1．[2024·巴中]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4.若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为( B )
第1题图
A．4 B．5 C．6 D．8
2．[2024·济宁二模]如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为( C )
第2题图
A．6 B．7 C．8 D．9
3．[2024·潍坊一模]如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE，若AC＝5，DE＝1，则AB等于( A )
第3题图
A．7 B．6.5 C．6 D．5.5
4．[2024·威海期末]如图，点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝( A )
第4题图
A．25° B．30° C．35° D．40°
5．[2024·西安期中]如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边的中点，则下列条件能使得四边形EFGH为矩形的是( C )
第5题图
A．AB⊥AD B．AB＝AD
C．AC⊥BD D．AC＝BD
6．[2024·烟台期末]如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△DGF的面积为2，则△CEF的面积为( B )
第6题图
A．4 B．6 C．8 D．9
7．[2023·桥西区期末]如图，在四边形ABCD中，P，R分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CB上从点C向B移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( C )
第7题图
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长先逐渐增大后逐渐减小
8．(多选)[2023·宁阳县期末]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，下列结论中正确的有( BCD )
第8题图
A．CD＝AB
B．BG＝FG
C．FG∥AC
D．∠CAE＋∠BGF＝180°.
解析：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，
第8题图
∵BD＝AB，DB＜DC，
∴CD＞AB，
故A不符合题意；
∵EF∥NG∥BC，EG＝CG，
∴FN＝NB，
∵GN⊥AB，
∴FG＝GB，
故B符合题意；
∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM，
∴△AEF≌△AMF(ASA)，
∴FE＝FM，
∵EG＝GC，
∴FG∥AC，
故C符合题意；
∵∠BFG＋∠FBG＋∠FGB＝180°，
∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF，
∴∠EAC＋∠FGB＝180°，
故D符合题意．
9．[2024·菏泽期中]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，D，F分别为BC，AB，AC上的中点，已知DF＝4，则AE＝4．
第9题图
10．[2024·泰安期中]如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG，则下列结论中一定成立的是①②③．(填序号)
第10题图
①OG＝AB
②△ABG≌△DCO
③由点A，B，D，E构成的四边形是菱形
11．[2024·淄博期末]如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F.
(1)求证：∠AEN＝∠F；
(2)若∠A＋∠ABC＝122°，求∠F的大小．
第11题图
解：(1)证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM∥BC，PM＝BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理PN∥AD，PN＝AD，
∴∠PNM＝∠AEN，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
(2)∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB＋∠ABD＝∠A＋∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠F＝∠PMN，∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN＋∠MPD＝∠A＋∠ABD＋∠DBC＝∠A＋∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝×(180°－122°)＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°.
12．[2024·滨州期中]如图，在四边形ABCD中，M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与EF互相平分．
第12题图
证明：如图，连接ME，EN，NF，MF，
第12题图
∵M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，
∴ME∥AB且ME＝AB，NF∥AB且NF＝AB，
∴ME∥NF且ME＝NF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴MN与EF互相平分．
13．[2024·潍坊期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F ，使EF＝DE，连接CF，BF，CD.
(1)求证：四边形CFBD 是菱形；
(2)连接AE，若AC＝2，BC＝6，求四边形CFBD的面积．
第13题图
解：(1)证明：∵D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是Rt△ABC 的中位线，CE＝BE，
∴DE∥AC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEB＝∠ACB＝90°，即DF⊥BC，
又∵EF＝DE，∴四边形CFBD 是菱形；
(2)由(1)可得DE是Rt△ABC 的中位线，
∴DE＝AC＝1，∴DF＝2DE＝2，
∵四边形CFBD是菱形，
∴S四边形CFBD＝DF·BC＝6.
第13题图
14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E，F分别为DB，BC的中点，连接AE，EF，AF.
(1)求证：AE＝EF；
(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．
第14题图
解：(1)证明：∵点E，F分别为DB，BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝CD，
在Rt△ABD中，点E为斜边DB的中点，
∴AE＝DB，
∵DB＝DC，
∴AE＝EF；
(2)由(1)知AE＝EF，
∵AF＝AE，
∴AE＝EF＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵EF是△BCD的中位线，
∴EF∥CD，
∴∠BEF＝∠BDC＝β，
∴β＋∠AEB＝60°，
又∵∠AEB＝α＋∠DAE，
∴β＋α＋∠DAE＝60°，
∵∠DAB＝90°，
∴AE是斜边BD上的中线，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝α，
∴β＋α＋α＝60°，
即2α＋β＝60°.
15．[2024·临沂期中]阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
第15题图
这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．
证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N.
∵H，G分别为AD，CD的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC.(依据1)
易知DN＝NM＝DM.
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴HE∥GF，即HP∥GQ.
∴HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形．(依据2)
∴S HPQG＝HG·MN＝HG·DM.
∵S△ADC＝AC·DM＝HG·DM，
∴S HPQG＝S△ADC，同理……
任务：
(1)材料中的依据1是指： ，
依据2是指： ，
并补全证明；
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)在图1中，分别连接AC，BD，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．
解：(1)证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，
交HG于点N.
∵H，G分别为AD，CD的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，(三角形的中位线定理)
易知DN＝NM＝DM，
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴HE∥GF，即HP∥GQ.
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
∴S HPQG＝HG·MN＝HG·DM.
∵S△ADC＝AC·DM＝HG·DM，
∴S HPQG＝S△ADC，
同理，S EPQF＝S△ABC，
∴S EFGH＝S四边形ABCD，
故答案为：三角形的中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)如图3，画四边形ABCD，且AC⊥BD交BD于点O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，H，G，F，则四边形EFGH为矩形，
第15题图
理由：∵点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF∥BD，HG∥BD，EH∥AC，FG∥AC，
∴EF∥GH，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF∥BD，
∴AC⊥EF，
∴FG∥AC，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形；
(3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC＋BD，理由：如图4，
第15题图
∵四边形EFGH是四边形ABCD的瓦里尼翁平行四边形，
∴点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF＝AC，GH＝AC，EH＝BD，GF＝BD，
∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为
EF＋GF＋GH＋HE＝AC＋BD＋AC＋BD＝BD＋AC.1．[2024·巴中]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4.若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为( )
第1题图
A．4 B．5 C．6 D．8
2．[2024·济宁二模]如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为( )
第2题图
A．6 B．7 C．8 D．9
3．[2024·潍坊一模]如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE，若AC＝5，DE＝1，则AB等于( )
第3题图
A．7 B．6.5 C．6 D．5.5
4．[2024·威海期末]如图，点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝( )
第4题图
A．25° B．30° C．35° D．40°
5．[2024·西安期中]如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边的中点，则下列条件能使得四边形EFGH为矩形的是( )
第5题图
A．AB⊥AD B．AB＝AD
C．AC⊥BD D．AC＝BD
6．[2024·烟台期末]如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△DGF的面积为2，则△CEF的面积为( )
第6题图
A．4 B．6 C．8 D．9
7．[2023·桥西区期末]如图，在四边形ABCD中，P，R分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CB上从点C向B移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )
第7题图
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长先逐渐增大后逐渐减小
8．(多选)[2023·宁阳县期末]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，下列结论中正确的有( )
第8题图
A．CD＝AB
B．BG＝FG
C．FG∥AC
D．∠CAE＋∠BGF＝180°.
9．[2024·菏泽期中]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，D，F分别为BC，AB，AC上的中点，已知DF＝4，则AE＝ ．
第9题图
10．[2024·泰安期中]如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 ．(填序号)
第10题图
①OG＝AB
②△ABG≌△DCO
③由点A，B，D，E构成的四边形是菱形
11．[2024·淄博期末]如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F.
(1)求证：∠AEN＝∠F；
(2)若∠A＋∠ABC＝122°，求∠F的大小．
第11题图
12．[2024·滨州期中]如图，在四边形ABCD中，M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与EF互相平分．
第12题图
13．[2024·潍坊期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F ，使EF＝DE，连接CF，BF，CD.
(1)求证：四边形CFBD 是菱形；
(2)连接AE，若AC＝2，BC＝6，求四边形CFBD的面积．
第13题图
14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E，F分别为DB，BC的中点，连接AE，EF，AF.
(1)求证：AE＝EF；
(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．
第14题图
15．[2024·临沂期中]阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
第15题图
这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．
证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N.
∵H，G分别为AD，CD的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC.(依据1)
易知DN＝NM＝DM.
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴HE∥GF，即HP∥GQ.
∴HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形．(依据2)
∴S HPQG＝HG·MN＝HG·DM.
∵S△ADC＝AC·DM＝HG·DM，
∴S HPQG＝S△ADC，同理……
任务：
(1)材料中的依据1是指： ，
依据2是指： ，
并补全证明；
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)在图1中，分别连接AC，BD，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．
