2.2.1直线的点斜式方程 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 2.2.1直线的点斜式方程 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 195.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-11 20:32:38 | ||
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文档简介
教学设计
题目 2.2.1直线的点斜式方程
一、内容和内容解析 内容 直线的点斜式方程、斜截式方程.
内容解析 本节课是在学习直线的倾斜角和斜率的基础上，引导学生根据已知一个点和斜率求直线方程。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是最基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。点斜式方程是其他所有形式方程的基础，也为后面学习直线方程的其他形式打下了坚实的基础。
二、学情分析 在知识储备上，通过前面内容的学习，学生已经掌握了直线的倾斜角及斜率的概念，明确通过斜率分析直线时应首先考虑直线斜率是否存在，在a≠90°的情况下具备计算斜率的公式，初步形成用代数方法研究几何问题的思想，为本节的学习奠定了基础。在心理特征上，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升，我班学生数学基础一般，在解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺。教师采用生动形象、形式多样的教学方法使学生积极主动的参与到教学中。
三、目标和目标解析 目标 1.通过利用斜率公式探索得到直线的点斜式方程，明确方程的形式特点和适用范围. 2.通过运用直线的点斜式方程与斜截式方程解决一些实际问题，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，发展学生的逻辑推理及数学运算核心素养. 3.通过利用坐标法将平面上的直线代数化，并得到直线方程的基本过程.能够直接从直线方程的代数特征中解读出直线的几何特征.
目标解析 1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围. 2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程. 3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
教学重点 直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.
教学难点 （1）在建立直线的方程时，如何将对直线上“所有的点”的坐标的关系式的探究，转化为对直线上“任意一点”的坐标的关系式的探究. （2）如何从方程的角度认识一次函数.
四、教学方法分析 本节课主要采用“启发诱导”“小组合作探究”“讲练结合”“归纳总结”相结合进行教学，同时还利用多媒体进行辅助，增强动感和直观性。在整个教学过程中，引导学生观察，分析，概括，归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开。培养学生的兴趣，发展学生的核心素养，也充分体现以教师为主导，学生为主体的教学理念。
五、教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标
环节一 内容1：在平面直角坐标系中，给定直线上一个定点和斜率，则直线上不同于该定点的任意一点所满足的关系式是什么？ 内容2： 在前面我们知道了过定点且斜率为的直线上任意一点（含定点）的坐标都满足关系式（方程），接下来，请学生们证明以下叙述： 内容3：我们现在知道了是过点，斜率为的直线的点斜式方程. 【例1】直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线. 学习任务1 （1）学生将直线的几何特征——过定点且斜率，转化为直线上“任意一点”的几何特征——与定点连线的斜率为，继而利用斜率的计算公式得. （2）教师追问：能否可以变形？变形前后有没有什么变化？ ①变形前，分母，即分式无法表示点，也就是说表示是不是完整的直线； ②变形后的能表示直线上的所有点（、等形式也可以），即可表示完整的直线. 师生活动 （1）教师提示：“点都在直线上”该如何判断？根据这些坐标将点在直角坐标系中描出来，然后看他们在不在直线上么？ 综上，坐标满足方程的点都在过定点且斜率为的直线上. （4）教师给出结论：我们将称为过点，斜率为的直线的点斜式方程，简称点斜式. 师生活动： （1）师生共同分析：点已经给出，斜率暂未发现.但是，给出了倾斜角，相当给出斜率.接下来怎么办？ （2）教师给出建议：在前面的学习的基础上，我们可以直接将已知点的坐标及求出的斜率代入点斜式方程即可.这种求（写）出直线方程的方法，我们可以称之为定义法（又称公式法）. （3）学生独立完成. 【解】直线经过点，且倾斜角，则斜率， 代入点斜式方程得：，即. （4）教师的追问：能不能和要不要将上述结果变形为或. （5）学生在教师的引导下，得出结论：没有必要，而且，有些变形，虽然是“同解变形”，但是结果不再是点斜式 【跟踪训练1】 1、经过点A(2,5)，且与直线y=2x+7平行，写出直线的点斜式方程. 2.求经过点(2, 3)，倾斜角是直线y=1/√3x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程. 在之前的数学学习中，我们知道，已知直线上的一点和直线的方向，或者已知直线上的两个点，都可以确定一条直线.这个课时探究的是第一种情形. 将直线上“所有的点”的横坐标与纵坐标的关系表达出来，需要解决两件事，一是“所有的点”如何表达？我们选择的是将“所有的点”理解为“任意一点”，为了降低难度，在提出问题的时候，直接采用了“任意一点”的提法.但是，教师要引发学生们对“所有的点”的思考. 二是“关系”是什么，如何刻画？这里我们认为“关系”是：任意一点与定点连线所成斜率与已知斜率相等.然后再用前面学习的斜率计算公式表达出来. 最后得到的关系式，是斜率公式的一个“变式”，直线斜率计算公式中的两个定点，有一个被一般为直线上一个动点（任意一点）. 得出直线上的任意一点的横坐标与纵坐标的关系式（方程）的过程，一般只是保证了直线上的点的坐标都服从这个关系式（方程），又称“直线上的点的坐标都满足方程”. 1、结合直线的点斜式方程的定，直接将定点坐标及斜率代入得到直线方程，是比用“直译法”要更便捷的方法.也是使用“直译法”得到相关结论的目的所在. 2、而在得到直线的点斜式方程之后，引发学生们对、及等变形的关注，试图让学生们理解两件事：一是直线的点斜式方程只是直线方程的一种特殊形式，为后面学习直线方程的其他形式埋下伏笔；二是选择直线上不同的点作为定点，同一条直线的点斜式方程可以有不同的表示形式.包括后面的作图，明显是在为后面学习两点留下伏笔.
环节二 内容一： 如何表示过点，斜率为k的直线方程？ 师生活动： （1）学生自主完成.已知直线的斜率和直线上一点的坐标，可直接将已知代入点斜式方程，得到，化简后得. （2）教师给出总结 我们将称为直线的斜截式方程，简称斜截式. “斜”表示斜率； “截”表示直线与轴交点的纵坐标，称为直线在轴上的截距；截距不是距离，截距可正可负可为零. 直线的斜截式方程是特殊的点斜式方程，两者都只能表示斜率存在的直线.我们在解题经常要完成它们之间的转化.例如以下例题： 例：已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）求直线l的方程. 师生共同归纳：一条具体的直线，当它的斜率有意义时，它的斜截式方程是唯一的，但是，它的点斜式方程可以有不同的形式. 斜截式方程是点斜式方程的一个特例.斜截式方程仍是点斜式方程，只不过斜截式方程中的“点”为直线与轴的交点.学生们完成直线的点斜式方程与斜截式方程间的转换，了解不同形式的直线方程对直线不同的几何特征的表现. 同时，这个题的要注意到这个题有多种答案，对学生们的逻辑推理及数学运算核心素养提出了较高的要求，同时，也是让学生们经历一次对数学“开放题”的接触.
内容二：如何从直线方程的角度认识一次数？一次函数，，对应的图像都是直线，这三条直线的斜率和直线在轴上的截距是什么？ 师生活动： （1）师生共同讨论分析：这里涉及三个对象，斜截式方程，一次函数解析式及一条过轴上一个定点，斜率为的直线. 这条直线即是方程（对应）的直线，又是函数的图像. 一方面是直线上任意一点的坐标 所满足的代数关系，同时，它又是变量的对应关系. 初中学习一次函数时，只知道是常数（一个很重要的解题方法叫待定系数法，就是这个时候接触到的）.现在从直线方程的角度我们知道了的几何意义. （2）学生自主完成以下解答： 对应的直线斜率为2，与轴交点为，直线在轴上的截距为； 对应的直线斜率为，与轴交点为，直线在轴上的截距为3； 对应的直线斜率为3，与轴交点为，直线在轴上的截距为0. （3）教师的追问：结合直线的斜截式方程，完成以下例题: 【例2】已知直线，，试讨论： （1）的条件是什么？ （2）的条件是什么？ （3）师生共同完成以下过程. 【跟踪训练2】 倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_____. 2.(1)当a为何值时，直线l_1：y= x+2a与直线l_2：y=(a^2 2)x+2平行？ (2)当a为何值时，直线l_1：y=(2a 1)x+3与直线l_2：y=4x 3垂直？ 直线的斜截式方程与一次函数解析式的“相同”，一方面让学生们能够将在函数、平面向量的学习过程中“坐标法”用于对解析几何的“坐标法”的理解；另一方面也为以后用解析几何“反哺”函数的进一步学习奠定基础.为学生们整体接受“坐标法”梳理出一个通道，让学生们更好的亲近“坐标法”设定一个情境，为后续的学习中深入学习和应用“坐标法”埋下伏笔。这是数学的“联系性”的一项具体体现.
五、课堂小结 直线的点斜式是直线的斜率公式的“变式”，直线的斜截式是点斜式的特殊形式.它们都不适用斜率不存在的直线. 2、直线的点斜式直线方程源自对直线几何特征的“翻译”，但到了直线的斜截式方程，则是直接套用直线的点斜式方程的定义即可. 3、在不同的问题背景下，我们选择不同的形式和方法求直线的方程，并且要能够完成它们之间的相互转化.
六、目标检测与作业设计 1、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程. 2、(1)求经过点(0,2)，且与直线l_1:y= 3x 5平行的直线l_2的方程. (2)求经过点( 2, 2)，且与直线l_1:y=3x 5垂直的直线l_2的方程. 3、求满足下列条件的m的值. (1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行； (2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直. 课后作业布置：教材第61页习题1--4题 课本67页第2题. 第1题是对本课时学习目标的综合检测.学生们要通过两点坐标求出直线的斜率，然后代入点斜式方程 第二题是用过已知信息得知直线的斜率后在带入到直线的点斜式或者斜截式中求解. 第3题是结合相互平行与垂直的直线斜率间关系，得出所求直线的斜率，最后代入点斜式或斜截式解题.
七、板书设计 §2.2.1 直线的点斜式方程 1.直线的点斜式方程 直线的斜截式方程 直线平行与垂直的条件
八、反思 本节课是我进行课堂实录的一节课，整体感觉讲的还算顺利，在对学生们进行检测时发现接受的也不错，在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手。这儿我做的不够好，没有给学生充分的时间去理解直线与方程的一一对应关系，急于得到知识的生成，从而忽略了知识生成的过程，本节课我主要以合作交流的方式,激发学生的学习兴趣，组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，总结规律。让学生能轻易接受,并提升学生的数学学科素养.
题目 2.2.1直线的点斜式方程
一、内容和内容解析 内容 直线的点斜式方程、斜截式方程.
内容解析 本节课是在学习直线的倾斜角和斜率的基础上，引导学生根据已知一个点和斜率求直线方程。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是最基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。点斜式方程是其他所有形式方程的基础，也为后面学习直线方程的其他形式打下了坚实的基础。
二、学情分析 在知识储备上，通过前面内容的学习，学生已经掌握了直线的倾斜角及斜率的概念，明确通过斜率分析直线时应首先考虑直线斜率是否存在，在a≠90°的情况下具备计算斜率的公式，初步形成用代数方法研究几何问题的思想，为本节的学习奠定了基础。在心理特征上，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升，我班学生数学基础一般，在解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺。教师采用生动形象、形式多样的教学方法使学生积极主动的参与到教学中。
三、目标和目标解析 目标 1.通过利用斜率公式探索得到直线的点斜式方程，明确方程的形式特点和适用范围. 2.通过运用直线的点斜式方程与斜截式方程解决一些实际问题，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，发展学生的逻辑推理及数学运算核心素养. 3.通过利用坐标法将平面上的直线代数化，并得到直线方程的基本过程.能够直接从直线方程的代数特征中解读出直线的几何特征.
目标解析 1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围. 2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程. 3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
教学重点 直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.
教学难点 （1）在建立直线的方程时，如何将对直线上“所有的点”的坐标的关系式的探究，转化为对直线上“任意一点”的坐标的关系式的探究. （2）如何从方程的角度认识一次函数.
四、教学方法分析 本节课主要采用“启发诱导”“小组合作探究”“讲练结合”“归纳总结”相结合进行教学，同时还利用多媒体进行辅助，增强动感和直观性。在整个教学过程中，引导学生观察，分析，概括，归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开。培养学生的兴趣，发展学生的核心素养，也充分体现以教师为主导，学生为主体的教学理念。
五、教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标
环节一 内容1：在平面直角坐标系中，给定直线上一个定点和斜率，则直线上不同于该定点的任意一点所满足的关系式是什么？ 内容2： 在前面我们知道了过定点且斜率为的直线上任意一点（含定点）的坐标都满足关系式（方程），接下来，请学生们证明以下叙述： 内容3：我们现在知道了是过点，斜率为的直线的点斜式方程. 【例1】直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线. 学习任务1 （1）学生将直线的几何特征——过定点且斜率，转化为直线上“任意一点”的几何特征——与定点连线的斜率为，继而利用斜率的计算公式得. （2）教师追问：能否可以变形？变形前后有没有什么变化？ ①变形前，分母，即分式无法表示点，也就是说表示是不是完整的直线； ②变形后的能表示直线上的所有点（、等形式也可以），即可表示完整的直线. 师生活动 （1）教师提示：“点都在直线上”该如何判断？根据这些坐标将点在直角坐标系中描出来，然后看他们在不在直线上么？ 综上，坐标满足方程的点都在过定点且斜率为的直线上. （4）教师给出结论：我们将称为过点，斜率为的直线的点斜式方程，简称点斜式. 师生活动： （1）师生共同分析：点已经给出，斜率暂未发现.但是，给出了倾斜角，相当给出斜率.接下来怎么办？ （2）教师给出建议：在前面的学习的基础上，我们可以直接将已知点的坐标及求出的斜率代入点斜式方程即可.这种求（写）出直线方程的方法，我们可以称之为定义法（又称公式法）. （3）学生独立完成. 【解】直线经过点，且倾斜角，则斜率， 代入点斜式方程得：，即. （4）教师的追问：能不能和要不要将上述结果变形为或. （5）学生在教师的引导下，得出结论：没有必要，而且，有些变形，虽然是“同解变形”，但是结果不再是点斜式 【跟踪训练1】 1、经过点A(2,5)，且与直线y=2x+7平行，写出直线的点斜式方程. 2.求经过点(2, 3)，倾斜角是直线y=1/√3x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程. 在之前的数学学习中，我们知道，已知直线上的一点和直线的方向，或者已知直线上的两个点，都可以确定一条直线.这个课时探究的是第一种情形. 将直线上“所有的点”的横坐标与纵坐标的关系表达出来，需要解决两件事，一是“所有的点”如何表达？我们选择的是将“所有的点”理解为“任意一点”，为了降低难度，在提出问题的时候，直接采用了“任意一点”的提法.但是，教师要引发学生们对“所有的点”的思考. 二是“关系”是什么，如何刻画？这里我们认为“关系”是：任意一点与定点连线所成斜率与已知斜率相等.然后再用前面学习的斜率计算公式表达出来. 最后得到的关系式，是斜率公式的一个“变式”，直线斜率计算公式中的两个定点，有一个被一般为直线上一个动点（任意一点）. 得出直线上的任意一点的横坐标与纵坐标的关系式（方程）的过程，一般只是保证了直线上的点的坐标都服从这个关系式（方程），又称“直线上的点的坐标都满足方程”. 1、结合直线的点斜式方程的定，直接将定点坐标及斜率代入得到直线方程，是比用“直译法”要更便捷的方法.也是使用“直译法”得到相关结论的目的所在. 2、而在得到直线的点斜式方程之后，引发学生们对、及等变形的关注，试图让学生们理解两件事：一是直线的点斜式方程只是直线方程的一种特殊形式，为后面学习直线方程的其他形式埋下伏笔；二是选择直线上不同的点作为定点，同一条直线的点斜式方程可以有不同的表示形式.包括后面的作图，明显是在为后面学习两点留下伏笔.
环节二 内容一： 如何表示过点，斜率为k的直线方程？ 师生活动： （1）学生自主完成.已知直线的斜率和直线上一点的坐标，可直接将已知代入点斜式方程，得到，化简后得. （2）教师给出总结 我们将称为直线的斜截式方程，简称斜截式. “斜”表示斜率； “截”表示直线与轴交点的纵坐标，称为直线在轴上的截距；截距不是距离，截距可正可负可为零. 直线的斜截式方程是特殊的点斜式方程，两者都只能表示斜率存在的直线.我们在解题经常要完成它们之间的转化.例如以下例题： 例：已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）求直线l的方程. 师生共同归纳：一条具体的直线，当它的斜率有意义时，它的斜截式方程是唯一的，但是，它的点斜式方程可以有不同的形式. 斜截式方程是点斜式方程的一个特例.斜截式方程仍是点斜式方程，只不过斜截式方程中的“点”为直线与轴的交点.学生们完成直线的点斜式方程与斜截式方程间的转换，了解不同形式的直线方程对直线不同的几何特征的表现. 同时，这个题的要注意到这个题有多种答案，对学生们的逻辑推理及数学运算核心素养提出了较高的要求，同时，也是让学生们经历一次对数学“开放题”的接触.
内容二：如何从直线方程的角度认识一次数？一次函数，，对应的图像都是直线，这三条直线的斜率和直线在轴上的截距是什么？ 师生活动： （1）师生共同讨论分析：这里涉及三个对象，斜截式方程，一次函数解析式及一条过轴上一个定点，斜率为的直线. 这条直线即是方程（对应）的直线，又是函数的图像. 一方面是直线上任意一点的坐标 所满足的代数关系，同时，它又是变量的对应关系. 初中学习一次函数时，只知道是常数（一个很重要的解题方法叫待定系数法，就是这个时候接触到的）.现在从直线方程的角度我们知道了的几何意义. （2）学生自主完成以下解答： 对应的直线斜率为2，与轴交点为，直线在轴上的截距为； 对应的直线斜率为，与轴交点为，直线在轴上的截距为3； 对应的直线斜率为3，与轴交点为，直线在轴上的截距为0. （3）教师的追问：结合直线的斜截式方程，完成以下例题: 【例2】已知直线，，试讨论： （1）的条件是什么？ （2）的条件是什么？ （3）师生共同完成以下过程. 【跟踪训练2】 倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_____. 2.(1)当a为何值时，直线l_1：y= x+2a与直线l_2：y=(a^2 2)x+2平行？ (2)当a为何值时，直线l_1：y=(2a 1)x+3与直线l_2：y=4x 3垂直？ 直线的斜截式方程与一次函数解析式的“相同”，一方面让学生们能够将在函数、平面向量的学习过程中“坐标法”用于对解析几何的“坐标法”的理解；另一方面也为以后用解析几何“反哺”函数的进一步学习奠定基础.为学生们整体接受“坐标法”梳理出一个通道，让学生们更好的亲近“坐标法”设定一个情境，为后续的学习中深入学习和应用“坐标法”埋下伏笔。这是数学的“联系性”的一项具体体现.
五、课堂小结 直线的点斜式是直线的斜率公式的“变式”，直线的斜截式是点斜式的特殊形式.它们都不适用斜率不存在的直线. 2、直线的点斜式直线方程源自对直线几何特征的“翻译”，但到了直线的斜截式方程，则是直接套用直线的点斜式方程的定义即可. 3、在不同的问题背景下，我们选择不同的形式和方法求直线的方程，并且要能够完成它们之间的相互转化.
六、目标检测与作业设计 1、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程. 2、(1)求经过点(0,2)，且与直线l_1:y= 3x 5平行的直线l_2的方程. (2)求经过点( 2, 2)，且与直线l_1:y=3x 5垂直的直线l_2的方程. 3、求满足下列条件的m的值. (1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行； (2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直. 课后作业布置：教材第61页习题1--4题 课本67页第2题. 第1题是对本课时学习目标的综合检测.学生们要通过两点坐标求出直线的斜率，然后代入点斜式方程 第二题是用过已知信息得知直线的斜率后在带入到直线的点斜式或者斜截式中求解. 第3题是结合相互平行与垂直的直线斜率间关系，得出所求直线的斜率，最后代入点斜式或斜截式解题.
七、板书设计 §2.2.1 直线的点斜式方程 1.直线的点斜式方程 直线的斜截式方程 直线平行与垂直的条件
八、反思 本节课是我进行课堂实录的一节课，整体感觉讲的还算顺利，在对学生们进行检测时发现接受的也不错，在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手。这儿我做的不够好，没有给学生充分的时间去理解直线与方程的一一对应关系，急于得到知识的生成，从而忽略了知识生成的过程，本节课我主要以合作交流的方式,激发学生的学习兴趣，组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，总结规律。让学生能轻易接受,并提升学生的数学学科素养.