第10章 一次函数
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2023·西和期末]下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为( )
A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝
2．[2023·曲靖期末]在平面直角坐标系中，将直线y＝－x＋3沿y轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是( )
A．(－2，0) B．(6，0) C．(4，0) D．(0，－3)
3．[2024·赤峰期末]若函数y＝(3k－1)x＋(k－2) 的图象经过第一、三、四象限， 则k的取值范围是( )
A．k> B．k>2 C.4．[2024·天津期末]关于函数y＝(k－3)x＋k(k为常数)，有下列结论：
①当k≠3时，此函数是一次函数
②无论k取什么值，函数图象必经过点(－1，3)
③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是k<0
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．[2023·黄州期末]匀速地向一个容器注水(注满为止)，在注水过程中，若容器中水面高度h与注水时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是( )
第5题图
6．[2023·吉首期末]如图，在平面直角坐标系中，有函数y＝k1x和y＝k2x＋b的图象，它们相交于点A.下列结论：
①k1＜k2
②b＞0
③当x＞2时，则有k1x＞k2x＋b
④关于x的方程(k1－k2)x－b＝0的解是x＝2
⑤k1＜0
⑥k2＜0.
其中正确的有( )
第6题图
A．①②④⑤ B．②③④⑥ C．②③④⑤ D．③④⑤⑥
7．[2024·淄博期末]一次函数y＝－kx－k2与正比例函数y＝kx(k为常数且k≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
8．[2024·济南期中]已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框(边框拐角处互相垂直)按A－B－C－D－E－F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S(cm2)关于时间t(s)的关系如图2，已知AF＝8 cm，则下列说法：①动点H的速度是2 cm/s ②BC的长度为6 cm ③b的值为13 ④当点H到达D点时△HAF的面积是 8 cm2.正确的有几个( )
第8题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．判断下列各点中哪些在直线y＝－5x＋1上( )
A．(－3，16) B．(2，9) C. D.
10．已知一次函数y＝kx＋5k＋3，且当x＝1时，y＜0，则y关于x的函数图象可能经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
11．[2024·潍坊三模]“五一”假期，小颖一家驾车前往青州黄花溪景区旅游，在行驶过程中，汽车离潍坊市黄花溪景区的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是( )
第11题图
A．小颖家离黄花溪景区的路程为50 km
B．小颖从家出发第1小时的平均速度为75 km/h
C．小颖从家出发2小时离景区的路程为75 km
D．小颖从家到黄花溪景区的时间共用了3 h
12．[2023·诸城期末]如图，若直线l1：y1＝kx＋b与坐标轴交于A(0，1)，B(m，0)两点，与直线l2：y2＝－2x＋5交于点P(1.5，n)，直线l2交x轴于点C，交y轴于点D.则下列结论正确的是( )
第12题图
A．m＝－，n＝2
B.的解是
C．△APD的面积是3
D．当y1＞y2 时，x＜1.5
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．[2024·威海期末]已知函数y＝(a－2)x－1＋5是关于x的一次函数，则a＝__ __．
14．[2023·曲靖期末]已知直线y＝kx＋4，该直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么k的值是__ __．
15．[2023·铁西期末]如图，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象如图所示，请你写出一个x的值__ __，使得不等式n＜kx＋b＜1成立．
第15题图
16．[2024·临沂一模]在平面直角坐标系xOy中，记直线y＝x＋1为l，点A1是直线l与y轴的交点，以A1O为边作正方形A1OC1B1，使点C1落在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以A2C1为边作正方形A2C1C2B2，使点C2落在x轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点B2 024的坐标是__ _ _ __．
第16题图
四、解答题(共48分)
17．(6分)[2024·威海期中]甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
(1)求线段CD对应的函数解析式；
(2)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
(3)已知轿车共用了3小时，问轿车出发时离货车多少千米？
第17题图
18．(6分)[2024·菏泽期末]小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的．凳子的数量n(单位：个)与叠放在一起的凳子的总高度h(单位：cm)的关系如表：
第18题图
凳子的数量n 叠放的凳子总高度h
1 45
2 50
3 55
4 60
… …
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合一次函数关系，请用待定系数法求h与n的函数关系式；
(2)若将该种凳子竖直叠放在层高为91 cm超市货架上，最多能叠放多少个？
19．(7分)[2024·东营期末]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－2，6)，与x轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1.
(1)求k，b的值；
(2)请根据图象直接写出kx＋b>3x的解集；
(3)若点D在y轴上，且满足S△COD＝S△BOC，求点D的坐标．
第19题图
20．(7分)[2024·烟台期末]杭州亚运会志愿者沿用了2016年G20杭州峰会志愿者“小青荷”的昵称．“小青荷”谐音“亲和”，代表志愿者的青春气、亲和力．为这场体育文化盛会提供规范专业的服务，向亚洲和全世界展示中国当代青年的时代风采．某高校准备大力宣传优秀大学生志愿者，需印制若干份宣传资料．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图所示：
(1)分别求出甲、乙两种收费方式的函数关系式；
(2)高校某年级需印制100～650(含100和650)份宣传资料，选择哪种印刷方式较合算？
第20题图
21．(6分)[2024·青岛一模]为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价比B型健身器材售价低0.4万元，用16万元购买A型健身器材和用20万元购买B型健身器材购得的器材数量相同．
(1)求A，B两种健身器材每套的售价分别为多少万元？
(2)经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.2万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．若学校购进的80套健身器材中，B型健身器材的数量不少于A型健身器材数量的2倍，学校应如何购买才能使总费用最少？
22．(8分)[2023·曲靖期末]如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A(10，0)，B(0，5)两点，点F是线段AB上的一个动点(不与A，B重合)，连接OF.
(1)求直线AB的表达式；
(2)当OF平分△AOB的面积时，第一象限内是否存在一点P，使△PAF是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
第22题图
23．(8分)问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组－1<－2|x|＋5≤3的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令y＝－2|x|＋5，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究：
(1)完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －3 －1 3 3 1 －1 …
(2)若A(m，n)，B(6，m)为该函数图象上不同的两点，则m＝____．
(3)当－1<－2|x|＋5≤3时，自变量x的取值范围是____；
(4)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象与函数y＝－2|x|＋5的图象有两个交点，那么k的取值范围是____．
第23题图第10章 一次函数
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2023·西和期末]下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为( C )
A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝
2．[2023·曲靖期末]在平面直角坐标系中，将直线y＝－x＋3沿y轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是( A )
A．(－2，0) B．(6，0) C．(4，0) D．(0，－3)
3．[2024·赤峰期末]若函数y＝(3k－1)x＋(k－2) 的图象经过第一、三、四象限， 则k的取值范围是( C )
A．k> B．k>2 C.4．[2024·天津期末]关于函数y＝(k－3)x＋k(k为常数)，有下列结论：
①当k≠3时，此函数是一次函数
②无论k取什么值，函数图象必经过点(－1，3)
③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是k<0
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0其中，正确结论的个数是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．[2023·黄州期末]匀速地向一个容器注水(注满为止)，在注水过程中，若容器中水面高度h与注水时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是( A )
第5题图
6．[2023·吉首期末]如图，在平面直角坐标系中，有函数y＝k1x和y＝k2x＋b的图象，它们相交于点A.下列结论：
①k1＜k2
②b＞0
③当x＞2时，则有k1x＞k2x＋b
④关于x的方程(k1－k2)x－b＝0的解是x＝2
⑤k1＜0
⑥k2＜0.
其中正确的有( B )
第6题图
A．①②④⑤ B．②③④⑥ C．②③④⑤ D．③④⑤⑥
7．[2024·淄博期末]一次函数y＝－kx－k2与正比例函数y＝kx(k为常数且k≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )
8．[2024·济南期中]已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框(边框拐角处互相垂直)按A－B－C－D－E－F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S(cm2)关于时间t(s)的关系如图2，已知AF＝8 cm，则下列说法：①动点H的速度是2 cm/s ②BC的长度为6 cm ③b的值为13 ④当点H到达D点时△HAF的面积是 8 cm2.正确的有几个( D )
第8题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：由图2可知，当H点由A点运动到B点时， S△HAF＝AB·AF＝40，
∴AB·8＝40，
解得AB＝10，
由图2可知，H点由A点运动到B点用了5 s，
∴H点的速度是10÷5＝2 cm/s，
故①正确；
由图2可知，H点由B点运动到C点用了8－5＝3(s)，
∴BC＝3×2＝6(cm)，
故②正确；
由图2可知，第8 s到12 s时H点由C点运动到D点，
∵AF＝8 cm，BC＝6 cm，
∴DE＝8－6＝2(cm)，
∴H点由D点运动到E点用了2÷2＝1(s)，
∴b＝12＋1＝13，
故③正确；
由图2可知，H点由C点运动到D点用了12－8＝4 s，
∴CD＝4×2＝8(cm)，
∴FE＝10－8＝2(cm)，
当点 H 到达D点时S△HAF＝AF·EF＝×8×2＝8(cm2)，
故④正确．
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．判断下列各点中哪些在直线y＝－5x＋1上( AC )
A．(－3，16) B．(2，9) C. D.
10．已知一次函数y＝kx＋5k＋3，且当x＝1时，y＜0，则y关于x的函数图象可能经过( BD )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
11．[2024·潍坊三模]“五一”假期，小颖一家驾车前往青州黄花溪景区旅游，在行驶过程中，汽车离潍坊市黄花溪景区的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是( CD )
第11题图
A．小颖家离黄花溪景区的路程为50 km
B．小颖从家出发第1小时的平均速度为75 km/h
C．小颖从家出发2小时离景区的路程为75 km
D．小颖从家到黄花溪景区的时间共用了3 h
12．[2023·诸城期末]如图，若直线l1：y1＝kx＋b与坐标轴交于A(0，1)，B(m，0)两点，与直线l2：y2＝－2x＋5交于点P(1.5，n)，直线l2交x轴于点C，交y轴于点D.则下列结论正确的是( ABC )
第12题图
A．m＝－，n＝2
B.的解是
C．△APD的面积是3
D．当y1＞y2 时，x＜1.5
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．[2024·威海期末]已知函数y＝(a－2)x－1＋5是关于x的一次函数，则a＝__－2__．
14．[2023·曲靖期末]已知直线y＝kx＋4，该直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么k的值是__±2__．
15．[2023·铁西期末]如图，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象如图所示，请你写出一个x的值__－1(答案不唯一)__，使得不等式n＜kx＋b＜1成立．
第15题图
16．[2024·临沂一模]在平面直角坐标系xOy中，记直线y＝x＋1为l，点A1是直线l与y轴的交点，以A1O为边作正方形A1OC1B1，使点C1落在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以A2C1为边作正方形A2C1C2B2，使点C2落在x轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点B2 024的坐标是__(22_024－1，22_023)__．
第16题图
解析：把x＝0代入直线y＝x＋1，得y＝1，
所以点B1的坐标是(1，1)，
把x＝1代入直线y＝x＋1，得y＝2，
所以点B2的坐标是(3，2)，
同理点B3的坐标是(7，4)；点B4的坐标是(15，8)；
……
由以上得出规律是Bn的坐标为(2n－1，2n－1)．
所以点B2 024的坐标是(22 024－1，22 023)．
四、解答题(共48分)
17．(6分)[2024·威海期中]甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
(1)求线段CD对应的函数解析式；
(2)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
(3)已知轿车共用了3小时，问轿车出发时离货车多少千米？
第17题图
解：(1)由函数图象可知，CD段轿车的速度为＝110(千米/小时)，
∴yCD＝110(x－2.5)＋80＝110x－195；
(2)由函数图象可知，货车的速度为＝60(千米/小时)，
∴轿车到达乙地后，货车距乙地300－60×4.5＝30(千米)；
(3)60×(4.5－3)＝90(千米)，
∴轿车出发时离货车90千米．
18．(6分)[2024·菏泽期末]小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的．凳子的数量n(单位：个)与叠放在一起的凳子的总高度h(单位：cm)的关系如表：
第18题图
凳子的数量n 叠放的凳子总高度h
1 45
2 50
3 55
4 60
… …
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合一次函数关系，请用待定系数法求h与n的函数关系式；
(2)若将该种凳子竖直叠放在层高为91 cm超市货架上，最多能叠放多少个？
解：(1)设该一次函数解析式为h＝kn＋b(k≠0)，
把(1，45)，(2，50)代入，得
解得
∴h与n的函数关系式为h＝5n＋40；
(2)由题意，得h≤91，即5n＋40≤91，
解得n≤10，
∴最多能叠放10个．
19．(7分)[2024·东营期末]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－2，6)，与x轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1.
(1)求k，b的值；
(2)请根据图象直接写出kx＋b>3x的解集；
(3)若点D在y轴上，且满足S△COD＝S△BOC，求点D的坐标．
第19题图
解：(1)∵点C的横坐标是1，
∴当x＝1时，y2＝3，
∴C(1，3)，
把(1，3)和(－2，6)分别代入y1＝kx＋b，可得
解得
(2)由图象可知，当x<1时，y1>y2，即kx＋b>3x；
(3)由(1)知，y1＝－x＋4，
当y＝0时，则－x＋4＝0，
解得x＝4，
∴B(4，0)，
设点D坐标为(0，m)，
∵S△COD＝S△BOC，
∴×1＝××4×3，
解得m＝±4.
∴D(0，－4)或D(0，4)．
20．(7分)[2024·烟台期末]杭州亚运会志愿者沿用了2016年G20杭州峰会志愿者“小青荷”的昵称．“小青荷”谐音“亲和”，代表志愿者的青春气、亲和力．为这场体育文化盛会提供规范专业的服务，向亚洲和全世界展示中国当代青年的时代风采．某高校准备大力宣传优秀大学生志愿者，需印制若干份宣传资料．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图所示：
(1)分别求出甲、乙两种收费方式的函数关系式；
(2)高校某年级需印制100～650(含100和650)份宣传资料，选择哪种印刷方式较合算？
第20题图
解：(1)设甲种收费方式的函数关系式为y甲＝kx＋b，
把(0，6)，(100，16)分别代入，得解得
∴甲种收费方式的函数关系式为y甲＝0.1x＋6，
设乙种收费方式的函数关系式为y乙＝k1x，
把(100，12)代入得100k1＝12，解得k1＝0.12，
∴乙种收费方式的函数关系式为y乙＝0.12x；
(2)由0.1x＋6>0.12x，得x<300；
由0.1x＋6＝0.12x，得x＝300；
由0.1x＋6<0.12x，得x>300.
由此可知，当100≤x<300时，选择乙种方式较合算；
当x＝300时，选择甲乙两种方式都可以；
当30021．(6分)[2024·青岛一模]为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价比B型健身器材售价低0.4万元，用16万元购买A型健身器材和用20万元购买B型健身器材购得的器材数量相同．
(1)求A，B两种健身器材每套的售价分别为多少万元？
(2)经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.2万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．若学校购进的80套健身器材中，B型健身器材的数量不少于A型健身器材数量的2倍，学校应如何购买才能使总费用最少？
解：(1)设A型健身器材每套的售价为x万元，则B型健身器材每套的售价为(x＋0.4)万元，
∴＝，解得x＝1.6，
经检验，x＝1.6是原方程的解，且符合题意，
∴x＋0.4＝1.6＋0.4＝2，
答：A型健身器材每套的售价为1.6万元，B型健身器材每套的售价为2万元；
(2)设学校购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材(80－m)套，
∴80－m≥2m，解得m≤26，
∵m为正整数，
∴m的最大值为26，
设总费用为w元，
∴w＝(1.6－0.2)m＋2×0.75(80－m)＝－0.1m＋120，
∵－0.1<0，∴w随m的增大而减小，
∴当m＝26时，w有最小值，
此时，80－m＝80－26＝54，
答：学校购买A型健身器材26套，则购买B型健身器材54套．
22．(8分)[2023·曲靖期末]如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A(10，0)，B(0，5)两点，点F是线段AB上的一个动点(不与A，B重合)，连接OF.
(1)求直线AB的表达式；
(2)当OF平分△AOB的面积时，第一象限内是否存在一点P，使△PAF是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
第22题图
解：(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b，
∵图象经过A(10，0)，B(0，5)两点，
∴解得
∴直线AB的表达式为y＝－x＋5；
(2)∵OF平分△AOB 的面积，设F(x，y)是线段AB上的一个动点(不与A，B重合)，
∴OA·y＝×OA·OB，
∵OB＝5，∴y＝，代入y＝－x＋5，
得－x＋5＝，
解得x＝5，
∴F点的坐标为.
如图，过点F作EG⊥x轴于点E，过点P1作P1N⊥EG于点N，过点P2作P2M⊥x轴，
∵△PAF是等腰直角三角形，
∴AF＝P1F，∠P1FA＝∠P1NF＝∠AEF＝90°，
∴∠NFP1＋∠NP1F＝∠NFP1＋∠AFE＝90°，
∴∠NP1F＝∠AFE，
第22题图
∴△AEF≌△FNP1(AAS)，
∴P1N＝EF＝，NF＝AE＝10－5＝5，
∴P1，即P1，
同理，AM＝EF＝，P2M＝AE＝10－5＝5，
∴OM＝OA＋AM＝，∴P2，
综上所述，点P的坐标为或.
23．(8分)问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组－1<－2|x|＋5≤3的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令y＝－2|x|＋5，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究：
(1)完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －3 －1 3 3 1 －1 …
(2)若A(m，n)，B(6，m)为该函数图象上不同的两点，则m＝____．
(3)当－1<－2|x|＋5≤3时，自变量x的取值范围是____；
(4)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象与函数y＝－2|x|＋5的图象有两个交点，那么k的取值范围是____．
第23题图
解：(1)当x＝－2时，y＝－2×|－2|＋5＝1，
当x＝0时，y＝－2×|0|＋5＝5，
表格如下：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －3 －1 1 3 5 3 1 －1 …
函数的图象如图所示；
第23题图
(2)把(6，m)代入y＝－2|x|＋5，得到m＝－2×|6|＋5＝－7，
故答案为：－7；
(3)由图象可得，当－1<－2|x|＋5≤3时，自变量x的取值范围是－3故答案为：－3(4)当x≥0时，y＝－2|x|＋5＝－2x＋5，
当直线y＝kx(k≠0)与y＝－2x＋5平行时，即k＝－2时，正比例函数y＝－2x的图象与函数y＝－2|x|＋5的图象有1个交点，
当x≤0时，y＝－2|x|＋5＝2x＋5，
当直线y＝kx(k≠0)与y＝2x＋5平行时，即k＝2时，正比例函数y＝2x的图象与函数y＝－2|x|＋5的图象有1个交点，
第23题图
∴由图象可知，当－2故答案为：－2
