第7章 实数
类型一 算术平方根、平方根、立方根
1．[2024·德州期中]有下列说法：①9是81的平方根 ②±36的平方根是±6 ③＝±5 ④0.1的立方根是0.001 ⑤52的平方根是5 ⑥64的算术平方根是±8.其中正确的个数是( )
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
2．若＋＝0，则a与b的关系是( )
A．a＝b＝0 B．a与b相等
C．a与b互为相反数 D．a＝
3．[2024·临沂期中]下列式子正确的是( )
A.＝2 B.＝±5
C.＝－5 D.＝－2
4．(多选)下列说法正确的是( )
A.的算术平方根是
B．1的平方根是它本身
C.的平方根是±
D．若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数为1
5．若x2－＝，则x＝ ．
6．[2024·浙江期中]若m＝－2，则与m最接近的整数是 ．
7．[2023·东湖区期中](1)已知2b＋1的平方根为±3，3a＋2b－1的算术平方根为4，求a＋2b的平方根；
(2)若x，y都是实数，且y＝＋＋8，求x＋y的值．
类型二 勾股定理及其逆定理
8．[2024·临沂期中]满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A．三内角之比为1∶2∶3
B．三内角之比为3∶4∶5
C．三边长分别为5，12，13
D．三边长分别为1，，
9．[2024·潍坊期中]如图，将一根20厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为h厘米，则h的取值范围是( )
第9题图
A．h≤14 B．9≤h≤10
C．9≤h≤12 D．10≤h≤12
10．[2024·眉山]如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为( )
第10题图
A．24 B．36 C．40 D．44
11．[2023·韩城市二模]《九章算术》提供了许多勾股数，如(3，4，5)，(5，12，13)等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则m与这两个数组成勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则m与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由8生成的勾股数的“弦数”是 ．
12．[2024·德州期中]如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，△CEB′的周长为 ．
第12题图
13．[2024·成都期末]2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250 km(即以台风中心为圆心，250 km为半径的圆形区域都会受台风影响)．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC.若A，C之间相距300 km，A，B之间相距400 km.
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为20 km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
第13题图
类型三 实数及其与数轴的关系
14．[2024·菏泽一模]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是( )
第14题图
A．a
C．a＋b<0 D.>0
15．[2024·临沂期中]如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A的右侧)，且AB＝AE，则点E所表示的数为 ．
第15题图
16．将实数，π，0，－5由小到大用“＜”连接起来： ．
17．[2024·济宁期中]任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如＝4，＝1，现对72进行如下操作，72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
易错点 对概念理解不透彻导致错误
18．下列说法中，正确的是( )
A．－25的立方根是－5
B.的平方根是±4
C．(π－4)2的算术平方根是4－π
D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0或1
19．有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为( )
A．5 B.
C．5或 D．无法确定
20.的算术平方根为 ．第7章 实数
类型一 算术平方根、平方根、立方根
1．[2024·德州期中]有下列说法：①9是81的平方根 ②±36的平方根是±6 ③＝±5 ④0.1的立方根是0.001 ⑤52的平方根是5 ⑥64的算术平方根是±8.其中正确的个数是( B )
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
2．若＋＝0，则a与b的关系是( C )
A．a＝b＝0 B．a与b相等
C．a与b互为相反数 D．a＝
3．[2024·临沂期中]下列式子正确的是( D )
A.＝2 B.＝±5
C.＝－5 D.＝－2
4．(多选)下列说法正确的是( AC )
A.的算术平方根是
B．1的平方根是它本身
C.的平方根是±
D．若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数为1
5．若x2－＝，则x＝±2．
6．[2024·浙江期中]若m＝－2，则与m最接近的整数是4．
7．[2023·东湖区期中](1)已知2b＋1的平方根为±3，3a＋2b－1的算术平方根为4，求a＋2b的平方根；
(2)若x，y都是实数，且y＝＋＋8，求x＋y的值．
解：(1)∵2b＋1的平方根为±3，
∴2b＋1＝9，解得b＝4，
∵3a＋2b－1的算术平方根为4，
∴3a＋2b－1＝16，解得a＝3，
∴a＋2b＝3＋2×4＝11，
∴a＋2b的平方根是±；
(2)由题意，得解得所以x＝3，
当x＝3时，y＝8，所以x＋y＝3＋8＝11.
类型二 勾股定理及其逆定理
8．[2024·临沂期中]满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( B )
A．三内角之比为1∶2∶3
B．三内角之比为3∶4∶5
C．三边长分别为5，12，13
D．三边长分别为1，，
9．[2024·潍坊期中]如图，将一根20厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为h厘米，则h的取值范围是( D )
第9题图
A．h≤14 B．9≤h≤10
C．9≤h≤12 D．10≤h≤12
10．[2024·眉山]如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为( D )
第10题图
A．24 B．36 C．40 D．44
11．[2023·韩城市二模]《九章算术》提供了许多勾股数，如(3，4，5)，(5，12，13)等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则m与这两个数组成勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则m与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由8生成的勾股数的“弦数”是17．
12．[2024·德州期中]如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，△CEB′的周长为12或8＋．
第12题图
解析：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1，连接AC，
第12题图
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝AD＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，得到∠EB′C＝90°，
∴点A，B′，C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6，
∴CB′＝AC－AB′＝10－6＝4，
设CE＝x，则BE＝B′E＝8－x，
在Rt△CEB′中，
∵B′E2＋CB′2＝CE2，
∴(8－x)2＋42＝x2，
解得x＝5，
∴CE＝5，B′E＝8－5＝3，
∴△CEB′的周长为CE＋B′E＋CB′＝5＋3＋4＝12；
②当点B′落在AD边上时，如图2，
第12题图
此时四边形ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝6，
∵折叠，∴B′E＝BE＝6，
∴CE＝BC－BE＝8－6＝2，
在Rt△B′EC中，B′C＝＝＝，
∴△CEB′的周长为CE＋B′E＋CB′＝2＋6＋＝8＋；
综上所述，△CEB′的周长为12或8＋.
13．[2024·成都期末]2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250 km(即以台风中心为圆心，250 km为半径的圆形区域都会受台风影响)．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC.若A，C之间相距300 km，A，B之间相距400 km.
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为20 km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
第13题图
解：(1)农场A会受到台风的影响，理由：
过A作AH⊥BC于H，
第13题图
∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝500(km)，
∵△ABC的面积＝BC·AH＝AB·AC，
∴500AH＝300×400，
∴AH＝240km，
∵AH<250 km，
∴农场A会受到台风的影响；
(2)如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，
∴AM＝AN＝250 km，
∵AM＝AN，AH⊥BC，
∴MH＝NH，
由勾股定理，得
MH＝NH＝＝70(km)，
∴MN＝2×70＝140(km)，
∵台风中心的移动速度为20 km/h，
∴台风影响该农场持续时间是140÷20＝7(小时)．
类型三 实数及其与数轴的关系
14．[2024·菏泽一模]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是( D )
第14题图
A．a
C．a＋b<0 D.>0
15．[2024·临沂期中]如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A的右侧)，且AB＝AE，则点E所表示的数为1＋．
第15题图
16．将实数，π，0，－5由小到大用“＜”连接起来：－5＜0＜<π．
17．[2024·济宁期中]任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如＝4，＝1，现对72进行如下操作，72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
易错点 对概念理解不透彻导致错误
18．下列说法中，正确的是( C )
A．－25的立方根是－5
B.的平方根是±4
C．(π－4)2的算术平方根是4－π
D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0或1
19．有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为( C )
A．5 B.
C．5或 D．无法确定
20.的算术平方根为3．
