第8章 一元一次不等式
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2024·聊城期末]若－3a<－3b，则下列不等式不一定成立的是( )
A．a－3>b－3 B．2a>2b
C．－<－ D．a2>b2
2．[2024·潍坊期中]不等式x＋1≤0的解集在数轴上可表示为( )
3．[2023·上饶模拟]不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是( )
4．[2024·德州二模]已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是( )
A．m≤3 B．m≤－3且m≠－6
C．m>3且m≠6 D．m≥3且m≠6
5．[2023·滨州模拟]把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书共有本数为( )
A．27 B．24 C．21 D．18
6．[2024·西安期中]某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>18”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是( )
第6题图
A．x≤ B．x<8 C.≤x<6 D.7．[2023·庆阳期末]商店为了对某种商品促销，将定价为4元的该商品，以下列方式优惠销售：若一次性购买不超过4件，按原价付款；若一次性购买4件以上，超过部分打8折，则用32元最多可以购买该商品( )
A．8件 B．9件 C．10件 D．11件
8．[2023·吴忠期末]阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，例如＝1×4－2×3＝－2，如果＞0，则x的取值范围是( )
A．x＞1 B．x＜－1
C．x＞3 D．x＜－3
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．按下列条件列不等式正确的是( )
A．若a是非负数，则a≥0
B．若x的值不大于3，则x＜3
C．若m与＋1的和小于或等于0，则m＋1≤0
D．若x的值不小于1，则x＞1
10．[2024·潍坊期中]若aA．a＋2>b＋1 B．a－C．－3a>－3b D.>
11．[2024·江北期中]已知关于x的分式方程＋＝的解为正数，关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数m有( )
A．1 B．2
C．3 D．4
12．[2024·潍坊期中]如果关于x的不等式组整数解的和为7，符合条件的整数a的取值是( ACD )
A．－5 B．－4
C．4 D．5
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知(m＋4)x|m|－3＋6＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝__ __．
14．[2024·威海期末]若关于x的不等式mx－n>0的解集是x<2，则关于x的不等式(m＋n)x>m－n的解集是__ __．
15．[2024·济宁期末]如果不等式组无解，则a的取值范围是__ __．
16．[2023·夏津二模]定义新运算“ ”，规定：a b＝a－2b，若关于x的不等式组的解集为x＞6，则a的取值范围是__ __．
四、解答题(共48分)
17．(6分)[2024·济宁期末](1)解不等式：2(1－2x)>3(2x－1)；
(2)解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
第17题图
18．(6分)[2023·巴州期中]已知不等式8－5(x－2)＜4(x－1)＋3的最小整数解也是关于x的方程2x－ax＝12的解，求此时4a－的值．
19．(6分)[2023·武侯期中](1)若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y>－，求出满足条件的m的所有正整数值；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是△ABC中最长的边．求c的取值范围．
20．(6分)[2024·滨州期末]根据如下素材，完成表中的两个任务．
背景 在中国传统节日“端午节”期间，阳信县某企业准备购买粽子慰问敬老院老人
素材1 经过市场调查，发现某商场恰好开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打九折，乙品牌粽子打八折
素材2 已知打折前，买5盒甲品牌粽子和5盒乙品牌粽子共需900元；买4盒甲品牌粽子和6盒乙品牌粽子共需880元
【问题解决】
任务1 确定单价 打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
任务2 拟订方案 在商场促销期间，该企业准备为敬老院购买甲、乙两种品牌粽子共50盒，总费用不超过3 500元，问最多可购买多少盒甲品牌粽子？
21．(8分)定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋2b；当a＜b时，a*b＝a－2b.例如：3*(－4)＝3＋(－8)＝－5，(－6)*12＝－6－24＝－30.
(1)填空：(－4)*3＝____；
(2)若(3x－4)*(x＋6)＝(3x－4)＋2(x＋6)，则x的取值范围为____；
(3)已知(3x－7)*(3－2x)＜－6，求x的取值范围．
22．(8分)[2024·枣庄期中]先阅读理解下列例题，再按要求解答下列问题．
例题：解一元二次不等式(3x－6)(2x＋4)>0.这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析：
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②
从而将陌生的高次不等式化为了学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式的解集，即：
解不等式组①，得x>2，解不等式组②，得x<－2.
所以一元二次不等式(3x－6)(2x＋4)>0的解集是x>2或x<－2.
请利用上述解题思路解决下面的问题：
(1)求不等式(2x＋4)(3－x)<0的解集；
(2)类比以上思路利用有理数除法法则求不等式>0的解集．
23．(8分)为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩8名学生没老师带；若每位老师带队32名学生，就有一位老师少带4名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量(人/辆) 35 30
租金(元/辆) 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过2 320元．请解决下列问题：
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？第8章 一元一次不等式
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2024·聊城期末]若－3a<－3b，则下列不等式不一定成立的是( D )
A．a－3>b－3 B．2a>2b
C．－<－ D．a2>b2
2．[2024·潍坊期中]不等式x＋1≤0的解集在数轴上可表示为( B )
3．[2023·上饶模拟]不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是( B )
4．[2024·德州二模]已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是( B )
A．m≤3 B．m≤－3且m≠－6
C．m>3且m≠6 D．m≥3且m≠6
5．[2023·滨州模拟]把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书共有本数为( C )
A．27 B．24 C．21 D．18
6．[2024·西安期中]某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>18”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是( D )
第6题图
A．x≤ B．x<8 C.≤x<6 D.7．[2023·庆阳期末]商店为了对某种商品促销，将定价为4元的该商品，以下列方式优惠销售：若一次性购买不超过4件，按原价付款；若一次性购买4件以上，超过部分打8折，则用32元最多可以购买该商品( B )
A．8件 B．9件 C．10件 D．11件
8．[2023·吴忠期末]阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，例如＝1×4－2×3＝－2，如果＞0，则x的取值范围是( A )
A．x＞1 B．x＜－1
C．x＞3 D．x＜－3
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．按下列条件列不等式正确的是( AC )
A．若a是非负数，则a≥0
B．若x的值不大于3，则x＜3
C．若m与＋1的和小于或等于0，则m＋1≤0
D．若x的值不小于1，则x＞1
10．[2024·潍坊期中]若aA．a＋2>b＋1 B．a－C．－3a>－3b D.>
11．[2024·江北期中]已知关于x的分式方程＋＝的解为正数，关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数m有( ACD )
A．1 B．2
C．3 D．4
12．[2024·潍坊期中]如果关于x的不等式组整数解的和为7，符合条件的整数a的取值是( ACD )
A．－5 B．－4
C．4 D．5
解析：由<4，得x<，
由2x－a>0，得x>，
∴不等式组的解集为∵不等式组的所有整数解的和为7，
∴整数解为4，3或4，3，2，1，0，－1，－2，
当整数解为4，3时，2≤<3，
∴4≤a<6，
当整数解为4，3，2，1，0，－1，－2时，－3≤<－2，
∴－6≤a<－4，
综上所述，－6≤a<－4或4≤a<6，
∴整数a有－6，－5，4，5.
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知(m＋4)x|m|－3＋6＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝__4__．
14．[2024·威海期末]若关于x的不等式mx－n>0的解集是x<2，则关于x的不等式(m＋n)x>m－n的解集是__x<－__．
15．[2024·济宁期末]如果不等式组无解，则a的取值范围是__a<1__．
16．[2023·夏津二模]定义新运算“ ”，规定：a b＝a－2b，若关于x的不等式组的解集为x＞6，则a的取值范围是__a≤2__．
四、解答题(共48分)
17．(6分)[2024·济宁期末](1)解不等式：2(1－2x)>3(2x－1)；
(2)解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
第17题图
解：(1)2(1－2x)>3(2x－1)，
去括号，得2－4x>6x－3，
移项，得－4x－6x>－3－2，
合并同类项，得－10x>－5，
系数化为1，得x<；
(2)
解不等式①，得x<2，
解不等式②，得x>－2，
∴不等式组的解集为－2表示在数轴上如图所示：
第17题图
18．(6分)[2023·巴州期中]已知不等式8－5(x－2)＜4(x－1)＋3的最小整数解也是关于x的方程2x－ax＝12的解，求此时4a－的值．
解：8－5(x－2)＜4(x－1)＋3，
去括号，得8－5x＋10＜4x－4＋3，
移项，得－5x－4x＜－4＋3－8－10，
合并同类项，得－9x＜－19，
系数化为1，得x>，
∴不等式的最小整数解为x＝3，
将x＝3代入2x－ax＝12，得2×3－3a＝12，
解得a＝－2，
∴4a－＝－2×4－＝－8＋7＝－1.
19．(6分)[2023·武侯期中](1)若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y>－，求出满足条件的m的所有正整数值；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是△ABC中最长的边．求c的取值范围．
解：(1)
①＋②，得
3x＋3y＝－3m＋6，
即x＋y＝－m＋2，
代入已知不等式，得
－m＋2＞－，
解得m＜，
则满足条件的m的所有正整数值为1，2，3；
(2)已知等式移项得(a2－10a＋25)＋(b2－8b＋16)＝0，即(a－5)2＋(b－4)2＝0，
∵(a－5)2≥0，(b－4)2≥0，
∴a－5＝0，b－4＝0，
解得a＝5，b＝4，
∵a，b，c为△ABC三边，且c为最长边，
∴5＜c＜9.
20．(6分)[2024·滨州期末]根据如下素材，完成表中的两个任务．
背景 在中国传统节日“端午节”期间，阳信县某企业准备购买粽子慰问敬老院老人
素材1 经过市场调查，发现某商场恰好开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打九折，乙品牌粽子打八折
素材2 已知打折前，买5盒甲品牌粽子和5盒乙品牌粽子共需900元；买4盒甲品牌粽子和6盒乙品牌粽子共需880元
【问题解决】
任务1 确定单价 打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
任务2 拟订方案 在商场促销期间，该企业准备为敬老院购买甲、乙两种品牌粽子共50盒，总费用不超过3 500元，问最多可购买多少盒甲品牌粽子？
解：任务1：设打折前甲品牌粽子的售价为x元/盒，乙品牌粽子的售价为y元/盒，
根据题意，得解得
答：打折前甲品牌粽子的售价为100元/盒，乙品牌粽子的售价为80元/盒；
任务2：设购买m盒甲品牌粽子，则购买(50－m)盒乙品牌粽子，
根据题意，得100×0.9m＋80×0.8(50－m)≤3 500,
解得m≤11，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为11.
答：最多可购买11盒甲品牌粽子．
21．(8分)定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋2b；当a＜b时，a*b＝a－2b.例如：3*(－4)＝3＋(－8)＝－5，(－6)*12＝－6－24＝－30.
(1)填空：(－4)*3＝____；
(2)若(3x－4)*(x＋6)＝(3x－4)＋2(x＋6)，则x的取值范围为____；
(3)已知(3x－7)*(3－2x)＜－6，求x的取值范围．
解：(1)由题意可得，
(－4)*3＝(－4)－2×3＝(－4)－6＝－10，
故答案为：－10；
(2)∵(3x－4)*(x＋6)＝(3x－4)＋2(x＋6)，
∴3x－4≥x＋6，解得x≥5，故答案为：x≥5；
(3)∵(3x－7)*(3－2x)＜－6，
∴当3x－7≥3－2x时，可得x≥2，
则(3x－7)＋2(3－2x)＜－6，
解得x＞5；
当3x－7＜3－2x时，可得x＜2，
则(3x－7)－2(3－2x)＜－6，
解得x＜1.
由上可得，x的取值范围是x＞5或x＜1.
22．(8分)[2024·枣庄期中]先阅读理解下列例题，再按要求解答下列问题．
例题：解一元二次不等式(3x－6)(2x＋4)>0.这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析：
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②
从而将陌生的高次不等式化为了学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式的解集，即：
解不等式组①，得x>2，解不等式组②，得x<－2.
所以一元二次不等式(3x－6)(2x＋4)>0的解集是x>2或x<－2.
请利用上述解题思路解决下面的问题：
(1)求不等式(2x＋4)(3－x)<0的解集；
(2)类比以上思路利用有理数除法法则求不等式>0的解集．
解：(1)由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”
有①或②
解不等式组①，得x>3，
解不等式组②，得x<－2，
∴一元二次不等式(2x＋4)(3－x)<0的解集是x>3或x<－2；
(2)由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”
有①或②
解不等式组①，得－3解不等式组②无解，
∴不等式>0的解集是－323．(8分)为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩8名学生没老师带；若每位老师带队32名学生，就有一位老师少带4名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量(人/辆) 35 30
租金(元/辆) 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过2 320元．请解决下列问题：
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
解：(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，学生有y人，
根据题意，得解得
∴参加此次劳动实践活动的老师有6人，学生有188人；
(2)设租用m辆甲型客车，则租用(6－m)辆乙型客车，
根据题意，得
解得2≤m≤5.
又∵m为非负整数，
∴m可以为3，4，5，
∴学校共有3种租车方案：
方案1：租用3辆甲型客车，3辆乙型客车；
方案2：租用4辆甲型客车，2辆乙型客车；
方案3：租用5辆甲型客车，1辆乙型客车；
(3)选择方案1所需租车总费用为400×3＋320×3＝2 160(元)；
选择方案2所需租车总费用为400×4＋320×2＝2 240(元)；
选择方案3所需租车总费用为400×5＋320×1＝2 320(元)．
∵2 160＜2 240＜2 320，
∴学校租车总费用最少是2 160元．
