1．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是( )
第1题图
A．直角三角形两个锐角互余
B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和等于180°
D．勾股定理
2．[2024·临沂期中]下列四组数中，勾股数是( )
A.，， B．9，40，41
C．0.3，0.4，0.5 D．1，，2
3．[2024·临沂期中]如图，正方形网格中的△ABC，点A，B，C都在网格点上，则△ABC的形状为( )
第3题图
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都有可能
4．[2024·济宁期末]如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为( )
第4题图
A．140° B．142° C．150° D．152°
5．(多选)[2024·潍坊二模]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m>n>0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，可以由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A．3，4，5 B．5，12，13
C．6，8，10 D．7，24，25
6．(多选)[2023春·虞城县期末]将一根24 cm长的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h可以是( )
第6题图
A．7 B．15 C．16 D．17
7．五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )
8．[2024·济宁期中]如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则点A到直线BC的距离是 ．
第8题图
9．[2024·青岛期末]如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，D为BC延长线上一点，BE⊥AD.若CD＝6，则BE的长为 ．
第9题图
10．[2023·深圳期末]如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是3 m/s，乙客轮航行的速度是4 m/s，5分钟后甲到达A地，乙到达B地．若A，B两地的直线距离为1 500 m，甲客轮沿着北偏东35°的方向航行，则乙客轮的航行方向是 ．
第10题图
11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则∠CAB＋∠CBA＝ °.
第11题图
12．如图，已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－EA2＝AC2.
(1)判断△ABC的形状并说明理由；
(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
第12题图
13．[2024·聊城期中]为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，AB＝AD＝13 m，BC＝8 m，CD＝6 m，且BD＝10 m．该校计划在此空地(阴影部分)上种植花卉，若每种植1 m2花卉需要花费100元，则此块荒地全部种植花卉共需花费多少元？
第13题图
14．[2024·潍坊期中]如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库，无法直达．A村村民需要乘车经公路AB和高速路段BC才能到达县城C，为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路AD.测得AC＝BC，AB＝60千米，BD＝36千米，AD＝48千米．
(1)新公路AD是否为村庄A到高速公路的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求村庄A到县城C的直线距离(即线段AC的长)．
第14题图1．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是( B )
第1题图
A．直角三角形两个锐角互余
B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和等于180°
D．勾股定理
2．[2024·临沂期中]下列四组数中，勾股数是( B )
A.，， B．9，40，41
C．0.3，0.4，0.5 D．1，，2
3．[2024·临沂期中]如图，正方形网格中的△ABC，点A，B，C都在网格点上，则△ABC的形状为( A )
第3题图
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都有可能
4．[2024·济宁期末]如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为( B )
第4题图
A．140° B．142° C．150° D．152°
5．(多选)[2024·潍坊二模]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m>n>0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，可以由该勾股数计算公式直接得出的是( ABD )
A．3，4，5 B．5，12，13
C．6，8，10 D．7，24，25
6．(多选)[2023春·虞城县期末]将一根24 cm长的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h可以是( ABC )
第6题图
A．7 B．15 C．16 D．17
7．五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( C )
8．[2024·济宁期中]如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则点A到直线BC的距离是2．
第8题图
9．[2024·青岛期末]如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，D为BC延长线上一点，BE⊥AD.若CD＝6，则BE的长为9.6．
第9题图
10．[2023·深圳期末]如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是3 m/s，乙客轮航行的速度是4 m/s，5分钟后甲到达A地，乙到达B地．若A，B两地的直线距离为1 500 m，甲客轮沿着北偏东35°的方向航行，则乙客轮的航行方向是北偏西55°．
第10题图
11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则∠CAB＋∠CBA＝45°.
第11题图
12．如图，已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－EA2＝AC2.
(1)判断△ABC的形状并说明理由；
(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
第12题图
解：(1)△ABC是直角三角形，理由：
连接CE，如图，
第12题图
∵D是BC的中点，
DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2－EA2＝AC2，
∴CE2－EA2＝AC2，
∴EA2＋AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，
即∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
(2)∵DE⊥BC，DE＝3，BD＝4，
∴BE＝＝5＝CE，
∴AC2＝EC2－AE2＝25－EA2，
∵D是BC的中点，
BD＝4，
∴BC＝2BD＝8，
在Rt△BAC中，
BC2－BA2＝64－(5＋EA)2＝AC2，
∴64－(5＋AE)2＝25－EA2，
解得AE＝.
13．[2024·聊城期中]为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，AB＝AD＝13 m，BC＝8 m，CD＝6 m，且BD＝10 m．该校计划在此空地(阴影部分)上种植花卉，若每种植1 m2花卉需要花费100元，则此块荒地全部种植花卉共需花费多少元？
第13题图
解：如图，过A作AE⊥BD于点E，
第13题图
∵AB＝AD＝13 m，
BD＝10 m，
∴BE＝DE＝BD＝5 m，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE＝＝＝12(m)．
∵BC＝8 m，CD＝6 m，BD＝10 m，
82＋62＝102，
∴BC2＋CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，
∴S阴影＝S△ABD－S△BCD＝BD·AE－BC·CD＝×10×12－×8×6
＝60－24
＝36(m2)，
∴100×36＝3 600(元)．
答：此块空地全部种植花卉共需花费3 600元．
14．[2024·潍坊期中]如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库，无法直达．A村村民需要乘车经公路AB和高速路段BC才能到达县城C，为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路AD.测得AC＝BC，AB＝60千米，BD＝36千米，AD＝48千米．
(1)新公路AD是否为村庄A到高速公路的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求村庄A到县城C的直线距离(即线段AC的长)．
第14题图
解：(1)∵AD2＋BD2＝482＋362＝3 600，
∴AB2＝3 600＝AD2＋BD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BD，
故新公路AD是村庄A到高速公路的最近路；
(2)∵AC＝BC，
∴CD＝BC－BD＝AC－BD＝AC－36，
∵AC2＝AD2＋CD2，
∴AC2＝482＋(AC－36)2，
解得AC＝50，
∴村庄A到县城C的直线距离为50 km.
