8.6.1 直线与直线垂直 教学设计（表格式）

教学设计
题目 8.6.1 直线与直线垂直 第1课时
一、内容和内容解析 内容 异面直线所成角，直线与直线垂直
内容解析 （1）内容的本质 本节课主要研究异面直线所成角，直线与直线垂直. 垂直关系是相交关系中的特殊情况. 在平面几何中研究两条相交直线时，是利用它们相交形成的角的大小来刻画的，当这个角是900时得到了两条相交直线的特殊位置关系——垂直. 研究直线与直线垂直关系，依然是先要定义一个角刻画直线与直线的相交，于是就有了异面直线所成的角. 内容蕴含的思想与方法 本节内容依然遵循研究空间位置关系的一般思路:直观感知——操作确认——归纳猜想——推理论证——实践应用.这是培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养的载体,同时也是让学生感受数学与生活的密切关系. （3）知识的上下位关系 空间的线线垂直关系上位概念是线线平行、线面平行、面面平行，下位概念是线面垂直、面面垂直.本节进一步研究了空间直线与直线的特殊位置关系——垂直，由于垂直较复杂，为了学生便于接受与学习，引导学生回忆关于研究空间直线、平面平行的研究过程进行学习. （4）内容育人价值 经过观察、归纳、猜想与论证，这个过程学生学会用数学的眼光观察世界；借助直观想象发现问题，并用准确的数学语言表达异面直线所成角的定义，并应用它解决问题，在这个过程中学生学会用数学的语言表达世界，再把所成角特殊化就可以得到直线与直线垂直的定义，形成一般的研究方法，体会由一般到特殊的研究过程.
二、学情分析 经过初高中的几何知识学习，已熟悉平面上两条直线所成角的意义、平面上两条直线垂直的定义，以及空间两直线相交、平行、异面的位置关系，并掌握了空间线线、线面、面面之间平行关系的判定和性质，有了较强的空间感和推理证明能力，在此基础上，学习直线和直线垂直的定义和证明，是比较轻松的，掌握异面直线的所成角这一个图形定义（从平面两条直线所成角定义出发到空间异面直线的所成角定义，再利用异面直线的所成角定义从空间回到平面），尤其是通过平移作出异面直线所成角是本节课的难点.
三、目标和目标解析 目标 1.能通过具体实例，类比两条相交直线夹角的意义，抽象出两条异面直线所成角的定义； 2.能利用定义求简单的异面直线所成的角； 3.能根据异面直线所成角特殊化得到异面直线的垂直关系，能用“三种语言”表达异面直线的垂直.
目标解析 1.通过长方体模型，类比平面内两条相交直线夹角的定义，抽象概括出异面直线所成角的定义，会用所成角的定义将异面直线所成角的问题，转化为同一平面内两条相交直线所成的角，体会两条异面直线所成角定义中蕴含的数学思想,即类比、转化与化归思想和降维思想. 2.会用定义求简单异面直线所成的角，即先通过平移找出所求角，再在三角形中求角，体会空间问题平面化的降维思想. 3.能借助异面直线所成的角定义空间直线与直线垂直，能用“三种语言”表达异面直线的垂直，体会从一般到特殊的研究方法与过程.
教学重点 （1）异面直线所成角的定义. （2）两异面直线垂直的定义与证明.
教学难点 用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角.
四、教学方法分析 教学评一致性教学方法，立体图形中辅助线的作法是突破问题的关键，注重作图能力，表述能力，化归转化能力的培养.
五、教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标
环节一、 复习引入 一、复习回顾,创设情境 （1）空间两条直线的位置关系有哪些？ （2）在平面内，两条直线所成的角是什么？ 教师活动：通过ppt展示问题，找学生回答，教师作引导. 同桌合作，用两笔为直线，先观察两直线不同的位置关系，再回答问题. 通过复习前面所学两条直线位置关系，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.
环节二、 探究新知 二、观察操作，探索新知 任务1. 探索异面直线所成的角 观察：如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 问题1.异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找出这个夹角？ 教师活动：引发学生思维碰撞，类比平面内相交直线成角引出异面直线成角的定义. 异面直线所成角的定义： 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'//a，b'//b，则把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角（或夹角）. 问题2.这个角的大小与O点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改变？ 教师活动：引导学生自己动手，用笔比划一下，然后发现规律. 任务2. 探索异面直线垂直 问题3.前面已经研究了异面直线所成角的定义，你觉得怎么来定义两条直线垂直呢？ 教师活动：引导学生类比平面内的垂直来定义异面垂直. 问题4.异面直线所成角的范围是什么？ 教师活动：让学生自己动手比划，观察得出结论. 先独立观察思考.回顾相交直线所成角怎么刻画；然后想到转化为相交直线所成角. 取两个点O作比较，发现O点位置不同这一角的大小不改变. 思考后作答，概括异面直线垂直的定义与异面直线所成角的范围. 通过观察与思考，引入异面直线所成角的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力. 通过思考，进一步理解异面直线所成的角，提高学生分析问题、概括能力. 检测目标1. 用两条异面直线所成角定义异面直线垂直，进而得到空间两条直线垂直，体会从特殊到一般的研究过程. 检测目标2.
环节三、 知识应用 三、典例分析，知识应用 任务3. 完成例题，规范解答. 例1 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'. （1）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？ （2）求直线BA'与CC'所成的角大小. （3）求直线BA'与AC所成的角大小. 教师活动：1.利用正方体模型演示,展示一名学生的(1)的结果. 2.板书(2)过程； 3.展示一名学生(3)的结果. 4.巡查辅导，发现学生存在问题和优秀的书写与解题，展示错解与优秀的解题. 问题5.概括求异面直线所成角的步骤，寻找作（找）异面直线所成角的简便方法. 并板书至黑板. 步骤：一作（找）、二证、三求. 例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D的中心.求证：AO1⊥BD. 教师活动：巡查辅导，发现学生存在问题和优秀的书写与解题，展示错解与优秀的解题. 思考：根据例1、2，为了简便，求作两条异面直线a，b所成的角，点O通常取在哪里？ 先独立审题观察思考讨论 (1)(2)，然后独立完成(3), 最后小组活动,说明解题思路. 先独立完成，演示证明过程, 总结证明异面直线垂直的一般方法. 通过例1讲解,让学生理解怎样求两异面直线所成的角,初步掌握依据定义、定理对空间图形进行论证、计算的方法. 通过例2讲解,让学生理解怎样证两异面直线垂直,同样转化为同一个平面内的相交直线来证明，体现了解决立体几何问题的重要思想——转化思想. 检测目标3.
课堂小结 问题6. 本节课我们学习了哪些知识？这些内容的学习过程中体现了哪些思想方法？ 1.异面直线所成角定义； 2.两异面直线垂直的证法与步骤； 3.异面直线所成角的求法. 教师活动：找学生自己总结，不完整的地方同学间互相补充. 学生概括表述. 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力.
目标检测与作业设计 当堂检测： 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. （1）如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直.（ ） （2）垂直于同一条直线的两条直线平行.（ ） 2.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中， （1）与直线AB垂直的直线有_____条； （2）与直线AB异面且垂直的直线有_____条； （3）与直线AB和A'D'都垂直的直线有_____条； （4）与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是直线_______________. 3.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2，AA'=2，求： （1）直线BC和A'C'所成的角的大小； （2）直线AA'和BC'所成的角的大小. 4.如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D为棱AC的中点，AB=BB'=2， 求证BDAC'. 课后练习： 1.如图所示，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，与AD1异面，且与AD1所成角为90°的面对角线共有_____条. 意图：考查异面直线的判断及垂直关系. 2.如图所示，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E，F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是_______. 意图：考查异面直线所成角的求解. 3.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC=90°，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为_____. 意图：考查异面直线所成角的求解. 4.如图所示，在正方体ABCD- A1B1C1D1中,M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小为_____. 意图：考查异面直线所成角的求解. 通过练习及作业，巩固本节所学知识，通过学生解决问题，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
板书设计 课题:8.6.1直线与直线垂直 1.异面直线所成角 (文字语言) (图形语言) 例题 证明:(略)