第6章 平行四边形
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2023·蚌埠期末]在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若添加一个条件，使得 ABCD为矩形，该条件是( )
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．∠ABD＝∠CDB D．∠ABD＝∠CBD
2．[2023·河北]综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图1～图3是其作图过程．
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O； (2)连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO； (3)连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
3．[2024·济南一模]如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得∠2＝58°，则∠1的度数为( )
第3题图
A．22° B．32° C．42° D．62°
4．[2023·西和期末]如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝BC，则∠ACE的度数为( )
第4题图
A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°
5．[2024·济南期中]如图，在 ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为10，则 ABCD的周长为( )
第5题图
A．18 B．20 C．22 D．24
6．[2023·裕华二模]图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1－S2的值
为( )
第6题图
A．9 B．10 C．6 D．1
7．[2024·泰安期中]四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是( )
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，AB＝CD，∠A＝∠B
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
8．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E.若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角(虚线也视为角的边)有( )
第8题图
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，添加一些条件，能证明四边形AECF是平行四边形，添加的条件可以是( )
第9题图
A．BE＝DF B．∠B＝∠D C．∠BAE＝∠DCF D．AE＝CF
10．如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF＝15°，则下列说法正确的是( )
第10题图
A．∠COF＝75° B．CO＝CF＝CD
C．∠COD＝∠CFD D．△COD是等边三角形
11．[2024·潍坊期末]如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD并交CD于点E，且点E是CD的中点，则下列结论正确的是( )
第11题图
A．AE⊥EF B．AF＝CF＋AD
C．∠BAF＝2∠FAE D．EC＝FC
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B(－3，2)，点C(0，2)，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以每秒1个单位长度的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，若以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，则t等于( )
第12题图
A．1 B．3 C．9 D．13
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．[2024·烟台期中]如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝8，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF.若∠AFC＝90°，则AC的长度是__ __．
第13题图
14．[2023·沈丘期末]如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形的边AB，BC于点M，N.记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为__ __．
第14题图
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A，B，C的坐标分别为(1，1)，(4，3)，(6，－2)，在平面直角坐标系中找一点D，使以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标：__ __．
第15题图
16．[2024·潍坊期末]如图，已知在BC的同一侧以△ABC的三边分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF.给出以下结论：
①四边形ADEF是平行四边形 ②若四边形ADEF是矩形，则∠BAC＝120° ③若四边形ADEF是菱形，则AB＝AC ④当∠BAC＝60°时，四边形ADEF不存在．
其中正确的结论有__ __．(填序号)
第16题图
四、解答题(共48分)
17．(6分)[2024·济宁期末]如图，在 ACFD中，点B，E分别在AC，DF上，AB＝FE，AF分别交BD，CE于点M，N.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝6，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
第17题图
18．(8分)[2023·平江二模]已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，BE平分∠ABC.
请从以下三个条件：①AE＝BF ②AB＝EF ③AB∥EF中，选择一个合适的条件，使四边形ABFE为菱形．
(1)你添加的条件是____(填序号)；
(2)添加了条件后，请证明四边形ABFE为菱形．
第18题图
19．(6分)[2023·薛城期末]如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连接AD交EF于点G，已知AE＝EG.
第19题图
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数．
20．(8分)[2024·泰安期中](1)如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由；
(2)如图2，如果题目中的菱形变为矩形，结论应变为什么？(直接写出结论)
(3)如图3，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
第20题图
21．(10分)如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.
(1)求证：四边形EGFH是矩形；
(2)过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，求证：四边形MNQP是菱形．
第21题图
22．(10分)[2024·济宁期中]如图1，已知四边形ABCD，连接AC和BD，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，连接EF，FG，GH，HE.
第22题图
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若∠ABC＋∠BCD＝90°，试判定四边形EFGH的形状；
(3)如图2，在(2)的条件下，若AD∥BC，求证：EG＝(BC－AD)．第6章 平行四边形
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2023·蚌埠期末]在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若添加一个条件，使得 ABCD为矩形，该条件是( A )
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．∠ABD＝∠CDB D．∠ABD＝∠CBD
2．[2023·河北]综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图1～图3是其作图过程．
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O； (2)连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO； (3)连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( C )
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
3．[2024·济南一模]如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得∠2＝58°，则∠1的度数为( B )
第3题图
A．22° B．32° C．42° D．62°
4．[2023·西和期末]如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝BC，则∠ACE的度数为( A )
第4题图
A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°
5．[2024·济南期中]如图，在 ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为10，则 ABCD的周长为( B )
第5题图
A．18 B．20 C．22 D．24
6．[2023·裕华二模]图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1－S2的值
为( A )
第6题图
A．9 B．10 C．6 D．1
7．[2024·泰安期中]四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是( C )
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，AB＝CD，∠A＝∠B
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
8．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E.若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角(虚线也视为角的边)有( C )
第8题图
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，添加一些条件，能证明四边形AECF是平行四边形，添加的条件可以是( AC )
第9题图
A．BE＝DF B．∠B＝∠D C．∠BAE＝∠DCF D．AE＝CF
10．如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF＝15°，则下列说法正确的是( ABD )
第10题图
A．∠COF＝75° B．CO＝CF＝CD
C．∠COD＝∠CFD D．△COD是等边三角形
11．[2024·潍坊期末]如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD并交CD于点E，且点E是CD的中点，则下列结论正确的是( AB )
第11题图
A．AE⊥EF B．AF＝CF＋AD
C．∠BAF＝2∠FAE D．EC＝FC
解析：延长AD，交FE的延长线于点M，
第11题图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
∵E是CD的中点，∴DE＝CE，
在△DEM和△CEF中，
∴△DEM≌△CEF(AAS)，
∴EM＝EF，
∴S△AEM＝S△AEF，
∵AE平分∠FAD，
∴△AEM的AM边上的高与△AEF的AF边上的高相等，
∴AM＝AF，AE⊥EF，
即AF＝AD＋DM＝CF＋AD，故A，B正确；
∵AF不一定是∠BAD的角平分线，
∴∠BAF不一定等于∠FAD，
∴∠BAF不一定等于2∠FAE，故C错误；
∵∠CEF不一定等于∠CFE，
∴EC不一定等于FC，故D错误；
∴正确的结论是AB.
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B(－3，2)，点C(0，2)，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以每秒1个单位长度的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，若以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，则t等于( ABD )
第12题图
A．1 B．3 C．9 D．13
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．[2024·烟台期中]如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝8，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF.若∠AFC＝90°，则AC的长度是__6__．
第13题图
14．[2023·沈丘期末]如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形的边AB，BC于点M，N.记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为__9__．
第14题图
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A，B，C的坐标分别为(1，1)，(4，3)，(6，－2)，在平面直角坐标系中找一点D，使以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标：__(9，0)或(－1，6)或(3，－4)__．
第15题图
16．[2024·潍坊期末]如图，已知在BC的同一侧以△ABC的三边分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF.给出以下结论：
①四边形ADEF是平行四边形 ②若四边形ADEF是矩形，则∠BAC＝120° ③若四边形ADEF是菱形，则AB＝AC ④当∠BAC＝60°时，四边形ADEF不存在．
其中正确的结论有__①③④__．(填序号)
第16题图
四、解答题(共48分)
17．(6分)[2024·济宁期末]如图，在 ACFD中，点B，E分别在AC，DF上，AB＝FE，AF分别交BD，CE于点M，N.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝6，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
第17题图
解：(1) 证明：∵四边形ACFD是平行四边形，
∴AC＝DF，AC∥DF，
∵AB＝FE，
∴AC－AB＝DF－FE，即BC＝DE，
∴四边形BCED是平行四边形；
(2)∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
由(1)，得四边形BCED是平行四边形，
∴BC＝DE＝6，EC∥DB，
∴∠CNB＝∠DBN，
∴∠CNB＝∠CBN，
∴CN＝BC＝6.
18．(8分)[2023·平江二模]已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，BE平分∠ABC.
请从以下三个条件：①AE＝BF ②AB＝EF ③AB∥EF中，选择一个合适的条件，使四边形ABFE为菱形．
(1)你添加的条件是____(填序号)；
(2)添加了条件后，请证明四边形ABFE为菱形．
第18题图
解：(1)①或③；
(2)选①AE＝BF，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，
∵点E，点F分别在AD，BC上，
∴AE∥BF，
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形；
选③AB∥EF，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.
∵AE∥BF，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形．
19．(6分)[2023·薛城期末]如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连接AD交EF于点G，已知AE＝EG.
第19题图
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数．
解：(1) 证明：∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，∴∠EGA＝∠DAB，
∵AE＝EG，∴∠EGA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠CAB；
(2)∵EF∥AB，∠B＝32°，∴∠DFG＝32°，
∵DG＝DF，
∴∠DGF＝32°，∠GDF＝180°－32°－32°＝116°，
∴∠EGA＝∠DGF＝32°，
∵AE＝EG，∴∠EAG＝∠EGA＝32°，
∴∠C＝∠GDF－∠EAG＝116°－32°＝84°.
20．(8分)[2024·泰安期中](1)如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由；
(2)如图2，如果题目中的菱形变为矩形，结论应变为什么？(直接写出结论)
(3)如图3，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
第20题图
解：(1)四边形CODP是矩形．
理由：∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形CODP是矩形；
(2)∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝AC，DO＝BD，AC＝BD，
∴CO＝DO，
∴四边形CODP是菱形；
(3)四边形CODP是正方形．
理由：∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CO＝AC，DO＝BD，AC＝BD，AC⊥BD，
∴CO＝DO，∠COD＝90°，
∴四边形CODP是正方形．
21．(10分)如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.
(1)求证：四边形EGFH是矩形；
(2)过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，求证：四边形MNQP是菱形．
第21题图
证明：(1)∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∴∠FEH＝∠BEF，
∠EFH＝∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°，
∴∠FEH＋∠EFH＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°，
∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，
∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，
同理可得∠EGF＝90°，
∵EG平分∠AEF，
EH平分∠BEF，
∴∠GEF＝∠AEF，∠FEH＝∠BEF，
∵点A，E，B在同一条直线上，
∴∠AEB＝180°，
即∠AEF＋∠BEF＝180°，
∴∠FEG＋∠FEH＝(∠AEF＋∠BEF)＝×180°＝90°，
即∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形；
(2)∵MN∥EF∥PQ，MP∥NQ，
∴四边形MNQP为平行四边形．
如图，连接GH交EF于点I，延长EH交CD于点O，
∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，
∴∠FOE＝∠FEO，∴EF＝FD，
∵FH⊥EO，∴HE＝HO，
第21题图
∵I为EF的中点，∴IH∥FO∥MP，
又∵MG∥PH，
∴四边形MGHP为平行四边形，
∴GH＝MP.
∵MN∥EF，ME∥NF，
∴四边形MEFN为平行四边形，
∴MN＝EF，
∵四边形EGFH是矩形，
∴GH＝EF，∴MN＝MP，
∴平行四边形MNQP为菱形．
22．(10分)[2024·济宁期中]如图1，已知四边形ABCD，连接AC和BD，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，连接EF，FG，GH，HE.
第22题图
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若∠ABC＋∠BCD＝90°，试判定四边形EFGH的形状；
(3)如图2，在(2)的条件下，若AD∥BC，求证：EG＝(BC－AD)．
解：(1) 证明：∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，GH∥AB，GH＝AB，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)同(1)可证FG∥CD，
∵GH∥AB，∴∠ABC＝∠HGC，
∵FG∥CD，
∴∠DCB＝∠FGB，
∵∠ABC＋∠BCD＝90°，
∴∠HGC＋∠FGB＝90°，
∴∠FGH＝90°，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形；
(3) 证明：
取CD的中点M，连接FM，HM，
第22题图
∵F，H分别为BD，AC的中点，
∴FM∥BC，HM∥AD，FM＝BC，HM＝AD，
∵AD∥BC，∴FM∥AD，
∴F，H，M三点共线，
∴FH＝FM－HM＝BC－AD＝(BC－AD)．
∵四边形EFGH为矩形，
∴EG＝FH＝(BC－AD)．
