3.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 3.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 384.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-11 18:49:39 | ||
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文档简介
教学内容 双曲线及其标准方程
教材分析 《双曲线及其标准方程》选自人教A版高中数学选择性必修一第三章第二节。是继椭圆之后的又一类圆锥曲线，在社会生产、日常生活、科学技术上也有着广泛的应用。本节课主要学习双曲线的定义及标准方程，进一步加深研究圆锥曲线的一般方法和思路，进一步加强学生的数学抽象和运算的能力。
学情分析 在学习本节内容之前，学生已经学习了椭圆及其标准方程，根据椭圆的对称性，如何适当的建立平面直角坐标系，依据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上点的坐标所满足的方程，通过对无理方程式的化简，具备了一定的运算化简能力。
学习目标 由图形发现定量关系，类比椭圆的定义，尝试总结双曲线的定义；能通过建立适当的坐标系，依据双曲线上的点满足的几何条件列出双曲线上点的坐标所满足的方程，化简方程，得到双曲线的标准方程，发展数学运算素养；通过定义及标准方程的探究，使学生进一步体验类比思想与数形结合思想方法的应用。
教学重点难点 教学重点 理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。
教学难点 双曲线标准方程的推导。
教学过程
教学环节 问题设置 设计意图 学生活动 教师活动
一、复习引入创设情境提出问题 1、椭圆的定义？椭圆上的点满足什么几何条件？ 复习回顾椭圆，为后续双曲线的学习做铺垫。 复习回顾椭圆定义，列出椭圆上的点满足的几何条件。
2、如图所示，圆A的半径为定长r，B是圆内一个定点，C是圆A上的任意一点。线段BC的垂直平分线l与直线AC相交于点E，当点C在圆A上运动时，点E的轨迹是什么？为什么？ 椭圆做铺垫，找出双曲线上的点满足的几何条件。 分析题干，找到动点E满足的几何条件。即动点E到两定点A、B的距离之和为常数r，且所以，动点E的轨迹是椭圆。 创设问题，引导学生积极思考。学生判断出轨迹后，利用网络画板演示，跟踪点E得点E的轨迹。
3、如果其他条件不变，我们只将条件“圆内定点B”改为“圆外定点B”，那么点E的轨迹是什么呢？(1) (2) 给出问题，发现几何条件，引出双曲线定义。 分析题干，找到动点E满足的几何条件。(1)即动点E到定点B与到定点A的距离之差为常数r，且.(2)即动点E到定点A与到定点B的距离之差为常数r，且. 用网络画板动画演示，启发引导学生思考，调动学生积极性.问题(1)中，结合学生列出动点的几何关系，演示动点E的轨迹.问题(2)中，结合学生列出动点的几何关系，演示动点E的轨迹.
4、结合问题3，尝试给出这两条曲线上的点满足的一致关系. 由曲线上的点满足的几何条件，引出双曲线定义. 观察发现，(1)(2)同时满足，且.
二、新知探究 1、双曲线的定义： 一般地，把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
问题1：类比椭圆，双曲线定义中有那些关键字词？ 用类比的方法发现定义中的关键. 找到关键字词：绝对值，常数小于.
问题2：若去掉这些关键字词，曲线会发生什么变化？①去掉绝对值②常数大于.③常数等于.④常数等于0 加深对双曲线定义的理解. ①去掉绝对值，只能表示双曲线中的其中一支曲线；②不表示任何图形；③表示两条射线；④表示线段的中垂线. ①结合前面的动画演示.②③④在平面内可以取点，看符合相应条件的点在平面内的什么位置？
2、标准方程的推导：回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法，能否类比椭圆试着推导双曲线的标准方程. 通过类比椭圆的研究过程与方法，研究双曲线方程.
问题1：如何建立适当的平面直角坐标系？ 观察发现双曲线具有对称性，建立以点所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴的平面直角坐标系xoy. 椭圆是对称图形，椭圆是如何建系的？引导学生依据(对称性、特殊点等)建立适当的平面直角坐标系.
问题2：如何写出曲线上的点M所满足条件的集合？ 双曲线上点满足条件的集合 求曲线的方程，实质上是要找到曲线上的点所满足的条件.
问题3：根据点M的坐标满足的条件写出并化简方程. 类比椭圆标准方程的化简过程，化简得到双曲线标准方程. 化简过程中，可以看到双曲线上的任意一点的坐标都是所得方程的解，反之，以方程的解为坐标的点都在双曲线上。所以，所得方程是双曲线的方程. 注意三者的关系，其中c最大，要区分于椭圆中的关系.
问题4：焦点在y轴上的双曲线的标准方程？ 类比焦点在x轴上的双曲线的标准方程，写出焦点在y轴上的双曲线的标准方程
问题5：对比焦点在x轴和焦点在y轴上的双曲线的标准方程，如何根据双曲线标准方程判断双曲线的焦点位置？ 若系数是正数，则双曲线的焦点在x轴上，且对应的分母是；若系数是正数，则双曲线的焦点在x轴上，且对应的分母是. 双曲线焦点位置的判断不像椭圆可以通过比较分母的大小确定焦点在哪条坐标轴上.
三、例题分析 例1 设双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点P与的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 利用定义求双曲线的标准方程. 借助双曲线定义，确定的值，利用三者的关系求出b的值，从而写出双曲线的标准方程.
例2 已知A、B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 双曲线定义的应用. 分析：由题意可知，爆炸点在以A、B为焦点的双曲线上，因为A地听到比B地晚两秒，所以爆炸点在以A(左焦点)、B(右焦点)的双曲线的右支上.由定义确定的值，从而写出轨迹方程. 强调，写轨迹方程时，注意标注范围以表示双曲线的右支.
四、随堂练习 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在x轴上，；(2)焦点在x轴上，经过点；(3)焦点为，且经过点.
2.已知点的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？并写出轨迹方程.(1) (2)
四、小结 双曲线的定义（与椭圆的区别）标准方程的推导（推导焦点在x轴上的，焦点在y轴上的方程可类比焦点在x上的方程.）焦点位置的判断及的关系. 列出椭圆及双曲线的定义和方程的表格，对比记忆.
第2页，共2页
第1页，共1页
教材分析 《双曲线及其标准方程》选自人教A版高中数学选择性必修一第三章第二节。是继椭圆之后的又一类圆锥曲线，在社会生产、日常生活、科学技术上也有着广泛的应用。本节课主要学习双曲线的定义及标准方程，进一步加深研究圆锥曲线的一般方法和思路，进一步加强学生的数学抽象和运算的能力。
学情分析 在学习本节内容之前，学生已经学习了椭圆及其标准方程，根据椭圆的对称性，如何适当的建立平面直角坐标系，依据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上点的坐标所满足的方程，通过对无理方程式的化简，具备了一定的运算化简能力。
学习目标 由图形发现定量关系，类比椭圆的定义，尝试总结双曲线的定义；能通过建立适当的坐标系，依据双曲线上的点满足的几何条件列出双曲线上点的坐标所满足的方程，化简方程，得到双曲线的标准方程，发展数学运算素养；通过定义及标准方程的探究，使学生进一步体验类比思想与数形结合思想方法的应用。
教学重点难点 教学重点 理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。
教学难点 双曲线标准方程的推导。
教学过程
教学环节 问题设置 设计意图 学生活动 教师活动
一、复习引入创设情境提出问题 1、椭圆的定义？椭圆上的点满足什么几何条件？ 复习回顾椭圆，为后续双曲线的学习做铺垫。 复习回顾椭圆定义，列出椭圆上的点满足的几何条件。
2、如图所示，圆A的半径为定长r，B是圆内一个定点，C是圆A上的任意一点。线段BC的垂直平分线l与直线AC相交于点E，当点C在圆A上运动时，点E的轨迹是什么？为什么？ 椭圆做铺垫，找出双曲线上的点满足的几何条件。 分析题干，找到动点E满足的几何条件。即动点E到两定点A、B的距离之和为常数r，且所以，动点E的轨迹是椭圆。 创设问题，引导学生积极思考。学生判断出轨迹后，利用网络画板演示，跟踪点E得点E的轨迹。
3、如果其他条件不变，我们只将条件“圆内定点B”改为“圆外定点B”，那么点E的轨迹是什么呢？(1) (2) 给出问题，发现几何条件，引出双曲线定义。 分析题干，找到动点E满足的几何条件。(1)即动点E到定点B与到定点A的距离之差为常数r，且.(2)即动点E到定点A与到定点B的距离之差为常数r，且. 用网络画板动画演示，启发引导学生思考，调动学生积极性.问题(1)中，结合学生列出动点的几何关系，演示动点E的轨迹.问题(2)中，结合学生列出动点的几何关系，演示动点E的轨迹.
4、结合问题3，尝试给出这两条曲线上的点满足的一致关系. 由曲线上的点满足的几何条件，引出双曲线定义. 观察发现，(1)(2)同时满足，且.
二、新知探究 1、双曲线的定义： 一般地，把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
问题1：类比椭圆，双曲线定义中有那些关键字词？ 用类比的方法发现定义中的关键. 找到关键字词：绝对值，常数小于.
问题2：若去掉这些关键字词，曲线会发生什么变化？①去掉绝对值②常数大于.③常数等于.④常数等于0 加深对双曲线定义的理解. ①去掉绝对值，只能表示双曲线中的其中一支曲线；②不表示任何图形；③表示两条射线；④表示线段的中垂线. ①结合前面的动画演示.②③④在平面内可以取点，看符合相应条件的点在平面内的什么位置？
2、标准方程的推导：回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法，能否类比椭圆试着推导双曲线的标准方程. 通过类比椭圆的研究过程与方法，研究双曲线方程.
问题1：如何建立适当的平面直角坐标系？ 观察发现双曲线具有对称性，建立以点所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴的平面直角坐标系xoy. 椭圆是对称图形，椭圆是如何建系的？引导学生依据(对称性、特殊点等)建立适当的平面直角坐标系.
问题2：如何写出曲线上的点M所满足条件的集合？ 双曲线上点满足条件的集合 求曲线的方程，实质上是要找到曲线上的点所满足的条件.
问题3：根据点M的坐标满足的条件写出并化简方程. 类比椭圆标准方程的化简过程，化简得到双曲线标准方程. 化简过程中，可以看到双曲线上的任意一点的坐标都是所得方程的解，反之，以方程的解为坐标的点都在双曲线上。所以，所得方程是双曲线的方程. 注意三者的关系，其中c最大，要区分于椭圆中的关系.
问题4：焦点在y轴上的双曲线的标准方程？ 类比焦点在x轴上的双曲线的标准方程，写出焦点在y轴上的双曲线的标准方程
问题5：对比焦点在x轴和焦点在y轴上的双曲线的标准方程，如何根据双曲线标准方程判断双曲线的焦点位置？ 若系数是正数，则双曲线的焦点在x轴上，且对应的分母是；若系数是正数，则双曲线的焦点在x轴上，且对应的分母是. 双曲线焦点位置的判断不像椭圆可以通过比较分母的大小确定焦点在哪条坐标轴上.
三、例题分析 例1 设双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点P与的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 利用定义求双曲线的标准方程. 借助双曲线定义，确定的值，利用三者的关系求出b的值，从而写出双曲线的标准方程.
例2 已知A、B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 双曲线定义的应用. 分析：由题意可知，爆炸点在以A、B为焦点的双曲线上，因为A地听到比B地晚两秒，所以爆炸点在以A(左焦点)、B(右焦点)的双曲线的右支上.由定义确定的值，从而写出轨迹方程. 强调，写轨迹方程时，注意标注范围以表示双曲线的右支.
四、随堂练习 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在x轴上，；(2)焦点在x轴上，经过点；(3)焦点为，且经过点.
2.已知点的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？并写出轨迹方程.(1) (2)
四、小结 双曲线的定义（与椭圆的区别）标准方程的推导（推导焦点在x轴上的，焦点在y轴上的方程可类比焦点在x上的方程.）焦点位置的判断及的关系. 列出椭圆及双曲线的定义和方程的表格，对比记忆.
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