2.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计（表格式）

教学设计
题目 直线的倾斜角与斜率
一、内容和内容解析 内容 直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率公式。
内容解析 作为解析几何的起始课，章引言部分较好的介绍了解析几何的发展历史和思想，以及本章的研究方法和路径。而直线作为基本几何对象之一，是解析几何的起始研究对象，为了用代数方法研究直线的有关问题，首先要确定直线位置的几何要素，然后用代数表示这些几何要素。对确定直线位置的几何要素的刻画，是按照方向--倾斜角---倾斜角的正切值---斜率---直线上任意两点纵横坐标的差商过程展开的，倾斜角从几何角度刻画了直线的方向，斜率从代数角度刻画了直线的方向。这个过程是对直线这个几何研究对象逐步代数化的过程，把形逐步转化为数，用数表示形，这个过程是解析几何研究几何图形的基本过程，它是不断深化的过程。 本节课承接了初中对直线的认识，用解析几何的思想对直线的几何要素进行探究。在已有的知识经验基础之上，分别从几何角度和代数角度对直线的方向进行刻画，并建立它们之间的联系，在这个过程中让学生初步体会坐标法的内涵和数形结合的思想，提高直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养。通过本节课的学习，一方面为后续直线位置关系的判定和直线方程的建立提供知识基础，另一方面为本章乃至下一章圆锥曲线的学习，提供从曲线的几何特征出发，通过代数运算对其进行研究，再将代数运算得到的结果翻译成几何语言的整体研究思路，加深学生对几何直观和代数运算关系的理解。
二、学情分析 已有经验 1.在平面几何中，通过直观感知、操作确认等方式，学生已经了解了直线与圆。掌握了两点确定一条直线、两点之间线段最短、点到直线的距离的意义及其度量等基本事实。研究了相交线与平行线，知道了用两条直线交成的角的关系可以刻画相交线的性质，掌握了平行线的判定定理和性质定理以及平行关系的可传递性等。除了这些知识基础之外，学生还具备了一定看图识图的能力，有了一定几何直观的能力。 2.学生知道了平面直角坐标系可以将点和有序实数对建立对应，并且掌握了一次函数，知道一次函数的图象是一条直线。借助平面直角坐标系和单位圆研究三角函数，掌握了正切函数的图像和性质，具备了一定的数形结合的思想，初步具备了直观想象、数学抽象等素养。 3.在平面向量和空间向量的学习中，掌握了沟通几何和代数的工具--向量，获得平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁的经验，掌握了向量的线性运算、投影、数量积、方向向量等知识，会用向量法解决几何问题。有了数形结合的思想，初步具备了数学运算、逻辑推理等素养。 存在问题： 1.虽然在前面不同的学段中，学生已经研究过许多空间和平面几何图形，但是并没有对研究内容和研究方法做系统的梳理，知识整体处于分散的状态，不具有系统性。解决方式是设计了大单元指引单，伴随着学生直线的方程单元的学习，也伴随着圆的方程单元的学习，帮助学生构建知识网络。 2.直线是学生初中熟悉的图形，但是直线的几何特征学生是不明确的，只知两点确定一条直线、一点和一方向定直线。所以在这两部分内容的学习中直线几何特征的确定会对学生产生一些困难。 3.尽管学生对直角坐标系已经非常熟悉，但将它作为一个研究几何图形的工具以及如何利用直角坐标系刻画直线的“方向”这个要素，是与平面几何有质的不同的地方，也是学生所不习惯的。 4.尽管学生已经学习过直线的相关性质，但更多的是几何直观，是利用综合几何法研究的推理几何，方程的学习也只是单纯地停留在代数角度进行运算等，而将方程与直线利用坐标法建立联系，是学生的初次体验，也是学生的思维障碍。 5.尽管在高中阶段已经学习过向量这个工具，但是利用向量的知识去推理、论证、求解相关问题，对学生来说具有挑战性，需要充分调动以往的知识经验等。
三、目标和目标解析 目标 （1）了解坐标法的思想，把握整章的研究内容和方法 （2）理解倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的斜率公式 （3）掌握直线斜率与方向向量的内在联系，掌握斜率与y=kx+b中的k的联系（通过探究作业完成）
目标解析 （1）通过课前预习和大单元指引单的准备动作，学生能了解解析几何的发展史以及坐标法的思想，整体把握单元的研究路径和研究方法，感受数学文化。 （2）.通过在平面直角坐标系中对画出不同直线的直观感知，能找出刻画直线倾斜程度的几何量---倾斜角，并抽象出倾斜角的概念，感受利用倾斜角刻画直线方向的合理性，提升直观想象、数学抽象的核心素养。 （3）.能利用向量以及三角函数的相关知识探索出直线上两点坐标与倾斜角的关系，掌握斜率的定义和过两点的斜率公式，能辨析斜率与倾斜角的对应关系，体会从特殊到一般、数形结合、转化化归的思想方法，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。 （4）能独立推导出斜率与方向向量的关系，在此基础上整体把握直线两点坐标、倾斜角、斜率以及方向向量之间的联系，经历对直线方向代数刻画的完整过程，初步感受坐标法研究几何问题的思想。
教学重点 直线的倾斜角与斜率的概念、过两点的斜率公式
教学难点 解析几何坐标法研究问题路径的理解
四、教学方法分析 本节采用探究式的教学方法，先以介绍初高中研究几何问题的不同路径为引入，激发学生的学习兴趣，感受数学文化；再以课前整理的大单元指引案为载体开启本节课的探究，为学生搭建学习平面解析几何的桥梁。利用学生实际操作画直线的方法调动学生的直观感知能力，从而抽象出倾斜角的概念；采用从特殊到一般的方式探究斜率，设置有挑战性的层层递进的问题，鼓励学生勇于发言提出质疑，在不断的思维碰撞中总结和完善结论，提高课堂效率。
五、教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标
环节一 内容1：设置大单元引领案，准备课时 学习任务1.学生阅读课本了解平面解析几何的历史，完成引领案上的第一列问题。 【设计意图】为学生构建初高中几何学习的桥梁，课前形成疑问，明确本单元研究问题的基本方法，为如何研究平面解析几何问题做好课前准备。 【评价目标】学生引领案第一列的完成情况为评价的目标。
环节二 内容1：课堂引入，整体把握 教学情境解决问题： 教师根据大单元引领案介绍综合法和坐标法。引出坐标法研究的第一个对象。 教师板书：课题直线的倾斜角和斜率。 学习任务1：感受解析几何解决几何问题的基本内涵和方法；整体把握本章的研究对象，研究内容以及研究方法。 学习任务2：明确本节课的研究对象 问题：前面的学习中，还有什么方法可以确定一条直线？ 追问：如何刻画直线的方向呢 【设计意图】通过对几何研究方法的梳理，让学生对研究几何图形的方法有个系统的认知，同时也引出本章的主题；以微课形式将数学史融入课堂，让学生了解解析几何发展的历史背景，感受解析几何解决几何问题的基本内涵和方法；整体把握本章的研究对象，研究内容以及研究方法。通过问题引出我们本课题探究的对象。通过追问引出我们研究的目标。
环节三 内容1：探究直线的倾斜角 教学情境1. 在平面直角坐标系中，过定点P任意做出多多直线。 解决问题1：探究出从形上是如何刻画直线的方向的。 教师板书: 绘制过P点的不同直线； 形成倾斜角的概念。 学习任务1．在平面直角坐标系中，过定点P任意作出3条直线，观察对比作出的直线有何不同？下图为参考： 追问1：直线与x轴成4个角哪个角能很好的刻画出直线的方向？ 学习任务2．学生走到讲台画出倾斜角为钝角的直线的方向。 追问2：如何能把这几条直线方向的刻画形成统一的标准呢？ 【设计意图】问题1让学生直观感受过定点P任意作出直线的不同。追问1的设置使学生能容易找到x轴的正方向。学生在追问1下刻画的方向会有多个，所以设置追问2 ，使得倾斜角是锐角的直线和倾斜角钝角的直线在方向刻画上形成统一的标准。在此基础之上借助学自主归纳总结补充教师完善，学生能更加清晰地感受随着倾斜程度的不同直线向上的方向与x轴正方向的夹角也随之不同，从而抽象出倾斜角的概念。
环节四 内容2：探究倾斜角的范围。 教学情境2.：学生直观感受黑板上直线的倾斜角图形和概念 解决问题2：获取直线的倾斜角的范围 教师活动：抽象出倾斜角定义后，教师追问学生定义是否适用所有直线，从而引出特殊直线倾斜角的规定。 教师板书： 画出特殊直线 明确写出倾斜角的范围。 学习任务1．倾斜角的定义适用于所有直线吗？ 追问1：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角如何定义比较合适？ 追问2：倾斜角的范围是多少？ 结论： 【设计意图】 研究数学对象时，往往要通过探索特例或进行推广，从而对问题有更深入的知识。给出倾斜角定义后，给出特殊直线倾斜角的规定，为问追问2中倾斜角的范围研究做铺垫，提升思维的严谨性。 【评价目标】 通过倾斜角定义能给出特殊直线倾斜角的规定、能得出倾斜角的范围、最后师生能共同归纳倾斜角从形的角度对直线的方向进行了刻画。
小结：
环节五 内容3：探究直线的斜率 教学情境3. 坐标法的思想做指引 解决问题3：倾斜角代数化 教师活动：教师参与到学生的探究中去，引导学生复习正切函数的定义，向量的自由性。鼓励学生积极展示和大胆质疑。 教师板书：斜率的概念。 学习任务1：一条直线可以由两点唯一确定，也可以由一个点和一个倾斜角α确定,直线的倾斜角一定与两点的坐标存在内在联系，到底是怎样的联系呢？ 探究：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为 （1）已知直线经过,与，的坐标有什么关系？ （2）如果直线经过，，与,的坐标又有什么关系？ （3）一般地，如果经过两点，，那么与,的坐标有怎样的关系？ 学生活动：小组合作探究，小组讲解讨论的结果。 【设计意图】探究中的三个问题，从特殊到一般，展示了数学中研究一般问题常用的思想方法，问题1给出的是过原点的特殊直线，对学生难度较小，为后续问题提供了利用正切函数定义探究该类问题的经验。有了问题1的基础，学生便有了将问题2转化为问题1的思想，在这个过程中体会转化化归的数学思想。在前两个问题研究基础上，学生可类比给出一般的推导从而完成问题3，通过问题3，学生合作交流质疑补充，在思维碰撞的过程中逐步完善倾斜角正切值与两点坐标的关系，在这一过程中感受和总结出公式的适应范围以及与两点的顺序无关等结论。从特殊到一般的研究方法符合学生初步体会坐标法的学情，将几何问题代数化，培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养。
内容4：倾斜角与斜率的关系。 追问1：倾斜角与斜率是否为一一对应？ 追问2：当直线的倾斜角由0°增大到180°时，斜率如何变化？ 【设计意图】通过思考中的问题加深学生对直线斜率的理解，体会倾斜角与斜率的对应关系，理解斜率可以用来刻画倾斜角的合理性，增强思维的严谨性。
环节六 内容5：初步应用巩固新知。 教师活动：巡视学生完成情况 学习任务： 例1 如图，已知，，，求直线,,的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。 学生任务：自主完成，主动展演。 【设计意图】本题一方面考察了斜率公式的掌握，另一方面考察了斜率与倾斜角的联系，也是一个从形到数再到形的过程，让学生知道不仅要会用代数语言表示几何特征，还要会把代数运算得出的结果翻译成几何结论，体现了坐标法中把几何问题代数化，再通过代数运算研究几何性质的思想。
课堂小结 数学问题：形成结构 学习任务：本节课我们是按照什么路径对直线的方向进行刻画的。 【设计意图】本节课的研究框架进行梳理，在这个梳理的过程中，一方面让学生重现研究过程，初步体会坐标法的研究思路，另一方面结合具体研究内容渗透相关的数学思想方法，如数形结合、从特殊到一般、转化化归等等。 【评价】师生活动：学生自主发言，教师适时引导，启发学生在内容梳理的过程中思考涉及到的数学思想方法等
六、目标检测与作业设计 巩固作业 第一部分，是对本节所学内容的进一步应用 第二部分对课前梳理表格的完善是整个单元过程都渗透的持续性作业，通过本节坐标法对确定直线的方法探究，学生通过表格的对比，可以初步体会坐标法的思想以及与综合法的不同。 探究作业 对本节重难点内容进行再加深。学生体会利用代数运算研究几何对象性质的思想；另一方面也为下节课的内容研究做铺垫。 拓展作业：了解数学文化，了解数学史，对平面解析几何的学习提供养分。
七、板书设计 直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α： 当直线与x轴相交，x轴的正方向，直线l向上的方向 2.斜率 当倾斜角α=时，斜率不存在3.斜率的符号与倾斜角的关系 当时，k,k的值单调递增 当时，k,k的值单调递增
八、反思 本节的主要内容是直线的倾斜角和斜率的概念以及它们之间的关系，过两点的斜率公式。 直线的倾斜角和斜率分别从形和数刻画了直线的方向，相对于x轴的倾斜程度。一点和倾斜角或一点和斜率确定了平面直角坐标系中直线的位置．过两点的直线斜率公式把直线的倾斜角（方向或倾斜程度）与其上两点的坐标联系起来，实现了对直线几何特征的代数刻画.它是解析几何中的基本公式，是建立直线方程的基础. 教学时要让学生认识到，对确定直线位置的几何要素的刻画，是按照方向--倾斜角---倾斜角的正切值---斜率---直线上任意两点纵横坐标的差商过程展开的，这个过程是对直线这个几何研究对象逐步代数化的过程，把形逐步转化为数，用数表示形，这个过程是解析几何研究几何图形的基本过程，它是不断深化，不断精致的过程。在这个过程中提升学生直观想象、数学抽象等核心素养。 注意：关于学生在探究斜率的过程中正切函数的复习不足，应该形成表格预习案加在课前预习部分。