵AC＝AB＝AD＝CD
∴△ACD是等边三角形，
∠CAD＝∠ACD＝60°
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图
∵AB＝AD＝CD＝BC
∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形
∴∠BCD＝90°
综上所述：∠BCD的度数是45°或135°或90°．
【分析】（1）根据题意，“巧妙四边形”需是邻边相等是四边形，由平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质可求解；（2）由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，由等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，即可求∠BCD的度数；（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和“绝妙四边形的定义可求解．
8．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）若∠AOC=50°，求出∠BOD的度数；
（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
【答案】（1）解：因为∠AOC=50°，OD平分∠AOC，所以∠DOC= ∠AOC=25°，∠BOC=180°﹣∠AOC=130°，
所以∠BOD=∠DOC+∠BOC=155°；
（2）解：OE平分∠BOC．理由如下：
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOA=∠DOC，
∵∠DOE=90°，
∴∠DOC+∠COE=90°，∠DOA+∠BOE=90°，
∴∠COE=∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义知∠DOC的度数，然后根据邻补角的定义得出∠BOC的度数，然后根据∠BOD=∠DOC+∠BOC算出答案；
（2）根据角平分线的定义得出∠DOA=∠DOC，再根据等角的余角相等得出答案。
9．在平面直角坐标系中，有 ， ， 三点．
（1）当 轴时，求A、B两点间的距离；
（2）当 轴于点D，且 时，求点C的坐标．
【答案】（1）由 轴可得， ，即 ，
∴ ，
∴A、B两点间的距离为 ．
（2）由题意得 ，即 或 ，
∴ 或 ，
∴点C的坐标为 、
【解析】【分析】（1）根据 轴可知点 的纵坐标一样解得 的值，再求解 的横坐标，最后即可求得两点间的距离；（2）根据 轴于点D，且 ，即 的纵坐标 ，即可得出点C的坐标.
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠C=90°，
在△ABF和△CBE中
∴△ABF≌△CBE（SAS）；
（2）解：由已知可得正方形ABCD面积为：4×4=16，
△ABF面积＝△CBE面积＝ ×4×1＝2.
∴四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，结合三角形全等的判定定理（SAS）即可证明答案。
（2）根据正方形的面积公式可得正方形的面积，根据三角形全等的性质，计算得到三角形AFB和三角形BEC的面积，与四边形面积作差即可。
11．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池深多少尺？”
【答案】12尺
12．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有 个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则 ．
【答案】（1）解：①3；②满足证明如下：由题意知，，， ∴；
（2）
【解析】【解答】解：（1）①如图2，设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则：a2+b2=c2，又∵a2=S1，b2=S2，C2=S3，∴S1+S2=S3；如图3，设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则：a2+b2=c2，又∴S1+S2=如图3，设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则：a2+b2=c2，易知三个等边三角形一边上的高分别为：则故图2、图3、图4都满足关系式S1+S2=S3。 故第1空答案为：3. （2）如图7所示，以a，b为直角边的三角形的斜边的平方为：a2+b2，以c，d为直角边的直角三角形的斜边长为：c2+d2，∴以m为斜边的直角三角形它的两条直角边的平方分别为：a2+b2和c2+d2，由勾股定理得：a2+b2+c2+d2=m2.
故第1空的答案为：m2。
【分析】（1）①根据正方形面积，圆的面积以及等边三角形的面积计算方法，结合勾股定理，分别正确计算，即可得出结论；②根据图形，分别正确计算S1+S2和S3，即可得出结论；
（2）根据正方形的面积和直角三角形边长之间的关系，从最外层开始，正确计算，即可得到结果：a2+b2+c2+d2=m2.
13．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O．点E，F在BD上，且BE=DF．连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：四边形AGCH是平行四边形；
（2）若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC， AD∥BC ．
∵BE=DF，
∴ OB-BE=OD-DF．
即OE=OF，
∵ ∠AOE=∠COF，OA=OC，
∴ △AOE≌△COF．
∴∠OAE=∠OCF．
∴AG∥CH．
又 AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形．
（2）证明：∵AC平分∠HAG ，
∴∠OAE=∠OAD．
又∠OAE=∠OCF，
∴∠OCF=∠OAD．
∴AH=CH．
∴四边形AGCH是菱形．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，得到△AOE≌△COF，然后得到AG//CH，即可得到结论；
（2）由角平分线的性质，证明AH=CH，即可得到结论成立。
14．如图在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，
求：
（1）△ABC的面积；
（2）DE的长？
【答案】（1）解：过A作AF⊥BC于F，
△ABC中，AB=AC=13，AF⊥BC，则BF=FC= BC=5；
Rt△ABF中，AB=13，BF=5；
由勾股定理，得AF=12；
∴S△ABC= BC AF=60；
（2）解：连接CD，
∵AD=BD，
∴S△ADC=S△BCD= S△ABC=30；
∵S△ADC= AC DE=30，
即DE= = ．
【解析】【分析】（1）由题意作辅助线，
过A作AF⊥BC于F， 由等腰三角形的性质可得
BF=FC=
BC，在直角三角形ABF中，用勾股定理可求得AF的值，则三角形ABC的面=
可求解；
（2）
连接CD， 根据等底同高的两个三角形的面积相等可得
S△ADC=S△BCD= S△ABC ，而
S△ADC= AC DE ，将已知条件代入即可求解。
15．如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是平行四边形ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中， ，∴△ADE≌△FCE（AAS）
（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，
在平行四边形ABCD中，AD=BC=5，∴DE= =4，∴CD=2DE=8．
∴平行四边形ABCD的面积是：8×3=24.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合中点的性质，即可得到△ADE≌△FCE。
（2）根据全等三角形的性质，即可由勾股定理计算得到DE的长度，求出CD的值，计算平行四边形的面积即可。
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F；
（2）求证：且AF＝BC．
【答案】（1）解：如图所示，AM即为所求，BE的延长线交AM于F．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DAC＝∠ABC+∠C＝2∠C，
∠DAC的平分线AM，
∵∠DAC＝2∠FAC，
∴∠C＝∠FAC，
∴，
∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）先利用“ASA”证明△AEF≌△CEB，再利用全等三角形的性质可得AF=BC。
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t=2时，CD= ，AD= ；
（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；
（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．
【答案】（1）2；8
（2）①∠CDB=90°时，S△ABC= AC BD= AB BC，
即 ×10 BD= ×8×6，
解得BD=4.8，
∴CD= = =3.6，
t=3.6÷1=3.6秒；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=10÷1=10秒，
综上所述，t=3.6或10秒；
故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒
（3）①CD=BC时，CD=6，t=6÷1=6；
②BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
则CF=3.6，
CD=2CF=3.6×2=7.2，
∴t=7.2÷1=7.2，
综上所述，t=6秒或7.2秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）t=2时，CD=2×1=2，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= = =10，
AD=AC﹣CD=10﹣2=8；
故答案是：2；8．
【分析】（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD=BC时，CD=6；②BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．
18．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在直线y=﹣3上，D、E两点在y轴上．
（1）在△ABC中，作AH、CK分别垂直BC、AB于H、K，求证：KC=HA；
（2）求F点到y轴的距离．
【答案】（1）证明：如图，AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．
∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
在△AKC和△CHA中，
，
∴△AKC≌△CHA，
∴KC=HA
（2）作PF⊥DE于E．
∵B、C在y=﹣3上，且点A的坐标为（﹣3，1），
∴AH=4，
∴KC=AH=4，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，AC=DF，
在△AKC和△DPF中，
，
∴△AKC≌△DPF，
∴KC=PF=4．
∴F点到y轴的距离4．
【解析】【分析】（1）欲证明KC=HA，只要证明△AKC≌△CHA即可．（2）作PF⊥DE于E，只要证明△AKC≌△DPF即可．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC
（2）证明：AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【解析】【分析】（1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；（2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．
20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF．
（1）求证：BD=CE；
（2）连接BE，请直接写出4个图中与△BEF面积相等的三角形．
【答案】（1）证明：如图1中，
∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=DC
（2）解：如图2中，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∴S△BFE= S平行四边形ADBF=S△ABF=S△ABD，
∵AF∥BC，BD=CD=AF，
∴S△ABD=S△ADC，S△AFC=S△AFC，
∴与△BEF面积相等的三角形有：△ABF，△AFC，△ABD，△ADC．
【解析】【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得出∠AFE=∠DCE，再由AAS得证△AFE≌△DCE，根据全等三角形的性质得AF=DC，再由等量代换得证.
（2）如图2，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ADBF是平行四边形，由平行四边形的性质得S△BFE= S平行四边形ADBF=S△ABF
=S△ABD，S△ABD=S△ADC，S△AFC=S△AFC，从而得出与△BEF面积相等的三角形有：△ABF，△AFC，△ABD，△ADC．
21．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．
（1）如图1，求出点，的坐标；
（2）如图，若，且，分别平分，，求的值；
（3）如图，坐标轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，，，
，，
，，
，；
（2）解：如图，过点作，交轴于点，
，
又∵，
，
，
，
∴；
（3）解：存在．∵，，，
∴的面积，
当点在轴上时，设，
，
，
解得或，
此时点坐标为或；
当点在轴上时，设，
则，
解得或，
此时点坐标为或，
综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或或或．
【解析】【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性，得到，，求得a和b的值，进而得到A和B的坐标，得到答案；
（2）作，由，得到，得出、，结合，代入计算，即可得到答案；
（3）先计算的面积，再分点在轴上和在轴上讨论，当点在轴上时，设，利用，列出方程，求得的值，得到点坐标；当点在轴上时，设，根据三角形面积公式，列出关于的方程，求得的值，得到点坐标，即可得到答案．
（1）解：，，，
，，
，，
，；
（2）如图，过点作，交轴于点，
，
又∵，
，
，
，
∴；
（3）解：存在．
∵，，，
∴的面积，
当点在轴上时，设，
，
，
解得或，
此时点坐标为或；
当点在轴上时，设，
则，
解得或，
此时点坐标为或，
综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或或或．
22．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角．
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由三角形的外角性质得：，
∴度数为的度数2倍的角有：，，，．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质，菱形的判定方法证明即可；
（2）先求出 ， 再求出 ，最后计算求解即可。
23．如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF.
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
【答案】（1）证明：证明：∵CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，
∴MF=BM=CM=BC，
∵ME=MF，
∴ME=BM=CM=BC，
∴BE⊥AC
（2）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180° 50°=130°，
∵ME=MF=BM=CM，
∴∠BMF+∠CME=(180° 2∠ABC)+(180° 2∠ACB)=360° 2(∠ABC+∠ACB)=360° 2×130°=100°，
∠FME=180°-（∠BMF+∠CME）=180° 100°=80°
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得MF=BM=CM=BC，再求出ME=BM=CM=BC，再根据一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF+∠CME的值，然后根据平角等于180°，就可求出∠FME的度数。
24．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
【答案】（1）解：所作图形如下所示：
（2）解：点A1、B1、C1的坐标分别为：（1，5），（1，0），（4，3）。
【解析】【分析】（1）根据题意，首先绘制三角形的三个顶点关于y轴的对称点，连线组成图形即可。
（2）根据（1）中作出图形的步骤，结合图象，写出点的坐标即可。
25．如图，四边形 中， ， ， 于 交 的延长线于 ， ， .
（1）求证： .
（2）求证：四边形 是菱形.
【答案】（1）解：∵CE⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∴ ，
在 和 中，
， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，而 ，
∴四边形 为平行四边形，而 ，
∴四边形ABCD为菱形.
【解析】【分析】(1)证明RtΔDFC RtΔDEC(HL)，根据全等三角形的性质即可得证；(2)先证明ΔDEC≌ΔBEC(SAS)，继而证明四边形ABCD为平行四边形，再根据BC=CD，即可得证.
26．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB
∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°
∴∠BDC=60°
（2）解：在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°
∴∠DBC=30°
∴BD=2CD=4
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，再根据等边对等角可得∠BDC的度数；（2）在Rt△BDC中，根据所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2CD。
27．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F.
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝ BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数.
【答案】（1）证明：∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）解：由（1）知，△ABD≌ACF，
∴BD＝CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC＝BF，
∵BD⊥CE，
∴CE＝EF，
∴CE＝ CF＝ BD
（3）解：∠AED不变化
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，
∴BD AH＝CF AG，而BD＝CF，
∴AH＝AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA＝ ∠BEG＝45°，
即：∠AED不变化.
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，由对顶角的性质可得∠ADB＝∠CDE，根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠ACF，接下来结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝CF，易得BC＝BF，结合等腰三角形的性质可得CE＝EF，据此证明；
（3）过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，根据△ABD的面积公式可得AH＝AG，推出EA平分∠BEF，据此解答.
28．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 ， ， 均在格点上.
（1） 的大小为 （度）；
（2）在如图所示的网格中， 是 边上任意一点. 为中心，取旋转角等于 ，把点 逆时针旋转，点 的对应点为 .当 最短时，请用无刻度的直尺，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）
【答案】（1）
（2）解：如图，即为所求.
【解析】【解答】（1）∵每个小正方形的边长为1，
∴AC= ，BC= ，AB= ，
∵
∴
∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90°
故答案为90；
【分析】（1）利用方格纸的特点及勾股定理分别计算出AC，BC，AB的长，利用勾股定理的逆定理即可判断出ΔABC是直角三角形，且∠C=90°；
（2）如图取格点D，E连接DE，交AB于点T，取格点M，N并延长BC交MN于点G，取格点F，连接FG，作直线CT，交GF于点P'，则P'就是所求的点。
29．如图，过 边 的中点 ，作 ，交 于点 ，过点 作 ，与 的延长线交于点 ，连接 ， ，若 平分 ， 于点 .
（1）求证：
① ，
②四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）①∵ 平分 ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴
∴ .
②∵ 是 的中点，
∴ .
又∵ .
∴ ， .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴四边形 是平行四边形.
∵ ，
∴
∵ ， ， ，
∴ .
∴ .
∴四边形 是矩形.
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ， ， .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ 是等边三角形.
∴
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ， .
∴ ， .
∵ ， ，
∴ .
在 中， ，
∴ .
【解析】【分析】（1）①运用ASA证明 即可得出结论；②先证明四边形 是平行四边形，再证明 即可得出结论；（2）证明△OCB是等边三角形，得∠ECB=30°，求出OE=EB= ，运用勾股定理求出AE的长，再运用勾股定理求出DE的长即可.
30．如图，在中，．
（1）尺规作图：以AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，OD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：．
【答案】（1）解：如图
（2）证明：如图，连接AD，
∵AB是的直径，
∴，
∵，∴，
又∵，
∴OD是的中位线，
∴，
∵，∴.
【解析】【解答】(1)解：如图，分别以A、B为圆心，以AB长为半作弧，两弧交于点M、N，连接MN与线段AB交于点O；再以O为圆心，OA长为半径作圆，分别交BC，AC于点D、E，连接BE，OD；
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）连接AD，先证明OD是的中位线，可得OD//AC，再结合可得。
31．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线m（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若直线m分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F．连结AF，若AF=2，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：如图，直线M即为所求；
（2）解：∵直线DF垂直平分线段AB，
∴AF=BF．
∵AF=2，
∴BF=2．
∵∠B=60°．
∴△ABF为等边三角形，AB=2，
∴由等边三角形三线合一，AC垂直平分线段BF，BC= BF= ×2=1．
∴Rt△ABC中，AC= = = ．
∴△ABC周长=AB+BC+AC=2+1+ =3+ ．
【解析】【分析】（1）作线段AB的垂直平分线m即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质得出AF=BF，再由∠B=60°得出△ABF为等边三角形，由等边三角形三线合一的性质得出BC的长．再由勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
32．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形．
（2）求DE的长．
【答案】（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC．
∵AB=BC，∴AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形．
（2）解：连接BE．
∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC．
∵△ABC是等边三角形，∴AE=EC，即E为AC的中点．
∵D是BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE= AB= ×2=1．
【解析】【分析】（1）连接AD，利用线段的垂直平分线的性质证明AB=AC即可解决问题；
（2）连接BE，证明AE=EC，利用三角形的中位线定理即可解决问题。
33．如图，在菱形ABCD中，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F。
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并说明理由。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠DAE=∠BCF=90°，
∴△ADE≌△CBF.
（2）解：连接AC，
∵△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，∠AED=∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形.
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AD平行且相等与BC，根据平行线的性质得到相等的角，再结合已知垂直的条件不难证明结论；
（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定定理可证明四边形AECF是平行线四边形，根据菱形的性质可得AC⊥EF，即可判断出四边形AECF的形状.
34．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°.
∴∠F=90°-∠EDC=30° 。
（2）解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴∠DEC=60°.
∴△EDC是等边三角形.
∴DE=DC=2.
∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4 。
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得出∠B=60°，根据二直线平行同位角相等得出∠EDC=∠B=60°，根据垂直的定义得出∠DEF=90°，从而根据直角三角形的两锐角互余得出∠F=90°-∠EDC=30° ；
（2）根据三角形的内角和得出∠DEC=60°，根据三内角相等的三角形是等边三角形得出△EDC是等边三角形，根据等边三角形三边相等得出DE=DC=2，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出DF=2DE=4 。
35．已知四边形的对角线，交于点，，，且，，．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，点为边上一点，点为延长线上一点，连接交于点，连接，，，在不添加任何辅助线的情况下，请你直接写出图中长度为的四条线段．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形
（2）解：.
【解析】【解答】解：(2)，
理由：由（1）知四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=CD=5，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵O是BD中点，
∴OF是△DBC中位线，F是DC的中点，
∴，，
∴．
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再结合可得是菱形；
（2）先证明OF是△DBC中位线，F是DC的中点，再利用中位线的性质可得，，即可得到。
36．在 中， ， ，且 ．
（1）如图1，点D，E分别在边 ， 上，连接 ．直接写出 的值 ， 的值 ；
（2）现将 如图2放置，连接 ， ， ，求证： ；
（3）现将 如图3放置，使C，A，E三点共线，延长 交 于点F，求证： 垂直平分 ．
【答案】（1）；
（2）证明：∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠CAB-∠DAB=∠DAE-∠DAB，即∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（3）证明：∵C，A，E三点共线，
∴CE=CA+AE ，
∴CE=CB，
∴点C在线段BE的垂直平分线上，
∵BD=AB-AD ，DE ，
∴BD=DE，
∴点D在线段BE的垂直平分线上，
∴CF垂直平分BE．
【解析】【解答】解：（1）解：在Rt△ADE中，∠A=90°，AD=AE=1，
∴DE ，
同理， ，
故答案为： ， ；
【分析】（1）在Rt△ADE中，∠A=90°，AD=AE=1，利用勾股定理得出DE的值，同理得出BC的值；
（2）先得出 ∠CAD=∠BAE，再利用三角形全等得出△CAD≌△BAE（SAS）， 即可得出 ；
（3）由 C，A，E三点共线，可得出CE的值，推出CE=CB，得出点C在线段BE的垂直平分线上， 根据BD、DE的值，得出 点D在线段BE的垂直平分线上， 由此得出 垂直平分
37．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.
（1）试说明△BDE≌△CDF；
（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由.
【答案】（1）解：∵CF∥BE，
∴∠FCD=∠EBD.
∵D是BC的中点，
∴CD=BD.
∵∠FDC=∠EDB，
∴△CDF≌△BDE（ASA）.
（2）解：四边形BECF是平行四边形.
理由：∵△CDF≌△BDE，
∴DF=DE，DC=DB.
∴四边形BECF是平行四边形.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠FCD=∠EBD，由线段中点的概念可得CD=BD，由对顶角的性质可得∠FDC=∠EDB，然后利用全等三角形的判定定理ASA进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得DF=DE，DC=DB，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断.
38．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，且，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的边长．
【答案】（1）证明：四边形为正方形，
，
，
，即，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：，
，
，
，
，
菱形的边长为．
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质即可得到，再根据平行四边形的判定结合菱形的判定即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的性质即可得到，再结合题意根据勾股定理运用菱形的性质即可求解。
39．如图，AC是 ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.
（1）求证：AB＝BC；
（2）若AB＝2，AC＝2 ，求 ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ，OB=OD= BD，
∴OB= ，
∴BD=2OB=2，
∴ ABCD的面积= AC BD= ×2 ×2=2 .
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质，可推出∠BAC=∠BCA，利用等角对等边，可证得结论.
（2）连接BD交AC于O，易证四边形ABCD是菱形，利用菱形的性质可证得AC⊥BD，同时可求出OA，OB的长；再利用勾股定理求出OB的长，可得到BD的长；然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出菱形ABCD的面积.
40．如图，点O是等边三角形ABC内部一点，且满足∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转至△ADC的位置，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=2，OC=3，求AO的长.
【答案】（1）解：由旋转的性质得，CD=CO，∠ACD=∠BCO.
∵∠ACB=60°，
∴∠DCO=60°
∴△OCD为等边三角形.
∴∠ODC=60°.
（2）解：由旋转的性质得，AD=OB=2
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=3
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°
∴∠ADO=90°.
在Rt△AOD中，AO=
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出CD=CO，∠ACD=∠BCO，从而得出∠DCO=60°，得出△OCD为等边三角形，即可得出∠ODC=60°；
（2）根据旋转的性质得出AD=OB=2， ∠ADC=∠BOC=150°，从而得出∠ADO=90°，根据等边三角形的性质得出OD=OC=3，再根据勾股定理即可得出AO的长.
41．已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA= ×6=3，OB= ×6=3 ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=3 ，
∴四边形AODE的面积=OA OD=3×3 =9 ．
【解析】【分析】（1）由已知DE∥AC，AE∥BD，可证得四边形AODE是平行四边形，再证明有一个角是直角，由菱形ABCD，即可证出∠AOD是直角，即可证得结论。
（2）抓住已知∠BCD=120°，根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形，再利用勾股定理求出OA、OD的长，即可求出矩形AODE的面积。
42．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
【答案】（1）解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵CD＝3，
∴DE＝3；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∴△ADB的面积为S△ADB＝AB DE＝×10×3＝15．
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，据此解答；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
43．△ABC是一块直角三角形纸片，∠ACB=90°，将该三角形纸片折叠，使点A与点C重合，DE为折痕.
（1）线段AE和BE有怎样的数量关系？写出你的结论并进行证明.
结论： .
证明：
（2）直角三角形斜边的中线和斜边有怎样的数量关系？写出你的结论（不证明）.
结论： .
【答案】（1）AE=BE；证明：
由折叠性质可知：AE=CE， ∠A=∠ACE
∵∠ACB=90°
∴
∴
∴CE=BE
∴AE=BE
（2）直角三角形斜边中线等于斜边的一半
【解析】【解答】（2）如图：
在矩形ABCD中，根据矩形性质可知： ，AO=CO=BO=DO=
∴在Rt△ABC中，BO是斜边AC的中线且等于AC的
因此，直角三角形斜边中线等于斜边的一半.
【分析】（1）由折叠的性质可知∠A=∠ACE，然后利用等角的余角相等得出∠ECB=∠B，从而得到结论；（2）直角三角形斜边中线等于斜边的一半.
44．已知△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=17cm．
（1）尺规作图：在BC上作出一点D，使得DA=DB．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接DA．求△ACD的周长．
【答案】（1）解：（1）如图所示：
此时DA=DB
（2）解：连接DA，
∵AD=DB，
∴△ACD的周长为：AC+DC+AD=AC+CD+BD=AC+BC，
∵∠C=90°，AC=8cm，AB=17cm，
∴BC= = =15（cm），
则△ACD的周长为：15+8=23（cm）
【解析】【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出D点位置；（2）直接利用线段垂直平分线的结合勾股定理得出答案．
45．如图，在 中，已知 ， ．
（1）求证： 为直角三角形；
（2）求 边上的中线长．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形
（2）解：取AB的中点D，连接CD，则CD为AB边上的中线，
∵ ，CD为AB边上的中线， ，
【解析】【分析】（1）根据三个角的比和三角形内角和定理分别求出三个角的度数，即可证明 为直角三角形；（2）先作出 边上的中线，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案．
46．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点为A、B分别在y轴正半轴、x轴负半轴上，直线CD分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且AB∥CD．
（1）如图1，若点A（0，a）和点B（b，0）的坐标满足
ⅰ）直接写出a、b的值，a＝_____，b＝_____；
ⅱ）把线段AB平移，使B点的对应点E到x轴距离为1，A点的对应点F到y轴的距离为2，且EF与两坐标轴没有交点，则F点的坐标为_____；
（2）若G是CD延长线上一点DP平分∠ADG，BH平分∠ABO，BH的反向延长线交DP于P（如图2），求∠HPD的度数；
（3）若∠BAO＝30°，点Q在x轴（不含点B、C）上运动，AM平分∠BAQ，QN平分∠AQC，（如图3）直接出∠BAM与∠NQC满足的数量关系．
【答案】（1）ⅰ），﹣1；ⅱ）（﹣2，+1）或（2，+1）；
（2）如图2中，设BH交y轴于K．∠ABK＝∠OBK＝α．
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠OCD＝2α，
∴∠ODP＝ （90°+2α）＝45°+α．
∵∠BKO＝90°﹣α，
∴∠HPD＝180°﹣（90°﹣α）﹣（45°+α）＝45°．
（3）如图3﹣1中，当点Q在点B左侧时，
∵∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-30°=60°，
∴∠OAQ+∠AQC=60°，
又∵AM、QN平分∠BAQ、∠AQC，
∴∠MAB=，∠NQC=，
∠BAM+∠NQC＝；
如图3﹣2中，当点Q在B、C之间时，
∵∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-30°=60°，
∴∠AQC-∠QAB=60°，
又∵AM、QN平分∠BAQ、∠AQC，
∴∠MAB=，∠NQC=，
∠NQC﹣∠BAM＝．
如图3﹣3中，当点Q在点C右侧时，
∵∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-30°=60°，
∴∠BAQ-∠BQA=180°-60°=120°，
又 ∵AM、QN平分∠BAQ、∠AQC，
∴∠MAB=，∠NQC=，
∴∠BAM+∠NQC＝．
【解析】【解答】解：（1）ⅰ）∵ ，
又|﹣a|≥0， ≥0，
∴a＝，b＝﹣1，
故答案为，﹣1．
ⅱ）如图1中，有两种情形，点F坐标为：（﹣2，+1）或（2， +1）．
故答案为（﹣2， +1）或（2， +1）．
【分析】（1）ⅰ）根据绝对值和算术平方根的非负性解题即可；
ⅱ）画出图形，根据平移的性质解答即可；
（2）设BH交y轴于K，则∠ABK＝∠OBK＝α．然后根据三角形内角和定理得到求出∠PKD，∠PDK解题；
（3）分点Q在点B左侧、点Q在B、C之间和点Q在点C右侧三种情形画出图形，利用角平分线的定义和三角形的内角和解题即可.
47．已知：如图1，，BD平分，，过点A作直线，延长CD交MN于点E
（1）当时，的度数为 ．
（2）如图2，当时，求的度数；
（3）设，用含x的代数式表示的度数．
【答案】（1）60°
（2）解：由（1）可知，
，
，
，
，
，
，
（3）解：设，
，
，
，
，
当点在点的左侧时，
，
当点在点的右侧时，
，
．
【解析】【解答】（1）解： BD平分， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，
【分析】（1）根据AAS证明△BAD≌△BCD，得出∠ADB=∠CDB，根据CD⊥BC及四边形的内角和等于360°列式求出∠ADC=120°，即可求得∠ADE；
（2）利用（1）的结果，根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BCD=45°，再根据三角形内角和定理求出∠BDC的度数，再根据∠ADE=∠ADB-∠BDE，即可求解；
（3）设，根据三角形内角和定理表示出∠BDC，根据全等三角形的性质表示出∠BDA，然后分当E点在A点的左侧时和当E点在A点的右侧时两种情况讨论， 根据（1）（2）的方法求解即可.
48．如图，在 ABCD中，点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动（分别运动到点D，C即停止），AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H。
（1）若AD=8cm，则在此运动过程中，线段GH的长始终等于 cm；
（2）当E，F分别运动到AD，BC的中点时，求证：EF与GH互相平分。
【答案】（1）4
（2）证明：∵E为AD的中点，F为BC的中点，
∴AE=+AD，CF=BC.
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AE∥CF，AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE.
同理可证BE∥DF
∴四边形GFHE是平行四边形，
∴EF与GH互相平分。
【解析】【解答】解：（1）连接EF
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动（分别运动到点D，C即停止），
∴AE=BF，
∴DE=CF，
∴四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，
∴AG=FG，FH=DH，
∴GH是△ADF的中位线，
∴GH=AD=×8=4cm.
故答案为：4.
【分析】（1）连接EF，利用平行四边形的性质可证得AD=BC，AD∥BC，利用点E，F的运动方向和运动速度，可证得AE=BF，可推出DE=CF；由此可证得四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可推出GH是△ADF的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出GH的长.
（2）利用线段中点的定义及平行四边形的性质可证得四边形AFCE是平行四边形，可得到AF∥CE，同理可证得BE∥DF；再证明四边形GFHE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
49．如图，已知：AB CD，E为平面内一动点，连接AE、CE．
（1）如图1，若∠A＝120°，∠C＝150°，则∠E＝ °；
（2）如图2，∠EAB的角平分线与∠ECD的角平分线相交于点F．求证：∠AEC+2∠AFC＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作AH CE，连接AC，AC恰好平分∠EAH，过点E作PQ⊥DC，交DC延长线于点Q，交HA延长线于点P，若∠APQ：∠ECF＝5：7，求∠CAG的度数．
【答案】（1）90
（2）过点E作MN∥AB，过点F作PQ∥AB，
∵MN∥AB，PQ∥AB，CD∥AB，
∴AB∥MN∥PQ∥CD，
∵AB∥PQ，
∴∠AFP=∠BAF，
又∵AF平分∠BAE，
∴∠BAE=2∠BAF=2∠AFP，
同理，∠ECD=2∠CFP，
∵AB∥MN，
∴∠AEM=∠BAE=2∠AFP，
同理，∠CEM=2∠CFP，
∴∠AEC+2∠AFC=∠AEM+∠CEM+∠AEC=360°；
（3）过P作MN∥AB，
∵∠APQ：∠ECF=5：7，
∴可设∠APQ的度数为5m，则∠ECF度数为7m，
∴∠AHD度数为90+5m，
∵CF平分∠ECD，
∴∠ECD度数为14m，
∵CE∥AH，
∴∠ECH=∠AHD，
即14m=90+5m，
解得：m=10，
∴∠AHD=90 + =140 ，
∴∠BAH=40°，
设∠CAG=α，∠GAH=β，
∵AC平分∠EAH，
∴∠EAC=∠CAH=α+β，
∴∠EAF=2α+β，
∵AF平分∠EAB，
∴∠BAF=∠EAF=2α+β，
∴∠BAH=∠BAF-∠GAH=2α=2∠CAF=40°，
∴α=20°．
∴∠CAG=20°．
【解析】【解答】（1）如图1，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠A+∠AEH=180°，∠DCE+∠CEH=180°，
∴∠AEC=360°﹣∠A﹣∠DCE=90°，
故答案为：90；
【分析】（1）如图1，过点E作EH∥AB，由平行线的性质可得∠A+∠AEH=180°，∠DCE+∠CEH=180°，可求解；（2）过点E作MN∥AB，过点F作PQ∥AB，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠BAE=2∠BAF=2∠AFP，∠ECD=2∠CFP，∠AEM=∠BAE=2∠AFP，∠CEM=2∠CFP，可得结论；（3）由平行线的性质和外角的性质求出∠BAH=40°，再由角的数量关系可求解．
50．已知，．且点C在x轴的正半轴上，三角形ABC的面积为18
（1）求a，b的值；
（2）求出点C的坐标；
（3）过点C作平行于y轴的直线，在该直线上是否存在一点D，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴三角形ABC的面积，
∴，
∴；
（3）解：∵，轴，
∴设，
∵三角形的面积是三角形面积的，
∴三角形的面积，
∴，
∴，
∴或．
【解析】【分析】（1）根据绝对值及二次根式的非负性可求出a、b的值；
（2）由（1）可知，可得，由三角形ABC的面积，求出， 即得点C的坐标；
（3） 由轴， 可设 ， 根据三角形的面积是三角形面积的，建立方程，从而求出y值，即得结论.
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