2.2 基本不等式 教学设计（表格式）

教学设计
课题 基本不等式
课型 新授课
教学内容分析
本节课是高中数学人教A版必修第一册第二章2.2节。 从全章看，相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程不等式的基础。本节课是在学习了不等式基本性质基础上研究的一种重要且基本的不等式类型。它在解决其它不等式问题中具有重要作用。 这种“基本”主要体现在以下三个方面： （1）它与很多重要的数学概念和性质相关，从数与运算的角度，它体现了两个正数的算数平均数与几何平均数之间的不等关系，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算。从几何图形的角度，“半径不小于半弦”都是基本不等式的直观理解。 （2）基本不等式的证明方法或推导方法很多，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究基本不等式的几何解释；从数学实验的角度，通过实验，利用几何图形来证明基本不等式。 （3）基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。 教材例1和例2是基本不等式在数学中的应用，例2的题干给出的基本不等式的数学模型，揭示了基本不等式可以解决的两类最值问题，为利用基本不等式解决实际问题（例3，4）埋下伏笔。 因此，基本不等式的学习可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模等学科素养。 本节课的结构图如下:
学习者分析
1.知识储备：初中已经认识不等式，上节课学习了不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较；会用作差比较法证明不等式并且在初中多次经历了建立方程（组）模型解决实际问题的过程。 2.能力储备：平时的课堂教学中，已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力;学生思维活跃，有充沛的精力和较强的求知欲。 3.不足之处：首先代数思维尚未建立起来，缺乏运用结构化的眼光看待研究对象的意识，还未掌握高中的学习方式方法;对于不等式的理解存在畏难情绪，不愿意主动去探索，对于正确地运用不等式的性质对不等式进行恰当的等价变形会感到困难；其次，基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解。最后，在利用基本不等式解决两类最值问题时需要理解和识别问题中的数量关系，这与学生熟悉的建立方程模型刻画问题中的等量关系不尽相同。同时，学生在利用基本不等式研究最值问题时，容易出现忽视使用条件等问题。
学习目标确定
1．经历从初中的完全平方公式与赵爽弦图的代数、几何两条思路抽象出重要不等式a2+b2≥2ab过程，通过代数变换，推出基本不等式 ，并进一步解释基本不等式结构； 2．利用不等式的性质，探索这两个不等式的代数证明思路及它们的内在联系，提升逻辑推理素养； 3．了解基本不等式的几何解释，从数形结合的角度对基本不等式进行再认识，体会数与形的和谐统一，感受数学美，促进直观想象素养的发展； 4．会用基本不等式解决简单的最值问题，初步了解不等式的应用价值，发展数学运算、数学建模素养。
学习重点难点
学习重点：从不同角度探索基本不等式的发现与证明，会用基本不等式解决简单的最值问题。 学习难点:以数学模型的观点理解基本不等式，解决简单的最值问题。
学习评价设计
在课堂上，教师对学生的学习结果随时给出评价反馈，课后在与学生交流时对他们知识运用情况做出评价，给出建议。上课结束时，教师对本节课的内容和目标完成情况加以总结。在批改作业中针对学习存在的问题直接给出评价意见。 本节课从以下几个方面进行评价： (1)学习参与情况：积极参与教学活动，举手回答问题，明确任务并能完成自 己的任务。 (2)知识应用：应用本节课知识和方法，选择课外教辅资料同时懂得使用多媒 体帮助解决实际问题。 (3)思维与计算：回答问题思路清晰、完整，创造性思维的课堂表现，计算准 确无误、书写认真规范。
学习活动设计
活动一：导入新课，探究重要不等式 此图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 (
B
C
E(FGH)
a
b
) (
A
D
B
C
E
F
G
H
b
a
) 问题1：设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？?[你能否在“弦图”中根据边长或面积找出一些相等关系或不等关系吗 问题2：对于两直角边，有此式中何时等号成立？
教师活动1 问题1：教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，展示运动变化的弦图帮助学生理解三角形面积与正方形面积相等的情况。 问题2：教师利用投影仪展示学生的完整证明过程。强调和两种情况，说明“当且仅当”的含义。 学生活动1 问题1：学生观察并归纳： 生1：，得； 生2：，得。 得到重要不等式： a +b ≥2ab, 问题2：学生说明：当时, ；当，。
问题1：活动意图 介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育。初中完成利用弦图证明勾股定理的过程，一方面展现了赵爽证明的构图巧妙、精致，是数与形的完美统一，让学生对弦图的认识清晰、完整；另一方面为提出弦图中面积间的不等关系做铺垫，体会相对关系与不等关系的辩证统一。同时，通过运动变化的弦图将直观的面积关系转化为隐含的不等关系。 问题2：活动意图 请学生讨论等号成立的条件，了解“当且仅当”的含义。
活动二：证明重要不等式 问题3：上式对正实数是成立的，那么对任意实数，上式都成立吗？请证明自己的结论。
教师活动2 教师归纳由图形中面积间的不等关系，我们发现了两实数间的这一事实：对任意实数，有，当且仅当时，等号成立，并板书。 学生活动2 学生自主探究完成证明，学生比较自然的想到用“作差法”证明。
活动意图 给学生提供思维发展的空间，让学生从对知识的直观感知上升到理性证明，既体现了数学知识发生发展的过程及其严谨性，又巩固了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫。
活动三 ：通过数学实验迁移应用重要不等式引出基本不等式 实际上，在不同的图形中上述不等式有不同的体现，我们再看这样一个数学实验. 如图，取正方形纸片对角线上任意一点，分别作正方形两邻边的垂线，切分出两个正方形和两个矩形， 问题1：设切分出的两正方形边长分别为，切分出的两正方形面积和与两矩形面积和的大小关系？ 问题2：若设切分出的两正方形的面积分别为, 根据上述不等关系，又可以得到怎样的不等式呢？ 问题3：回顾不等式（①）的生成过程中，你发现它与不等式（②）有怎样的联系呢？
教师活动3 教师利用多媒体课件展示出数学实验要求，利用问题的分解逐步带领学生从实验的图形分析出重要不等式，再用引申问题引出基本不等式。 教师归纳：由图形中面积间的不等关系，我们又可以得到不等式 ，当且仅当时，等号成立。 教师说明;通常我们把上式写作，称为基本不等式，本节课我们就来研究基本不等式。（引入课题并板书） 学生活动3 问题1学生动手操作实验并自主探究完成思考，并说明： 生1：，，由不等式 ，当且仅当时，等号成立。 问题2学生说明： 若两正方形的面积分别为，则其边长分别为，得： 当且仅当时，等号成立。 问题3学生说明： 因为，在②式中用代替，代替即得①式。
问题1活动意图 从学生比较熟悉的图形背景中再一次认识不等式，既可以根据已知的不等式探究图形中面积间的不等关系，又可以在图形中体现不等式。 问题2活动意图 自然地由不等式过渡到，为基本不等式的产生构造几何背景，并在图形中揭示不等式与不等式的内在联系。 问题3活动意图 激发学生的思维，使其从多角度发现不等式与不等式的内在联系，认识到它们是对同一个事实的两种不同描述，其本质是一致的，同时也能促进学生形成对学习进行反思的意识与习惯。
活动四 ：基本不等式的代数意义及其证明 通常我们把上式写作，称为基本不等式。 我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数。 基本不等式还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 问题4：你能否证明基本不等式？
教师活动4 教师可引导学生纠错，进而加入关键词“要证…,只要证…”即可,对分析法不做过多说明。 学生活动4 学生展示不同的证明方法，并叙述证明g过程.生3的做法是普遍错误， 生1：（比较法） 当且仅当时，等号成立； 生2：（综合法） 当且仅当时，等号成立; 生3：（分析法）
活动意图说明 对于不等式的证明，学生已具备了“分析法”的基本思想，教材上以填空的形式证明了基本不等式，但“分析法”证明的格式以及为什么要这样证明，是学生思维的盲点，一是学生不会发现其中隐含的道理，二是学生照此模仿往往会出错.因此此处的证明由学生独立完成，相互交流，并展示不同的证明方法，这样既能使不同认知基本的学生暴露出不同的问题，并加以解决，又能教会学生欣赏同伴身上的闪光点，发扬合作精神。
活动五：动态几何模型中证明基本不等式 实际上，在许多图形中都蕴含着基本不等式。 如图，取线段，其中，以为直径做圆O，过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. (
A
E
D
B
)【思考1】： ①如何用a, b表示OD OD=______ ②如何用a, b表示CD CD=_____ ③OD与CD的大小关系怎样 OD_____CD 【思考2】：移动点C在线段AB上的位置（几何画板），你有什么结论呢？
教师活动5 教师利用多媒体展示动态图形以及探究内容，并引导学生逐层递进的解决问题。 学生活动5 学生合作探究完成，并展示说明： 生1：直角三角形中，斜边大于直角边； 生2：在直角三角形中，斜边上的中线不小于斜边的高； 生3：在圆中，半径不小于半弦。
活动意图说明 通过对图形的探究多角度说明基本不等式的几何意义，由于学生对问题的分解能力不足，不知如何入手探究，并且表示的线段及其几何意义学生不易发现。为了帮助学生，我将探究分解为两个小问题，从运动变化的角度帮助学生观察、归纳。一方面，帮助学生建立数学结合的基本思想；另一方面，培养学生从运动变化的角度思考问题、解决问题的能力，多角度认识基本不等式的几何解释。
活动六 迁移与应用基本不等式 例1：已知x＞0，求的最小值 【思考1】本题中求最值的代数式有何特点？ 【思考2】这里的“取等号”条件必须说明吗？ 【思考3】满足什么条件的代数式，才能利用基本不等式求最值？ 例2.已知都是正数，求证： （1）如果积等于定值,那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值, 那么当时，积有最大值。 【思考4】通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？
教师活动6 教师通过问题 分析题干引导学生根据所求代数式的结构特征，判断是否能用基本不等式求最值，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范，让学生板演或展示成果，适时点评。 教师明确例2得到的结论十分有用，会在实际问题中用到，要牢记条件和对应结论。 基本不等式 （1）使用条件：一正二定三相等； （2）作用：和定积大，积定和小。 学生活动6 思考、分析，尝试以语言等方式展示成果。 用自然语言把两个问题连在一起说，能用自己的话表达也是对结论的进一步理解，并书写证明过程后展示，师生共同补充完善。
活动七 课堂小结 （1）本节课我们学习的主要内容是什么 （2）在应用基本不等式时，需要注意哪几点？ （3）在本节课的学习中，运用了哪些数学思想方法？
教师活动7 教师点评即可.教师可适当总结本节课所应用的数学思想与方法。 学生活动7 请学生发言，并相互补充。
活动意图说明 通过对所学内容进行小结，从数与形两个方面提炼研究基本不等式的过程，使学生对本节内容有一个更全面的认识。
板书设计
作业与拓展学习设计
一、作业布置： 课本46页练习第1,2、3题 二、拓展学习： 已知矩形长和宽分别为a,b，求作一个正方形： （1）使其与已知矩形面积相等，则该正方形的边长是多少？ （2）使其与已知矩形周长相等，则该正方形的边长是多少？ （3）使其与已知矩形对角线长相等，则该正方形的边长是多少？ 【思考】计算并思考这三个问题中的正方形边长之间有怎样的大小关系呢？ 三、课后作业：请同学们课后在网上查找基本不等式的其它几何解释，整理并相互交流。
教学反思与改进
不等式对于高中学生来讲并不陌生，但基本不等式作为一个新的知识点，形式抽象，应用灵活，并且出现在必修一的预备知识中，这对刚刚进入高中的高一学生来讲，是有很大挑战的。教材上是由重要不等式换元的方式，得出基本不等式，并且用分析法给予证明，但这一切的过程，对学生来讲都比较“突然”。故在这个探究环节中设置了数学小实验，自然地由不等式过渡，为基本不等式的产生构造几何背景，并在图形中揭示不等式与不等式的内在联系。 在弦图引入问题中和基本不等式的几何意义的环节中，此处设计了对于“连续变化”的特殊值的直观动图演示，探究其大小关系，引起学生对“特殊和一般”的认知冲突，让学生从一般证明方法去研究，能更好的接受此不等式的验证过程。 另外，在基本不等式的求最值问题中的“最值”，对于高一刚起步的学生来讲，这一概念还很模糊，对于基本不等式的使用条件也是要学生自己发现才有意义，故对例题设计了“问题串”，学生在问题中去寻找线索，在环环相扣的问题中，去逐步完善自己的知识结构，思维得到拓展，能力得到进一步提高。 最后，在小结部分的思考“通过本节课的学习，谈谈你有哪些收获？”让学生翻看自己的回忆，自行总结自己所得，学生的主体地位突显。对“课前引例中加入（3）的继续探索”以及“两种平均数”的课后延伸阅读，既能前后呼应，又能拓展所学，让学生体验逻辑思维的逐步延展，看到自己的潜能，从而激发学生的学习兴趣，促进学生的自主发展，准备提升自己的能力。 当然，本节课在授课之后，我也认真地反思了自己的不足，在证明重要不等式时，如果能用学生板书或者投影的方式展示，可能要比学生写读作答的方式效果更好，但时间有限，这里也是一个遗憾。在今后的教学中，我会更重视教材的挖掘，更重视“基本活动经验”的积累与引导其激活，无论是在公开课还是在日常教学过程中，都应该把时间和自主探究的权利交还给学生，让学生获得自主发现的体验，感受“大胆猜想，小心求证”科学探索的精神，为学生进一步落实数学学科核心素养，我会始终保持一腔热忱，努力探索。