6.2.4 向量的数量积 教学设计（2课时）

《向量的数量积》教学设计
第1课时
能理解两非零向量的夹角的定义，理解向量夹角的性质．
教学重点：两非零向量的夹角的定义．
教学难点：两非零向量的夹角的定义．
一、问题情境
问题5：力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图，
如果作用在小车上的力的大小为N，小车在水平面上位移的大小为m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为，那么这个力所做的功为
（1）显然，功W与力向量及位移向量有关，这三者之间有什么关系？
（2）给定任意两个向量，，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由．
本图片为微课缩略图，本视频资源针对向量的数量积进行讲解，提高知识的应用能力．若需使用，请插入相应微课【知识点解析】知识讲解——向量的数量积．
师生活动：从数学的角度，我们已经学过了向量的加法，减法，数乘运算．联系实数的运算，自然而然会思考到：向量有没有和实数类似的乘法运算呢？“力”和“位移”是两个向量，它们的组合产生了新量——功．这说明现实生活中存在着向量和向量之间的一种有别于向量加法、减法和数乘运算的新运算．
预设的答案：情境与问题中的功是由向量和的大小以及这两个向量方向的差异确定．一般地，给定任意两个向量，能确定出一个类似地标量，这也是本小节要学习的向量的数量积．
设计意图：通过情境，让学生了解数学自身发展的需要和现实生活的需求使得定义新运算成为一种必然．
二、新知探究
问题6：功是两个向量的模长与这两个向量夹角的余弦值的乘积，是两个向量的夹角．那么我们如何找到两个向量的夹角呢？
知识点一 两个向量的夹角
教师讲解：给定两个非零向量，在平面内任选一点O，作＝，＝，则称[0，π]内的∠AOB为向量与向量的夹角，记作．
【练一练】如图，向量与的夹角，向量与的夹角，向量与的夹角，向量与的夹角分别为多少？
预设的答案：向量与的夹角为，即；向量与的夹角为，即；向量与的夹角为，即；向量与的夹角为，即．
知识点二 向量夹角的性质
问题7：如果与是两个非零向量，那么（1）的取值范围是什么？
（2）是否成立？
师生活动：学生讨论，教师完善．
教师总结：向量夹角的性质
（1）根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且
；
（2）当时，称向量与向量垂直，记作，由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．
设计意图：向量的夹角决定了两个向量的位置关系.明确范围内的角的分类标准.让学生理解两向量的夹角以及夹角的性质．为后面学习向量的数量积做好准备．
三、初步应用
例1 在等边三角形ABC中，向量与的夹角为_________；向量与的夹角为_________；向量与的夹角为_________.
师生活动：让学生自主完成，教师巡视、点评.
预设的答案：因为三角形ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°，即向量与的夹角为60°；
向量与的夹角为∠ABC的补角，为120°；　向量与的夹角为∠BCA的对顶角，为60°．
设计意图：通过本题，让学生熟悉两向量的夹角必须起点移到同一点，搞清楚三角形中的有关向量的夹角与三角形内角之间的关系．
例2 已知非零向量满足，且，求与的夹角．
师生活动：学生互相讨论，派代表板演，教师完善．.
预设的答案：作, ，则，由知三角形OAB为直角三角形，，又OA=2OB，所以，，即与的夹角为．
设计意图：通过本题，让学生熟悉用几何法求解向量问题．
四、归纳小结，布置作业
1．板书设计
6.2.4向量的数量积
学习数学是重要的
本章将要研究的问题
两非零向量的夹角
向量夹角的性质
例1 例2
2．总结概括
教师引导学生回顾本节知识：
(1)两非零向量的夹角的定义；(2)向量的夹角的性质
作业：
1．若向量与的夹角为60°，则向量与－的夹角是(　　)
A．60°　　 B．120°　　 C．30°　　D．150°
2．非零向量，求向量与的夹角．
预设的答案：1．B；2. 120°
《6.2.4 向量的数量积》教学设计
第2课时
1．能理解平面数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积
2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；
3．掌握数量积的简单应用，会利用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
教学重点：平面向量数量积的概念和物理意义、几何意义、应用．
教学难点：平面向量数量积的几何意义理解．
一、问题情境
问题2：类比于功，你能给两个向量定义相应的运算吗？
师生活动：学生互相讨论，教师完善．
二、新知探究
知识点一 向量数量积的定义
数量积的定义：一般地，当都是非零向量时，称为向量的数量积(也称为内积)，记作，即＝．
本图片为微课缩略图，本视频资源针对向量的数量积进行讲解，提高知识的应用能力．若需使用，请插入相应微课【知识点解析】知识讲解——向量的数量积．
问题3：如果都是非零向量，那么可以是正数吗？可以是负数吗？可以是零吗？你能举出实例加以说明吗？
师生活动：学生互相讨论，派代表发言，教师完善．
预设的答案：观察两个非零向量与的数量积的定义可知，的符号由决定，从而也就是由的大小决定.如图，，也就是说，两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数．
说明：（1）定义的适用条件是两个非零向量.规定：零向量与任何向量的数量积为0；
（2）注意数量积的符号表示，运算符号不可省略，不可用×号替代；
（3）两个非零向量的数量积等于这两个向量的模长与这两向量夹角的余弦值的乘积；
（4）由定义可知，两个非零向量的数量积是一个数量. 这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同；
（5）的符号由的符号决定，从而也就是由的大小决定．具体情况如下表：
的大小 图示 语言描述 的符号 的符号
与共线同向 正
与夹角为锐角 正
与垂直 0
与夹角为钝角 负
与共线反向 负
由此可知：
①两个非零向量的数量积可以是正数，也可以是负数，还可以是零.
②是与夹角为锐角”的必要不充分条件；
是与夹角为钝角”的必要不充分条件；
③是的充分必要条件．
【练一练】（1）已知，, ，则_________．
(2) 已知，,，则_________．
预设的答案：（1）5，(2) ．
知识点二 数量积的性质
问题4：向量的数量积有哪些性质呢？
师生活动：学生互相讨论，派代表发言，教师完善．
教师总结：(1)|；
(2) ，即；
(3) ,即向量垂直的充要条件为；
(4).
知识点三 向量的投影与向量数量积的几何意义
教师讲解：1.向量在直线上的投影、向量在向量上的投影
如图所示，设非零向量过分别作直线l的垂线，垂足分别为，则称向量为向量在直线l上的投影向量或投影．
类似地，给定平面上的一个非零向量，设所在的直线为，则在直线上的投影称为在向量上的投影．
如图所示，向量在向量上的投影为，可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反．
【思考】如果，都是非零向量，且在向量上的投影为，那么向量的方向、长度与有什么关联？
师生活动：学生分组讨论，派代表发言，教师完善．
预设的答案：如图所示，
当时，的方向与的方向相同，而且；
当时，为零向量，即
当时，的方向与的方向相反，而且.
2.向量投影的数量及数量积的几何意义
（1）一般地，如果都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数．
（2）因为
所以两个非零向量的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积，这就是两个向量数量积的几何意义．
（3）特别的，当为单位向量时，因为，所以，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量．
设计意图：投影、以及投影的数量等概念的引入，充分解释了向量数量积的几何意义．
三、初步应用
例1 （1）已知，求；
（2）已知，求.
师生活动：让学生自主完成，教师巡视、点评.
预设的答案：（1）由已知可得＝
（2）由＝可知，
因此从而可知
设计意图：通过本题，让学生熟悉利用向量数量积的定义求解两向量的数量积或两向量夹角，提升学生的数学运算核心素养．
例2 如图所示，求出以下向量的数量积
（1）；（2）；（3）
师生活动：学生互相讨论后自主完成，教师完善.
预设的答案：（1）（方法一）由图可知，，因此．
（方法二）由图可知，向量在向量上的投影的数量为1，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知；
（2）由图知，因此；
（3）由图可知，向量在向量上的投影的数量为-1，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知，．
设计意图：通过本题，让学生进一步熟悉利用向量数量积的定义求解两向量的数量积，提升学生的数学运算核心素养．
例3 如图，等边三角形中，边长为2，求：
（1）与的数量积；
（2）与的数量积.
师生活动：学生互相讨论后自主完成，教师完善.
预设的答案：（1）
．
设计意图：通过本题，让学生熟悉具体几何图形中的两向量的数量积的求解以及培养数学运算核心素养．
例4 求在上的投影数量和在上的投影数量．
师生活动：学生互相讨论后派代表板演，教师完善.
预设的答案：向量在向量上的投影数量；
向量在向量上的投影数量．
设计意图：通过本题，让学生熟悉一个向量在另一个向量上的投影的求解，培养数学运算核心素养．
四、归纳小结，布置作业
1．板书设计
6.2.4 向量的数量积
数量积的定义 数量积的性质
向量在向量上的投影数量
向量数量积的几何意义 向量数量积的作用
例1 例2
例3 例4
2．总结概括
教师引导学生回顾本节知识：
（1）数量积的定义；（2）数量积的性质；(3) 向量在向量上的投影数量；(4)向量数量积的几何意义.
作业：教材第22页练习1，2，3
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