第7章 实数
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2024·聊城期中]下列各数：，0，，0.，，0.101 001 000 100 001，中，无理数的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．[2024·青岛期中]已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件：①a＝6，b＝10，c＝8 ②∠C＝23°，∠B＝57°
③∠B－∠C＝∠A ④a2－c2＝b2，能够判断△ABC为直角三角形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法错误的是( )
A．－4是16的平方根 B．－8立方根是－2
C．－1的平方根是±1 D．16的算术平方根是4
4．[2024·孝感期中]下列几组数：①9，12，15 ②8，15，17 ③7，24，25 ④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数)，其中是勾股数的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．[2023·宣城期末]已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为( )
A．12 B．24 C．36 D．48
6．如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数－1，1，2，3，则表示数4－的点应在( )
第6题图
A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间
7．[2024·德州期中]按图所示的程序计算，若开始输入x的值为64，则最后输出y的值是( )
第7题图
A．± B. C．2 D．±2
8．[2024·吕梁期中]我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明．如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是( )
第8题图
A．a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab B．4×ab＋(b－a)2＝c2
C.(a＋b)2＝2×ab＋c2 D.(a＋b)2＝2×
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．[2024·滨州期中]下列各式不正确的是( )
A.＝－7 B．－＝3
C.＝－3 D．±＝±2
10．[2024·潍坊期中]下列说法正确的是( )
A．任何实数都有立方根
B．－a一定没有平方根
C.的算术平方根是3
D．不论a取何值，均有意义
11．[2023·天河期末]下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是( )
A．三角形三条边的比为2∶3∶4
B．三角形三条边满足关系式AB2＝BC2－AC2
C．三角形三条边的比为1∶1∶
D．三角形三个内角满足关系式∠B＋∠C＝∠A
12．[2024·潍坊二模]如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF，BF，下列结论正确的是( )
第12题图
A．AG垂直平分BF B．∠GFC＝∠GCF
C．S△AGE＝17 D．∠GAE＝∠D
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．(1)计算：＋－|－2|＝__ __；
(2)1－的绝对值是__ __，的算术平方根是__ __．
14．如图，数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等，若点B表示1，点C表示，则点A表示的数是__ __．
第14题图
15．[2024·南通期中]已知－1的整数部分为a，小数部分为b，则(＋a)(b＋1)的值是__ __．
16．[2024·承德期末]如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为__ __；再经过一次“生长”后变成了图2.如此继续“生长”下去，第2 024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为__ _ __(填数字)．
第16题图
四、解答题(共48分)
17．(6分)[2023·泗水期中]计算与求值：
(1)计算：－12 023＋(－2)3×－×；
(2)求x的值：27(x＋3)3＋64＝0.
18．(6分)[2024·茂名期末]如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简＋－－的结果．
第18题图
19．(6分)[2024·广安期末]如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路AB，AD，BD，DC，已知AB＝20 km，AD＝12 km，BD＝16 km，CD＝30 km.
(1)通过计算说明公路BD是否与AD垂直；
(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道(即线段BC)，并在大道BC上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道(即线段DE)，且DE⊥BC.若修建互通大道BC，DE的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道BC，DE的总费用．
第19题图
20．(6分)[2024·日照期中]阅读一：数学活动课上，张老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用(－1)表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”请你解答：已知8＋＝x＋y，其中x是一个整数，且0阅读二：我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
(2)若与互为相反数，求(1－)2 018的值．
21．(6分)一艘轮船从A港向南偏西51°方向航行100 km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125 km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60 km.
(1)若轮船速度为25 km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
(2)求C岛在A港的什么方向？
第21题图
22．(6分)[2024·滨州期末]用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
第22题图
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理c2＝a2＋b2；
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，c＝15，求中间小正方形的边长．
23．(12分)[2024·淄博期中]在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8.
第23题图
(1)若P为边BC上一点，如图1将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，当点B落在CD边上点E处时，求PB的长；
(2)如图2，点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，求DQ的长．第7章 实数
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2024·聊城期中]下列各数：，0，，0.，，0.101 001 000 100 001，中，无理数的个数是( A )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．[2024·青岛期中]已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件：①a＝6，b＝10，c＝8 ②∠C＝23°，∠B＝57°
③∠B－∠C＝∠A ④a2－c2＝b2，能够判断△ABC为直角三角形的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法错误的是( C )
A．－4是16的平方根 B．－8立方根是－2
C．－1的平方根是±1 D．16的算术平方根是4
4．[2024·孝感期中]下列几组数：①9，12，15 ②8，15，17 ③7，24，25 ④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数)，其中是勾股数的有( D )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．[2023·宣城期末]已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为( B )
A．12 B．24 C．36 D．48
6．如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数－1，1，2，3，则表示数4－的点应在( D )
第6题图
A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间
7．[2024·德州期中]按图所示的程序计算，若开始输入x的值为64，则最后输出y的值是( B )
第7题图
A．± B. C．2 D．±2
8．[2024·吕梁期中]我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明．如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是( B )
第8题图
A．a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab B．4×ab＋(b－a)2＝c2
C.(a＋b)2＝2×ab＋c2 D.(a＋b)2＝2×
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．[2024·滨州期中]下列各式不正确的是( ABC )
A.＝－7 B．－＝3
C.＝－3 D．±＝±2
10．[2024·潍坊期中]下列说法正确的是( AD )
A．任何实数都有立方根
B．－a一定没有平方根
C.的算术平方根是3
D．不论a取何值，均有意义
11．[2023·天河期末]下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是( BCD )
A．三角形三条边的比为2∶3∶4
B．三角形三条边满足关系式AB2＝BC2－AC2
C．三角形三条边的比为1∶1∶
D．三角形三个内角满足关系式∠B＋∠C＝∠A
12．[2024·潍坊二模]如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF，BF，下列结论正确的是( ABD )
第12题图
A．AG垂直平分BF B．∠GFC＝∠GCF
C．S△AGE＝17 D．∠GAE＝∠D
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ABG＝∠ADE＝∠ECG＝∠BAD＝90°，
由折叠可得AF＝AD，∠AFE＝∠ADE＝90°，∠EAF＝∠EAD，
∴AB＝AF，∠AFG＝90°，
∴∠ABG＝∠AFG＝90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴GB＝GF，∠GAB＝∠GAF，
∵AB＝AF，GB＝GF，
∴AG垂直平分BF，故A正确；
∵AB＝6，CD＝3DE，
∴DE＝EF＝2，CE＝4，
设GB＝GF＝a，则CG＝6－a，EG＝2＋a，
在Rt△ECG中，CG2＋CE2＝EG2，
∴(6－a)2＋42＝(2＋a)2，
解得a＝3，
∴GB＝GF＝3，CG＝6－3＝3，EG＝2＋3＝5，
∴GF＝CG，
∴∠GFC＝∠GCF，故B正确；
∵EG＝5，AF＝AD＝6，AF⊥EG，
∴S△AGE＝EG·AF＝×5×6＝15，故C错误；
∵∠EAF＝∠EAD，∠GAB＝∠GAF，
∴∠EAF＝∠DAF，∠GAF＝∠BAF，
∴∠GAE＝∠EAF＋∠GAF＝∠DAF＋∠BAF＝(∠DAF＋∠BAF)＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠D，故D正确；
综上所述，正确的结论为ABD.
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．(1)计算：＋－|－2|＝__2__；
(2)1－的绝对值是__－1__，的算术平方根是____．
14．如图，数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等，若点B表示1，点C表示，则点A表示的数是__2－__．
第14题图
15．[2024·南通期中]已知－1的整数部分为a，小数部分为b，则(＋a)(b＋1)的值是__7__．
16．[2024·承德期末]如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为____；再经过一次“生长”后变成了图2.如此继续“生长”下去，第2 024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为__28_350__(填数字)．
第16题图
解析：如图：
第16题图
∵第一个正方形的边长为a，
∴第一个正方形的面积为a2，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，
∴AC2＋BC2＝AB2＝a2，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为a2，
∴a2＝8＋6，即a＝，“生长”第1次后所有正方形的面积和为2a2，
同理：“生长”第2次后所有正方形的面积和为3a2，
……
则“生长”第2 024次后所有正方形的面积和为2 025a2＝2 025×14＝28 350.
四、解答题(共48分)
17．(6分)[2023·泗水期中]计算与求值：
(1)计算：－12 023＋(－2)3×－×；
(2)求x的值：27(x＋3)3＋64＝0.
解：(1)－12 023＋(－2)3×－×
＝－1＋(－8)×－(－3)×
＝－1＋(－1)－(－1)
＝－2＋1
＝－1；
(2)27(x＋3)3＋64＝0，
移项，得27(x＋3)3＝－64，
方程两边同除以27，得(x＋3)3＝－，
开立方，得x＋3＝－，
解得x＝－.
18．(6分)[2024·茂名期末]如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简＋－－的结果．
第18题图
解：观察数轴，得a∴＋－－
＝＋－(a＋b)－
＝－a＋(b－a)－(a＋b)－(c－b)
＝－a＋b－a－a－b－c＋b
＝－3a＋b－c.
19．(6分)[2024·广安期末]如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路AB，AD，BD，DC，已知AB＝20 km，AD＝12 km，BD＝16 km，CD＝30 km.
(1)通过计算说明公路BD是否与AD垂直；
(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道(即线段BC)，并在大道BC上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道(即线段DE)，且DE⊥BC.若修建互通大道BC，DE的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道BC，DE的总费用．
第19题图
解：(1)在△ABD中，∵AB＝20 km，AD＝12 km，BD＝16 km，
∴122＋162＝400＝202，即AD2＋BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴公路BD与AD垂直；
(2)由(1)知∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°.
在Rt△BCD中，CD＝30 km，BD＝16 km，
∴BC＝＝＝34(km)，
∵DE⊥BC，
∴S△BCD＝CD·BD＝BC·DE，
即×30×16＝×34·DE，
解得DE＝，
∴34×17＋×17＝578＋240＝818(万元)．
答：修建互通大道BC，DE的总费用是818万元．
20．(6分)[2024·日照期中]阅读一：数学活动课上，张老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用(－1)表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”请你解答：已知8＋＝x＋y，其中x是一个整数，且0阅读二：我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
(2)若与互为相反数，求(1－)2 018的值．
解：阅读一：∵1<3<4，
∴1<<2，
∴9<8＋<10，
∵8＋＝x＋y，其中x是一个整数，且0∴x＝9，y＝8＋－9＝－1，
∴2x＋(－y)2 024
＝2×9＋(－＋1)2 024
＝18＋1
＝19，
∴19的立方根为；
阅读二：(1)设两个数的立方根分别为a和－a，那么这两个数分别为a3，(－a)3＝－a3，
∵a3＋(－a3)＝0，
∴当两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数；(答案不唯一)
(2)∵与互为相反数，
∴1－2x＋3x－5＝0，∴x＝4，
∴(1－)2 018＝(1－)2 018＝(1－2)2 018＝1.
21．(6分)一艘轮船从A港向南偏西51°方向航行100 km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125 km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60 km.
(1)若轮船速度为25 km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
(2)求C岛在A港的什么方向？
第21题图
解：(1)由题意，得AD＝60 km，
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，得602＋BD2＝1002，
∴BD＝80(km)．
∴CD＝BC－BD＝125－80＝45(km)．
∴AC＝＝＝75(km)．
则75÷25＝3(小时)，
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时；
(2)∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，BC2＝1252＝15 625，
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴∠BAC＝90°，
∴∠NAC＝180°－90°－51°＝39°.
∴C岛在A港的北偏西39°.
22．(6分)[2024·滨州期末]用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
第22题图
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理c2＝a2＋b2；
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，c＝15，求中间小正方形的边长．
解：(1)∵大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
S大正方形＝c2，S小正方形＝(b－a)2，
S直角三角形＝ab，
∴c2＝(b－a)2＋4×ab，
即c2＝a2＋b2；
(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴由勾股定理可得AB＝＝5，
∵CD是AB边上的高，
∴由等面积法可得S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝＝；
(3)由已知可得
即
∵(b－a)2＝b2＋a2－2ab，
∴小正方形的边长为b－a＝＝＝3.
23．(12分)[2024·淄博期中]在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8.
第23题图
(1)若P为边BC上一点，如图1将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，当点B落在CD边上点E处时，求PB的长；
(2)如图2，点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，求DQ的长．
解：(1)设PB＝a，则PC＝8－a.
根据图形折叠的性质可知
AB＝AE＝10，BP＝EP＝a.
在Rt△ADE中，DE＝＝＝6.
则EC＝CD－DE＝10－6＝4.
在Rt△PEC中，EP2＝EC2＋PC2，
即a2＝42＋(8－a)2，解得a＝5.
即PB＝5；
(2)①如图1所示，当点Q在线段DC上时．
第23题图
设DQ＝x，则QC＝10－x.
根据图形折叠的性质可知
QD＝D′Q＝x，AD′＝AD＝8，∠AD′B＝90°.
在Rt△ABD′中，
BD′＝＝＝6，
则BQ＝BD′＋QD′＝6＋x.
在Rt△BQC中，
BQ2＝QC2＋BC2，即(6＋x)2＝(10－x)2＋82，
解得x＝4，
即DQ＝4；
②如图2所示，当点Q在线段DC的延长线上时．
第23题图
根据图形折叠的性质可知∠DQA＝∠D′QA.
∵AB∥CD，
∴∠DQA＝∠QAB.
∴∠D′QA＝∠QAB.
∴AB＝BQ＝10.
在Rt△BCQ中，
CQ＝＝＝6.
∴DQ＝CD＋CQ＝16.
综上所述，DQ＝4或16.
