1．[2024·泰安期末]下列计算正确的是( )
A.＝
B．2 ＋3 ＝5
C.÷＝2
D.(2 －3)＝4－3
2．[2024·烟台期中]用下列运算符号代替○，能使算式3 ○的运算结果最小的是( )
A．＋ B．－
C．× D．÷
3．如图，数轴上的点可近似表示(4 －)÷的值是( )
第3题图
A．点A B．点B
C．点C D．点D
4．[2024·十堰期末]计算 － ＋2×的结果为( )
A.＋2 B.＋3
C.＋ D．5
5．[2024·菏泽期末]若x为实数，在“(＋1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( )
A.＋1 B.－1
C．1－ D．2
6．[2024·衡水期末]已知a＝，b＝＋3，则a与b的关系是( )
A．互为相反数 B．相等
C．互为倒数 D．互为负倒数
7．(多选)[2023春·宝应期末]下列各式计算错误的是( )
A.＋＝
B．4 －3 ＝1
C.×＝
D.÷2＝
8．[2024·大连期末]海伦—秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a，b，c，记p＝，三角形的面积为s＝.如图，请你利用海伦－秦九韶公式计算△ABC的面积为( )
第8题图
A. B．5
C. D．10
9．[2023·聊城]计算：(－3)÷＝ ．
10．[2024·烟台期中]计算(＋)2 024(－)2 023的结果为 ．
11．[2024·浙江一模]已知x＝1－，y＝1＋，则x2＋3xy＋y2的值为 ．
12．[2024·临沂期末]如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S1＝18，S2＝12，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ．
第12题图
13．[2024·威海期中]计算：
(1)(3＋－)×；
(2)－－(－)＋.
14．[2024·绥化期中]已知：m＝＋2，n＝－2，求：
(1)(m＋1)(n＋1)；
(2)＋.
a(a≥0)，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知a＝，求3a2－6a－1的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为a＝＝＝＋1，
所以a－1＝.
所以(a－1)2＝2，所以a2－2a＋1＝2，
所以a2－2a＝1，所以3a2－6a＝3，所以3a2－6a－1＝2.
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)－的有理化因式是 ，
＝ ；
(2)化简(＋＋＋…＋)(＋)；
(3)若a＝，求－2a2＋12a＋3的值．
16．[2024·烟台期中]【问题背景】
已知x2＋x＋x＝－1(x≠0)，求x2＋的值．
【问题解决】
(1)小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到x＋的值，再利用完全平方公式求出x2＋的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程；
【拓展应用】
(2)已知x2－x－x－1＝0(x≠0)，求x2＋的值；
(3)已知x2＋1＝3x(x>0)，求－的值．1．[2024·泰安期末]下列计算正确的是( D )
A.＝
B．2 ＋3 ＝5
C.÷＝2
D.(2 －3)＝4－3
2．[2024·烟台期中]用下列运算符号代替○，能使算式3 ○的运算结果最小的是( B )
A．＋ B．－
C．× D．÷
3．如图，数轴上的点可近似表示(4 －)÷的值是( A )
第3题图
A．点A B．点B
C．点C D．点D
4．[2024·十堰期末]计算 － ＋2×的结果为( B )
A.＋2 B.＋3
C.＋ D．5
5．[2024·菏泽期末]若x为实数，在“(＋1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( D )
A.＋1 B.－1
C．1－ D．2
6．[2024·衡水期末]已知a＝，b＝＋3，则a与b的关系是( A )
A．互为相反数 B．相等
C．互为倒数 D．互为负倒数
7．(多选)[2023春·宝应期末]下列各式计算错误的是( ABD )
A.＋＝
B．4 －3 ＝1
C.×＝
D.÷2＝
8．[2024·大连期末]海伦—秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a，b，c，记p＝，三角形的面积为s＝.如图，请你利用海伦－秦九韶公式计算△ABC的面积为( C )
第8题图
A. B．5
C. D．10
9．[2023·聊城]计算：(－3)÷＝3．
10．[2024·烟台期中]计算(＋)2 024(－)2 023的结果为＋．
11．[2024·浙江一模]已知x＝1－，y＝1＋，则x2＋3xy＋y2的值为3．
12．[2024·临沂期末]如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S1＝18，S2＝12，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为8－8．
第12题图
13．[2024·威海期中]计算：
(1)(3＋－)×；
(2)－－(－)＋.
解：(1)×
＝3×＋×－×
＝3×10＋15－1
＝44；
(2)－－(－)＋
＝|1－|－－(4 －2 )＋
＝－1－(2＋)－4 ＋2 ＋
＝－1－2－－4 ＋2 ＋
＝－3－5 ＋3 .
14．[2024·绥化期中]已知：m＝＋2，n＝－2，求：
(1)(m＋1)(n＋1)；
(2)＋.
解：∵m＝＋2，n＝－2，
∴mn＝(＋2)(－2)
＝7－22
＝3，
m＋n＝＋2＋－2
＝2 .
(1)∴(m＋1)(n＋1)＝mn＋(m＋n)＋1
＝3＋2 ＋1
＝4＋2 ；
(2)∴＋
＝
＝
＝
＝＝.
15．[2024·东营期中]阅读材料：像(＋2)×(－2)＝1，·＝a(a≥0)，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知a＝，求3a2－6a－1的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为a＝＝＝＋1，
所以a－1＝.
所以(a－1)2＝2，所以a2－2a＋1＝2，
所以a2－2a＝1，所以3a2－6a＝3，所以3a2－6a－1＝2.
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)－的有理化因式是 ，
＝ ；
(2)化简(＋＋＋…＋)(＋)；
(3)若a＝，求－2a2＋12a＋3的值．
解：(1)∵(－)(＋)＝3－2＝1，
∴－的有理化因式是＋，
＝＝＋，
故答案为：＋；＋；
(2)∵
＝
＝－(n为正整数)，
∴(＋＋＋…＋)(＋)
＝(－＋－＋－＋…＋－)(＋)
＝(－)(＋)
＝2022；
(3)∵a＝＝＝3＋，
∴a－3＝，
∴(a－3)2＝()2，
∴a2－6a＋9＝7，
∴a2－6a＝－2，
∴2a2－12a＝－4，
∴－2a2＋12a＋3＝－(2a2－12a)＋3＝－(－4)＋3＝7.
16．[2024·烟台期中]【问题背景】
已知x2＋x＋x＝－1(x≠0)，求x2＋的值．
【问题解决】
(1)小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到x＋的值，再利用完全平方公式求出x2＋的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程；
【拓展应用】
(2)已知x2－x－x－1＝0(x≠0)，求x2＋的值；
(3)已知x2＋1＝3x(x>0)，求－的值．
解：(1)∵x2＋x＋x＝－1(x≠0)，
∴x＋＋1＝－，
∴x＋＝－－1，
∴x2＋
＝－2
＝(－－1)2－2
＝2 ＋2，
∴x2＋的值为2 ＋2.
(2)x2－x－x－1＝0(x≠0)，
∴x－－1－＝0，
∴x－＝＋1，
∴x2＋
＝＋2
＝(＋1)2＋2
＝2 ＋8，
∴x2＋的值为2 ＋8；
(3)x2＋1＝3x(x>0)，
∴x＋＝3，
∴＝x＋－2
＝3－2
＝1，
∴－＝±1，
∴－的值为±1.
