1．[2024·泸州期中]下列命题错误的是( A )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．矩形的四个内角都是直角
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．[2024·青岛二模]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝m°，则∠2的度数
为( D )
第2题图
A．(m－90)° B．(90－m)°
C．(m－45)° D．(180－m)°
3．[2024·泸州]已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定为 ABCD为矩形的是( D )
A．∠A＝90° B．∠B＝∠C
C．AC＝BD D．AC⊥BD
4．[2024·青海]如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是( A )
第4题图
A．3 B．6
C. D．3
5．(多选)[2022·聊城]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，不可行的测量方案是( ABD )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
6．(多选)[2023·临江期末]如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，能够使四边形DBCE成为矩形的是( ABC )
第6题图
A．AB＝BE B．CE⊥DE
C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC
7．[2024·潮州期中]如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，点E在线段AD上，且AE＝6 cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为( D )
第7题图
A．2 B．4
C．4或 D．2或
8．[2024·厦门期中]如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E，F分别在边AB，CD上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A′，D′，若∠2＝35°，则∠1的度数为72.5°．
第8题图
9．[2024·长春期末]如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20 cm，则△BCE的周长是10_cm．
第9题图
10．[2024·泰安期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，△ABC的面积为24，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为．
第10题图
11．[2024·长春]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形．
第11题图
证明：∵O是边AB的中点，∴OA＝OB，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴AD＝BC，
∵∠A＝∠B＝90°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
12．[2024·镇江期中]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，连接EF，EA，EC.
(1)试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
(2)若∠EAF＝25°，则∠ADC＝ °.
第12题图
解：(1)EF⊥AC，理由：
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴AE＝BD，CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥AC；
(2)∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴AE＝CE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，∠DCE＝∠CDE，
∵∠AEB＝∠DAE＋∠ADE，∠BEC＝∠DCE＋∠CDE，
∴∠AEC＝∠AEB＋∠BEC＝2(∠ADE＋∠CDE)＝2∠ADC，
∵AE＝CE，∠EAF＝25°，
∴∠ACE＝∠EAF＝25°，
∴∠AEC＝180°－∠EAF－∠ACE＝130°，
∴∠ADC＝∠AEC＝65°.
故答案为：65.
13．[2024·聊城期中]如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.求证：四边形ACFD是矩形．
第13题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴AE＝FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF＝90°，
∴四边形ACFD是矩形．
14．[2024·青岛二模]如图，以△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形ABD，等腰直角三角形BCE和等腰直角三角形ACF，连接DE，EF.
第14题图
(1)求证：△ABC≌△DBE；
(2)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？请证明你的结论．
解：(1)证明：∵△BCE和△ABD为等腰直角三角形，
∴∠DBA＝∠EBC＝90°，DB＝AB，EB＝BC，
∴∠DBE＋∠EBA＝90°，∠ABC＋∠EBA＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC，
∴△ABC≌△DBE(SAS)；
(2)当∠BAC＝135°时，四边形ADEF是矩形，证明：
∵△ABC≌△DBE，
∴DE＝AC，∠EDB＝∠BAC，
∵FA＝AC，
∴DE＝FA，
∵∠EDA＝∠EDB－∠BDA＝∠BAC－45°，
∠DAF＝360°－∠FAC－∠BAD－∠BAC
＝360°－90°－45°－∠BAC
＝225°－∠BAC，
∴∠EDA＋∠DAF＝180°，
∴DE∥FA，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵∠BAC＝135°，∠CAF＝90°，∠BAD＝45°，
∴∠DAF＝90°，
∴四边形ADEF是矩形．1．[2024·济宁期中]矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
2．[2024·安康期中]在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是( )
第2题图
A．③有一组邻边相等
B．②对角线互相垂直
C．④有一个角是直角
D．①一条对角线与其中一边相等
3．[2024·南京期中]如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接BE，CE，则∠EBC的度数为( )
第3题图
A．15° B．20° C．22.5° D．30°
4．[2023·宁波模拟]边长为a的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中⑤号小矩形是边长为b的正方形，若①号小矩形的周长为c，且满足2a－2b＝c，则下列小矩形中一定是正方形的是( )
第4题图
A．① B．② C．③ D．④
5．[2024·烟台期中]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE＝1，AF＝5，AE∥CF，则△ABE的面积为( )
第5题图
A．6 B．5
C．3 D.
6．[2024·聊城期中]如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连接DF并延长交AB于点G，下列结论：①∠CFD＝60° ②S△BGF＝S△DHF ③△AHE≌△FGB ④∠DHE＝∠EDF.其中正确的结论有( )
第6题图
A．①②③ B．①②③④
C．①③④ D．①②④
7．(多选)[2023·岱岳区期末]小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从条件①AB＝BC ②∠ABC＝90° ③AC＝BD
④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法你认为正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
8．[2024·商丘期末]如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置．若正方形A的面积为4，则阴影部分面积为 ．
第8题图
9．[2023·武汉期中]如图，在 ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四个结论：①存在无数个平行四边形MENF ②存在无数个矩形MENF ③存在无数个菱形MENF ④存在两个正方形MENF.其中正确的结论是 (填序号)．
第9题图
10．[2024·淄博期中]如图，已知平行四边形ABCD和正方形CEFG，其中点E在AD上，若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B＝ ．
第10题图
11．[2023·富锦期末]如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为 ．
第11题图
12．[2024·吉林二模]已知： 在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，它的两边分别交CB，DC于点M，N，AH⊥MN于点H，连接BH, 则下列结论：①BM＋DN＝MN ②△ABM≌△ADN ③∠BAM＝∠BHM，其中结论一定正确的序号是 ．
第12题图
13．[2024·济南期末]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：
(1)△ADF≌△DCE；
(2)AF⊥DE.
第13题图
14．[2024·菏泽期中]如图，在△ABC中，O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：EO＝OF；
(2)连接AE，AF，当点O沿AC移动到AC的中点时，四边形AECF是什么特殊四边形？说明理由；
(3)若点O是AC边的中点，四边形AECF是否能成为正方形？如果能，对△ABC有什么要求？
第14题图
15．[2024·烟台期中]如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，连接CE，CP.
第15题图
(1)如图1，若四边形ABCD为正方形，判断△PCE的形状并说明理由；
(2)如图2，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，判断△PCE的形状并说明理由．1．[2023·界首市期末]下列不属于菱形性质的是( D )
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．每一条对角线平分一组内角
D．两条对角线相等
2．[2023·邯郸三模]依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( C )
3．[2024·枣庄期中]如图，将矩形ABCD对折，使边AB与CD，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为( B )
第3题图
A．2 B．4 C．5 D．6
4．[2024·淄博期中]如图，矩形AEFG的顶点E，F分别在菱形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG，CF.若EG＝5，则CF的长为( A )
第4题图
A．5 B．4 C．3 D．6
5．[2024·威海期中]如图，对于线段AB，小慧同学按照下列步骤画出一个四边形：(1)以点A为圆心，以大于AB的长为半径作弧；(2)以点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C，D；(3)连接AC，BC，AD，BD，CD.对于四边形ACBD，添加下列条件无法判定为菱形的是( A )
第5题图
A．AB＝CD B．AC＝BC
C．∠ACD＝∠BCD D．AD∥BC
6．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点(点E不与点B，D重合)，当△ABE是等腰三角形时，∠EAD的度数为( AC )
第6题图
A．30° B．70° C．60° D．40°
7．[2024·滨州期中]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.下列结论：①AB⊥AC ②AD＝4OE ③四边形AECF是菱形 ④S△BOE＝S△ABC.其中，判断正确的是( D )
第7题图
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②③④
8．[2024·菏泽期中]如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝140°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N，作直线MN交AD于点E，连接BE，BD，则∠EBD的度数为30°．
第8题图
9．[2023·贵州模拟]如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠A＝120°，则A，C两点间的距离为2．
第9题图
10．[2023春·德州期中]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，H为AB边上的一点，∠BHD＝90°，连接OH，若OA＝5，OH＝2，则菱形ABCD的面积为20．
第10题图
11．[2024·泰安三模]如图，已知菱形ABCD，连接AC，若∠B＝120°，AC＝6，点F在AD上，点E在AC上，连接DE，EF，则DE＋FE的最小值是3．
第11题图
解析：如图，连接BF，BD，BE，设AC，BD交于O，
第11题图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB，OA＝AC＝3，OA⊥BD，∠BAC＝∠CAD，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴DE＝BE，
∴DE＋FE＝BE＋FE≥BF，
∴当B，E，F三点共线，且BF⊥AD时，DE＋FE有最小值，最小值是BF的长度，
∵∠ABC＝120°，∠BAD＋∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，则AD＝AB＝BD，
∴S△ABD＝AD·BF＝BD·OA，
∴BF＝OA＝3，
∴DE＋FE的最小值为3.
12．[2024·烟台期中]如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F.
求证：BE＝DF.
第12题图
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBE＝∠CDF，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠E＝∠F＝90°，
在△CBE和△CDF中，
∴△CBE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF.
13．[2024·威海期中]如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，CD.当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明．
第13题图
解：AC⊥BC.理由：
∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA.
∵点E是AC的中点，∴AE＝CE.
∴△ADE≌△CFE(AAS)．
∴AD＝CF.
∵CF∥AD，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥BC，点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD.
∴四边形ADCF是菱形．
14．[2024·宿迁]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
第14题图
证明：选择甲：如图1，
∵AD＝DC＝BC，E是BC的中点．
∴CE＝BC＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形；
第14题图
选择乙：如图2，连接AE，DE，DE交AC于O，
∵AD＝DC＝BC，E是BC的中点．
∴BE＝CE＝BC＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，四边形ABED是平行四边形，
∵AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形；
∴AC⊥DE，∴∠EOC＝90°，
∵四边形ABED是平行四边形，
∴DE∥AB，∴∠BAC＝∠EOC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
15．如图，在 ABCD中，AF是∠BAD的平分线，交BC于点F，与DC的延长线交于点N.CE是∠BCD的平分线，交AD于点E，与BA的延长线交于点M，连接BE，EF.
(1)试判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
(2)若BE⊥ME，证明四边形ABFE是菱形．
第15题图
解：(1)四边形AFCE是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∴∠FAD＝∠BFA.
∵AF是∠BAD的平分线，
CE是∠BCD的平分线，
∴∠FAD＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD，
∴∠FAD＝∠BCE，∴∠BFA＝∠BCE，
∴AF∥CE，
又∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
(2)如图，∵AF是∠BAD的平分线，且∠FAD＝∠BFA，
∴∠BFA＝∠BAF，
∴BA＝BF，
∵BE⊥ME，
∴∠BEM＝90°，
∵AF∥CE，
第15题图
∴∠BOA＝∠BEM＝90°，即BO⊥AF，
又∵在△ABF中，BA＝BF，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴BA＝AE，∴BF＝AE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又∵BA＝BF，∴四边形ABFE是菱形.1．[2023·界首市期末]下列不属于菱形性质的是( )
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．每一条对角线平分一组内角
D．两条对角线相等
2．[2023·邯郸三模]依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( )
3．[2024·枣庄期中]如图，将矩形ABCD对折，使边AB与CD，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为( )
第3题图
A．2 B．4 C．5 D．6
4．[2024·淄博期中]如图，矩形AEFG的顶点E，F分别在菱形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG，CF.若EG＝5，则CF的长为( )
第4题图
A．5 B．4 C．3 D．6
5．[2024·威海期中]如图，对于线段AB，小慧同学按照下列步骤画出一个四边形：(1)以点A为圆心，以大于AB的长为半径作弧；(2)以点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C，D；(3)连接AC，BC，AD，BD，CD.对于四边形ACBD，添加下列条件无法判定为菱形的是( )
第5题图
A．AB＝CD B．AC＝BC
C．∠ACD＝∠BCD D．AD∥BC
6．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点(点E不与点B，D重合)，当△ABE是等腰三角形时，∠EAD的度数为( )
第6题图
A．30° B．70° C．60° D．40°
7．[2024·滨州期中]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.下列结论：①AB⊥AC ②AD＝4OE ③四边形AECF是菱形 ④S△BOE＝S△ABC.其中，判断正确的是( )
第7题图
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②③④
8．[2024·菏泽期中]如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝140°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N，作直线MN交AD于点E，连接BE，BD，则∠EBD的度数为 ．
第8题图
9．[2023·贵州模拟]如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠A＝120°，则A，C两点间的距离为 ．
第9题图
10．[2023春·德州期中]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，H为AB边上的一点，∠BHD＝90°，连接OH，若OA＝5，OH＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
第10题图
11．[2024·泰安三模]如图，已知菱形ABCD，连接AC，若∠B＝120°，AC＝6，点F在AD上，点E在AC上，连接DE，EF，则DE＋FE的最小值是 ．
第11题图
12．[2024·烟台期中]如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F.
求证：BE＝DF.
第12题图
13．[2024·威海期中]如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，CD.当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明．
第13题图
14．[2024·宿迁]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
第14题图
15．如图，在 ABCD中，AF是∠BAD的平分线，交BC于点F，与DC的延长线交于点N.CE是∠BCD的平分线，交AD于点E，与BA的延长线交于点M，连接BE，EF.
(1)试判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
(2)若BE⊥ME，证明四边形ABFE是菱形．
第15题图1．[2024·泸州期中]下列命题错误的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．矩形的四个内角都是直角
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．[2024·青岛二模]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝m°，则∠2的度数
为( )
第2题图
A．(m－90)° B．(90－m)°
C．(m－45)° D．(180－m)°
3．[2024·泸州]已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定为 ABCD为矩形的是( )
A．∠A＝90° B．∠B＝∠C
C．AC＝BD D．AC⊥BD
4．[2024·青海]如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是( )
第4题图
A．3 B．6
C. D．3
5．(多选)[2022·聊城]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，不可行的测量方案是( )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
6．(多选)[2023·临江期末]如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，能够使四边形DBCE成为矩形的是( )
第6题图
A．AB＝BE B．CE⊥DE
C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC
7．[2024·潮州期中]如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，点E在线段AD上，且AE＝6 cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为( )
第7题图
A．2 B．4
C．4或 D．2或
8．[2024·厦门期中]如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E，F分别在边AB，CD上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A′，D′，若∠2＝35°，则∠1的度数为 ．
第8题图
9．[2024·长春期末]如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20 cm，则△BCE的周长是 _ ．
第9题图
10．[2024·泰安期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，△ABC的面积为24，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为 ．
第10题图
11．[2024·长春]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形．
第11题图
12．[2024·镇江期中]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，连接EF，EA，EC.
(1)试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
(2)若∠EAF＝25°，则∠ADC＝ °.
第12题图
13．[2024·聊城期中]如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.求证：四边形ACFD是矩形．
第13题图
14．[2024·青岛二模]如图，以△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形ABD，等腰直角三角形BCE和等腰直角三角形ACF，连接DE，EF.
第14题图
(1)求证：△ABC≌△DBE；
(2)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？请证明你的结论．1．[2024·济宁期中]矩形、菱形、正方形都具有的性质是( B )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
2．[2024·安康期中]在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是( D )
第2题图
A．③有一组邻边相等
B．②对角线互相垂直
C．④有一个角是直角
D．①一条对角线与其中一边相等
3．[2024·南京期中]如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接BE，CE，则∠EBC的度数为( A )
第3题图
A．15° B．20° C．22.5° D．30°
4．[2023·宁波模拟]边长为a的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中⑤号小矩形是边长为b的正方形，若①号小矩形的周长为c，且满足2a－2b＝c，则下列小矩形中一定是正方形的是( D )
第4题图
A．① B．② C．③ D．④
5．[2024·烟台期中]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE＝1，AF＝5，AE∥CF，则△ABE的面积为( C )
第5题图
A．6 B．5
C．3 D.
6．[2024·聊城期中]如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连接DF并延长交AB于点G，下列结论：①∠CFD＝60° ②S△BGF＝S△DHF ③△AHE≌△FGB ④∠DHE＝∠EDF.其中正确的结论有( D )
第6题图
A．①②③ B．①②③④
C．①③④ D．①②④
7．(多选)[2023·岱岳区期末]小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从条件①AB＝BC ②∠ABC＝90° ③AC＝BD
④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法你认为正确的是( ABD )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
8．[2024·商丘期末]如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置．若正方形A的面积为4，则阴影部分面积为1．
第8题图
9．[2023·武汉期中]如图，在 ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四个结论：①存在无数个平行四边形MENF ②存在无数个矩形MENF ③存在无数个菱形MENF ④存在两个正方形MENF.其中正确的结论是①②③(填序号)．
第9题图
10．[2024·淄博期中]如图，已知平行四边形ABCD和正方形CEFG，其中点E在AD上，若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B＝70°．
第10题图
11．[2023·富锦期末]如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为13．
第11题图
12．[2024·吉林二模]已知： 在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，它的两边分别交CB，DC于点M，N，AH⊥MN于点H，连接BH, 则下列结论：①BM＋DN＝MN ②△ABM≌△ADN ③∠BAM＝∠BHM，其中结论一定正确的序号是①③．
第12题图
解析：延长CB至E，使BE＝DN.
第12题图
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，
∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS)，
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠MAN＝45°，
∴∠DAN＋∠BAM＝45°，
∴∠EAB＋∠BAM＝45°，
∴∠EAN＝90°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中，
∴△AEM≌△ANM(SAS)，
∴EM＝MN
∴EM＝BM＋BE＝BM＋DN＝MN，故①正确；
∵BM＝DN不一定成立，
∴△ABM≌△ADN不一定成立，故②不正确；
∵△AEM≌△ANM，
∴∠AMB＝∠AMH，
又∵AM＝AM，∠ABM＝∠AHM＝90°，
∴△ABM≌△AHM(AAS)，
∴AB＝AH，MB＝MH，
∴AM⊥BH，
∴∠HBM＋∠AMB＝90°，
又∵∠BAM＋∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝∠BHM，故③正确．
13．[2024·济南期末]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：
(1)△ADF≌△DCE；
(2)AF⊥DE.
第13题图
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BE＝CF，
∴BC－BE＝CD－CF，即CE＝DF，
在△ADF和△DCE中，
∴△ADF≌△DCE(SAS)；
(2)由(1)知△ADF≌△DCE，
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADC＝90°，即∠CDE＋∠EDA＝90°，
∴∠DAF＋∠EDA＝90°，
∴∠AGD＝180°－(∠DAF＋∠EDA)＝90°，
∴AF⊥DE.
14．[2024·菏泽期中]如图，在△ABC中，O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：EO＝OF；
(2)连接AE，AF，当点O沿AC移动到AC的中点时，四边形AECF是什么特殊四边形？说明理由；
(3)若点O是AC边的中点，四边形AECF是否能成为正方形？如果能，对△ABC有什么要求？
第14题图
解：(1)证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴EO＝FO；
(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由：
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形；
(3)△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，理由：
由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∴AC＝EF，AO＝CO，EO＝FO，
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EF，
∴∠EOC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠ACB＝180°－∠EOC＝90°，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.
15．[2024·烟台期中]如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，连接CE，CP.
第15题图
(1)如图1，若四边形ABCD为正方形，判断△PCE的形状并说明理由；
(2)如图2，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，判断△PCE的形状并说明理由．
解：(1)△PCE是等腰直角三角形，理由：
如图1，
图1
第15题图
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，∠ADC＝90°，
在△PDA和△PDC中，
∵
∴△PDA≌△PDC(SAS)，
∴PA＝PC，∠3＝∠1，
∵PA＝PE，
∴PE＝PC，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2.
∵∠EDF＝90°，∠DFE＝∠PFC，
∴∠EPC＝∠EDF＝90°，
∴△PCE是等腰直角三角形；
(2)△PCE是等边三角形，
理由：如图2，
图2
第15题图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB，
∠ADC＝∠ABC＝120°，
在△PDA和△PDC中，
∵
∴△PDA≌△PDC(SAS)，
∴PA＝PC，∠3＝∠1.
∵PA＝PE，
∴PE＝PC，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2.
∵∠DFE＝∠PFC，
∴∠EPC＝∠EDC.
∵∠ADC＝120°，
∴∠EDC＝60°，
∴∠EPC＝60°，
∴△PCE是等边三角形．
