第10章 一次函数
类型一 函数的图象
1．[2024·德州期末]如图，点P是矩形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( A )
第1题图
2．[2024·威海]同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系．下列结论正确的是( A )
第2题图
A．甲车行驶 h与乙车相遇
B．A，C两地相距220 km
C．甲车的速度是70 km/h
D．乙车中途休息36分钟
类型二 一次函数的图象和性质
3．[2024·聊城期末]直线l1：y＝kx－b(k，b为常数且k，b≠0)和直线l2：y＝x＋2k(k，b为常数且k，b≠0)在同一坐标系中的图象大致是( D )
4．[2024·威海期末]若一次函数y＝kx＋3的图象与坐标轴围成的三角形面积为3，则k＝±．
5．如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与坐标轴分别交于A，B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的表达式为y＝2x.
第5题图
6．[2024·广安]已知，直线l∶y＝x－与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2(点B2在点B1的上方)，以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4……则点A2 024的横坐标为()2_023．
第6题图
类型三 一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系
7．[2024·青岛期末]若函数y＝2x＋a与y＝－x的图象交于点P(4，b)，则关于x，y的二元一次方程组的解是( D )
A. B.
C. D.
8．[2024·济南期末]如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，甲、乙两位同学给出的下列结论：甲说：关于x的不等式ax＋b>－4的解集为x>0；乙说：当x>4时，ax＋b第8题图
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．乙正确，甲错误 D．甲、乙都错误
类型四 一次函数的应用
9．[2024·临沂期末]小李在某网店选中A，B两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
A款玩偶 B款玩偶
进货价(元/个) 40 30
销售价(元/个) 56 45
(1)第一次小李用1 100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；
(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？(注：利润率＝×100%)
解：(1)设A，B两款玩偶分别为x，y个，由题意，得
解得
答：两款玩偶，A款购进20个，B款购进10个；
(2)设购进A款玩偶a个，则购进B款(30－a)个，设利润为y元，
则y＝(56－40)a＋(45－30)(30－a)
＝16a＋15(30－a)＝450＋a，
A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
∴a≤(30－a)，
∴a≤10，又a≥0，
∴0≤a≤10且a为整数，
∴当a＝10时，y有最大值，
∴ymax＝460，
∴A款10个，B款20个，最大利润是460元；
(3)第一次利润16×20＋15×10＝470(元)
∴第一次利润率为×100%≈42.7%，
第二次利润率为×100%＝46%，
∵42.7%<46%，
∴第二次的利润率大，即第二次更合算．
10．[2024·潍坊期末]如图，直线AD与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知B(0，－3)，D(－1，－4)．
(1)求直线AD的函数表达式；
(2)若点C在直线AD上，且点C的纵坐标为－1，求S△BOC；
(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
第10题图
解：(1)设直线AD的函数表达式为y＝kx＋b，则有解得
∴直线AD的函数表达式为y＝x－3；
(2)∵点C的纵坐标为－1，
∴x－3＝－1，解得x＝2，
∴C(2，－1)，
∵B(0，－3)，
∴OB＝3，
∴S△BOC＝OB·xC＝×3×2＝3；
(3)存在；
如图，
第10题图
作D关于x轴的对称点D1，连接D1C交x轴于P，此时PC＋PD最小，
PC＋PD＝PD1＋PC＝D1C，
由对称，得D1(－1，4)，
设直线D1C的表达式为y＝k1x＋b1，则有
解得
∴直线D1C的表达式为y＝－x＋，
当y＝0时，－x＋＝0，
解得x＝，∴P
易错点 分类讨论不全面致错
11．[2024·淄博期末]如图1，点C是线段AB上的定点，点P，Q是线段AB上的动点．已知点P，Q同时分别从点C，B出发相向匀速运动，当点Q到达点C后，继续保持原速向点A运动，而点P到达点B后立即掉头，并保持原速也向点A运动，经过一段时间后，P，Q两点同时到达A点．设P，Q两点的运动时间为x min，两点之间的距离为y cm，y与x之间的关系如图2所示，则P，Q两点出发2或4或10min后相距30 cm.
第11题图
解析：由题意，得BC＝90 cm，点P，Q经过3分钟相遇，
∴v甲＋v乙＝30(cm/min)，
∵点P经过5分钟到达点B，
∴点P的速度为90÷5＝18(cm/min)，
∴点Q的速度为30－18＝12(cm/min)，
①当点P，Q相遇前相距30 cm时，
依题意，得18x＋12x＝90－30，解得x＝2；
②当点P，Q相遇后，而点P未到B点，且相距30 cm时，
依题意，得18x＋12x＝90＋30，
解得x＝4；
③当点P到达点B掉头后，相距30 cm时，
依题意，得18x－90＝12x－30，解得x＝10，
综上所述，点P，Q出发2 min或4 min或10 min后相距30 cm.第10章 一次函数
类型一 函数的图象
1．[2024·德州期末]如图，点P是矩形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( )
第1题图
2．[2024·威海]同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系．下列结论正确的是( )
第2题图
A．甲车行驶 h与乙车相遇
B．A，C两地相距220 km
C．甲车的速度是70 km/h
D．乙车中途休息36分钟
类型二 一次函数的图象和性质
3．[2024·聊城期末]直线l1：y＝kx－b(k，b为常数且k，b≠0)和直线l2：y＝x＋2k(k，b为常数且k，b≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
4．[2024·威海期末]若一次函数y＝kx＋3的图象与坐标轴围成的三角形面积为3，则k＝ ．
5．如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与坐标轴分别交于A，B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的表达式为 .
第5题图
6．[2024·广安]已知，直线l∶y＝x－与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2(点B2在点B1的上方)，以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4……则点A2 024的横坐标为 _ ．
第6题图
类型三 一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系
7．[2024·青岛期末]若函数y＝2x＋a与y＝－x的图象交于点P(4，b)，则关于x，y的二元一次方程组的解是( )
A. B.
C. D.
8．[2024·济南期末]如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，甲、乙两位同学给出的下列结论：甲说：关于x的不等式ax＋b>－4的解集为x>0；乙说：当x>4时，ax＋b第8题图
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．乙正确，甲错误 D．甲、乙都错误
类型四 一次函数的应用
9．[2024·临沂期末]小李在某网店选中A，B两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
A款玩偶 B款玩偶
进货价(元/个) 40 30
销售价(元/个) 56 45
(1)第一次小李用1 100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；
(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？(注：利润率＝×100%)
10．[2024·潍坊期末]如图，直线AD与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知B(0，－3)，D(－1，－4)．
(1)求直线AD的函数表达式；
(2)若点C在直线AD上，且点C的纵坐标为－1，求S△BOC；
(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
第10题图
易错点 分类讨论不全面致错
11．[2024·淄博期末]如图1，点C是线段AB上的定点，点P，Q是线段AB上的动点．已知点P，Q同时分别从点C，B出发相向匀速运动，当点Q到达点C后，继续保持原速向点A运动，而点P到达点B后立即掉头，并保持原速也向点A运动，经过一段时间后，P，Q两点同时到达A点．设P，Q两点的运动时间为x min，两点之间的距离为y cm，y与x之间的关系如图2所示，则P，Q两点出发 min后相距30 cm.
第11题图
