第11章 图形的平移与旋转
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2024·济南期末]《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，演绎文物背后的故事与历史，让一个个馆藏文物鲜活起来，下列四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( )
2．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－3)，B(2，－1)，C(3，2)，将△ABC平移得到△A1B1C1，若点A，B的对应点坐标分别为A1(a，－1)，B1(－2，b)，则点C的对应点C1的坐标是( )
A．(－1，4) B．(－1，－2) C．(5，4) D．(5，－2)
3．[2024·青岛]如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是( )
第3题图
A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(2，1) D．(1，2)
4．[2024·烟台一模]如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x＋4沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a，b之间的函数关系图象如图2所示，那么矩形ABCD的面积
为( )
第4题图
A. B．15 C．18 D．20
5．[2023·汝阳期末]有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使DE∥BC，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为( )
第5题图
A．60° B．45° C．30° D．15°
6．[2024·大同期末]如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC，BF，取AC，BF的中点M，N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN的长度为( )
第6题图
A．8 B．6 C．5 D．5
7．[2024·泰安期末]如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，则下列说法：①∠EAC＝∠B ②CB＝ED ③BD2＋AD2＝2CD2
④∠AED＝∠ACD.正确的有( )
第7题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．[2024·日照期中]如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4 ，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 024次旋转结束时，点D的坐标为( )
第8题图
A．(4，6) B．(6，4) C．(－6，4) D．(－4，6)
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．[2024·潍坊期末]在下面方格纸(每个小正方形的边长为1个单位长度)中，由阴影部分构成了三个图案，每个图案分别由4个相同的基本图形构成，下列说法正确的是( )
第9题图
A．三个图案的面积都是4
B．三个图案都是轴对称图形
C．三个图案都可以通过旋转它的一个基本图形得到
D．三个图案都可以通过平移它的一个基本图形得到
10．已知点A(－2，3)经变换后到点B，下面的说法正确的是( )
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B(2，3)
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B(3，2)
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B(3，－2)
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B(2，6)
11．[2023·诸城期中]如图，将一副三角板按如图方式叠放在一起，保持三角板ABC不动，将三角板DCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度．当这两块三角板各有一条边互相平行时，∠ACE的度数可能是( )
第11题图
A．45° B．90°
C．120° D．135°
12．[2023·胶州期中]如图，点P是等边△ABC内一点，将线段PB绕点B沿顺时针方向旋转60°得到线段BP′，连接CP′，PP′，若PB＝3，PC＝4，PA＝5，则下列结论正确的是( )
第12题图
A．△PBP′为等边三角形
B．∠BPC＝150°
C．△BAP≌△BCP′
D．S四边形BPCP′＝6＋
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．[2024·淄博期末]如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A1B1C1，则旋转中心是点__ __．
第13题图
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为CD边的中点，线段PQ在BC边上移动，且保持PQ＝1，当BP＝__ __时，四边形APQE的周长最小．
第14题图
15．[2024·聊城期末]如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2 024次得到正方形 OA2 024B2 024C2 024，那么点A2 024的坐标是__ __．
第15题图
16．[2023·姑苏模拟]如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF＋CF的最小值是__ __ __．
第16题图
四、解答题(共48分)
17．(8分)[2024·济南期末]△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)平移△ABC，点A的对应点A1的坐标为(1，－5)，画出平移后对应的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标：____；
(2)△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到△A2B2C，按要求作出图形；
(3)如果△A2B2C通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标：____；
(4)在平面上是否存在点M，N，使得四边形BCMN是正方形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．
第17题图
18．(6分)[2024·淄博期末]完成下列各题：
如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°.
(1)请说明：∠EAB＝∠CAF；
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
(3)求∠AMB的度数．
第18题图
19．(8分)[2024·南宁期中]政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为1 m，图2中小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线．
第19题图
(1)分别设方案一和方案二的草地面积为S1 m2，S2 m2，则S1＝________________________________________________________________________
m2(用含a，b的式子表示)，S1______S2(填“＞”“＝”或“＜”)；
(2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1 m的小路，求草地的面积S；(用含a，b的式子表示)
(3)经讨论后决定选用方案三的方案，若a＝30 m，b＝20 m，且铺草地平均每平方米需要花费50元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？
20．(6分)[2024·枣庄期中]【问题探究】
(1)如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，____的直线将它分成面积相等的两部分；
(2)图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线EF将图②的阴影部分分成面积相等的两部分；(不写画图过程，保留画图痕迹)
【总结规律】
(3)由两个中心对称图形组合成的图形，________________________________________________________________________
的直线将它分成面积相等的两部分；
【拓展应用】
(4)如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植(分成面积相等的两部分)，请你帮助他们用一条直线MN分开．(不写画图过程，保留画图痕迹)
第20题图
21．(10分)[2024·重庆期末]如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)，得到△AED，记点B，C的对应点分别为D，E，连接BD，CD，射线EC与BD交于点G.
(1)如图1，求∠DEG的度数；(用含α的式子表示)
第21题图
(2)如图2，当点D在射线上AC时，若∠CAB＝60°，证明：四边形ABGE为平行四边形；
(3)在旋转过程中是否存在DC＝BD的情形？若存在，求出此时EG与EC的数量关系；若不存在，请说明理由．
22．(10分)[2024·潍坊二模]在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4 ，BC＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，点G是△ABC内部或边上一点，连接AG，线段AG绕点A顺时针旋转60°后的对应线段为AM，连接DM.
(1)图1中，若点G在边AB上，则线段CG与线段DM之间的数量关系是____；线段DM与线段CG所在的两条直线相交所形成的锐角的度数为____；
(2)图2中，若点G在△ABC内部，判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，求GA＋GB＋GC的最小值，并说明此时CG∥AM.
第22题图第11章 图形的平移与旋转
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2024·济南期末]《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，演绎文物背后的故事与历史，让一个个馆藏文物鲜活起来，下列四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( C )
2．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－3)，B(2，－1)，C(3，2)，将△ABC平移得到△A1B1C1，若点A，B的对应点坐标分别为A1(a，－1)，B1(－2，b)，则点C的对应点C1的坐标是( A )
A．(－1，4) B．(－1，－2) C．(5，4) D．(5，－2)
3．[2024·青岛]如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是( A )
第3题图
A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(2，1) D．(1，2)
4．[2024·烟台一模]如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x＋4沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a，b之间的函数关系图象如图2所示，那么矩形ABCD的面积
为( B )
第4题图
A. B．15 C．18 D．20
5．[2023·汝阳期末]有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使DE∥BC，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为( C )
第5题图
A．60° B．45° C．30° D．15°
6．[2024·大同期末]如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC，BF，取AC，BF的中点M，N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN的长度为( D )
第6题图
A．8 B．6 C．5 D．5
7．[2024·泰安期末]如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，则下列说法：①∠EAC＝∠B ②CB＝ED ③BD2＋AD2＝2CD2
④∠AED＝∠ACD.正确的有( C )
第7题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．[2024·日照期中]如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4 ，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 024次旋转结束时，点D的坐标为( C )
第8题图
A．(4，6) B．(6，4) C．(－6，4) D．(－4，6)
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．[2024·潍坊期末]在下面方格纸(每个小正方形的边长为1个单位长度)中，由阴影部分构成了三个图案，每个图案分别由4个相同的基本图形构成，下列说法正确的是( AB )
第9题图
A．三个图案的面积都是4
B．三个图案都是轴对称图形
C．三个图案都可以通过旋转它的一个基本图形得到
D．三个图案都可以通过平移它的一个基本图形得到
10．已知点A(－2，3)经变换后到点B，下面的说法正确的是( BD )
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B(2，3)
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B(3，2)
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B(3，－2)
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B(2，6)
11．[2023·诸城期中]如图，将一副三角板按如图方式叠放在一起，保持三角板ABC不动，将三角板DCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度．当这两块三角板各有一条边互相平行时，∠ACE的度数可能是( ACD )
第11题图
A．45° B．90°
C．120° D．135°
解析：(1)如图1：
当DE∥AB时，∠ACE＝45°－30°＝15°；
图1
图2
第11题图
(2)如图2：
当CD∥AB时，∠ACE＝90°－(90°－30°)＝30°；
(3)如图3：
当DE∥AC时，∠ACE＝90°－45°＝45°；
图3
图4
第11题图
(4)如图4：
当CE∥AB时，∠ACE＝90°＋30°＝120°；
(5)如图5：
当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝60°；
图5
图6
图7
第11题图
(6)如图6：
当DE∥AB时，∠ACE＝180°－15°＝165°；
(7)如图7：
当CD∥AB时，∠ACE＝90°＋60°＝150°；
(8)如图8：
当DE∥AC时，∠ACE＝90°＋45°＝135°.
如图9，10，
图8
图9
图10
第11题图
当DE∥BC时，∠ACE＝135°或45°.
12．[2023·胶州期中]如图，点P是等边△ABC内一点，将线段PB绕点B沿顺时针方向旋转60°得到线段BP′，连接CP′，PP′，若PB＝3，PC＝4，PA＝5，则下列结论正确的是( ABCD )
第12题图
A．△PBP′为等边三角形
B．∠BPC＝150°
C．△BAP≌△BCP′
D．S四边形BPCP′＝6＋
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．[2024·淄博期末]如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A1B1C1，则旋转中心是点__N__．
第13题图
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为CD边的中点，线段PQ在BC边上移动，且保持PQ＝1，当BP＝__2__时，四边形APQE的周长最小．
第14题图
15．[2024·聊城期末]如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2 024次得到正方形 OA2 024B2 024C2 024，那么点A2 024的坐标是__(0，1)__．
第15题图
16．[2023·姑苏模拟]如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF＋CF的最小值是__3____．
第16题图
解析：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
第16题图
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∴△AED≌△GFE(AAS)，
∴FG＝AE，
作点C关于BF的对称点C′，
∵EG＝DA＝AB，FG＝AE，
∴AE＝BG，
∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C′点在AB的延长线上，
当D，F，C′三点共线时，DF＋CF＝DC′最小，
在Rt△ADC′中，AD＝3，AC′＝6，
∴DC′＝＝＝3 ，
∴DF＋CF的最小值为3 .
四、解答题(共48分)
17．(8分)[2024·济南期末]△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)平移△ABC，点A的对应点A1的坐标为(1，－5)，画出平移后对应的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标：____；
(2)△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到△A2B2C，按要求作出图形；
(3)如果△A2B2C通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标：____；
(4)在平面上是否存在点M，N，使得四边形BCMN是正方形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．
第17题图
解：(1)∵点A的对应点A1的坐标为(1，－5)，
∴将△ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度即可得到△A1B1C1，如图所示；
即点B1的坐标为(2，－2)，
故答案为：(2，－2)；
(2)如图1所示，将CB，CA分别绕点C逆时针方向旋转90°，即可得△A2B2C；
(3)如图1所示，连接A1A2，B1B2，并作其垂直平分线，即可得到旋转中心P(－1，－5)，
故答案为：(－1，－5)；
图1
图2
第17题图
(4)存在，M的坐标为(2，4)或(－4，－2)；
如图2所示，将CB绕点C顺时针方向旋转90°，即可得到点M(2，4)；将CB绕点C逆时针方向旋转90°，即可得到点M1(－4，－2)．
∴M的坐标为(2，4)或(－4.－2)．
18．(6分)[2024·淄博期末]完成下列各题：
如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°.
(1)请说明：∠EAB＝∠CAF；
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
(3)求∠AMB的度数．
第18题图
解：(1)∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAC－∠BAF＝∠EAF－∠BAF，
∴∠EAB＝∠CAF；
(2)∵△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，
∴△ABC可以绕点A逆时针旋转25°得到△AEF；
(3)由(1)得∠CAF＝∠EAB＝25°，
∵△ABC≌△AEF，∴∠C＝∠F＝57°，
∴∠AMB＝∠C＋∠CAF＝82°.
19．(8分)[2024·南宁期中]政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为1 m，图2中小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线．
第19题图
(1)分别设方案一和方案二的草地面积为S1 m2，S2 m2，则S1＝________________________________________________________________________
m2(用含a，b的式子表示)，S1______S2(填“＞”“＝”或“＜”)；
(2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1 m的小路，求草地的面积S；(用含a，b的式子表示)
(3)经讨论后决定选用方案三的方案，若a＝30 m，b＝20 m，且铺草地平均每平方米需要花费50元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？
解：(1)由图1可得小路是长为b，宽为1的长方形，
则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为(a－1)米，宽为b的长方形，
则S1＝b(a－1)，
由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形，
由图2中小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线，
则S2＝b(a－1)＝S1，
故答案为：b(a－1)，＝；
图1
图2
第19题图
(2)由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为(a－1)米，宽为(b－1)米的长方形，
则S＝(b－1)(a－1)；
(3)当a＝30 m，b＝20 m时，
S＝(b－1)(a－1)＝(30－1)×(20－1)＝551(m2)，
因为铺草地平均每平方米需要花费50元，
所以铺设这块草地一共需要花费551×50＝27 550(元)，
答：铺设这块草地一共需要花费27 550元．
20．(6分)[2024·枣庄期中]【问题探究】
(1)如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，____的直线将它分成面积相等的两部分；
(2)图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线EF将图②的阴影部分分成面积相等的两部分；(不写画图过程，保留画图痕迹)
【总结规律】
(3)由两个中心对称图形组合成的图形，________________________________________________________________________
的直线将它分成面积相等的两部分；
【拓展应用】
(4)如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植(分成面积相等的两部分)，请你帮助他们用一条直线MN分开．(不写画图过程，保留画图痕迹)
第20题图
解：(1)一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分．
故答案为：经过对称中心；
(2)如图2，直线OJ即为所求；
图2
图3
第20题图
(3)由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分．
故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心；
(4)如图3，直线MN即为所求．
21．(10分)[2024·重庆期末]如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)，得到△AED，记点B，C的对应点分别为D，E，连接BD，CD，射线EC与BD交于点G.
(1)如图1，求∠DEG的度数；(用含α的式子表示)
第21题图
(2)如图2，当点D在射线上AC时，若∠CAB＝60°，证明：四边形ABGE为平行四边形；
(3)在旋转过程中是否存在DC＝BD的情形？若存在，求出此时EG与EC的数量关系；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，旋转角为α，
∴∠CAE＝α，AE＝AC，∠AED＝∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠ECA＝＝90°－α.
则∠DEG＝∠AED－∠AEC＝90°－(90°－α)＝α；
(2) 证明：∵∠CAB＝60°，
∴旋转角α＝60°，∠CBA＝30°，
∵EA＝AC，∠EAC＝60°，
∠EAB＝120°，
∴∠ECA＝∠CAB，∴EG∥AB.
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝∠ABD＝＝60°，
∴∠EAB＋∠ABD＝180°，∴AE∥BG，
∴四边形ABGE为平行四边形；
(3)①当点B，C，D不共线时，如图1，过点D作BC的平行线DF与CG的延长线交于点F，连接BF.
图1
第21题图
由(1)可知∠DEC＝α，∠ECA＝90°－α，
∵∠ACB＝90°，∴∠GCB＝α，
∵DF∥BC，∴∠DFG＝α，∴ED＝DF.
∵ED＝BC，∴BC＝DF，
∴四边形DCBF为平行四边形，
∴点G为BD，CF的中点，即CG＝FG，DG＝BG.
∵DC＝BD，∴DC＝DG，
∴∠DCG＝∠DGC，∴∠DCE＝∠DGF，
∴△DCE≌△DGF(AAS)，
∴EC＝FG，∴EG＝2CE；
②如图2，当点B，C，D三点共线时，此时α＝2∠BAC，点G与点C重合．
图2
第21题图
∵DA＝AB，且AC⊥BD，
∴DC＝BD，
此时EG＝CE.
综上所述，在旋转过程中存在DC＝BD的情形，此时EG＝2CE或EG＝CE.
22．(10分)[2024·潍坊二模]在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4 ，BC＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，点G是△ABC内部或边上一点，连接AG，线段AG绕点A顺时针旋转60°后的对应线段为AM，连接DM.
(1)图1中，若点G在边AB上，则线段CG与线段DM之间的数量关系是____；线段DM与线段CG所在的两条直线相交所形成的锐角的度数为____；
(2)图2中，若点G在△ABC内部，判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，求GA＋GB＋GC的最小值，并说明此时CG∥AM.
第22题图
解：(1)延长DM交CG于点Q，如图所示：
第22题图
∵线段AG绕点A顺时针旋转60°后的对应线段为AM，
∴AG＝AM，∠GAM＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠GAM＝∠CAD，
∴∠GAC＝∠MAD，
∴△GAC≌△MAD(SAS)，
∴DM＝CG，∠ADM＝∠ACG，
又∵∠DOA＝∠QOC，
∴∠CQM＝∠CAD＝60°，
故答案为：相等，60°；
(2)成立，
理由如下：延长DM交CG的延长线于点Q，如图2所示：
第22题图
∵线段AG绕点A顺时针旋转60°后的对应线段为AM，
∴AG＝AM，∠GAM＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠GAM＝∠CAD，
∴∠GAC＝∠MAD，
∴△GAC≌△MAD(SAS)，
∴DM＝CG，∠ADM＝∠ACG，
又∵∠DEA＝∠CEQ，
∴∠CQM＝∠CAD＝60°；
(3)连接GM，BG，DB.由(2)知CG＝DM，△AGM是等边三角形，
∴GA＝GM，
第22题图
∴BG＋AG＋CG＝BG＋GM＋MD，
∴当点G，M在BD上时，BG＋GM＋MD＝BD最小，
∵∠ABC＝90°，AB＝4 ，BC＝4，
∴AC＝8，∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝4 ，
∴GA＋GB＋GC的最小值为4 ，
如图4，由△AMD≌△AGC可知，
∠AMD＝∠AGC＝120°，
图4
第22题图
∴∠AGC＋∠GAM＝180°，
∴CG∥AM.
