1．[2024·临沂期中]如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是( )
第1题图
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
2．[2024·滨州期中]在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，则还应满足( )
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180°
3．[2024·崇明期中]探究课上，小明画出△ABC，利用尺规作图找一点D，使得四边形ABCD为平行四边形．①～③是其作图过程：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；②以点A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D；③连接CD，AD，则四边形ABCD即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
第3题图
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等
4．[2024·河东二模]如图，在△ABD中，分别以点B，D为圆心，BD长为半径作弧，分别交于点E，F，连接EF交BD于点O，连接AO并延长，再以O为圆心，OA长为半径作弧，交AO延长线于点C，连接CB，CD，则可以判定四边形ABCD为平行四边形的依据是( )
第4题图
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等
D．对角线互相平分
5．[2024·东营期末]如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，转动一张纸条的过程中，下列四个结论：①四边形ABCD的周长不变 ②四边形ABCD的面积有变化 ③AD＝BC ④AD＝AB.其中一定正确的是( )
第5题图
A．②④ B．①③ C．①② D．②③
6．[2023·渠县期末]依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
7．(多选)已知四边形ABCD，在①AB∥CD
②AD＝BC ③AB＝CD ④∠A＝∠C四个条件中，能够推出四边形ABCD是平行四边形的条件是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
8．如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件①DE＝BF ②∠ADE＝∠CBF ③AF＝CE ④∠AFB＝∠CED中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是( )
第8题图
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
9．(多选)[2024·烟台期末]已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，1)，B(1，－1)，C(m，n)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的m，n的值可以是( )
A．m＝－2，n＝－2 B．m＝－2，n＝－1
C．m＝4，n＝0 D．m＝2，n＝2
10．[2023·达州期末]如图，在 ABCD中，AB>AD，∠ABC为锐角，O是对角线BD的中点．某数学学习小组要在BD上找两点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案：甲：分别取DO，BO的中点E，F，乙：作AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，丙：分别作AE，CF垂直BD于点E，F.
第10题图
其中所有正确的方案是( )
A．仅甲 B．仅甲、乙
C．仅乙、丙 D．甲、乙、丙
11．[2024·自贡]如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6 cm，BC＝12 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是( )
第11题图
A．3 B．4 C．5 D．6
12．[2024·济南期中]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，若要判定四边形ABCD为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为 ．
第12题图
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，且AD＝12 cm.点P从点A出发，以3 cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝ 秒时，点P，Q，C，D构成平行四边形．
第13题图
14．[2024·黄石模拟]如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2.雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
第14题图
15．[2024·临沂期中]如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，AG＝CH，证明：四边形EGFH是平行四边形．
第15题图
16．[2023·镇江模拟]如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC.
(1)求证：O是线段AC的中点；
(2)连接AF，EC，证明四边形AFCE是平行四边形．
第16题图
17．[2023·杭州]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
第17题图
18．如图，等边△ABC的边长为8 cm，动点M从点B出发，沿着B→A→C→B的方向以3 cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2 cm/s的速度运动．
(1)若动点M，N同时出发，经过几秒MN第一次垂直于AB
(2)若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A，M，N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．
第18题图1．[2024·临沂期中]如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是( B )
第1题图
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
2．[2024·滨州期中]在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，则还应满足( C )
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180°
3．[2024·崇明期中]探究课上，小明画出△ABC，利用尺规作图找一点D，使得四边形ABCD为平行四边形．①～③是其作图过程：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；②以点A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D；③连接CD，AD，则四边形ABCD即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( B )
第3题图
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等
4．[2024·河东二模]如图，在△ABD中，分别以点B，D为圆心，BD长为半径作弧，分别交于点E，F，连接EF交BD于点O，连接AO并延长，再以O为圆心，OA长为半径作弧，交AO延长线于点C，连接CB，CD，则可以判定四边形ABCD为平行四边形的依据是( D )
第4题图
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等
D．对角线互相平分
5．[2024·东营期末]如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，转动一张纸条的过程中，下列四个结论：①四边形ABCD的周长不变 ②四边形ABCD的面积有变化 ③AD＝BC ④AD＝AB.其中一定正确的是( D )
第5题图
A．②④ B．①③ C．①② D．②③
6．[2023·渠县期末]依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( D )
7．(多选)已知四边形ABCD，在①AB∥CD
②AD＝BC ③AB＝CD ④∠A＝∠C四个条件中，能够推出四边形ABCD是平行四边形的条件是( BCD )
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
8．如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件①DE＝BF ②∠ADE＝∠CBF ③AF＝CE ④∠AFB＝∠CED中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是( D )
第8题图
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
9．(多选)[2024·烟台期末]已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，1)，B(1，－1)，C(m，n)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的m，n的值可以是( ACD )
A．m＝－2，n＝－2 B．m＝－2，n＝－1
C．m＝4，n＝0 D．m＝2，n＝2
10．[2023·达州期末]如图，在 ABCD中，AB>AD，∠ABC为锐角，O是对角线BD的中点．某数学学习小组要在BD上找两点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案：甲：分别取DO，BO的中点E，F，乙：作AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，丙：分别作AE，CF垂直BD于点E，F.
第10题图
其中所有正确的方案是( D )
A．仅甲 B．仅甲、乙
C．仅乙、丙 D．甲、乙、丙
11．[2024·自贡]如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6 cm，BC＝12 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是( B )
第11题图
A．3 B．4 C．5 D．6
12．[2024·济南期中]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，若要判定四边形ABCD为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为AB＝CD(答案不唯一)．
第12题图
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，且AD＝12 cm.点P从点A出发，以3 cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝3或6秒时，点P，Q，C，D构成平行四边形．
第13题图
14．[2024·黄石模拟]如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2.雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
第14题图
证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF⊥AD，∴EF⊥BC，
即雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC.
15．[2024·临沂期中]如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，AG＝CH，证明：四边形EGFH是平行四边形．
第15题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF.
∵AG＝CH，∴OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
16．[2023·镇江模拟]如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC.
(1)求证：O是线段AC的中点；
(2)连接AF，EC，证明四边形AFCE是平行四边形．
第16题图
证明：(1)∵∠E＝∠F，∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC，BD互相平分，
即O是线段AC的中点；
(2)∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
17．[2023·杭州]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
第17题图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝FD，∴OB－BE＝OD－FD，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵S△ABE＝2，BE＝EF，
∴S△AEF＝S△ABE＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△CFO＝S△CEF＝S△AEF＝×2＝1.
18．如图，等边△ABC的边长为8 cm，动点M从点B出发，沿着B→A→C→B的方向以3 cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2 cm/s的速度运动．
(1)若动点M，N同时出发，经过几秒MN第一次垂直于AB
(2)若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A，M，N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．
第18题图
解：(1)设经过t秒钟MN第一次垂直于AB，
AM＝8－3t，AN＝8－2t.
∵∠A＝60°，∠AMN＝90°，
∴AM＝AN，
即8－3t＝(8－2t)，
解得t＝2，
∴经过2秒MN第一次垂直于AB；
(2)①当0≤t≤时，点M，N，D的位置如图1所示：
第18题图
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°.
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM＝AN，DM∥AN.
∴∠BDM＝∠C＝60°，∠MDN＝60°，
∴∠DNC＝∠C＝∠NDC.
∴CD＝CN＝2t，
同理，得BD＝BM＝3t，
∴BD＋CD＝BM＋CN＝8，即3t＋2t＝8，t＝，
此时点D在BC上，且BD＝；
②当＜t≤4时，此时A，M，N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③当4＜t≤时，点M，N，D的位置如图2所示：
第18题图
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN＝AM，AM∥DN.
∴∠BDN＝∠ACB＝60°，
∴∠BND＝∠BDN＝∠B.
∴BD＝BN＝16－2t.
同理，得CD＝CM＝16－3t，
∴BD＋CD＝BN＋CM＝8，
即16－2t＋16－3t＝8，解得t＝，
此时点D在BC上，且BD＝；
④当＜t≤8时，点M，N，D的位置如图3所示：
第18题图
则BN＝16－2t，BM＝24－3t，
由题意可知△BNM为等边三角形，
∴BN＝BM，即16－2t＝24－3t，解得t＝8，此时M，N重合，不能构成平行四边形．
综上所述，运动了 s或 s时，A，M，N，D四点能够组成平行四边形，此时点D在BC上，且BD＝ cm或 cm.
