1．[2024·烟台期末]一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为18 m，倒下后树顶落在距树根部大约12 m处．这棵大树离地面约 处折断( )
第1题图
A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m
2．[2024·滨州三模]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6.将△ABC折叠，使点A落在BC的中点D处，折痕为MN，则线段DN的长为( )
第2题图
A. B.
C．5 D．4
3．[2024·德州期中]如图，在直线上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为( )
第3题图
A．a＋b＋c B．a＋c
C．a＋2b＋c D．a－b＋c
4．[2024·烟台期中]如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b表示直角三角形的两直角边(a>b)，则下列说法：①a2＋b2＝25 ②a－b＝1 ③ab＝12 ④a＋b＝7.其中正确的个数有( )
第4题图
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．[2024·淄博期末]在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为( )
第5题图
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
6．(多选)已知△ABC中，AB＝20，AC＝15，且BC边上的高AD＝12，则BC的长可能为( )
A．7 B．9 C．25 D．20
7．[2023·合川区期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD为BC边上的中线，若AC＝5，AD＝，则AB的长度为 ．
第7题图
8．[2024·河南]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(－2，0)，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为 ．
第8题图
9．[2024·淄博期末]如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC＝4，BC＝3，将△ABC折叠，使点A与点B重合，求折痕DE的长．
第9题图
10．[2024·济宁期中]某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到记录表如表：
测量示意图 第10题图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离BC的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米；
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米.
请完成以下任务：
(1)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17，求线段AD的长；
(2)如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
11．[2023·应县期末]勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
第11题图
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有 个；
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1＋S2＝S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系；
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6
所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2＋b2＋c2＋d2＝ ．1．[2024·烟台期末]一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为18 m，倒下后树顶落在距树根部大约12 m处．这棵大树离地面约 处折断( C )
第1题图
A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m
2．[2024·滨州三模]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6.将△ABC折叠，使点A落在BC的中点D处，折痕为MN，则线段DN的长为( C )
第2题图
A. B.
C．5 D．4
3．[2024·德州期中]如图，在直线上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为( B )
第3题图
A．a＋b＋c B．a＋c
C．a＋2b＋c D．a－b＋c
4．[2024·烟台期中]如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b表示直角三角形的两直角边(a>b)，则下列说法：①a2＋b2＝25 ②a－b＝1 ③ab＝12 ④a＋b＝7.其中正确的个数有( A )
第4题图
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．[2024·淄博期末]在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为( C )
第5题图
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
6．(多选)已知△ABC中，AB＝20，AC＝15，且BC边上的高AD＝12，则BC的长可能为( AC )
A．7 B．9 C．25 D．20
7．[2023·合川区期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD为BC边上的中线，若AC＝5，AD＝，则AB的长度为13．
第7题图
8．[2024·河南]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(－2，0)，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为(3，10)．
第8题图
9．[2024·淄博期末]如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC＝4，BC＝3，将△ABC折叠，使点A与点B重合，求折痕DE的长．
第9题图
解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
由折叠可知BE＝AE＝AB＝，
DE⊥AB，∠BED＝90°，BD＝AD，
设BD＝x，则CD＝4－x.
在Rt△BCD中，BC2＋CD2＝BD2，
∴32＋(4－x)2＝x2.
解得x＝，∴BD＝，
在Rt△BED中，DE＝＝＝＝.
10．[2024·济宁期中]某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到记录表如表：
测量示意图 第10题图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离BC的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米；
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米.
请完成以下任务：
(1)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17，求线段AD的长；
(2)如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
解：(1)∵在△ABC中，
∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米，
∴AC＝＝＝8，
又∵AD＝AC＋CD，AC＝8米，CD＝1.7米，
∴AD＝8＋1.7＝9.7(米)，
答：线段AD的长为9.7米；
(2)∵风筝沿DA方向再上升12米后，
AC＝20米，
∴此时风筝线的长为＝25(米)，
∴风筝应该放出线的长度为25－17＝8(米)，
答：他应该再放出8米线．
11．[2023·应县期末]勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
第11题图
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有 个；
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1＋S2＝S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系；
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6
所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2＋b2＋c2＋d2＝ ．
解：(1)①设两直角边分别为x，y，斜边为z，
则图2中，S1＝x2，S2＝y2，S3＝z2，
∵x2＋y2＝z2，
∴S1＋S2＝S3，故图2符合题意；
图3中，S1＝＝，
S2＝＝，S3＝＝，
∵＋＝＝，
∴S1＋S2＝S3，故图3符合题意；
图4中，S1＝，
S2＝，S3＝，
∵＋＝＝，
∴S1＋S2＝S3，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有3个，故答案为：3；
②满足，证明：
由题意知a2＋b2＝c2，S1＋S2＝＋＋－＝，S3＝，
∴S1＋S2＝S3；
(2)由题意知，SA＝a2，SB＝b2，SC＝c2，SD＝d2，(SA＋SB)＋(SC＋SD)＝SM＝m2，
∴a2＋b2＋c2＋d2＝m2，
故答案为：m2.
