导数过关检测12题小练（含解析）

导数过关检测
一、单选题
1．函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
2.已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.若1为函数的极大值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数的两个极值点分别为和2，则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
6.已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上是减函数
C．在区间内有2个极值点 D．曲线在点处的切线的斜率大于0
8.已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（ ）
A． B． C． D．0
三、填空题
9.已知函数在处取得极值，则的值为 .
10.已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为 .
四、解答题
11.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值.
12.已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围.
.
导数过关检测答案
1.【详解】因为，因为函数，在上单调递增，
所以题中问题等价于即解得，故选：D.
2.【详解】因为函数，所以，
令，由题意得在上2个解，，
故，解得：，经检验适合题意；故选：C.
3.【详解】函数在内无极值，所以在内无变号零点，
根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增，所以或即可，解得或，故选：C.
4.【详解】由函数，可得，令，可得或，因为是函数的一个极大值点，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.故选：C.
5.【详解】由，可知，函数的两个极值点分别为和，和2是的零点，故和2是的两个实数根，
，，．.故选：B．
6.【详解】因为，，使得，所以，
由，得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为在上递增，所以，所以，解得，
即实数的取值范围是.故选：B
7.【详解】由图象知，当或时，，当或时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
对于A，，A错误；对于B，函数在上单调递减，B正确；
对于C，函数在处取得极小值，在处取得极大值，在内有3个极值点，C错误；对于D，当时，，因此曲线在点处切线的斜率，D正确.故选：BD
8.【详解】，，当时，，故在上单调递减；当或时，，故在上单调递增，函数在处取得极小值，在处取得极大值．令，解得或，
函数在上存在最小值，且为开区间，，解得．故选：AD.
9.【详解】由题，因为在处取得极值，所以，所以，
此时，为增函数，令，所以当时，；当时，，所以函数在处取得极值，故.
10.【详解】结合解析式可知当时，；当时，.
因为，所以.令，得，则，故.
令，则，令得；令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
当时，，因为，所以.所以的取值范围为.
11.【详解】（1）根据题意有，故切线的斜率.
又，故切点坐标为.所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）知，当时，；
当时，；当时，.
所以的单调递增区间是；单调递减区间是.
当时，取得极大值；当时，取得极小值.
12.【详解】（1）当时，，定义域为，则，
令，则，令，解得，，解得.
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，函数取得最大值，∴，
∴，∴函数在上单调递减.
（2）易知在上单调递增∴任意，都有，
∵任意，，都有恒成立∴在上恒成立，
当时，不等式可化为，恒成立，当时，，
令，，则，
∵当时，，即，∴当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，∴当时，函数取得最小值，∴，综上，实数的取值范围是.
拓展题：若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.①求的取值范围；②证明：.
【详解】（1）函数是上的“双中值函数”．理由如下：
因为，所以.因为，，所以
令，得，即，解得.
因为，所以是上的“双中值函数”.
（2）①因为，所以.
因为是上的“双中值函数”，所以.
由题意可得.
设，则.
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数.
故.
因为，所以，所以，即的取值范围为；
②证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证．
设，
则．
设，则，
所以在上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
由①可知在上单调递增，所以，即得证．