第9章 二次根式
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2024·淄博期中]下列计算正确的是( )
A.×＝ B.÷＝
C.＋＝ D．4 －＝4
2．[2024·潍坊期中]使分式有意义的x的取值范围在数轴上表示应为( )
3．[2024·烟台期中]下列式子为最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4．[2024·衢州期中]把四张形状大小完全相同，宽为1 cm的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形，长为 cm，宽为5 cm的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分的周长和是( )
第4题图
A．20 cm B．5 cm
C．(2 ＋5) cm D．5(－1) cm
5．[2024·聊城期中]把(a－b)(aA. B. C．－ D．－
6．[2024·烟台期中]若a＝，b＝，则的值为( )
A．3 B. C．6 D.
7．[2024·烟台期中]当x＝－2时，代数式x2＋4x＋8的值是( )
A．19 B．21 C．27 D．29
8．[2024·德州期中]观察下列二次根式的化简：
S1＝＝1＋－，
S2＝＋＝＋，
S3＝＋＋＝＋＋，
则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．[2023·潍坊期中]下列说法中正确的是( )
A．任何实数都有立方根 B.是最简二次根式
C.－1的相反数是1－ D.＝－3
10．[2024·潍坊期中]若二次根式与可以合并，则m可以是( )
A．13 B．22 C．58 D．64
11．如x为实数，在“(－1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“＋”“－”“×”“÷”中选择)，其运算结果是有理数，则x可能是( )
A.－1 B. C．3 D．2－
12．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下列各式中正确的是( )
A.＝ B.·＝1
C.÷＝－b D．()2＝－ab
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．[2024·济宁期中]若y＝＋＋2，则＝__ __ __．
14．[2024·德州一模]实数a和b在数轴上如图所示，化简－的结果是__ __．
第14题图
15．[2024·潍坊期中]如图，将面积分别为2，3，6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为__ __ __．
第15题图
16．[2024·长春期末]如图所示，点A(－，0)，点B(0，－)分别在坐标轴上，第一象限中的点P坐标为(2，a)，且满足S△ABP＝3S△ABO，则a的值为__ __ __．
第16题图
四、解答题(共48分)
17．(8分)[2024·威海期中]计算：
(1)－＋ －3；
(2)÷－(＋)(－)；
(3)÷－×；
(4)(－1)2－(＋)(－)．
18．(6分)[2024·烟台期中]已知x＝＋，y＝－.
(1)分别求x＋y，xy的值；
(2)利用(1)的结果求下列代数式的值：
①x2y＋xy2；
②＋.
19．(6分)[2024·达州期中]李老师家装修，矩形电视背景墙BC的长为 m，宽AB为 m，中间要镶一个长为2 m，宽为 m的矩形大理石图案(图中阴影部分)．
第19题图
(1)背景墙的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/m2，大理石造价为200元/m2，则整个电视背景墙需要花费多少元？(结果化为最简二次根式)
20．(6分)[2024·长春期中]【阅读材料】
小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5＋2 ＝(2＋3)＋2＝()2＋()2＋2 ×＝(＋)2；
8＋2 ＝(1＋7)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2.
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法将9＋2化成另一个式子的平方；
(2)请运用小明的方法化简：；
【变式探究】
(3)若a＋2＝(＋)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
21．(8分)[2024·赣州期中]定义：我们将(＋)与(－)称为一对“对偶式”．因为(＋)(－)＝()2－()2＝a－b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知－＝1，求＋的值，可以这样解答：
因为(－)(＋)＝()2－()2＝18－x－11＋x＝7，
所以＋＝7.
(1)已知：＋＝8，求－的值；
(2)结合已知条件和第(1)问的结果，解方程：＋＝8；
(3)计算：＋＋＋…＋.
22．(6分)[2024·济宁期末]二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果≥0，利用的双重非负性解决以下问题：
(1)已知＋＝0，则a＋b的值为____；
(2)若x，y为实数，且x2＝＋＋9，求x＋y的值；
(3)若实数a满足＋＝a，求a的值．
23．(8分)[2024·福州期末]阅读理解：由(a－b)2≥0，得a2＋b2≥2ab.如果两个正数a，b，即a>0，b>0，则有不等式：a＋b≥2，当且仅当a＝b时，取到等号．
例如：已知x>0，求式子x＋的最小值．
解：令 a＝x，b＝，则由a＋b≥2，得x＋≥2＝4，
当且仅当x＝时，即正数x＝2时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当x>0时，式子x＋的最小值为____；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边)，这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
(3)如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB，△COD的面积分别是6和12，求四边形ABCD面积的最小值．
第23题图第9章 二次根式
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2024·淄博期中]下列计算正确的是( B )
A.×＝ B.÷＝
C.＋＝ D．4 －＝4
2．[2024·潍坊期中]使分式有意义的x的取值范围在数轴上表示应为( B )
3．[2024·烟台期中]下列式子为最简二次根式的是( B )
A. B. C. D.
4．[2024·衢州期中]把四张形状大小完全相同，宽为1 cm的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形，长为 cm，宽为5 cm的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分的周长和是( A )
第4题图
A．20 cm B．5 cm
C．(2 ＋5) cm D．5(－1) cm
5．[2024·聊城期中]把(a－b)(aA. B. C．－ D．－
6．[2024·烟台期中]若a＝，b＝，则的值为( D )
A．3 B. C．6 D.
7．[2024·烟台期中]当x＝－2时，代数式x2＋4x＋8的值是( B )
A．19 B．21 C．27 D．29
8．[2024·德州期中]观察下列二次根式的化简：
S1＝＝1＋－，
S2＝＋＝＋，
S3＝＋＋＝＋＋，
则的值为( C )
A. B. C. D.
解析：由题可得＝1＋－，＝1＋－，＝1＋－，
所以＝1＋－，
所以S2 024＝＋＋＋…＋＋
＝2 024＋1－＝
＝，
所以＝.
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．[2023·潍坊期中]下列说法中正确的是( AC )
A．任何实数都有立方根 B.是最简二次根式
C.－1的相反数是1－ D.＝－3
10．[2024·潍坊期中]若二次根式与可以合并，则m可以是( ABC )
A．13 B．22 C．58 D．64
11．如x为实数，在“(－1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“＋”“－”“×”“÷”中选择)，其运算结果是有理数，则x可能是( ABD )
A.－1 B. C．3 D．2－
12．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下列各式中正确的是( BC )
A.＝ B.·＝1
C.÷＝－b D．()2＝－ab
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．[2024·济宁期中]若y＝＋＋2，则＝__2____．
14．[2024·德州一模]实数a和b在数轴上如图所示，化简－的结果是__1＋b__．
第14题图
15．[2024·潍坊期中]如图，将面积分别为2，3，6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为__2＋－2____．
第15题图
16．[2024·长春期末]如图所示，点A(－，0)，点B(0，－)分别在坐标轴上，第一象限中的点P坐标为(2，a)，且满足S△ABP＝3S△ABO，则a的值为__2__－2__．
第16题图
四、解答题(共48分)
17．(8分)[2024·威海期中]计算：
(1)－＋ －3；
(2)÷－(＋)(－)；
(3)÷－×；
(4)(－1)2－(＋)(－)．
解：(1)－＋ －3
＝4 －＋－＝；
(2)原式＝(4 －2 )÷－(3－2)
＝2 ÷－1＝2－1＝1；
(3)原式＝－＝2－3＝－1；
(4)原式＝2－2 ＋1－(5－3)
＝3－2 －2＝1－2 .
18．(6分)[2024·烟台期中]已知x＝＋，y＝－.
(1)分别求x＋y，xy的值；
(2)利用(1)的结果求下列代数式的值：
①x2y＋xy2；
②＋.
解：(1)∵x＝＋，y＝－，
∴x＋y＝＋＋－＝，
xy＝
＝－
＝－＝6；
(2)由(1)知x＋y＝，xy＝6，
①x2y＋xy2＝xy(x＋y)＝6×＝6；
②＋＝
＝
＝
＝
＝.
19．(6分)[2024·达州期中]李老师家装修，矩形电视背景墙BC的长为 m，宽AB为 m，中间要镶一个长为2 m，宽为 m的矩形大理石图案(图中阴影部分)．
第19题图
(1)背景墙的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/m2，大理石造价为200元/m2，则整个电视背景墙需要花费多少元？(结果化为最简二次根式)
解：(1)长方形ABCD的周长为2(BC＋AB)＝2(＋)＝(6 ＋4 )m；
(2)长方形ABCD的面积：×＝3 ×2 ＝6 (m2)，
大理石的面积：2 ×＝2 (m2)，
壁纸的面积：6 －2 ＝4 (m2)，
整个电视背景墙的总费用：2×4 ＋200×2 ＝8 ＋400 ＝408 (元)．
20．(6分)[2024·长春期中]【阅读材料】
小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5＋2 ＝(2＋3)＋2＝()2＋()2＋2 ×＝(＋)2；
8＋2 ＝(1＋7)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2.
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法将9＋2化成另一个式子的平方；
(2)请运用小明的方法化简：；
【变式探究】
(3)若a＋2＝(＋)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
解：(1)9＋2
＝7＋2＋2
＝()2＋()2＋2 ×
＝(＋)2；
(2)∵8－2
＝5＋3－2
＝()2＋()2－2 ×
＝(－)2，
∴
＝
＝－；
(3)∵a＋2＝(＋)2，
∴a＋2
＝(＋)2或a＋2
＝(＋)2，
∴a＝3＋7＝10或a＝21＋1＝22.
21．(8分)[2024·赣州期中]定义：我们将(＋)与(－)称为一对“对偶式”．因为(＋)(－)＝()2－()2＝a－b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知－＝1，求＋的值，可以这样解答：
因为(－)(＋)＝()2－()2＝18－x－11＋x＝7，
所以＋＝7.
(1)已知：＋＝8，求－的值；
(2)结合已知条件和第(1)问的结果，解方程：＋＝8；
(3)计算：＋＋＋…＋.
解：(1)∵(＋)(－)
＝()2－()2
＝20－x－4＋x＝16，
且＋＝8，
∴－＝2；
(2)∵
∴2＝6，
化简后两边同时平方，得4－x＝9，
∴x＝－5，
经检验，x＝－5是原方程的解；
(3)＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝－＋－＋－＋…＋－＝－
＝－.
22．(6分)[2024·济宁期末]二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果≥0，利用的双重非负性解决以下问题：
(1)已知＋＝0，则a＋b的值为____；
(2)若x，y为实数，且x2＝＋＋9，求x＋y的值；
(3)若实数a满足＋＝a，求a的值．
解：(1)∵≥0，≥0，＋＝0，
∴a－1＝0，3＋b＝0，
解得a＝1，b＝－3，
∴a＋b＝1－3＝－2，
故答案为：－2；
(2)∵中y－5≥0，中5－y≥0，
∴y＝5，则x2＝＋＋9＝9，
即x＝±3，
∴当x＝3，y＝5时，x＋y＝8；
当x＝－3，y＝5时，x＋y＝2；
(3)∵中a－100≥0，
∴a≥100，
∴＋
＝a可化为a－99＋
＝a，即＝99，
将＝99两边同时平方可得a－100＝992，则a＝992＋100＝9 901.
23．(8分)[2024·福州期末]阅读理解：由(a－b)2≥0，得a2＋b2≥2ab.如果两个正数a，b，即a>0，b>0，则有不等式：a＋b≥2，当且仅当a＝b时，取到等号．
例如：已知x>0，求式子x＋的最小值．
解：令 a＝x，b＝，则由a＋b≥2，得x＋≥2＝4，
当且仅当x＝时，即正数x＝2时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当x>0时，式子x＋的最小值为____；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边)，这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
(3)如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB，△COD的面积分别是6和12，求四边形ABCD面积的最小值．
第23题图
解：(1)令 a＝x，b＝，则由a＋b≥2，得x＋≥2＝6，
当且仅当x＝时，即正数x＝3时，式子有最小值，最小值为6；故答案为：6；
(2)设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y(0则xy＝50，
∴y＝，
∴所用篱笆的长为(＋2x)米，
＋2x≥2＝20，
∵当且仅当＝2x时，＋2x的值最小，最小值为20，
∴x＝5或x＝－5(舍去)．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米；
(3)设点B到AC的距离为h1(h1>0)，点D到OC的距离为h2(h2>0)，
又∵△AOB，△COD的面积分别是6和12，
∴OA＝，OC＝，
∴AC＝OA＋OC
＝＋，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC
＝AC·h1＋AC·h2
＝AC(h1＋h2)
＝(＋)(h1＋h2)
＝18＋＋，
∵＋≥2＝12 .
∴当且仅当＝时，取等号，
即＋的最小值为12 ，
∴四边形ABCD面积的最小值为18＋12 .
