期末综合测试卷
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2024·菏泽期末]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( C )
2．[2024·临沂期末]关于直线y＝kx＋k(k≠0)，下列说法错误的是( C )
A．图象与y轴交于点(0，k)
B．当k<0时，点(－1，y1)，(2，y2)在图象上，则y1>y2
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象经过定点(－1，0)
3．[2024·淄博期中]已知y是x的一次函数，y与x之间的部分对应值如表所示，则m的值为( B )
x … －1 1 3 …
y … －6 m 2 …
A．6 B．－2 C．2 D．－6
4．[2023·潍城期末]已知a，b，m均为实数，下列结论中正确的是( B )
A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＜b，则m－a＞m－b
C．若a＞b，则a＋1＞b＋2 D．若a＜b，则ma＜mb
5．[2024·济宁]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE＝3，则菱形的边长为( A )
第5题图
A．6 B．8 C．10 D．12
6．[2023·潍城期末]如图，函数y＝kx与y＝ax＋b的图象交于点P(－4，－2)．则不等式ax＋b＜kx＜0的解集为( C )
第6题图
A．－2＜x＜0 B．x＞－4
C．－4＜x＜0 D．x＜－4
7．[2023·诸城期末]如图，将矩形ABCD绕A点逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到矩形AB′C′D′，已知∠1＝120°，则旋转角α的度数为( D )
第7题图
A．45° B．50° C．55° D．60°
8．[2024·淄博期中]如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，B(4，4)，点D在边AB上，AD＝2BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，若使四边形PCAD周长最小，则点P的坐标为( D )
第8题图
A. B. C. D.
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．[2024·潍坊期末]下列计算正确的是( CD )
A.＝－3 B．3＋2 ＝5
C.×＝ D．(－2 )2＝12
10．[2023·潍城期末]对于一次函数y＝－2x－8，下列结论正确的是( BD )
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数的图象与x轴的交点坐标是(0，－8)
D．函数的图象向上平移8个单位长度得y＝－2x的图象
11．[2023·潍城期末]关于x，y的二元一次方程组的解满足0＜y－x≤1，则a的值可能
是( CD )
A．1 B．2 C．3 D．4
12．[2024·潍坊期末]甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y(千米)随时间x(分钟)变化的图象(全程)如图所示，下列结论正确的是( ABC )
第12题图
A．两人到达终点的时间相差5分钟
B．本次比赛全程12千米
C．比赛开始24分钟时两人第一次相遇
D．第36分钟两人第二次相遇
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．[2024·潍坊期末]若代数式>0，则x的取值范围是__114．[2024·滨州期末]已知x＝2 ＋2，y＝2 －2，则x2－2xy＋y2＝__16__．
15．[2024·聊城期末]一次函数y1＝ax＋b与y2＝cx＋d的图象如图所示．
①y2随x的增大而减小 ②函数y＝bx＋d的图象不经过第二象限 ③2a－2c＝b－d ④a＋b＋c＋d<0
以上结论正确的是__①②③__．
第15题图
16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1(0，2)变换到点A2(6，0)，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3(6，0)，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4(10，4 )，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5(10＋12 ，0)，得到等腰直角三角形⑤…依此规律，则第2 024个等腰直角三角形的面积是__22_024__．
第16题图
四、解答题(共78分)
17．(12分)[2023·冠县期末](1)计算：÷－×＋；
(2)(＋)(－)－(－1)2；
(3)(10－6＋4)÷；
(4)解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
解：(1)原式＝－＋2
＝－＋2 ＝4＋；
(2)原式＝()2－()2－(2－2 ＋1)
＝3－2－3＋2 ＝2 －2；
(3)原式＝10÷－6÷＋4÷
＝10 －6＋4
＝20 －9 ＋4 ＝15 ；
(4)
由①，得x＞－2，
由②，得1＋x≥4x－8，
∴x－4x≥－8－1，解得x≤3，
解集在数轴上表示为：
第17题图
∴不等式组的解集为－2＜x≤3.
18．(10分)[2024·潍坊期末]如图所示，△ABC的三个顶点的坐标为A(1，1)，B(6，1)，C(2，4)．
(1)把△ABC向左平移7个单位后得到对应的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，请画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)把△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到对应的△A2B2C2，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
(3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
第18题图
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(－6，1)；
第18题图
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为(1，－6)；
(3)如图所示，点D1，D2，D3均满足要求，即点D的坐标为(5，－2)或(7，4)或(－3，4)．
19．(8分)[2024·青岛二模]如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD且CF＝DE，连接AE，BF，EF.
(1)求证：△ADE≌△BCF；
(2)请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．
条件①：∠BFC－∠ABE＝90°；
条件②：AE＝EF；
条件③：连接AF，AF⊥BD.
(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分)
已知：____．(填写序号)
第19题图
解：(1) 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵CF∥BD，
∴∠DBC＝∠BCF，
∴∠ADB＝∠BCF，
又∵DE＝CF，
∴△ADE≌△BCF(SAS)；
(2)∵CF∥BD且CF＝DE，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴EF∥CD，EF＝CD，
又∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴AB∥EF，AB＝EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
已知：①，
结论：四边形ABFE是矩形．
证明：∵AB∥EF∥CD，
∴∠ABE＝∠BEF＝∠EFC，
∵∠BFC－∠ABE＝90°，
∴∠BFE＝∠BFC－∠EFC＝90°，
故 ABFE是矩形；
已知：②，
结论：四边形ABFE是菱形．
证明：∵AE＝EF，四边形ABFE是平行四边形，
∴ ABFE是菱形；
第19题图
已知：③，
结论：四边形ABFE是菱形．
证明：连接AF，
∵AF⊥BD，四边形ABFE是平行四边形，
∴ ABFE是菱形．
20．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A(0，2)，B(8，8)，点C(m，0)．
(1)当m＝4时，写出线段AC＝____，BC＝____；
(2)当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形？如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．
第20题图
解：(1)如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，
图1
第20题图
∵点A(0，2)，点B(8，8)，点C(4，0)，
∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝4，
∴CE＝OE－OC＝4，
∵∠AOC＝90°，BE⊥x 轴，
∴AC＝＝＝2 ，
BC＝＝＝4 ；
故答案为：2 ，4 ；
(2)存在．如图2，过点A作AF⊥BE于点F，
图2
第20题图
∵点A(0，2)，点B(8，8)，点C(m，0)，
∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝m，
∴CE＝OE－OC＝8－m，
∵AF⊥BE，∠AOC＝90°，BE⊥x轴，
∴四边形AOEF是矩形，
∴EF＝OA＝2，AF＝OE＝8，
∴BF＝BE－EF＝8－2＝6，
∴AB2＝AF2＋BF2＝64＋36＝100，
AC2＝OA2＋OC2＝4＋m2，
BC2＝BE2＋CE2＝64＋(8－m)2，
当∠BAC＝90°时，BC2＝AB2＋AC2，
则64＋(8－m)2＝100＋4＋m2，
∴m＝，∴S△ABC＝·AC·AB＝××10＝；
当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2＋BC2，
则100＝4＋m2＋64＋(8－m)2，
∴m＝4，
∴S△ABC＝AC·BC＝×2 ×4 ＝20；
当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2＋BC2，
则4＋m2＝100＋64＋(8－m)2，
∴m＝14，
∴S△ABC＝AB·BC＝×10×10＝50.
综上所述：存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50.
21．(10分)[2023·潍城期末]2023年5月17日，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星在西昌发射场成功发射．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型．该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍．已知“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个．
(1)求最多购进“卫星”模型多少个？
(2)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少？
(3)如果“卫星”模型的进价上调m元(0＜m＜6)，“火箭”模型的进价不变，但限定“卫星”模型的数量不少于“火箭”模型的数量，两种模型的售价均不变．航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2 399元，请求出m的值．
解：(1)设购进“卫星”模型x个，则购进“火箭”模型(200－x)个，
根据题意，得x≤2(200－x)，
解得x≤，
又∵x为正整数，∴x的最大值为133.
答：最多购进“卫星”模型133个；
(2)设售完这批模型可以获得的总利润为y元，则y＝(45－30)x＋(30－20)(200－x)，
即y＝5x＋2 000，
∵5＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝133时，y取得最大值，最大值为5×133＋2 000＝2 665(元)．
答：售完这批模型可以获得的最大利润是2 665元；
(3)根据题意，得x≥200－x，
解得x≥100，
又∵x≤，且x为正整数，
∴100≤x≤133且x为整数．
当0＜m＜5时，y＝(45－m－30)x＋(30－20)(200－x)，
即y＝(5－m)x＋2 000，
∵5－m＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝133时，y取得最大值，此时133(5－m)＋2 000＝2 399，
解得m＝2；
当m＝5时，y＝(45－5－30)x＋(30－20)(200－x)，
即y＝2 000，不符合题意，舍去；
当5＜m＜6时，y＝(45－m－30)x＋(30－20)(200－x)，
即y＝(5－m)x＋2 000，
∵5－m＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝100时，y取得最大值，此时100(5－m)＋2 000＝2 399，
解得m＝1.01(不符合题意，舍去)．
∴m的值为2.
22．(12分)[2024·济南期中]如图，一次函数y1＝x＋n的图象分别与x轴和y轴相交于A，C两点，且与正比例函数y2＝－2x的图象交于点B(－2，m)．
(1)求m，n的值；
(2)当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)在y轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求点P的坐标．
第22题图
解：(1)把点B(－2，m)代入y2＝－2x，得m＝－2×(－2)＝4，
∴B(－2，4)，
把点B(－2，4)代入y1＝x＋n，
得－2＋n＝4，
解得n＝6；
(2)由图可得，当y1>y2时，x>－2；
(3)如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，
第22题图
把y＝0代入y＝x＋6，得x＋6＝0，
解得x＝－6，
∴A(－6，0)，
由对称的性质，可得AP＝A′P，A′(6，0)，
∴AP＋BP＝A′P＋BP≥A′B，
∴当点A′，P，B三点共线时，PA＋PB的值最小，
设直线A′B的表达式为y＝kx＋b，
把A′(6，0)，B(－2，4)代入，得
解得
∴直线A′B的表达式为y＝－x＋3，
把x＝0代入，得y＝3，
∴P(0，3)．
23．(14分)[2024·山东]一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE.作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1.
第23题图
(1)求证：BM＝EN；
(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中△DCF绕C点按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P.
①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°<α<60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°<α<120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
解：(1) 证明：设AC＝DE＝a，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，∴AB＝BC，
∵BM⊥AC，
∴BM＝AM＝CM＝AC＝a，
∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，
∴EN＝DE＝a，∴BM＝EN；
(2) 证明：①∵∠D＝30°，CN⊥DF，
∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°，
∵α＝∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝90°，
∵BM⊥AC，
∴∠PMC＝∠BMC＝90°，
∴四边形PMCN为矩形，
∵BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，
∴CM＝CN，
∴四边形PMCN是正方形；
②如图1，当30°<α<60°时，连接CP，
图1
第23题图
由(1)可得，CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
∴Rt△PMC≌Rt△PNC(HL)，
∴PM＝PN，
∴MP＋DP＝PN＋DP＝DN，
∵∠D＝30°，
∴CN＝CD，
∴DN＝CD，
∴＝＝，
∴＝；
如图2，当60°<α<120°时，连接CP，
图2
第23题图
由(1)可得，CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
∴Rt△PMC≌Rt△PNC(HL)，
∴PM＝PN，
∴DN＝PN－DP＝MP－DP，
∵∠CDF＝30°，∴CN＝CD，
∴DN＝CD，
∴＝＝，
∴＝.期末综合测试卷
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．[2024·菏泽期末]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2．[2024·临沂期末]关于直线y＝kx＋k(k≠0)，下列说法错误的是( )
A．图象与y轴交于点(0，k)
B．当k<0时，点(－1，y1)，(2，y2)在图象上，则y1>y2
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象经过定点(－1，0)
3．[2024·淄博期中]已知y是x的一次函数，y与x之间的部分对应值如表所示，则m的值为( )
x … －1 1 3 …
y … －6 m 2 …
A．6 B．－2 C．2 D．－6
4．[2023·潍城期末]已知a，b，m均为实数，下列结论中正确的是( )
A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＜b，则m－a＞m－b
C．若a＞b，则a＋1＞b＋2 D．若a＜b，则ma＜mb
5．[2024·济宁]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE＝3，则菱形的边长为( )
第5题图
A．6 B．8 C．10 D．12
6．[2023·潍城期末]如图，函数y＝kx与y＝ax＋b的图象交于点P(－4，－2)．则不等式ax＋b＜kx＜0的解集为( )
第6题图
A．－2＜x＜0 B．x＞－4
C．－4＜x＜0 D．x＜－4
7．[2023·诸城期末]如图，将矩形ABCD绕A点逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到矩形AB′C′D′，已知∠1＝120°，则旋转角α的度数为( )
第7题图
A．45° B．50° C．55° D．60°
8．[2024·淄博期中]如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，B(4，4)，点D在边AB上，AD＝2BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，若使四边形PCAD周长最小，则点P的坐标为( )
第8题图
A. B. C. D.
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．[2024·潍坊期末]下列计算正确的是( )
A.＝－3 B．3＋2 ＝5
C.×＝ D．(－2 )2＝12
10．[2023·潍城期末]对于一次函数y＝－2x－8，下列结论正确的是( )
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数的图象与x轴的交点坐标是(0，－8)
D．函数的图象向上平移8个单位长度得y＝－2x的图象
11．[2023·潍城期末]关于x，y的二元一次方程组的解满足0＜y－x≤1，则a的值可能
是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12．[2024·潍坊期末]甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y(千米)随时间x(分钟)变化的图象(全程)如图所示，下列结论正确的是( )
第12题图
A．两人到达终点的时间相差5分钟
B．本次比赛全程12千米
C．比赛开始24分钟时两人第一次相遇
D．第36分钟两人第二次相遇
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．[2024·潍坊期末]若代数式>0，则x的取值范围是__ __．
14．[2024·滨州期末]已知x＝2 ＋2，y＝2 －2，则x2－2xy＋y2＝__ __．
15．[2024·聊城期末]一次函数y1＝ax＋b与y2＝cx＋d的图象如图所示．
①y2随x的增大而减小 ②函数y＝bx＋d的图象不经过第二象限 ③2a－2c＝b－d ④a＋b＋c＋d<0
以上结论正确的是__ __．
第15题图
16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1(0，2)变换到点A2(6，0)，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3(6，0)，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4(10，4 )，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5(10＋12 ，0)，得到等腰直角三角形⑤…依此规律，则第2 024个等腰直角三角形的面积是__ _ __．
第16题图
四、解答题(共78分)
17．(12分)[2023·冠县期末](1)计算：÷－×＋；
(2)(＋)(－)－(－1)2；
(3)(10－6＋4)÷；
(4)解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
18．(10分)[2024·潍坊期末]如图所示，△ABC的三个顶点的坐标为A(1，1)，B(6，1)，C(2，4)．
(1)把△ABC向左平移7个单位后得到对应的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，请画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)把△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到对应的△A2B2C2，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
(3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
第18题图
19．(8分)[2024·青岛二模]如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD且CF＝DE，连接AE，BF，EF.
(1)求证：△ADE≌△BCF；
(2)请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．
条件①：∠BFC－∠ABE＝90°；
条件②：AE＝EF；
条件③：连接AF，AF⊥BD.
(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分)
已知：____．(填写序号)
第19题图
20．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A(0，2)，B(8，8)，点C(m，0)．
(1)当m＝4时，写出线段AC＝____，BC＝____；
(2)当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形？如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．
第20题图
21．(10分)[2023·潍城期末]2023年5月17日，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星在西昌发射场成功发射．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型．该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍．已知“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个．
(1)求最多购进“卫星”模型多少个？
(2)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少？
(3)如果“卫星”模型的进价上调m元(0＜m＜6)，“火箭”模型的进价不变，但限定“卫星”模型的数量不少于“火箭”模型的数量，两种模型的售价均不变．航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2 399元，请求出m的值．
22．(12分)[2024·济南期中]如图，一次函数y1＝x＋n的图象分别与x轴和y轴相交于A，C两点，且与正比例函数y2＝－2x的图象交于点B(－2，m)．
(1)求m，n的值；
(2)当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)在y轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求点P的坐标．
第22题图
23．(14分)[2024·山东]一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE.作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1.
第23题图
(1)求证：BM＝EN；
(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中△DCF绕C点按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P.
①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°<α<60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°<α<120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
