第11章 图形的平移与旋转
类型一 图形的平移
1．[2024·临沂期末]如图，根据图中给出的数据，判断图1的周长l1与图2的周长l2的关系：l1 l2.(填“等于”“大于”“小于”或“无法判断”)
第1题图
2．[2023·沈河期末]如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，四边形ABDC的面积为14，则点C的坐标为 ．
第2题图
3．[2023·大冶期末]如图，第一象限内有两点P(m－3，n)，Q(m，n－2)，将线段PQ平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
第3题图
4．如图，将△ABC沿射线BA方向平移到△A′B′C′的位置，连接AC′，CC′.
(1)AA′与CC′的位置关系为 ；∠A′＋∠CAC′＋∠AC′C＝ ；
(2)设∠AC′B′＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC′与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．
第4题图
5．[2024·聊城期末]如图，在平面直角坐标系中，已知A(－3，4)，B(－1，2)，C(1，3)．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，将△ABC平移得到△A′B′C′，已知A′(1，－1)，则B′和C′的坐标是 ；
(2)求出△ABC的面积；
(3)在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请作图标出点P并求出点P的坐标．
第5题图
类型二 图形的旋转
6．[2024·青岛一模]如图，已知点A(1，3)，B(4，1)，将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点A与A′是对应点，点B与B′是对应点，则点M的坐标
是( )
第6题图
A．(－1，－2) B．(1，0)
C．(－1，1) D．(1，－3)
7．把一副三角板如图甲放置，其中∠A＝45°，∠D＝30°，∠ACB＝∠DEC＝90°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′(如图乙)，此时AB与CD′交于点O，则线段AD′＝( )
第7题图
A．4 B．5
C．6 D．7
8．(多选)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B，A，E在同一条直线上，连接BD，EC.下列结论正确的有( )
第8题图
A．△ADE的旋转角为120°
B．BD＝EC
C．BE＝AD＋AC
D．DE⊥AC
9．[2024·青岛期末]如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A(5，0)，点B(0，3)，把△ABO绕点B逆时针旋转90°，点A和点O旋转后的对应点是点E和点F.边OA上一点P旋转后对应点为点H，当FP＋BH取得最小值时，点P的坐标为 ．
第9题图
10．[2024·济南期中]如图，在平面直角坐标系中，点A(1，)，点P(－1，)，将线段AP绕点P按顺时针方向旋转120°至PP1；将线段PP1绕点P1按顺时针方向旋转120°至P1P2；将线段P1P2绕点P2按顺时针方向旋转120°至P2P3……依次类推，则P2 024的坐标为 ．
第10题图
11．[2024·潍坊期末]综合与实践：利用旋转解有关图形的计算问题．
图形的旋转不仅是初中数学“图形与几何”领域的重要内容，也是解决平面几何问题的一种解题策略和方法，同时它还是解决问题过程中实现转化思想的一种工具和手段．
【尝试解决】
(1)如图1，已知△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D是△ABC内一点，DA＝，DB＝3，DC＝，求∠CDA的度数；
第11题图
思路分析：利用条件AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，如图2，连接DE，再利用DA，DB，DC三边之间的关系，就能方便地求出∠CDA的度数．
请将下面解答过程补充完整．
解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，则AB与AC重合，D落在E点的位置，连接DE，如图2.可得∠DAE＝90°，EA＝DA＝，∠EDA＝45°，EC＝DB＝3.
∴DE＝ ；
在△CED中，DE2＋DC2＝ ，EC2＝ ；
∴ ；
∴∠CDE＝ °；
∴∠CDA＝ ＋ ＝ ．
【类比探索】
(2)如图3，在正方形ABCD中，E，F分别在AB，BC上，且∠EDF＝45°，若AE＝2，CF＝5，求EF的长．
第11题图
【迁移应用】
(3)如图4，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BC＝DC，若四边形ABCD的面积为8，则AB＋AD的长为多少？请直接写出最后结果．
第11题图
类型三 中心对称和中心对称图形
12．[2024·济南期末]下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
13．(多选)[2023·朝阳三模]以如图1(以O为圆心，半径为1的半圆)作为“基本图形”，经历下列变换，可以得到图2的有( )
第13题图
A．只要向右平移1个单位
B．先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位
C．先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位
D．绕着OB的中点旋转180°即可
14．[2024·东营期末]已知 ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB＝2.若点A的坐标为(－2，－3)，则点D的坐标为
易错点 对旋转概念理解不够透彻
15．[2024·济宁期末]如图，若点M是等边△ABC的边BC上任意一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，且点M在边BC上，连接MN，则下列结论：
①AB⊥MN ②∠BMN＝30° ③MN＝AM
④BN∥AM.其中正确的有( )
第15题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第11章 图形的平移与旋转
类型一 图形的平移
1．[2024·临沂期末]如图，根据图中给出的数据，判断图1的周长l1与图2的周长l2的关系：l1小于l2.(填“等于”“大于”“小于”或“无法判断”)
第1题图
2．[2023·沈河期末]如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，四边形ABDC的面积为14，则点C的坐标为．
第2题图
3．[2023·大冶期末]如图，第一象限内有两点P(m－3，n)，Q(m，n－2)，将线段PQ平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是(0，2)或(－3，0)．
第3题图
解析：设平移后点P，Q的对应点分别是P′，Q′.
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0－(n－2)＝－n＋2，
∴点P的纵坐标为n－n＋2＝2，
∴点P平移后的对应点的坐标是(0，2)；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0－m＝－m，
∴点P的横坐标为m－3－m＝－3，
∴点P平移后的对应点的坐标是(－3，0)；
综上所述，点P平移后的对应点的坐标是(0，2)或(－3，0)．
4．如图，将△ABC沿射线BA方向平移到△A′B′C′的位置，连接AC′，CC′.
(1)AA′与CC′的位置关系为 ；∠A′＋∠CAC′＋∠AC′C＝ ；
(2)设∠AC′B′＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC′与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．
第4题图
解：(1)由平移，得：AA′∥CC′；
由平移，得A′C′∥AC，AA′∥CC′，
∴∠A′＝∠BAC，∠BAC＝∠ACC′，
∴∠A′＝∠ACC′，
∵∠ACC′＋∠CAC′＋∠AC′C＝180°，
∴∠A′＋∠CAC′＋∠AC′C＝180°，
故答案为：AA′∥CC′；180°；
(2)结论：∠CAC′＝x＋y，
第4题图
过点A作AD∥BC，交CC′于点D，
由平移，得B′C′∥BC，
∴B′C′∥AD∥BC，
∴∠AC′B′＝∠C′AD，∠ACB＝∠DAC，
∴∠CAC′＝∠C′AD＋∠CAD＝∠AC′B′＋∠ACB＝x＋y，
即∠CAC′＝x＋y.
5．[2024·聊城期末]如图，在平面直角坐标系中，已知A(－3，4)，B(－1，2)，C(1，3)．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，将△ABC平移得到△A′B′C′，已知A′(1，－1)，则B′和C′的坐标是 ；
(2)求出△ABC的面积；
(3)在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请作图标出点P并求出点P的坐标．
第5题图
解：(1)如图所示，△ABC即为所求作；
B′(3，－3)，C′(5，－2)；
故答案为：(3，－3)，(5，－2)
第5题图
(2)S△ABC＝4×2－×2×1－×2×2－×1×4＝8－1－2－2＝3；
(3)作点B关于x轴的对称点B″，
连接AB″与x轴交点即为点P，则点P即为所求，
∴B″(－1，－2)
设直线AB″的表达式为y＝kx＋b，
将A(－3，4)，B″(－1，－2)代入，
得解得
∴y＝－3x－5，
当y＝0时，x＝－，∴P.
类型二 图形的旋转
6．[2024·青岛一模]如图，已知点A(1，3)，B(4，1)，将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点A与A′是对应点，点B与B′是对应点，则点M的坐标
是( C )
第6题图
A．(－1，－2) B．(1，0)
C．(－1，1) D．(1，－3)
7．把一副三角板如图甲放置，其中∠A＝45°，∠D＝30°，∠ACB＝∠DEC＝90°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′(如图乙)，此时AB与CD′交于点O，则线段AD′＝( B )
第7题图
A．4 B．5
C．6 D．7
8．(多选)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B，A，E在同一条直线上，连接BD，EC.下列结论正确的有( BCD )
第8题图
A．△ADE的旋转角为120°
B．BD＝EC
C．BE＝AD＋AC
D．DE⊥AC
9．[2024·青岛期末]如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A(5，0)，点B(0，3)，把△ABO绕点B逆时针旋转90°，点A和点O旋转后的对应点是点E和点F.边OA上一点P旋转后对应点为点H，当FP＋BH取得最小值时，点P的坐标为．
第9题图
解析：如图：
第9题图
由旋转，得BP＝BH，
取点B关于直线OA的对称点B′，连接B′F，交直线OA于点P，
此时FP＋BH＝FP＋BP＝FP＋B′P＝FB′为最小值，
则点P即为所求．
设直线FB′的表达式为y＝kx＋b，
将F(3，3)，B′(0，－3)代入，
得解得
∴直线FB′的表达式为y＝2x－3.
令y＝0，得x＝，
∴点P的坐标为.
10．[2024·济南期中]如图，在平面直角坐标系中，点A(1，)，点P(－1，)，将线段AP绕点P按顺时针方向旋转120°至PP1；将线段PP1绕点P1按顺时针方向旋转120°至P1P2；将线段P1P2绕点P2按顺时针方向旋转120°至P2P3……依次类推，则P2 024的坐标为(－1，－)．
第10题图
11．[2024·潍坊期末]综合与实践：利用旋转解有关图形的计算问题．
图形的旋转不仅是初中数学“图形与几何”领域的重要内容，也是解决平面几何问题的一种解题策略和方法，同时它还是解决问题过程中实现转化思想的一种工具和手段．
【尝试解决】
(1)如图1，已知△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D是△ABC内一点，DA＝，DB＝3，DC＝，求∠CDA的度数；
第11题图
思路分析：利用条件AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，如图2，连接DE，再利用DA，DB，DC三边之间的关系，就能方便地求出∠CDA的度数．
请将下面解答过程补充完整．
解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，则AB与AC重合，D落在E点的位置，连接DE，如图2.可得∠DAE＝90°，EA＝DA＝，∠EDA＝45°，EC＝DB＝3.
∴DE＝ ；
在△CED中，DE2＋DC2＝ ，EC2＝ ；
∴ ；
∴∠CDE＝ °；
∴∠CDA＝ ＋ ＝ ．
【类比探索】
(2)如图3，在正方形ABCD中，E，F分别在AB，BC上，且∠EDF＝45°，若AE＝2，CF＝5，求EF的长．
第11题图
【迁移应用】
(3)如图4，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BC＝DC，若四边形ABCD的面积为8，则AB＋AD的长为多少？请直接写出最后结果．
第11题图
解：(1)2，9，9，DE2＋DC2＝EC2，90，∠CDE，∠EDA，135°；
(2)将△CDF绕点D顺时针旋转90°，则DC与DA重合，F落在H点的位置，连接DH，则∠DAH＝∠C＝∠DAB＝90°，
图3
第11题图
∴DH＝DF，∠CDF＝∠ADH，AH＝CF，∠DAH＋∠DAB＝180°，
∴∠FDH＝∠ADC＝90°，H，A，E在同一条直线上，
∵∠EDF＝45°，
∠CDF＋∠ADE＝45°，
∴∠EDH＝∠EDF＝45°，
∵DE＝DE，
∴△EDH≌△EDF(SAS)，
∴EF＝EH＝AE＋AH＝AE＋CF＝2＋5＝7；
(3)如图4，连接AC，将△ABC绕点C旋转90°，则BC与DC重合，点A落在点G处，
∵∠DCB＝∠DAB＝90°，
∴∠CDA＋∠B＝180°，
∵∠B＝∠GDC，
∴∠CDA＋∠GDC＝180°，
∴G，D，A三点共线．
∵S△GCD＝S△ABC，
∴S四边形ABCD＝S△GAC＝8，
∵GC＝CA，
∠GCA＝90°，
∴CA2＝8，
∴CA＝4，
∴AD＋AB＝AD＋GD＝GA＝4 .
图4
第11题图
类型三 中心对称和中心对称图形
12．[2024·济南期末]下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( C )
13．(多选)[2023·朝阳三模]以如图1(以O为圆心，半径为1的半圆)作为“基本图形”，经历下列变换，可以得到图2的有( BCD )
第13题图
A．只要向右平移1个单位
B．先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位
C．先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位
D．绕着OB的中点旋转180°即可
14．[2024·东营期末]已知 ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB＝2.若点A的坐标为(－2，－3)，则点D的坐标为(0，3)或(4，3)．
解析：当点B在点A的右边时，如图1，
第14题图
∵AB与x轴平行且AB＝2，A(－2，－3)，
∴B(－2＋2，－3)，
∵对角线AC的中点在坐标原点，
∴点A，C关于原点对称，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点B，D关于原点对称，
∴D即(0，3)；
当点B在点A的左边，如图2，
第14题图
同理可得B(－4，－3)，则D(4，3)．
综上所述，故点D的坐标为(0，3)或(4，3)．
易错点 对旋转概念理解不够透彻
15．[2024·济宁期末]如图，若点M是等边△ABC的边BC上任意一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，且点M在边BC上，连接MN，则下列结论：
①AB⊥MN ②∠BMN＝30° ③MN＝AM
④BN∥AM.其中正确的有( A )
第15题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
