第6章 平行四边形
类型一 平行四边形的性质和判定
1．[2024·烟台期末]如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，则∠ABE的度数为( )
第1题图
A．80° B．70° C．60° D．50°
2．[2024·青岛期末]如图所示，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q，若DC＝3QC，BC＝4，则平行四边形ABCD周长为( )
第2题图
A．10 B．18 C．16 D．20
3．(多选)关于平行四边形的判断，以下四个结论中正确的是( )
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
4．[2024·淄博一模]在平行四边形ABCD中，分别以AD，BC为边向平行四边形ABCD内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
第4题图
类型二 矩形的性质和判定
5．若矩形的一个内角的平分线分对边成1和3两条线段，则该矩形的面积是 ．
6．[2023·雁塔区模拟]如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点EF分别在边AD，BC上，AE＝CF＝2，点M为直线BE，DF之间一点，连接MB，MD，ME，MF，则△MBE与△MDF面积之和是 ．
第6题图
7．[2024·长沙期中]如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若E为BO的中点，则AE的长为 ．
第7题图
8．[2024·威海期中]如图，矩形ABCD的周长为26，点E，F分别在边BC，DC上，AE＝EF，AE⊥EF，BE＝3，则△DEF的面积为 .
第8题图
9．[2024·定西期末]如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD与∠CDA的平分线，AF与BH交于点E，CH与DF交于点G，连接EG，FH，求证：EG＝FH.
第9题图
类型三 直角三角形的性质
10．[2024·温州期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE均为△ABC的高，连接DE交AB于点O.若∠C＝25°，则∠OEB的度数为( )
第10题图
A．65° B．60° C．55° D．50°
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D是AB的中点，则△DEF的周长是 ．
第11题图
类型四 菱形的性质和判定
12．[2023·烟台一模]如图，已知点F是菱形ABCD的边DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠GFA，若∠DBC＝36°，则∠BCE＝ ．
第12题图
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，F，连接AF，CE.
(1)若OE＝3，求EF的长；
(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由．
第13题图
类型五 正方形的性质和判定
14．(多选)[2023·江都区期末]小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从条件①AB＝AD ②AC＝BD ③AC⊥BD ④AC平分∠DAB中，选择一个填入( )处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是( )
第14题图
A．① B．② C．③ D．④
15．[2024·潍坊期末]如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF.若DE∶EC＝1∶3，则S△AGD∶S△EGF＝ ．
第15题图
16．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF.
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)当△ABC满足条件AB＝AC时，判定四边形AFBD的形状，并说明理由；
(3)在(2)的条件下当△ABC满足条件 时，四边形AFBD是正方形，并说明理由．
第16题图
17．[2024·厦门期末]已知，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH＝2.
第17题图
(1)如图1，当DG＝2，且点F在边BC上时，求证：
①△AHE≌△DGH；
②菱形EFGH是正方形；
(2)如图2，当点F在正方形ABCD的外部时，连接CF.探究：点F到直线CD的距离是否发生变化？并说明理由．
类型六 三角形的中位线
18．[2024·海淀期中]如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形 ②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形 ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分 ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是( )
第18题图
A．1 B．2 C．3 D．4
19．[2024·泰安期末]如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP，PB为边，在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是( )
第19题图
A．4 B．4.5 C．5 D．6
易错点 忽略分类讨论致错
20．(多选)[2024·潍坊期末]如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.下列结论正确的有( )
第20题图
A．DE＝EF B．CE＝CF
C．AC⊥CG D．BC＝CG
21．[2024·烟台期末]在平面直角坐标系中A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，要使四边形A，B，C，D为平行四边形，则顶点C的坐标是 ．第6章 平行四边形
类型一 平行四边形的性质和判定
1．[2024·烟台期末]如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，则∠ABE的度数为( B )
第1题图
A．80° B．70° C．60° D．50°
2．[2024·青岛期末]如图所示，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q，若DC＝3QC，BC＝4，则平行四边形ABCD周长为( D )
第2题图
A．10 B．18 C．16 D．20
3．(多选)关于平行四边形的判断，以下四个结论中正确的是( AC )
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
4．[2024·淄博一模]在平行四边形ABCD中，分别以AD，BC为边向平行四边形ABCD内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
第4题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠DAB＝∠DCB，
∵△ADE，△BCF是等边三角形，
∴DE＝AE＝AD，BF＝CF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°，
又∵AD＝BC，∴DE＝BF，CF＝AE，
∵∠BAD＝∠BCD，∠BCF＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD－∠DAE＝∠BCD－∠BCF，
即∠BAE＝∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
∵AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE＝DF，
又∵DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
类型二 矩形的性质和判定
5．若矩形的一个内角的平分线分对边成1和3两条线段，则该矩形的面积是4或12．
6．[2023·雁塔区模拟]如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点EF分别在边AD，BC上，AE＝CF＝2，点M为直线BE，DF之间一点，连接MB，MD，ME，MF，则△MBE与△MDF面积之和是8．
第6题图
7．[2024·长沙期中]如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若E为BO的中点，则AE的长为3．
第7题图
8．[2024·威海期中]如图，矩形ABCD的周长为26，点E，F分别在边BC，DC上，AE＝EF，AE⊥EF，BE＝3，则△DEF的面积为5.
第8题图
9．[2024·定西期末]如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD与∠CDA的平分线，AF与BH交于点E，CH与DF交于点G，连接EG，FH，求证：EG＝FH.
第9题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB＋∠EBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝×180°＝90°.
∴∠AEB＝∠HEF＝90°，
同理∠AFD＝90°，∠DGC＝90°，
∴∠HGF＝∠DGC＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，∴EG＝FH.
类型三 直角三角形的性质
10．[2024·温州期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE均为△ABC的高，连接DE交AB于点O.若∠C＝25°，则∠OEB的度数为( A )
第10题图
A．65° B．60° C．55° D．50°
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D是AB的中点，则△DEF的周长是10．
第11题图
类型四 菱形的性质和判定
12．[2023·烟台一模]如图，已知点F是菱形ABCD的边DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠GFA，若∠DBC＝36°，则∠BCE＝18°．
第12题图
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，F，连接AF，CE.
(1)若OE＝3，求EF的长；
(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由．
第13题图
解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OD＝OB，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
在△DOF与△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴OE＝OF，
∵OE＝3，∴EF＝6；
(2)四边形AECF是菱形．
理由：∵OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
类型五 正方形的性质和判定
14．(多选)[2023·江都区期末]小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从条件①AB＝AD ②AC＝BD ③AC⊥BD ④AC平分∠DAB中，选择一个填入( )处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是( ACD )
第14题图
A．① B．② C．③ D．④
15．[2024·潍坊期末]如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF.若DE∶EC＝1∶3，则S△AGD∶S△EGF＝4∶3．
第15题图
16．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF.
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)当△ABC满足条件AB＝AC时，判定四边形AFBD的形状，并说明理由；
(3)在(2)的条件下当△ABC满足条件 时，四边形AFBD是正方形，并说明理由．
第16题图
解：(1)证明：∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
∴△AFE≌△DCE(AAS)；
(2)当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由：
如图所示，连接DF，
∵△AFE≌△DCE，∴AF＝CD，
又∵AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AC＝DF，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
∴BD＝AF，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵AB＝AC，∴AB＝DF，
∴四边形AFBD是矩形；
第16题图
(3)当∠BAC＝90°且AB＝AC时，四边形AFBD是正方形，理由：
同(2)可得四边形AFBD是矩形，
∵AC∥DF，∠BAC＝90°，
∴AB⊥DF，
∴四边形AFBD是正方形．
故答案为：∠BAC＝90°.
17．[2024·厦门期末]已知，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH＝2.
第17题图
(1)如图1，当DG＝2，且点F在边BC上时，求证：
①△AHE≌△DGH；
②菱形EFGH是正方形；
(2)如图2，当点F在正方形ABCD的外部时，连接CF.探究：点F到直线CD的距离是否发生变化？并说明理由．
解：(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵AH＝2，DG＝2，∴AH＝DG，
∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝HG，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH(HL)；
②∵△AHE≌△DGH，
∴∠DHG＝∠AEH，
∵∠AEH＋∠AHE＝180°－∠A＝90°，
∴∠DHG＋∠AHE＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴菱形EFGH为正方形；
(2)点F到直线CD的距离不发生变化．
理由：作FM⊥DC交DC的延长线于M，如图，过点F作FN∥DM，
第17题图
∵在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴FN∥AB，
∴∠FGC＝∠GFN，∠EFN＝∠BEF，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HE＝FG，∠HEF＋∠GFE＝180°，
即∠GFN＋∠EFN＋∠HEF＝180°，
又∵∠BEF＋∠AEH＋∠HEF＝180°，
∴∠FGC＝∠AEH，
在△AEH与△MGF中，
∴△AEH≌△MGF(AAS)，
∴FM＝AH＝2，
即FM＝2，是定值不变．
类型六 三角形的中位线
18．[2024·海淀期中]如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形 ②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形 ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分 ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是( A )
第18题图
A．1 B．2 C．3 D．4
19．[2024·泰安期末]如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP，PB为边，在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是( C )
第19题图
A．4 B．4.5 C．5 D．6
解析：如图，分别延长AC，BD交于点H，
第19题图
∵∠A＝∠DPB＝60°，∴AH∥PD，
∵∠B＝∠CPA＝60°，∴BH∥PC，
∴四边形CPDH为平行四边形，
∴CD与HP互相平分．
∵G为CD的中点，
∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN.
∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5.
易错点 忽略分类讨论致错
20．(多选)[2024·潍坊期末]如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.下列结论正确的有( AC )
第20题图
A．DE＝EF B．CE＝CF
C．AC⊥CG D．BC＝CG
21．[2024·烟台期末]在平面直角坐标系中A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，要使四边形A，B，C，D为平行四边形，则顶点C的坐标是(3，－3)或(－3，3)或(7，3)．
