类型一 竞赛问题
1．某校八年级举行趣味数学竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题倒扣1分，小华有1题没答，大赛组委会规定总得分不低于80分获奖，小华要想获奖，最多只能错多少道题？(列不等式解答)
解：设最多只能错x道题，
根据题意，得(25－x－1)×4－x≥80，
解得x≤，
答：小华要想获奖，最多只能错3道题．
类型二 分配问题
2．一群女生住若干宿舍．每间住5人．现剩下2人无房住．
(1)若每间住7人．有一间宿舍住不满，则有多少间宿舍？多少名女生？
(2)若每间住7人．有一间宿舍不足4人，则有多少间宿舍？多少名女生？
(3)若每间住7人，有一间宿舍无人住，则有多少间宿舍？多少名女生？
解：(1)设有x间宿舍，则有(5x＋2)名女生．
由题意，得
0＜5x＋2－7(x－1)＜7，
解得1＜x＜4.5，
∵x是整数，
∴x可取2，3或4，
∴学生数为12或17或22人．
答：有2间宿舍，12名女生或3间宿舍，17名女生或4间宿舍，22名女生；
(2)设有y间宿舍，由题意，得
0＜5y＋2－7(y－1)＜4，
解得2.5＜y＜4.5，
∵y是整数，∴y可取3或4，
∴学生数为17或22人．
答：有3间宿舍，17名女生或4间宿舍，22名女生；
(3)设有z间宿舍，由题意，得
0＜5z＋2－7(z－2)≤7，
解得4.5≤z＜8，
∵z是整数，
∴z可取5，6或7，
∴学生数为27或32或37人．
答：有5间宿舍，27名女生或6间宿舍，32名女生或7间宿舍，37名女生．
类型三 销售问题
3．[2024·聊城三模]山东大樱桃以“北方春果第一枝”而闻名，品种丰富．某水果店计划购进其中的“美早”与“黄水晶”两个品种的樱桃，已知2箱“美早”樱桃的进价与3箱“黄水晶”樱桃的进价之和为280元，且每箱“美早”樱桃的进价比每箱“黄水晶”樱桃的进价贵10元．
(1)求每箱“美早”樱桃的进价与每箱“黄水晶”樱桃的进价分别是多少元；
(2)水果店欲购进“美早”与“黄水晶”樱桃共50箱，在进货总价不超过3 000元的情况下，最多可购进“美早”樱桃多少箱？
解：(1)设每箱“美早”樱桃的进价是x元，每箱“黄水晶”樱桃的进价是y元，由题意，得
解得
答：每箱“美早”樱桃的进价是62元，每箱“黄水晶”樱桃的进价是52元；
(2)设购进a箱“美早”樱桃，则购进(50－a)箱“黄水晶”樱桃．
∴62a＋(50－a)×52≤3 000，
解得a≤40.
答：最多可购进“美早”樱桃40箱．
类型四 工程问题
4．为全面改善公园环境，现招标建设某全长960米绿化带，A，B两个工程队的竞标，A队平均每天绿化长度是B队的2倍，若由一个工程队单独完成绿化任务，B队比A队要多用6天．
(1)分别求出A，B两队平均每天绿化长度；
(2)若决定由两个工程队共同合作绿化，要求至多4天完成绿化任务，两队都按(1)中的工作效率绿化完2天时，现又多出180米需要绿化，为了不超过4天时限，两队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，且A队平均每天绿化长度仍是B队的2倍，则B队提高工作效率后平均每天至少绿化多少米？
解：(1)设B队平均每天绿化x米，则A队平均每天绿化2x米．
依题意，得－＝6，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝160.
答：A队平均每天绿化160米，B队平均每天绿化80米；
(2)设B队提高工作效率后平均每天绿化y米，则A队提高工作效率后平均每天绿化2y米，
依题意，得(160＋80)×2＋(2y＋y)×(4－2)≥960＋180，
解得y≥110.
答：B队提高工作效率后平均每天至少绿化110米．
类型五 采购问题
5．[2024·青岛期中]两个家庭暑假结伴自驾到某景区旅游，该景区售出的门票分为成人票和儿童票，小鹏家购买3张成人票和1张儿童票共需350元，小波家购买1张成人票和2张儿童票共需200元．
(1)求成人票和儿童票的单价；
(2)售票处规定：一次性购票数量达到30张，可购买团体票，即每张票均按成人票价的八折出售．若干个家庭组团到该景区旅游，导游收到通知该团成人和儿童共30人，估计儿童8至16人．导游选择哪种购票方式花费较少？
解：(1)设成人票的单价是x元，儿童票的单价是y元，
根据题意，得
解得
答：成人票的单价是100元，儿童票的单价是50元；
(2)设该团儿童有m人，则该团成人有(30－m)人，购买团体票所需费用为100×0.8×30＝2 400(元)，不购买团体票所需费用为100(30－m)＋50m＝(－50m＋3 000)元，
当2 400<－50m＋3 000时，m<12，
∴当8≤m<12时，购买团体票花费较少；
当2 400＝－50m＋3 000时，m＝12，
∴当m＝12时，两种购票方式花费一样多；
当2 400>－50m＋3 000时，m>12，
∴当12
答：当8≤m<12时，购买团体票花费较少；当m＝12时，两种购票方式花费一样多；当12类型六 方案选择与设计问题
6．[2024·日照期末]近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3 m2和1 m2，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案；
(3)考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在(2)的条件下，哪种方案占地面积最小？
解：(1)设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，
由题意得
解得
即新建一个地上充电桩需要0.2万元，新建一个地下充电桩需要0.3万元；
(2)设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为(60－m)个，
由题意得
解得17≤m≤20，
∴整数m的值为17，18，19，20.
∴一共有4种方案，分别为：
方案①新建17个地上充电桩，43个地下充电桩；
方案②新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案③新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案④新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；
(3)由题意知：
方案①占地面积为17×3＋43×1＝94(m2)，
方案②占地面积为18×3＋42×1＝96(m2)，
方案③占地面积为19×3＋41×1＝98(m2)，
方案④占地面积为20×3＋40×1＝100(m2)，
∴方案①：新建17个地上充电桩，43个地下充电桩，占地面积最小.类型一 图形平移中的计算
1．[2024·西安期中]如图，在长为50 m，宽为30 m的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为2 m，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是1_344_m2．
第1题图
2．[2024·济南期中]如图，直线l1：y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.将线段AB向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD.
(1)求点C，D的坐标；
(2)求四边形BACD的面积；
(3)若直线l2：y＝ax－2a＋4将四边形BACD分成面积相等的两部分，请求出a的值．
第2题图
解：(1)∵直线l1：y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴B(0，3)，
当y＝0时，3x＋3＝0，解得x＝－1，
∴A(－1，0)，
∵将线段AB向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段CD，
∴C(6，1)，D(7，4)；
(2)∵线段AB平移得到线段CD，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形BACD是平行四边形，
∴S BACD＝2S△ABC，
延长BC交x轴于点P，如图1：
图1
第2题图
设yBC＝kx＋3，
将C(6，1)代入得k＝－，
∴yBC＝－x＋3，
当y＝0时，0＝－x＋3，解得x＝9，
∴P(9，0)，∴AP＝9－(－1)＝10，
∴S△ABC＝S△ABP－S△ACP＝AP·(yB－yC)＝10，S BACD＝2S△ABC＝20；
(3)连接AD，BC相交于点E，如图2，
图2
第2题图
设yAD＝mx＋n，
将A(－1，0)，D(7，4)代入yAD＝mx＋n，得解得
∴yAD＝x＋，
联立解得
∴点E的坐标为(3，2)，
将E(3，2)代入直线l2：y＝ax－2a＋4，解得a＝－2.
类型二 图形旋转中的计算
3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠DAE＝45°，将△BAD绕点A逆时针旋转与△CAF重合，BD＝1，DE＝3，则EC＝2．
第3题图
4．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ.若PA＝6，PB＝8，PC＝10.
(1)CP与BQ的大小关系，并说明理由；
(2)连接PQ，判断△BPQ的形状；
(3)求四边形APBQ的面积．
第4题图
解：(1)结论：CP＝BQ.
理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴∠CAB＝∠PAQ，
∴∠CAP＝∠BAQ，
在△CAP和△BAQ中，
∴△CAP≌△BAQ(SAS)，
∴CP＝BQ；
(2)结论：△PBQ是直角三角形．
理由：如图，
第4题图
∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ＝AP＝6，
∵BQ＝PC＝10，PB＝8，
∴PB2＋PQ2＝BQ2，
∴∠BPQ＝90°，
∴△BPQ是直角三角形；
(3)∵S四边形APBQ＝S△APQ＋S△PBQ
＝×62＋×6×8
＝9 ＋24.
类型三 综合运用全等、勾股定理及旋转知识解决问题
5．[2024·威海期末]如图，在正方形ABCD中，AB＝8.将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形AEFG，EF交CD于点M，延长FE交BC于点N.
(1)求证：MN＝DM＋BN；
(2)顺次连接D，E，C，F，得到四边形DECF.在旋转过程中，四边形DECF能否为矩形？若能，求出BN的值；若不能，请说明理由．
第5题图
解：(1)证明：如图1，连接AM，AN
图1
第5题图
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
由旋转，得AB＝AE，∠AEM＝∠AEN＝∠B＝90°，
∴AD＝AE，∠AEM＝∠D＝90°，
∵AM＝AM，∴△AEM≌△ADM(HL)，
∴DM＝EM，
同理，得△ABN≌△AEN，
∴BN＝EN，
∵MN＝ME＋EN，∴MN＝DM＋BN；
(2)能，BN＝.理由：如图2，
图2
第5题图
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝8，∠BCD＝90°，
由旋转，得CD＝EF，
故当CD，EF互相平分时，四边形CEDF为矩形，
设BN＝x，则CN＝8－x，DM＝CM＝×8＝4，
由(1)，得MN＝BN＋DM＝x＋4，
∴在Rt△NCM中，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝(x＋4)2，
解得x＝，即BN＝.
6．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P是AC上一点，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ，连接PQ.
(1)求∠PCQ的度数；
(2)当AB＝4，AP∶PC＝1∶3时，求PQ的大小；
(3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点A重合)，探索关于PA2，PB2，PC2之间的等式关系，并加以证明．
第6题图
解：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，
∠ABC＝90°，
∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝45°，
∵将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ，
∴△ABP≌△CBQ，∠PBQ＝90°，
∴∠A＝∠BCQ＝45°，AP＝CQ，PB＝BQ，
∴∠PCQ＝∠ACB＋∠BCQ＝90°；
(2)∵AB＝BC，∠BAC＝90°，
∴AC2＝AB2＋BC2＝2AB2＝2×42＝32，
∴AC＝4 ，
∵AP∶PC＝1∶3，
∴AP＝AC＝，PC＝3 ，
∴CQ＝AP＝，
在Rt△PCQ中，PQ＝
＝
＝2 ；
(3)2PB2＝PA2＋PC2，理由如下：
在Rt△BPQ中，BP＝BQ，∠PBQ＝90°，
∴PQ2＝PB2＋BQ2＝2PB2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得
PQ2＝PC2＋CQ2＝PC2＋PA2，
∴2PB2＝PA2＋PC2.
类型四 与旋转有关的类比探究题
7．[2024·聊城期末]实践探究题
【问题情境】
在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为斜边BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE.
(1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点D为等腰直角三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE.若B，D，E三点共线，求证：∠BEC＝2∠AEB；
(3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形ABC的直角边长为2 ，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE.点D在运动过程中，当△DEC的周长最小时，CE的长为 (直接写答案)．
第7题图
解：(1)BD＝CE.
证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
即∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE.
在△BAD与△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD＝CE.
(2)证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AEB＝45°，
∴∠ADB＝180°－∠ADE＝135°.
同(1)，得△BAD≌△CAE，
∴∠AEC＝∠ADB＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC－∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝2∠AEB；
(3)∵△BAD≌△CAE，∴CE＝BD，
∴△DEC的周长＝DE＋CE＋DC＝BD＋CD＋DE，
∴当点D在线段BC上时，△DEC的周长＝BC＋DE，
∵△ADE，△ABC为等腰直角三角形，
∴DE＝AD，BC＝AB＝4，
∴AD的值最小时，△DEC的周长最小，此时AD⊥BC，
∴BD＝BC＝2＝CE，
故答案为：2.
第7题图类型一 图形平移中的计算
1．[2024·西安期中]如图，在长为50 m，宽为30 m的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为2 m，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是 _ _ ．
第1题图
2．[2024·济南期中]如图，直线l1：y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.将线段AB向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD.
(1)求点C，D的坐标；
(2)求四边形BACD的面积；
(3)若直线l2：y＝ax－2a＋4将四边形BACD分成面积相等的两部分，请求出a的值．
第2题图
类型二 图形旋转中的计算
3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠DAE＝45°，将△BAD绕点A逆时针旋转与△CAF重合，BD＝1，DE＝3，则EC＝ ．
第3题图
4．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ.若PA＝6，PB＝8，PC＝10.
(1)CP与BQ的大小关系，并说明理由；
(2)连接PQ，判断△BPQ的形状；
(3)求四边形APBQ的面积．
第4题图
类型三 综合运用全等、勾股定理及旋转知识解决问题
5．[2024·威海期末]如图，在正方形ABCD中，AB＝8.将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形AEFG，EF交CD于点M，延长FE交BC于点N.
(1)求证：MN＝DM＋BN；
(2)顺次连接D，E，C，F，得到四边形DECF.在旋转过程中，四边形DECF能否为矩形？若能，求出BN的值；若不能，请说明理由．
第5题图
6．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P是AC上一点，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ，连接PQ.
(1)求∠PCQ的度数；
(2)当AB＝4，AP∶PC＝1∶3时，求PQ的大小；
(3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点A重合)，探索关于PA2，PB2，PC2之间的等式关系，并加以证明．
第6题图
类型四 与旋转有关的类比探究题
7．[2024·聊城期末]实践探究题
【问题情境】
在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为斜边BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE.
(1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点D为等腰直角三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE.若B，D，E三点共线，求证：∠BEC＝2∠AEB；
(3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形ABC的直角边长为2 ，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE.点D在运动过程中，当△DEC的周长最小时，CE的长为 (直接写答案)．
第7题图类型一 已知解集，求参数的取值范围
1．[2023·遂宁]若关于x的不等式组的解集为x>3，则a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<3
C．a≥3 D．a≤3
2．如果关于x的一元一次不等式组的解集为x＜a，那么a的取值范围是 ．
类型二 已知不等式组解的情况求参数的取值范围
3．[2024·铜仁期末]已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( )
A．a<2 B．a≤2
C．a>2 D．a≥2
4．关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是( )
A．a≥4 B．a>4
C．a≤4 D．a<4
类型三 已知特殊解的情况，求参数的取值范围
5．关于x的不等式3x－m＋1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是( )
A．m＞4 B．4≤m＜7
C．4＜m≤7 D．m＜7
6．[2024·滨州期末]若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是( )
A．－1≤a<0 B．－1C．0类型四 已知两个不等式的解的关系，求参数的取值范围
7．已知关于x的一元一次不等式＋2<与2－x＜0的解集相同，则m＝ .
8．[绵阳中考]若不等式＞－x－的解都能使不等式(m－6)x＜2m＋1成立，则实数m的取值范围是 ．
类型五 已知不等式(组)的整数解的情况求代数式的值
9．[2024·马鞍山期中]已知实数a，b，满足1≤a＋b≤4，0≤a－b≤1，则当a－2b取最大值时，8a＋2 024b的值为 ．
10．若不等式2(x＋1)－5＜3(x－1)＋4的最小整数解是方程x－ax＝5的解，则代数式a2－2a－11的值为 ．
类型六 方程(组)与不等式(组)结合求参数的取值范围
11．[2024·日照二模]关于x的不等式组有解，同时关于x的方程－＝2有正数解，则所有满足条件的整数m的和是 ．
12．已知方程组的解x是非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简|a－3|－|a＋2|；
(3)化简|a＋1|＋|a－2|.类型一 一次函数与方程(组)、不等式(组)
1．(多选)[2024·吕梁期末]在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)与y＝mx(m≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是( ABC )
第1题图
A．amB．关于x的方程ax＋b＝mx的解是x＝2
C．关于x，y的方程组的解为
D．关于x的不等式ax＋b2．[2023·市北一模]在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．小刚在学习了一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数后，结合图示对相关知识作如下归纳整理：
第2题图
(1)小刚学习笔记中的①②③④分别指什么呢？请你根据以上的复习阅读，在下面横线上将他的意思体现清楚：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
(2)如果点C的坐标为(1，3)，那么不等式kx＋b≤k1x＋b1的解集是 ．
3．[2024·滨州期中]已知直线AB：y＝mx＋4与直线CD：y＝2x－4相交于点C(n，2)，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线CD与y轴交于点D.
(1)求A，C两点的坐标；
(2)若mx＋4<0，则x的取值范围是 ；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式0第3题图
类型二 一次函数的应用
角度一 方案决策问题
4．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元．
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．
(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式；
(2)在同一直角坐标系中作出它们的图象；
(3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？
5．[2024·潍坊二模]第41届潍坊国际风筝会来临之际，某商铺打算购进甲、乙两种风筝的文创产品向游客销售．已知甲种的进价比乙种的进价每件多1元，用1 600元采购甲种的件数是用720元采购乙种的件数的2倍，两种文创产品的售价均为每件15元．
(1)求甲、乙两种文创产品每件的进价分别为多少元？
(2)商铺计划采购这两种文创产品共800件，采购乙种的件数不低于490件，但不超过甲种件数的4倍．厂家给出的优惠方案是：若一次性采购甲种超过180件时，甲种超过的部分按原进价打6折．设这次购买甲种文创产品的件数为x件，售出甲、乙两种产品所获的总利润为w元，请写出w与x的函数关系式，并求出这次采购的文创产品的最大利润及采购方案．
角度二 最佳效益问题
6．为尽快实现果树的“迭代升级”，某果园计划新购进甲、乙两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这两种果树苗共135棵．其中甲种苗的单价为7元/棵，购买乙种苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若在购买计划中，乙种苗的数量不少于49棵但不超过65棵，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
第6题图
7．[2024·聊城期末]当农业遇上科技，变革正悄然进行．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共400箱，其进货成本、直播成本以及售价如表：
进货成本(元/箱) 直播成本(元/箱) 售价(元/箱)
西芹 18 4 28
西红柿 24 6 40
已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过10 800元，若所购进的蔬菜全部销售完，则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大？请求出最大利润和此时两种蔬菜的进货量．类型一 特殊平行四边形的性质与判定
1．[2024·烟台期中]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE.
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形的面积是10，请求出矩形OCED的面积．
第1题图
2．[2024·济宁一模]已知四边形ABCD是一张矩形纸片，将四边形CDEF沿EF翻折，使点C和点A重合，点D落在点G处，连接CE.求证：
(1)△ABF≌△AGE；
(2)四边形AECF是菱形．
第2题图
3．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF.
第3题图
4．[2023·青岛二模]如图，在 ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F是AC的四等分点，顺次连接G，E，H，F.
(1)求证：△AGE≌△CHF；
(2)已知AC＝2AB，AC⊥AB，求证：四边形GEHF是正方形．
第4题图
类型二 特殊平行四边形中的动点问题
5．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积( )
第5题图
A．先变大后变小 B．保持不变
C．一直变大 D．一直变小
6．[2023·竹山县模拟]如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为 ．
第6题图
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30 cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t s．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
(1)四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
第7题图
8．如图，在平面直角坐标系中，点D是正方形OABC的边AB上的动点，OC＝6.以AD为一边在AB的右侧作正方形ADEF，连接BF交DE于P点．
(1)请直接写出点A，B的坐标；
(2)在点D的运动过程中，OD与BF是否存在特殊的位置关系？若存在，试写出OD与BF的位置关系，并证明；若不存在，请说明理由．
第8题图
9．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上一动点，且PE⊥MC于点E，PF⊥BM于点F.
(1)当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？
(2)在(1)的条件下，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形？为什么？
第9题图类型一 竞赛问题
1．某校八年级举行趣味数学竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题倒扣1分，小华有1题没答，大赛组委会规定总得分不低于80分获奖，小华要想获奖，最多只能错多少道题？(列不等式解答)
类型二 分配问题
2．一群女生住若干宿舍．每间住5人．现剩下2人无房住．
(1)若每间住7人．有一间宿舍住不满，则有多少间宿舍？多少名女生？
(2)若每间住7人．有一间宿舍不足4人，则有多少间宿舍？多少名女生？
(3)若每间住7人，有一间宿舍无人住，则有多少间宿舍？多少名女生？
类型三 销售问题
3．[2024·聊城三模]山东大樱桃以“北方春果第一枝”而闻名，品种丰富．某水果店计划购进其中的“美早”与“黄水晶”两个品种的樱桃，已知2箱“美早”樱桃的进价与3箱“黄水晶”樱桃的进价之和为280元，且每箱“美早”樱桃的进价比每箱“黄水晶”樱桃的进价贵10元．
(1)求每箱“美早”樱桃的进价与每箱“黄水晶”樱桃的进价分别是多少元；
(2)水果店欲购进“美早”与“黄水晶”樱桃共50箱，在进货总价不超过3 000元的情况下，最多可购进“美早”樱桃多少箱？
类型四 工程问题
4．为全面改善公园环境，现招标建设某全长960米绿化带，A，B两个工程队的竞标，A队平均每天绿化长度是B队的2倍，若由一个工程队单独完成绿化任务，B队比A队要多用6天．
(1)分别求出A，B两队平均每天绿化长度；
(2)若决定由两个工程队共同合作绿化，要求至多4天完成绿化任务，两队都按(1)中的工作效率绿化完2天时，现又多出180米需要绿化，为了不超过4天时限，两队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，且A队平均每天绿化长度仍是B队的2倍，则B队提高工作效率后平均每天至少绿化多少米？
类型五 采购问题
5．[2024·青岛期中]两个家庭暑假结伴自驾到某景区旅游，该景区售出的门票分为成人票和儿童票，小鹏家购买3张成人票和1张儿童票共需350元，小波家购买1张成人票和2张儿童票共需200元．
(1)求成人票和儿童票的单价；
(2)售票处规定：一次性购票数量达到30张，可购买团体票，即每张票均按成人票价的八折出售．若干个家庭组团到该景区旅游，导游收到通知该团成人和儿童共30人，估计儿童8至16人．导游选择哪种购票方式花费较少？
类型六 方案选择与设计问题
6．[2024·日照期末]近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3 m2和1 m2，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案；
(3)考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在(2)的条件下，哪种方案占地面积最小？类型一 特殊平行四边形的性质与判定
1．[2024·烟台期中]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE.
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形的面积是10，请求出矩形OCED的面积．
第1题图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC，∠COD＝90°，
∵DE＝AC，∴DE＝CO，
又∵DE∥AC，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵∠COD＝90°，∴四边形OCED为矩形；
(2)∵菱形的面积是10，
∴S菱形ABCD＝BD·AC＝10，
∴BD·AC＝20，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝BD，OC＝AC，
∴S矩形OCED＝OD·OC＝BD×AC＝BD·AC＝×20＝5，
∴矩形OCED的面积为5.
2．[2024·济宁一模]已知四边形ABCD是一张矩形纸片，将四边形CDEF沿EF翻折，使点C和点A重合，点D落在点G处，连接CE.求证：
(1)△ABF≌△AGE；
(2)四边形AECF是菱形．
第2题图
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，将四边形CDEF沿EF翻折，使点C和点A重合，点D落在点G处，
∴AB＝CD＝AG，∠B＝∠D＝∠G＝90°，
∠BAF＝90°－∠FAE＝∠GAE，
∴△ABF≌△AGE(ASA)；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
由(1)得△ABF≌△AGE，
∵CF＝AF＝AE，AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵CF＝AF，∴四边形AECF是菱形．
3．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF.
第3题图
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，
DO＝BD，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH＋∠DEH＝90°，
∵∠ECO＋∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，
∴△ECO≌△FDO(ASA)，
∴OE＝OF.
4．[2023·青岛二模]如图，在 ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F是AC的四等分点，顺次连接G，E，H，F.
(1)求证：△AGE≌△CHF；
(2)已知AC＝2AB，AC⊥AB，求证：四边形GEHF是正方形．
第4题图
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG＝CH，
∵E，O，F是对角线AC的四等分点，
∴AE＝CF，
在△AGE与△CHF中，
∴△AGE≌△CHF(SAS)；
(2)连接GO，OH，
第4题图
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F是对角线AC的四等分点，
∴点O是AC的中点，
∴OG为△ACD的中位线，
∴OG＝CD，
同理可得OH＝AB，
∴OG＝OH，
∵AO＝CO，AG＝CH，
∴△AOG≌△COH(SSS)，
∴∠AOG＝∠COH，
∵∠AOG＋∠COG＝180°，
∴∠COG＋∠COH＝180°，
∴G，O，H三点共线，
∵OG＝OH，OE＝OF，
∴四边形GEHF为平行四边形，
∵AC＝2EF，AC＝2AB，
∴AB＝EF，
∵AG∥BH，AG＝BH，
∴ABHG为平行四边形，
∴AB∥GH，AB＝GH，
∴EF＝GH，
∴四边形GEHF为矩形，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵AB∥GH，
∴∠HOC＝∠BAC＝90°，
∴EF⊥GH，
∴四边形GEHF是正方形．
类型二 特殊平行四边形中的动点问题
5．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积( B )
第5题图
A．先变大后变小 B．保持不变
C．一直变大 D．一直变小
6．[2023·竹山县模拟]如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为．
第6题图
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30 cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t s．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
(1)四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
第7题图
解：(1)由题意可知CD＝4t cm，AE＝2t cm，
∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴DF＝DC＝2t (cm)．
∵AE＝2t cm，DF＝2t cm，∴AE＝DF.
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF.
∵AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即2t＝30－4t，解得t＝5，
∴当t＝5时，四边形AEFD为菱形；
(2)当∠EDF＝90°时，如图1，
∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形DFBE为矩形．
∴∠AED＝90°＝∠DEB，∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即30－4t＝2t×2，
解得t＝；
第7题图
当∠DEF＝90°时，如图2，
∵由(1)知四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AC，∴∠AED＝30°.
∴AE＝2AD，即2t＝2×(30－4t)，
解得t＝6，
综上所述，当t＝6或t＝时，△DEF为直角三角形．
8．如图，在平面直角坐标系中，点D是正方形OABC的边AB上的动点，OC＝6.以AD为一边在AB的右侧作正方形ADEF，连接BF交DE于P点．
(1)请直接写出点A，B的坐标；
(2)在点D的运动过程中，OD与BF是否存在特殊的位置关系？若存在，试写出OD与BF的位置关系，并证明；若不存在，请说明理由．
第8题图
解：(1)∵四边形OABC是正方形，
∴BC⊥OC，AB⊥OA，OA＝AB＝BC＝OC，
∵OC＝6，∴BC＝AB＝6，
∴A(6，0)，B(6，6)；
(2)OD⊥BF，
理由：如图，延长OD交BF于点G，
第8题图
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠BAF＝∠OAD，
在△AOD和△BAF中，
∴△AOD≌△ABF(SAS)，
∴∠AOD＝∠ABF，
∴∠ABF＋∠AFB＝90°，
∴∠AOD＋AFB＝90°，
∴∠OGF＝90°，∴OD⊥BF.
9．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上一动点，且PE⊥MC于点E，PF⊥BM于点F.
(1)当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？
(2)在(1)的条件下，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形？为什么？
第9题图
解：(1)当AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形．
理由：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∵AD＝2AB＝2CD，AM＝DM＝AD，
∴AB＝AM，DM＝CD，
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
∠DCM＝∠DMC＝45°，
∴∠BMC＝90°.
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP＝∠PFM＝90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形；
(2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF是正方形．
理由：连接MP.
第9题图
∵四边形PEMF是矩形，∴∠BMC＝90°.
由(1)知∠ABM＝45°，∠DCM＝45°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，∴BM＝CM.
∵P是BC的中点，
∴MP是等腰Rt△BMC的角平分线．
∵PF⊥BM，PE⊥MC，∴PF＝PE，
∴四边形PEMF是正方形．类型一 一次函数与方程(组)、不等式(组)
1．(多选)[2024·吕梁期末]在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)与y＝mx(m≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是( ABC )
第1题图
A．amB．关于x的方程ax＋b＝mx的解是x＝2
C．关于x，y的方程组的解为
D．关于x的不等式ax＋b2．[2023·市北一模]在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．小刚在学习了一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数后，结合图示对相关知识作如下归纳整理：
第2题图
(1)小刚学习笔记中的①②③④分别指什么呢？请你根据以上的复习阅读，在下面横线上将他的意思体现清楚：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
(2)如果点C的坐标为(1，3)，那么不等式kx＋b≤k1x＋b1的解集是 ．
解：(1)①kx＋b＝0；
②
③kx＋b＞0；
④kx＋b＜0.
(2)如果点C的坐标为(1，3)，
那么不等式kx＋b≤k1x＋b1的解集为x≥1.
故答案为：x≥1.
3．[2024·滨州期中]已知直线AB：y＝mx＋4与直线CD：y＝2x－4相交于点C(n，2)，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线CD与y轴交于点D.
(1)求A，C两点的坐标；
(2)若mx＋4<0，则x的取值范围是 ；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式0第3题图
解：(1)∵直线AB：y＝mx＋4与直线CD：y＝2x－4相交于点C(n，2)，
∴把C(n，2)代入y＝2x－4，得2＝2n－4，
解得n＝3，
把C(3，2)代入y＝mx＋4，得2＝3m＋4，
解得m＝－，
∴直线AB：y＝－x＋4，
当y＝0时，则0＝－x＋4，
解得x＝6，∴A(6，0)；
(2)∵直线AB：y＝－x＋4且A(6，0)，
结合图象，y＝－x＋4<0时，x的取值范围是x>6；
故答案为：x>6；
(3)由图象得0类型二 一次函数的应用
角度一 方案决策问题
4．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元．
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．
(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式；
(2)在同一直角坐标系中作出它们的图象；
(3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？
解：(1)方案一：y＝4x，
方案二：y＝2.4x＋16 000；
(2)如图，
第4题图
(3)令2.4x＋16 000＝4x，
解得x＝10 000，
由图象，得当x＝10 000时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；
当0当x>10 000时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二．
5．[2024·潍坊二模]第41届潍坊国际风筝会来临之际，某商铺打算购进甲、乙两种风筝的文创产品向游客销售．已知甲种的进价比乙种的进价每件多1元，用1 600元采购甲种的件数是用720元采购乙种的件数的2倍，两种文创产品的售价均为每件15元．
(1)求甲、乙两种文创产品每件的进价分别为多少元？
(2)商铺计划采购这两种文创产品共800件，采购乙种的件数不低于490件，但不超过甲种件数的4倍．厂家给出的优惠方案是：若一次性采购甲种超过180件时，甲种超过的部分按原进价打6折．设这次购买甲种文创产品的件数为x件，售出甲、乙两种产品所获的总利润为w元，请写出w与x的函数关系式，并求出这次采购的文创产品的最大利润及采购方案．
解：(1)设甲种文创产品每件的进价为m元，则乙种文创产品每件的进价为(m－1)元，
由题意，得＝×2，解得m＝10，
经检验，m＝10是所列方程的解，且符合题意，m－1＝9.
答：甲种文创产品每件的进价为10元，则乙种文创产品每件的进价为9元；
(2)购进甲种文创产品x件，由题意，得解得160≤x≤310，
所以购进甲种文创产品件数的取值范围为160≤x≤310，且x为整数；
设采购甲种文创产品x件时的总利润为w元，
当160≤x≤180时，w＝15×800－10x－9(800－x)＝－x＋4 800，
∵－1<0，所以w随x的增大而减小，
∴当x＝160时，w有最大值，
为－160＋4 800＝4 640，
当180∵3>0，所以w随x的增大而增大，
∴当x＝310时，w有最大值，为3×310＋4 080＝5 010，
∵5 010>4 640，
∴w的最大值是5 010，此时800－x＝800－310＝490，
即当采购甲种文创产品310件，乙种文创产品490件，商铺获利最大，最大利润为5 010元．
角度二 最佳效益问题
6．为尽快实现果树的“迭代升级”，某果园计划新购进甲、乙两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这两种果树苗共135棵．其中甲种苗的单价为7元/棵，购买乙种苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若在购买计划中，乙种苗的数量不少于49棵但不超过65棵，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
第6题图
解：(1)当0≤x≤20时，设y与x的函数表达式为y＝k1x，
20k1＝150，
解得k1＝7.5，
即当0≤x≤20时，y与x的函数表达式为y＝7.5x，
当20＜x≤135时，设y与x的函数表达式是y＝k2x＋b，
解得
即当20＜x≤135时，y与x的函数表达式是y＝6.2x＋26，
综上所述，y与x的函数表达式为
y＝
(2)购买乙种树苗x棵，49≤x≤65，
设总费用为W元，W＝7(135－x)＋(6.2x＋26)＝－0.8x＋971，
∵－0.8＜0，
∴W随x的增大而减小，
故当x＝65时，W取得最小值，
此时W＝919，135－x＝70，
答：当购买甲种树苗70棵，乙种树苗65棵时总费用最低，最低费用是919元．
7．[2024·聊城期末]当农业遇上科技，变革正悄然进行．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共400箱，其进货成本、直播成本以及售价如表：
进货成本(元/箱) 直播成本(元/箱) 售价(元/箱)
西芹 18 4 28
西红柿 24 6 40
已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过10 800元，若所购进的蔬菜全部销售完，则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大？请求出最大利润和此时两种蔬菜的进货量．
解：设该团队进货西芹x箱，获得的总利润为y元．
根据题意，得
y＝(28－18－4)x＋(40－24－6)(400－x)＝－4x＋4 000，
∵该团队投入总成本不超过10 800元，
∴(18＋4)x＋(24＋6)(400－x)≤10 800，
解得x≥150，
∵y＝－4x＋4 000，k＝－4<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝150时，y取得最大值，最大值为－4×150＋4 000＝3 400，
则400－x＝250，
∴西芹进货150箱，西红柿进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润3 400元．类型一 勾股定理解决折叠问题
角度一 用方程思想求折叠问题中线段的长
1．[2024·成都期末]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.
(1)求证：BE＝BF；
(2)求AE和EF的长．
第1题图
解：(1)证明：根据折叠的性质，可得∠DEF＝∠BEF，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF；
(2)设AE＝x，则BE＝DE＝8－x，
在Rt△ABE中，
AB2＋AE2＝BE2，即62＋x2＝(8－x)2，
解得x＝，
∴AE＝，
过点E作EH⊥BC，垂足为H，
第1题图
由(1)可知，BF＝BE＝8－AE＝8－＝，
又∵EH⊥BC，AB⊥BC，
∴AE＝BH，AB＝EH，
∴HF＝BF－BH＝－＝，
在Rt△EHF中，
EF2＝EH2＋HF2，即EF2＝62＋，
解得EF＝，EF＝－(舍)，
∴AE＝，EF＝.
角度二 求折叠问题中图形的面积
2．正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，BC上，将AD，DC分别沿DE，DF折叠，点A，C恰好都落在P处，且AE＝2.
(1)求EF的长；
(2)求△BEF的面积．
第2题图
解：(1)设FC＝x，则FP＝x，FB＝6－x，
∵AB＝6，AE＝2，
∴BE＝4，
由勾股定理，得(x＋2)2＝42＋(6－x)2，解得x＝3，即PF＝CF＝3，
∴EF＝EP＋FP＝2＋3＝5；
(2)∵CF＝3，CB＝6，∴BF＝3.
∴S△BEF＝BE·FB＝×4×3＝6.
角度三 用全等法求折叠问题中线段的长
3．[2024·泰安二模]如图1，有一张矩形纸片ABCD(AD>AB)，将纸片折叠，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF，CE和AC(如图2)．
第3题图
(1)求证：①△AOE≌△COF；
②四边形AFCE是菱形；
(2)当AE＝4，ED＝3时，求折痕EF的长．
解：(1)证明：①根据折叠的性质，得AF＝CF，EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS)；
②由①，得△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AF＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
根据折叠的性质，得ED′＝ED＝3，∠D′＝∠D＝90°，AD′＝CD，
在Rt△AED′中，AD′＝＝＝，
∴CD＝，
在Rt△ADC中，AC＝，AD＝AE＋ED＝4＋3＝7，
∴AC＝＝2，
∴OA＝AC＝，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，OE＝OF，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝，
∴EF＝2OE＝2 .
类型二 逆向思考
4．[2024·临沂期中]定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
第4题图
(1)已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2 ，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝30，AM＝5，求BN的长．
解：(1)点M，N是线段AB的勾股分割点，理由：
∵AM＝2，MN＝4，BN＝2 ，
∴AM2＋BN2＝22＋(2 )2＝4＋12＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2＋BN2＝MN2，
∴以AM，MN，NB为边的三角形是直角三角形，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点；
(2)设BN＝x(x>0)，
∵AB＝30，AM＝5，
∴MN＝AB－AM－BN＝30－5－x＝25－x，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，
∴①若MN为斜边，则AM2＋BN2＝MN2，即52＋x2＝(25－x)2，
解得x＝12；
②若BN为斜边，则AM2＋MN2＝BN2，
即52＋(25－x)2＝x2，
解得x＝13，
综上所述，BN的长为12或13.
类型三 读图、剪拼操作解答
5．阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”(边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c)．
第5题图
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若a＝6，b＝8，此时空白部分的面积为 ；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓(实线)的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
解：(1)证明：由图可知，每个直角三角形的面积为S△＝ab，
空白小正方形的面积为S小正方形＝(b－a)2，
整个围成的大正方形的面积为S大正方形＝c2，
∵S大正方形＝S小正方形＋4S△，
即c2＝(b－a)2＋4×ab＝b2＋a2－2ab＋2ab＝b2＋a2，
故c2＝b2＋a2；
(2)如图所示，连接大正方形一条对角线DE，
可知S梯形ACDE＝2S△＋S△BDE，
其中，S梯形ACDE＝(a＋b)(a＋b)，S△BDE＝c2，S△＝ab，
代入可得(a＋b)2＝2×ab＋c2，
即a2＋b2＝c2；
第5题图
(3)由图可知，S空白＝S大正方形－2S△，
∵a＝6，b＝8，
∴c＝＝10，
则S大正方形＝c2＝100，
∴S空白＝c2－2×ab＝100－6×8＝52，
故空白部分的面积为52，
故答案为：52；
(4)由题意可知，风车的周长为C风车＝4(c＋b－a)＝24，
其中OC＝a＝3，代入上式可得c＋b＝9，
则c＝9－b，
且a2＋b2＝c2，
即c2－b2＝a2＝9，将c＝9－b代入，得(9－b)2－b2＝9，
解得b＝4，
则S风车＝4×ab＝4××3×4＝24.
类型四 阅读理解
6．阅读材料并解答问题：
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数(m≥3)，则a＝m，b＝(m2－1)和c＝(m2＋1)是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m和n(m＞n)，则a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2是勾股数．
(1)在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
(2)请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：
勾m 3 5 11 …
股(m2－1) 4 12 60 …
弦(m2＋1) 5 13 61 …
m 2 3 3 4 4 4 5 5 6 …
n 1 2 1 3 2 1 4 3 5 …
a＝m2－n2 3 5 8 7 12 15 9 16 11 …
b＝2mn 4 12 6 24 16 8 40 30 60 …
c＝m2＋n2 5 13 10 25 20 17 41 34 61 …
(3)某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5∶12∶13，那么这四个直角三角形的边上共需植树 棵．
第6题图
解：(1)方法1：c－a＝(m2＋1)－m＝(m2－2m＋1)＝(m－1)2＞0，c－b＝1＞0，
所以c＞a，c＞b.而a2＋b2＝m2＋＝＋m2＝(m4＋2m2＋1)＝＝c2，
所以以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
同理可证方法2；
(2)方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41.
方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26；
(3)∵各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，
∴三角形最短边为5米，
又∵各边长之比为5∶12∶13，
∴其他两边分别为12、13米．
∴每个三角形的边长可植树5＋12＋13＝30(棵)，
∴四个直角三角形的边长共需植树120棵．类型一 由原四边形的形状推断中点四边形的形状
1．[2023·浦东新区期末]下列命题中，真命题是( B )
A．顺次连接平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形
B．顺次连接等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形
C．顺次连接对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形
D．顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形
2．[2024·广州期中]如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状为菱形．
第2题图
类型二 由中点四边形的形状推断原四边形
3．[2024·运城期中]顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是( C )
①矩形 ②菱形 ③对角线相等的四边形
④对角线互相垂直的四边形
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
4．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC，BD应满足条件AC＝BD．
第4题图
类型三 与中点四边形有关的综合题
5．[2024·济南期末]综合与实践
问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？
问题解决：下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形ABCD的对角线AC，BD，分别过四边形ABCD的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形EFGH，易证四边形EFGH是平行四边形．
第5题图
(1)请直接写出S四边形ABCD和S四边形EFGH之间的数量关系： ；
方法2：如图2，取四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE.
(2)请直接写出S四边形ABCD与S四边形EFGH之间数量的关系： ；
(3)求证：四边形EFGH是平行四边形；
实践应用：
如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
(4)请问能否实现这一设想？若能，请你画出你设计的图形；若不能，请说明理由．
第5题图
解：(1)S四边形ABCD＝S四边形EFGH，理由：
第5题图
∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
∴四边形AEBO，四边形BFCO，四边形CGDO，四边形DHAO都是平行四边形，
∴S△ABO＝S四边形AEBO，
S△CDO＝S四边形CGDO，
S△ADO＝S四边形DHAO，
S△BCO＝S四边形BFCO，
∴S四边形ABCD＝S四边形EFGH，
故答案为：S四边形ABCD＝S四边形EFGH；
(2)由题意得S四边形ABCD＝2S四边形EFGH；
(3)证明：如图2，连接BD，∵E，H分别为AB，AD中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
∵F，G分别为BC，CD中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
第5题图
(4)能，如图3所示，连接对角线AC，BD交于点O，
过点D作AC的平行线，过点B作AC的平行线，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线，四条线相交形成四边形EHGF即为所求．
第5题图类型一 已知解集，求参数的取值范围
1．[2023·遂宁]若关于x的不等式组的解集为x>3，则a的取值范围是( D )
A．a>3 B．a<3
C．a≥3 D．a≤3
2．如果关于x的一元一次不等式组的解集为x＜a，那么a的取值范围是a≥0．
类型二 已知不等式组解的情况求参数的取值范围
3．[2024·铜仁期末]已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( D )
A．a<2 B．a≤2
C．a>2 D．a≥2
4．关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是( D )
A．a≥4 B．a>4
C．a≤4 D．a<4
类型三 已知特殊解的情况，求参数的取值范围
5．关于x的不等式3x－m＋1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是( B )
A．m＞4 B．4≤m＜7
C．4＜m≤7 D．m＜7
6．[2024·滨州期末]若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是( A )
A．－1≤a<0 B．－1C．0类型四 已知两个不等式的解的关系，求参数的取值范围
7．已知关于x的一元一次不等式＋2<与2－x＜0的解集相同，则m＝.
8．[绵阳中考]若不等式＞－x－的解都能使不等式(m－6)x＜2m＋1成立，则实数m的取值范围是≤m≤6．
解析：解不等式＞－x－得x＞－4，
∵x＞－4都能使不等式(m－6)x＜2m＋1成立，
①当m－6＝0，即m＝6时，则x＞－4都能使0·x＜13恒成立；
②当m－6≠0，则不等式(m－6)x＜2m＋1的解要改变方向，
∴m－6＜0，即m＜6，
∴不等式(m－6)x＜2m＋1的解集为x＞，
∵x＞－4都能使x＞成立，
∴－4≥，
∴－4m＋24≤2m＋1，
∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6.
类型五 已知不等式(组)的整数解的情况求代数式的值
9．[2024·马鞍山期中]已知实数a，b，满足1≤a＋b≤4，0≤a－b≤1，则当a－2b取最大值时，8a＋2 024b的值为8．
解析：设a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则
解得
∴a－2b＝－(a＋b)＋(a－b)，
∵1≤a＋b≤4，0≤a－b≤1，
∴－2≤－(a＋b)≤－，0≤(a－b)≤，
∴－2≤a－2b≤1，
∴a－2b的最大值为1，
此时－(a＋b)＝－，(a－b)＝，
解得a＝1，b＝0，
∴8a＋2 024b＝8.
10．若不等式2(x＋1)－5＜3(x－1)＋4的最小整数解是方程x－ax＝5的解，则代数式a2－2a－11的值为－11．
解析：解不等式2(x＋1)－5＜3(x－1)＋4，得x＞－4，
∵大于－4的最小整数是－3，
∴x＝－3是方程x－ax＝5的解．
把x＝－3代入x－ax＝5中，得×(－3)－a×(－3)＝5，
解得a＝2.
当a＝2时，a2－2a－11＝22－2×2－11＝－11.
∴代数式a2－2a－11的值为－11.
类型六 方程(组)与不等式(组)结合求参数的取值范围
11．[2024·日照二模]关于x的不等式组有解，同时关于x的方程－＝2有正数解，则所有满足条件的整数m的和是1．
12．已知方程组的解x是非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简|a－3|－|a＋2|；
(3)化简|a＋1|＋|a－2|.
解：(1)
①＋②，得2x＝2a－6，即x＝a－3，
把x＝a－3代入①得y＝－4－2a，
由题意，得
解得－2＜a≤3；
(2)∵－2＜a≤3，
∴a－3≤0，a＋2＞0，
则原式＝3－a－a－2＝1－2a；
(3)∵－2＜a≤3，
∴当－2＜a＜－1时，a＋1＜0，a－2＜0，
原式＝－a－1＋2－a＝1－2a；
当－1≤a≤2时，a＋1≥0，a－2≤0，
原式＝a＋1＋2－a＝3；
当2＜a≤3时，a＋1＞0，a－2＞0，
原式＝a＋1＋a－2＝2a－1.类型一 勾股定理解决折叠问题
角度一 用方程思想求折叠问题中线段的长
1．[2024·成都期末]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.
(1)求证：BE＝BF；
(2)求AE和EF的长．
第1题图
角度二 求折叠问题中图形的面积
2．正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，BC上，将AD，DC分别沿DE，DF折叠，点A，C恰好都落在P处，且AE＝2.
(1)求EF的长；
(2)求△BEF的面积．
第2题图
角度三 用全等法求折叠问题中线段的长
3．[2024·泰安二模]如图1，有一张矩形纸片ABCD(AD>AB)，将纸片折叠，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF，CE和AC(如图2)．
第3题图
(1)求证：①△AOE≌△COF；
②四边形AFCE是菱形；
(2)当AE＝4，ED＝3时，求折痕EF的长．
类型二 逆向思考
4．[2024·临沂期中]定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
第4题图
(1)已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2 ，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝30，AM＝5，求BN的长．
类型三 读图、剪拼操作解答
5．阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”(边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c)．
第5题图
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若a＝6，b＝8，此时空白部分的面积为 ；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓(实线)的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
类型四 阅读理解
6．阅读材料并解答问题：
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数(m≥3)，则a＝m，b＝(m2－1)和c＝(m2＋1)是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m和n(m＞n)，则a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2是勾股数．
(1)在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
(2)请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：
勾m 3 5 11 …
股(m2－1) 4 12 60 …
弦(m2＋1) 5 13 61 …
m 2 3 3 4 4 4 5 5 6 …
n 1 2 1 3 2 1 4 3 5 …
a＝m2－n2 3 5 8 7 12 15 9 16 11 …
b＝2mn 4 12 6 24 16 8 40 30 60 …
c＝m2＋n2 5 13 10 25 20 17 41 34 61 …
(3)某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5∶12∶13，那么这四个直角三角形的边上共需植树 棵．
第6题图类型一 由原四边形的形状推断中点四边形的形状
1．[2023·浦东新区期末]下列命题中，真命题是( )
A．顺次连接平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形
B．顺次连接等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形
C．顺次连接对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形
D．顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形
2．[2024·广州期中]如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状为 ．
第2题图
类型二 由中点四边形的形状推断原四边形
3．[2024·运城期中]顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是( )
①矩形 ②菱形 ③对角线相等的四边形
④对角线互相垂直的四边形
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
4．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC，BD应满足条件 ．
第4题图
类型三 与中点四边形有关的综合题
5．[2024·济南期末]综合与实践
问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？
问题解决：下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形ABCD的对角线AC，BD，分别过四边形ABCD的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形EFGH，易证四边形EFGH是平行四边形．
第5题图
(1)请直接写出S四边形ABCD和S四边形EFGH之间的数量关系： ；
方法2：如图2，取四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE.
(2)请直接写出S四边形ABCD与S四边形EFGH之间数量的关系： ；
(3)求证：四边形EFGH是平行四边形；
实践应用：
如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
(4)请问能否实现这一设想？若能，请你画出你设计的图形；若不能，请说明理由．
第5题图