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人教版2024—2025学年八年级下册期中真题淬炼进阶卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，于点D，，E是AB的中点，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．(米 D．3 米
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示， ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列选项错误的是( )
A．AC，BD互相平分
B．OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形
C．AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形
D．∠BAC=45°时，平行四边形ABCD为正方形
6．如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数和的图象分别与x轴交于点、，则关于x的不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则其中另一直角边长为（ ）
A． B． C． D．
9．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，5 C．2，6，9 D．5，8，10
10．一次函数的图像不经过第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 .
12．如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm.
13．如图，四边形中，，且，以、、为边向外作正方形，其面积分别为，，，若，则的值为 .
14．如图，O点为数轴原点，A点对应的数是3， ，连接AB， ，以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为 .
15．若 ，则 .
16．已知三角形的三边分别是6，8，10，则最长边上的高等于 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，平行四边形中，点E，F分别在边，上，，．连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，平分，求的长．
18．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：DF=FE；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长．
19．如图，点D在中，，，，．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，点．
（1）求k，b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出n的取值范围．
21．某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为，甲旅行社收费为、乙旅行社收费．
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；
（2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
22．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．
（1）求小岛两端A，B的距离．
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求值．
23．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．
（1）求的值；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
24．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，收费16元；超过1千克，超过的部分按单价每千克2元收费．乙公司表示：快递物品不超过1千克的，收费10元；超过1千克，超过的部分按单价每千克4元收费．
（1）设快递物品x千克（x>1），甲、乙公司收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出甲、乙公司收费的表达式；
（2）如果只考虑价格，不考虑其它因素，选择哪家快递公司更省钱？
25．如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM BE，垂足为M，AM交BD于点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗.如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
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人教版2024—2025学年八年级下册期中真题淬炼进阶卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、则本项错误，不符合题意；
B、不是同类二次根数，无法进行合并计算，则本项不符合题意；
C、，则本项符合题意；
D、则本项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断A、B选项；
由二次根式的乘法法则可判断C选项；
由二次根式的除法法则可判断D选项.
2．如图，在中，于点D，，E是AB的中点，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵E是斜边AB的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据角的关系求出∠ACD，∠BCD，进而得到∠B，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，等边对等角得到=∠B，进而得到即可.
3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．(米 D．3 米
【答案】C
【解析】【分析】先根据勾股定理求得BC的长，再根据题中树木的特征即可求得结果。
由图可得.BC==
所以树高为米.
故选C.
【点评】勾股定理的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，错误，故不符合要求；
B、，错误，故不符合要求；
C、，错误，故不符合要求；
D、，正确，故符合要求；
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根的定义，二次根式的运算规则进行计算，然后判断即可．
5．如图所示， ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列选项错误的是( )
A．AC，BD互相平分
B．OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形
C．AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形
D．∠BAC=45°时，平行四边形ABCD为正方形
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴对角线AC，BD互相平分，A正确
OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形，B正确
AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，C正确
∠BAC=45°时，∠BAD不一定为90°，平行四边形不一定是正方形，D错误
故答案为：D
【分析】根据平行四边形性质，结合矩形，菱形，正方形的判定定理即可求出答案.
6．如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接．
根据勾股定理可以得到：，，
，
∴，
∴，
是等腰直角三角形．
．
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出AC=BC和AB的长，再利用勾股定理的逆定理证出，再结合AC=BC，证出是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，从而得解.
7．如图，一次函数和的图象分别与x轴交于点、，则关于x的不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：一次函数和的图象分别与x轴交于点、，
根据图象可知，的解集为：，的解集为：，
∴不等式组的解集是，
故答案为：D．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可.
8．某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则其中另一直角边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，其中另一直角边长为：
，
故选：B．
【分析】
利用直角三角形的面积公式，列式计算即可．
9．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，5 C．2，6，9 D．5，8，10
【答案】B
【解析】【解答】解：A：，∴A不能；
B：，∴B能；
C：，∴C不能；
D：，∴D不能；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断 即可。注意要看两个 较小的数的平方和是否等于最大的数的平方。
10．一次函数的图像不经过第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵的图象不经过第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系可知，若一次函数的图像不经过第四象限，则，解出关于m的不等式即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 .
【答案】
【解析】【解答】解：直线与直线相交于点，
根据图象可得不等式的解集是，
故答案为：.
【分析】根据图象，找出L1在L2下方部分或重叠部分所对应的x的范围即可.
12．如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm.
【答案】10
【解析】【解答】解：如图所示：
沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，
由勾股定理得：（cm）.
故答案为：10.
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，根据勾股定理直接计算即可.
13．如图，四边形中，，且，以、、为边向外作正方形，其面积分别为，，，若，则的值为 .
【答案】48
【解析】【解答】解：，
，，
过作交于，则，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
∴，
故答案为：.
【分析】由正方形的面积可得，，过作交于，则，易证四边形是平行四边形，可得CE=AD，AE=CD=3，再求出∠BAE=90°，利用勾股定理求出BE=2，即得BC=2AD=2BE=4，根据正方形的面积公式求解即可.
14．如图，O点为数轴原点，A点对应的数是3， ，连接AB， ，以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵AB=4，OA=3，
又OA⊥OB，
在Rt△OBA中，
OB= ，
∴以O为圆心， OB长为半径画弧交数轴于点C，
∴ OB= OC= ，
点C对应的数为 .
故答案为： .
【分析】利用勾股定理可得OB，由作图可得OB=OC，进而可得点C表示的数.
15．若 ，则 .
【答案】-2023
【解析】【解答】解：∵
∴ ，解得
∴
∴原方程可以化为：
∴
故答案为：-2023.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-2023≥0，则x≥2023，|2022-x|=x-2022，则原方程可化为=2022，然后给两边同时平方并变形可得结果.
16．已知三角形的三边分别是6，8，10，则最长边上的高等于 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵三角形的三边分别是6，8，10，
又∵
∴这个三角形是直角三角形
∵ 最长边上的高
∴最长边上的高为：
故答案为： .
【分析】根据三角形的三边长结合勾股定理逆定理知该三角形为直角三角形，然后根据三角形的面积公式进行计算.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，平行四边形中，点E，F分别在边，上，，．连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，平分，求的长．
【答案】（1）证明：∵平行四边形 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
又∵ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：∵ 平分∠ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质先判定四边形 为平行四边形，再根据可判定四边形 是矩形；
（2）先根据角平分线的定义和平行线的性质求出 ，再根据含30度角的直角三角形的性质可得 ， 进而解答可得AD的长。
18．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：DF=FE；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长．
【答案】（1）证明：延长DC交BE于点M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴CM=AB=DC，C为DM的中点，BE∥AC，
则CF为△DME的中位线，
DF=FE；
（2）解：由（1）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，
∴AC=ME，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC= ，
∴BE= ．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定方法先求出 四边形ABMC是平行四边形， 再根据三角形的中位线求解即可；
（2）根据题意先求出 ME=2CF， 再求出 AC=ME， 最后利用勾股定理计算求解即可。
19．如图，点D在中，，，，．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
，
（2）解：∵ ， ，
，
是直角三角形， ，
．
故图中阴影部分的面积为 ．
【解析】【分析】（1）结合所给的图形，利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用勾股定理先求出△ACB 是直角三角形， ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，点．
（1）求k，b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：把 ， 代入 中得： ，
∴
（2）
【解析】【解答】（2）根据（1）可得： 一次函数， 将x=1代入可得y=-1，
把点（1，-1）代入y=nx，得n=-1，
当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
∴n的取值范围为 。
【分析】（1）将 ， 代入 可得 ，解之可得答案；
（2）先求出一次函数，将x=1代入可得y=-1，代入y=nx，得n=-1，观察图象可求得n的取值范围。
21．某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为，甲旅行社收费为、乙旅行社收费．
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；
（2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
【答案】（1）解：由题意，得
，
．
（2）解：①当时，
，
解得，
当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的．
②当时，
，
解得；
当（x为整数）时，乙旅行社更优惠；
③当时，
，
解得．
当（x为整数）时，甲旅行社更优惠．
【解析】【分析】（1）根据题意直接求出甲、乙费用的函数解析式即可；
（2）根据（1）的解析式分别列出方程或不等式求解即可。
22．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．
（1）求小岛两端A，B的距离．
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求值．
【答案】（1）解：在△DCE中，∠CED＝90°，DE＝60海里，CE＝80海里，
由勾股定理可得（海里），
∵B是CD的中点，
∴（海里），
∴AB＝BE－AE＝50－16.6＝33.4（海里）
答：小岛两端A、B的距离是33.4海里；
（2）解：设BF＝x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，
∴CF2＝CB2－BF2＝502－x2＝2500－x2，
在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，
∴CF2＋EF2＝CE2，即，
解得x＝14，
∴
答：值为．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出CD的长，利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用线段的和差求出AB的长即可；
（2）设BF＝x海里，利用勾股定理可得CF2＋EF2＝CE2，即，再求出x的值，最后求出即可。
23．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．
（1）求的值；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∵a＋b＝3，ab＝1，，
∴
=．
（2）解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】【分析】（1） 由于，然后整体代入计算即可；
（2）△ABC是直角三角形．理由：根据勾股定理的逆定理进行解答即可.
24．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，收费16元；超过1千克，超过的部分按单价每千克2元收费．乙公司表示：快递物品不超过1千克的，收费10元；超过1千克，超过的部分按单价每千克4元收费．
（1）设快递物品x千克（x>1），甲、乙公司收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出甲、乙公司收费的表达式；
（2）如果只考虑价格，不考虑其它因素，选择哪家快递公司更省钱？
【答案】（1）解：由题意可得，
甲公司：当时，，
乙公司：当时，；
（2）解：当0，
此时选择乙快递公司更省钱；
当时，Ⅰ令，得，解得，
Ⅱ令，得，即，
Ⅲ，得，即
故当0当时，两家快递公司收费一样多；
时，选择甲快递公司更省钱．
【解析】【分析】（1）根据甲、乙公司的收费标准直接列出函数解析式即可；
（2）根据（1）的解析式，分类讨论，再列出不等式求解即可。
25．如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM BE，垂足为M，AM交BD于点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗.如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE
∴∠MEA＝∠AFO，
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF
∴OE＝OF
（2）解：OE＝OF成立
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA
又∵AM⊥BE，
∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE
又∵∠MBF＝∠OBE
∴∠F＝∠E
∴Rt△BOE≌Rt△AOF
∴OE＝OF
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得∠BOE＝∠AOF，OB＝OA，再由余角的性质推出∠MEA＝∠AFO，然后利用角角边定理证明△BOE≌ △AOF，即可得出OE＝OF ；
（2）由正方形的性质可得∠BOE＝∠AOF，OB＝OA，再由余角的性质推出∠F＝∠E，然后利用角角边定理证明△BOE≌ △AOF，即可得出OE＝OF .
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