1.1.1 集合及其表示方法 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 1.1.1 集合及其表示方法 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 29.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-11 19:30:32 | ||
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文档简介
教学设计
题目 集合及其表示方法
内容和内容解析 内容 集合的含义以及两种表示集合的方法
内容解析 集合语言是现代数学的基本语言，是学习高中数学的重要工具指引，起着承前启后的作用。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。 本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。 1.在数学中，我们把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集）。集合通常用英文大写字A,B,C...表示。 2.实数集（R）,有理数集（Q）,整数集（Z）,自然数集（N），正整数集（或）。 3.把不含任何元素的集合称为空集，记作。 4.组成集合的每个对象都是这个集合的元素。集合的元素通常用英文小写字母a,b,c...表示。 5.属于（）和不属于（） 6.集合三要素 （1）确定性：集合的元素必须是确定的。 （2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。 （3）无序性：集合中的元素可以任意排列。 7.给定两个集合A和B。如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B。 8.把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内。一般不考虑元素的顺序。 9.一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质。此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为
学情分析 作为高中数学的开篇，集合的学习起点是义务教育阶段所学的相关知识。小学阶段主要是在教科书中渗透集合的思想方法，用集合的图示法让学生直观理解相关数学知识，从中体会集合思想方法的作用。初中阶段主要是向学生介绍一些具体的集合和用集合来定义数学概念（比如正数集合、无理数集合、不等式的解集、圆的概念和线段的垂直平分线的概念等），但不涉及集合的意义及其数学表示。高中阶段学生开始系统地学习集合论的初步知识，尤其突出集合的“语言功能”，要求学生初步学会用集合语言简洁、准确地表述数学的研究对象。但是由于概念抽象、子概念多，而且符号术语也多，需要学生较高的抽象思维能力，而初中阶段的思维模式中，数学学习更具体、直观，这就导致高中生在学习集合知识时存在较多的困难，它需要学生的学习经历一个从直观到抽象、从感性认识到理性思考的过程。同时，由于符号语言的表述，使得高中语言表达的抽象性要远高于初中学习要求，这也导致了“集合的表示方式”成为了本课的难点。尤其是描述法更是学习的难点，主要难在对于“共同特征”的描述及符号表示，需要学生有较高的抽象概括能力。 结合以上分析，确定本节课的教学难点：用描述法表示集合。 为突破这一难点，教学中要借助实例分析，向学生详细解释何为共同特征以及如何用符号表示。通过应用让学生学会识别并用符号表示共同特征，熟悉描述法的表示形式。对于重要的数学语言{x∈A∣P(x)}，教师要注意从“语言的角度”讲清楚，理解其形式所表达的意义：x 代表集合的元素即描述的对象，P(x)表示元素x 满足的条件，读作“元素x 满足条件P(x)”，这样更有利于学生对描述法的理解。对于教科书第4页中的“显然，对于任何y∈{x∈A∣P(x)}，都有y∈A ，且P(y)成立”这句话的理解，教学中一定要借助具体的集合实例，让学生经历由特殊到一般、由具体到抽象、由文字语言到符号语言表示的过程，这样有利于帮助学生理解描述法. 同时，教学中要通过创设各种问题情境引导学生对三种表示方法进行相互转换和分析对比，从中体会不同表示方法各自的特点和适用范围.通过多举例、多使用、多交流、多表达帮助学生突破难点.
目标和目标解析 目标 基于以上教材分析，根据新课大纲和要求,我确定本节课教学目标为: 1.理解集合、元素的概念及其关系，掌握常用数集的字母表示。 2.掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合。 3.通过集合的学习培养分类思维和有序思维，从而提升数学思维能力。
目标解析 1.掌握集合和元素含义，掌握数集表示符号。 2.理解集合和元素的“属于”关系。掌握集合三要素。理解集合相等概念。 3.掌握列举法和描述法含义,并应用。
教学重点 集合的表示法
教学难点 集合的表示法与规范书写
教学方法分析 针对学生的实际情况，采用探究式教学方法进行教学。首先从学生较熟悉的实例出发，提高学生的注意力和激发学生的学习兴趣。在创设情境认知策略上给予适当的点拨和引导，引导学生主动思考、交流、讨论、提出问题。在此基础上教师层层深入，启发学生积极思维，逐步提升学生的数学学习能力。集合概念的形成遵循由感性到理性，由具体到抽象，便于学生的理解和掌握。
教学过程设计 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或评价目标
环节一 同学们，在小学和初中的时候，我们已经接触过一些集合，例如自然数的集合，例如同一个平面内到一个定点的距离等于定长的点集合，这是说的我们什么的定义 经过思考和小组讨论，得出结论，是圆。为了更好的使用集合语言，我们需要进一步学习集合的有关知识。下面先从集合的含义开始。80%的学生可以回答出问题。 通过谈话导人，提出学生之前接触过的集合，增加熟悉感为新课学习做准备。
环节二 学生自主学习教材P2、P3的内容，思考以下问题并回答: 1.什么是集合 (元素组成的总体) 2.集合的研究对象被称为什么 (元素) 3.集合常用的书写方法 (大写拉丁字母表示集合，小写拉丁字母表示集合中的元素) 4.元素与集合的关系。 5.数学中一些常用的数集有哪些 及其记法是如何 (自然数集记作N,实数集记作R等等) 经过阅读，小组讨论，逐一找到问题答案，并在书上做出标注，多媒体呈现知识填空，学生根据课本内容填空举手回答，从而明晰会概念。基本所有学生可以找到问题答案。 学生独立思考，小组交流讨论，教师及时指导和点拨，给出上述问题的解答，并讲解集合的概念和特征。
环节三 提出问题：不大于5的自然数所组成的集合中有哪些元素 小于5的实数所组成的集合中有哪些元素 学生通过讨论回答，老师总结性描述:不大于5的自然数所组成的集合中只有0、1、2、3、4、5这6个元素，这些元素是可以一一列举出来;而小于5的实数有无数个,无法一一列举出来。结合集合的概念及特征可以知道:(1)集合的元素都是实数;(2)集合的元素都小于5。 在清楚元素信息的基础上，学生自主熟悉教材P3,老师对学生及时指导和点拨可得出:当集合中元素可以―一列举时，可以用列举的方法表示集合;当集合中元素无法一一列举出来但元素特征明显时，可以分析出集合的元素所具有的特征性质，通过对元素特征性质的描述来表示集合。 通过引入自然数和实数在小于等于5时的表示方法，可以使学生体会集合语言表达数学内容的特点:即不需要―一列举，用一种特定的数学方式表示。
环节四 带领学生总结集合两种表示方法，特别注意强调写法的规范性 列举法:就是把集合的元素―一列举出来，写在括号内，元素之间用逗号隔开，当集合为无限集或为元素很多的有限集时，在不发生误解的情况下可以采用省略的写法。 (2）描述法（结合课文内容):利用元素特征性质来表示集合的方法。在花括号中画一条竖线，竖线的左侧写上集合的代表元素x，并标出元索的取值范围，竖线的右侧写出元素所具有的特征性质。 通过对问题引入的解答，让学生掌握用自然语言和集合语言，引导学生理解抽象的数学概念。
环节五 通过以下习题进行巩固练习: 用列举法表示下列集合: （1）方程x-5x-6=0的解集;（2）大于3且小于11的偶数组成的集合。 2.用描述法表示下列集合: （1）不等式3x-7>5的解集;（2）不等式2x-5>9的解集。 学生在练习本上书写，找两位同学板演，教师呈现答案， 解: (1)解方程得，=-1,=6,,故方程解集为{-1，6}， (2){4，6，8，10}。 解:(1){x|x>4} (2) {x|x>7)。 教师纠正书写错误。 通过练习，掌握列举法和描述法的书写和运用。 通过问题的研究，得出集合的描述法表示，体会列举法和描述法表示的特点和集合语言表述知识的简洁性和严谨性。
课堂小结 本节课采用提问的方式进行归纳总结。 引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题： （1）什么是集合？集合元素有哪些特性？两个集合相等应满足什么条件？ （2）元素与集合之间存在什么关系？如何用符号表示？ （3）常用的数集有哪些？分别用什么字母表示？ （4）集合的表示方法有哪些？各自的优点及适用对象是什么？使用时应该注意哪些问题？ 1.教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，教师注意引导和规范、完善学生的回答。 2.每个学生总结一条，让大部分学生都有总结所学知识的机会。 通过回忆、归纳、总结的方式把知识点串联起来，使学生对本节课的知识形成系统而全面的认识。 促进学生学习积极性，把学习的主动权还给学生。 3.通过此方式了解课堂学习情况。
目标检测与作业设计 课本练习A1.3.4题 思考课本练习B4题 3.选用适当的方式表示出下列集合: (1)由大于10的所有自然数组成的集合; (2)平面直角坐标系中，第二象限所有的点组成的集合; (3）方程x+4=3的解集; (4）不等式4x+6<0的解集。 4.阅读教科书第6页拓广探索，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识. 1.自主完成课本习题，思考部分小组讨论。 2.强化规范书写。 3.分层作业，激发学生学习主动性。 4.作业效果，所有学生能够理解题意，部分的学生书写不规范。 1.考查学生对集合概念、集合中元素的确定性的理解和掌握程度。 2.考查学生对常用数集及其符号表示、元素与集合之间关系及符号表示的掌握程度。 3.考查学生对集合表示方法的掌握程度，以及综合联系所学知识分析和选择集合表示方法的能力。 4.培养学生的归纳总结和独立自主思考问题能力。 5.通过设计一道数学文化的题目，引导学生体味集合为何“惊人”和“最美”，从中感受数学的精神和价值，提升数学文化素养和学科核心素养。
板书设计 1.1.1集合及其表示方法 情景导入 四、例题 集合与元素概念 五、小结 集合表示方法 六、作业
反思 学生基础知识点的把握情况不扎实，上课之前抓好学生预习情况。 引导他们复习初中相关的知识点，从而学习高中数学课程学习打好基础。 不断优化课堂教学环节，要做到精讲精练。 抓好学生作业和课后复习情况。认真及时批改学生作业，掌握学生学习程度，有利于及时调整教学思路创造高效课堂。5.设计课堂教学环节时注重学生认知水平，采用多重方式培养学生主动思考，学会主动学习的能力。逐步提高学生数学思维能力和数学学科核心素养。
题目 集合及其表示方法
内容和内容解析 内容 集合的含义以及两种表示集合的方法
内容解析 集合语言是现代数学的基本语言，是学习高中数学的重要工具指引，起着承前启后的作用。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。 本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。 1.在数学中，我们把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集）。集合通常用英文大写字A,B,C...表示。 2.实数集（R）,有理数集（Q）,整数集（Z）,自然数集（N），正整数集（或）。 3.把不含任何元素的集合称为空集，记作。 4.组成集合的每个对象都是这个集合的元素。集合的元素通常用英文小写字母a,b,c...表示。 5.属于（）和不属于（） 6.集合三要素 （1）确定性：集合的元素必须是确定的。 （2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。 （3）无序性：集合中的元素可以任意排列。 7.给定两个集合A和B。如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B。 8.把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内。一般不考虑元素的顺序。 9.一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质。此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为
学情分析 作为高中数学的开篇，集合的学习起点是义务教育阶段所学的相关知识。小学阶段主要是在教科书中渗透集合的思想方法，用集合的图示法让学生直观理解相关数学知识，从中体会集合思想方法的作用。初中阶段主要是向学生介绍一些具体的集合和用集合来定义数学概念（比如正数集合、无理数集合、不等式的解集、圆的概念和线段的垂直平分线的概念等），但不涉及集合的意义及其数学表示。高中阶段学生开始系统地学习集合论的初步知识，尤其突出集合的“语言功能”，要求学生初步学会用集合语言简洁、准确地表述数学的研究对象。但是由于概念抽象、子概念多，而且符号术语也多，需要学生较高的抽象思维能力，而初中阶段的思维模式中，数学学习更具体、直观，这就导致高中生在学习集合知识时存在较多的困难，它需要学生的学习经历一个从直观到抽象、从感性认识到理性思考的过程。同时，由于符号语言的表述，使得高中语言表达的抽象性要远高于初中学习要求，这也导致了“集合的表示方式”成为了本课的难点。尤其是描述法更是学习的难点，主要难在对于“共同特征”的描述及符号表示，需要学生有较高的抽象概括能力。 结合以上分析，确定本节课的教学难点：用描述法表示集合。 为突破这一难点，教学中要借助实例分析，向学生详细解释何为共同特征以及如何用符号表示。通过应用让学生学会识别并用符号表示共同特征，熟悉描述法的表示形式。对于重要的数学语言{x∈A∣P(x)}，教师要注意从“语言的角度”讲清楚，理解其形式所表达的意义：x 代表集合的元素即描述的对象，P(x)表示元素x 满足的条件，读作“元素x 满足条件P(x)”，这样更有利于学生对描述法的理解。对于教科书第4页中的“显然，对于任何y∈{x∈A∣P(x)}，都有y∈A ，且P(y)成立”这句话的理解，教学中一定要借助具体的集合实例，让学生经历由特殊到一般、由具体到抽象、由文字语言到符号语言表示的过程，这样有利于帮助学生理解描述法. 同时，教学中要通过创设各种问题情境引导学生对三种表示方法进行相互转换和分析对比，从中体会不同表示方法各自的特点和适用范围.通过多举例、多使用、多交流、多表达帮助学生突破难点.
目标和目标解析 目标 基于以上教材分析，根据新课大纲和要求,我确定本节课教学目标为: 1.理解集合、元素的概念及其关系，掌握常用数集的字母表示。 2.掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合。 3.通过集合的学习培养分类思维和有序思维，从而提升数学思维能力。
目标解析 1.掌握集合和元素含义，掌握数集表示符号。 2.理解集合和元素的“属于”关系。掌握集合三要素。理解集合相等概念。 3.掌握列举法和描述法含义,并应用。
教学重点 集合的表示法
教学难点 集合的表示法与规范书写
教学方法分析 针对学生的实际情况，采用探究式教学方法进行教学。首先从学生较熟悉的实例出发，提高学生的注意力和激发学生的学习兴趣。在创设情境认知策略上给予适当的点拨和引导，引导学生主动思考、交流、讨论、提出问题。在此基础上教师层层深入，启发学生积极思维，逐步提升学生的数学学习能力。集合概念的形成遵循由感性到理性，由具体到抽象，便于学生的理解和掌握。
教学过程设计 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或评价目标
环节一 同学们，在小学和初中的时候，我们已经接触过一些集合，例如自然数的集合，例如同一个平面内到一个定点的距离等于定长的点集合，这是说的我们什么的定义 经过思考和小组讨论，得出结论，是圆。为了更好的使用集合语言，我们需要进一步学习集合的有关知识。下面先从集合的含义开始。80%的学生可以回答出问题。 通过谈话导人，提出学生之前接触过的集合，增加熟悉感为新课学习做准备。
环节二 学生自主学习教材P2、P3的内容，思考以下问题并回答: 1.什么是集合 (元素组成的总体) 2.集合的研究对象被称为什么 (元素) 3.集合常用的书写方法 (大写拉丁字母表示集合，小写拉丁字母表示集合中的元素) 4.元素与集合的关系。 5.数学中一些常用的数集有哪些 及其记法是如何 (自然数集记作N,实数集记作R等等) 经过阅读，小组讨论，逐一找到问题答案，并在书上做出标注，多媒体呈现知识填空，学生根据课本内容填空举手回答，从而明晰会概念。基本所有学生可以找到问题答案。 学生独立思考，小组交流讨论，教师及时指导和点拨，给出上述问题的解答，并讲解集合的概念和特征。
环节三 提出问题：不大于5的自然数所组成的集合中有哪些元素 小于5的实数所组成的集合中有哪些元素 学生通过讨论回答，老师总结性描述:不大于5的自然数所组成的集合中只有0、1、2、3、4、5这6个元素，这些元素是可以一一列举出来;而小于5的实数有无数个,无法一一列举出来。结合集合的概念及特征可以知道:(1)集合的元素都是实数;(2)集合的元素都小于5。 在清楚元素信息的基础上，学生自主熟悉教材P3,老师对学生及时指导和点拨可得出:当集合中元素可以―一列举时，可以用列举的方法表示集合;当集合中元素无法一一列举出来但元素特征明显时，可以分析出集合的元素所具有的特征性质，通过对元素特征性质的描述来表示集合。 通过引入自然数和实数在小于等于5时的表示方法，可以使学生体会集合语言表达数学内容的特点:即不需要―一列举，用一种特定的数学方式表示。
环节四 带领学生总结集合两种表示方法，特别注意强调写法的规范性 列举法:就是把集合的元素―一列举出来，写在括号内，元素之间用逗号隔开，当集合为无限集或为元素很多的有限集时，在不发生误解的情况下可以采用省略的写法。 (2）描述法（结合课文内容):利用元素特征性质来表示集合的方法。在花括号中画一条竖线，竖线的左侧写上集合的代表元素x，并标出元索的取值范围，竖线的右侧写出元素所具有的特征性质。 通过对问题引入的解答，让学生掌握用自然语言和集合语言，引导学生理解抽象的数学概念。
环节五 通过以下习题进行巩固练习: 用列举法表示下列集合: （1）方程x-5x-6=0的解集;（2）大于3且小于11的偶数组成的集合。 2.用描述法表示下列集合: （1）不等式3x-7>5的解集;（2）不等式2x-5>9的解集。 学生在练习本上书写，找两位同学板演，教师呈现答案， 解: (1)解方程得，=-1,=6,,故方程解集为{-1，6}， (2){4，6，8，10}。 解:(1){x|x>4} (2) {x|x>7)。 教师纠正书写错误。 通过练习，掌握列举法和描述法的书写和运用。 通过问题的研究，得出集合的描述法表示，体会列举法和描述法表示的特点和集合语言表述知识的简洁性和严谨性。
课堂小结 本节课采用提问的方式进行归纳总结。 引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题： （1）什么是集合？集合元素有哪些特性？两个集合相等应满足什么条件？ （2）元素与集合之间存在什么关系？如何用符号表示？ （3）常用的数集有哪些？分别用什么字母表示？ （4）集合的表示方法有哪些？各自的优点及适用对象是什么？使用时应该注意哪些问题？ 1.教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，教师注意引导和规范、完善学生的回答。 2.每个学生总结一条，让大部分学生都有总结所学知识的机会。 通过回忆、归纳、总结的方式把知识点串联起来，使学生对本节课的知识形成系统而全面的认识。 促进学生学习积极性，把学习的主动权还给学生。 3.通过此方式了解课堂学习情况。
目标检测与作业设计 课本练习A1.3.4题 思考课本练习B4题 3.选用适当的方式表示出下列集合: (1)由大于10的所有自然数组成的集合; (2)平面直角坐标系中，第二象限所有的点组成的集合; (3）方程x+4=3的解集; (4）不等式4x+6<0的解集。 4.阅读教科书第6页拓广探索，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识. 1.自主完成课本习题，思考部分小组讨论。 2.强化规范书写。 3.分层作业，激发学生学习主动性。 4.作业效果，所有学生能够理解题意，部分的学生书写不规范。 1.考查学生对集合概念、集合中元素的确定性的理解和掌握程度。 2.考查学生对常用数集及其符号表示、元素与集合之间关系及符号表示的掌握程度。 3.考查学生对集合表示方法的掌握程度，以及综合联系所学知识分析和选择集合表示方法的能力。 4.培养学生的归纳总结和独立自主思考问题能力。 5.通过设计一道数学文化的题目，引导学生体味集合为何“惊人”和“最美”，从中感受数学的精神和价值，提升数学文化素养和学科核心素养。
板书设计 1.1.1集合及其表示方法 情景导入 四、例题 集合与元素概念 五、小结 集合表示方法 六、作业
反思 学生基础知识点的把握情况不扎实，上课之前抓好学生预习情况。 引导他们复习初中相关的知识点，从而学习高中数学课程学习打好基础。 不断优化课堂教学环节，要做到精讲精练。 抓好学生作业和课后复习情况。认真及时批改学生作业，掌握学生学习程度，有利于及时调整教学思路创造高效课堂。5.设计课堂教学环节时注重学生认知水平，采用多重方式培养学生主动思考，学会主动学习的能力。逐步提高学生数学思维能力和数学学科核心素养。