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北师大版2024—2025学年七年级下册期中综合素养进阶卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
4．如图，下列不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠B+∠BCD=180° B．∠1=∠2
C．∠3=∠4 D．∠B=∠5
5．已知一个三角形两边的长分别是5和7，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A．2 B．5 C．7 D．10
6．已知 ， ，其中 ， 为正整数，则 （ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．对顶角相等，邻补角互补
8．已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．10
9．已知，直线m∥n，将含30°的直角三角板按照如图位置放置，∠1=25°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
10．小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，则的值为
12．一个角的补角是，则这个角的度数是
13．如图是某灯具的镜面反射示意图，从光源点处发出的光线，经弯曲的镜面反射后射出，且满足反射光线，若，于点，则的度数为 ．
14． ．
15．某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y(℃)与向上攀登的高度x(km)的几组对应值如表所示：
向上攀登的高度x/km 0.5 1.0 1.5 2.0
气温y/℃ 2.0 -1.0 -4.0 -7.0
若每向上攀登1 km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.3 km时，登山队所在位置的气温约为 °C．
16．一副三角尺ABC，DEF拼接成如图所示的图形，其中∠B＝30°，∠D＝45°，DF经过点A，两斜边AB与DE互相平行，则∠CAF＝ 度．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，
（1）求证：BD
CE；
（2）若∠A＝30，求∠F的度数．
18．求下列各式的值．
（1）已知am=2，an=3，求a3m+2n的值；
（2）已知x3=m，x5=n，试用含m，n的代数式表示x14．
19．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
（1）若∠BOE＝65°，求∠DOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．
20．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB=60°，求∠EBC的度数．
21．有一盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外其它完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．
（1）求摸到每种颜色球的概率；
（2）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由．
22．对于积的乘方运算，我们有： ．逆用这个等式，我们可以很方便的完成一些特定计算．比如： ．请仿照上述过程完成以下计算：
（1）
（2）
23．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF 与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．
（1）AD与EF平行吗？请说明理由；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，则∠F与∠H相等吗，请说明理由．
24．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
25．一个小区的路面规划示意图如图所示，已知AD⊥EF，CE⊥EF，∠2+∠3=180°
（1）判断∠1与∠BDC的数量关系，并说明理由；
（2）若∠1=70°，DA平分∠BDC，试求∠FAB的度数
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北师大版2024—2025学年七年级下册期中综合素养进阶卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、不存在相同的项，故本选项不符合题意；
B、不存在相同的项，故本选项不符合题意；
C、存在相同的项和相反的项，符合题意；
D、不存在相同的项，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式的含义，判断得到答案即可。
3．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：设一个角为x，则另一个角为3x-20°，
∴x=3x-20°，或x+3x-20°=180°，
解得x=10°，或50°，
则另一个角为10°或130°，
故答案为：C.
【分析】 设一个角为x，则另一个角为3x-20°，因为如果两个角的两边分别平行， 则这两个角相等或互补，据此构建方程求解即可.
4．如图，下列不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠B+∠BCD=180° B．∠1=∠2
C．∠3=∠4 D．∠B=∠5
【答案】B
【解析】【分析】根据平行线判定可知：当同位角相等（如：∠B=∠5）；内错角相等（如：∠3=∠4）； 或者是同旁内角互补，（如：∠B+∠BCD=180°）。而B选项∠1=∠2为判定直线AD∥BC。
【点评】本题难度较低，主要考查学生对平行线判定知识点的掌握。根据三个判定定理分析具体情况即可。
5．已知一个三角形两边的长分别是5和7，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A．2 B．5 C．7 D．10
【答案】A
【解析】【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是5和7，
∴7-5＜x＜7+5，
即2＜x＜12，四个选项中只有2不适合．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，计算求解即可。
6．已知 ， ，其中 ， 为正整数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】先变形 成 与 的形式，再将已知等式代入可得.
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．对顶角相等，邻补角互补
【答案】D
【解析】【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，为假命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，为假命题，不符合题意；
C、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，为假命题，不符合题意；
D、对顶角相等，邻补角互补，为真命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行公理，平行线的判定，对顶角和邻补角的定义，进行判断求解即可。
8．已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．10
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
=1，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再利用完全平方公式，合并同类项法则等计算求解即可。
9．已知，直线m∥n，将含30°的直角三角板按照如图位置放置，∠1=25°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠1=25°，
∴∠ACB=∠1=25°，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=∠B+∠ACB=55°，
∵m//n，
∴∠2=∠BAD=55°，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠ACB=∠1=25°，再求出∠BAD=∠B+∠ACB=55°，最后根据平行线的性质计算求解即可。
10．小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由图②可得：，
故答案为：C.
【分析】利用长方形和正方形的面积公式，结合图形求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，则的值为
【答案】8
【解析】【解答】解：由得，
∴．
故答案为：8．
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法可得，再将代入计算即可。
12．一个角的补角是，则这个角的度数是
【答案】128
【解析】【解答】解：∵一个角的补角是，
∴这个角的度数是．
故答案为：128．
【分析】利用补角的计算方法求解即可。
13．如图是某灯具的镜面反射示意图，从光源点处发出的光线，经弯曲的镜面反射后射出，且满足反射光线，若，于点，则的度数为 ．
【答案】50°
【解析】【解答】解：过P作，
∵过P作，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：50°；
【分析】过P作，根据平行线的性质可得，，再利用角的运算求出即可。
14． ．
【答案】1
【解析】【解答】原式==，
故答案为：1．
【分析】将代数式变形为，再计算即可。
15．某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y(℃)与向上攀登的高度x(km)的几组对应值如表所示：
向上攀登的高度x/km 0.5 1.0 1.5 2.0
气温y/℃ 2.0 -1.0 -4.0 -7.0
若每向上攀登1 km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.3 km时，登山队所在位置的气温约为 °C．
【答案】-8.8
【解析】【解答】根据表格中的数据得：向上攀登0.5km，温度下降3℃
则有-1-（2.3-2.0）÷0.5×3＝-8.8℃
【分析】根据表格中的数据得到向上攀登0.5km，温度下降3℃，进而求出所求
16．一副三角尺ABC，DEF拼接成如图所示的图形，其中∠B＝30°，∠D＝45°，DF经过点A，两斜边AB与DE互相平行，则∠CAF＝ 度．
【答案】15
【解析】【解答】，
，
，
，
．
故答案为：15．
【分析】根据平行线的性质先求出，再求出，最后计算求解即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，
（1）求证：BD
CE；
（2）若∠A＝30，求∠F的度数．
【答案】（1）证明：∵∠AHC＝∠EHF，∠AGB＝∠EHF，
∴∠AHC＝∠AGB．
∴BD CE．
（2）解：∵BD CE，
∴∠CEF＝∠D．
∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠C．
∴AC DF．
∴∠F＝∠A＝30°．
【解析】【分析】（1）先证明 ∠AHC＝∠AGB，根据平行线的判定定理即可证明；
（2）根据已知条件和平行线的性质可知∠CEF＝∠C，则AC∥DF，可得∠F＝∠A。
18．求下列各式的值．
（1）已知am=2，an=3，求a3m+2n的值；
（2）已知x3=m，x5=n，试用含m，n的代数式表示x14．
【答案】（1）解：∵am=2，an=3，
∴a3m+2n=a3m a2n=（am）3 （an）2=23×32=；
（2）解：∵x3=m，x5=n，
∴x14=（x3）3 x5=m3n．
【解析】【分析】（1）由am=2，an=3，代入计算即可；
（2）x3=m，x5=n，由（1）代入计算即可。
19．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
（1）若∠BOE＝65°，求∠DOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．
【答案】（1）解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=65°，
∴∠EOC=∠BOE=65°，
∴∠DOE=180°-∠EOC=180°-65°=115°；
（2）解：∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC=∠BOE，
∵∠BOD：∠BOE=2：3，
设∠BOD=x，则∠COE=∠BOE=，
∵∠COE+∠BOE+∠BOD=180°，
∴，
∴x=45°，
∵OF⊥CD，∠BOD=∠AOC，
∴∠BOD=∠AOC=45°，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-45°=45°.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠EOC=∠BOE=65°，利用邻补角定义求出∠DOE的度数；
（2）根据角平分线的定义求出∠EOC=∠BOE，利用垂直求出∠BOD=∠AOC=45°，即可得出答案。
20．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB=60°，求∠EBC的度数．
【答案】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=60°，
∴∠EBC=30°
【解析】【分析】（1）利用AAS判定三角形 △ABE≌△DCE 即可；
（2）根据全等求出 BE=EC， 再求出 ∠EBC=∠ECB， 最后计算求解即可。
21．有一盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外其它完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．
（1）求摸到每种颜色球的概率；
（2）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由．
【答案】（1）摸出一球总共有6种可能，它们的可能性相等，摸到白球有3种、黄球有2种、红球有1种.，故有：
P(摸到白球)= = ，P(摸到黄球)= = ，P(摸到红球)=
（2）答：公平.
理由：因为P(摸到白球)= ，P(摸到其他球)=
所以游戏对双方公平.
【解析】【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）公平，因为白色球的数量和黄色乒乓球以及红色乒乓球的数量一样多．
22．对于积的乘方运算，我们有： ．逆用这个等式，我们可以很方便的完成一些特定计算．比如： ．请仿照上述过程完成以下计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解:
=
=
=1
（2）解:
=
=
=
=
= ．
【解析】【分析】（1）根据积的乘方的逆运算进行计算即可；
（2）利用同底数幂的乘法变形为 ，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可.
23．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF 与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．
（1）AD与EF平行吗？请说明理由；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，则∠F与∠H相等吗，请说明理由．
【答案】（1）解： AD∥EF．
理由如下：∵∠BDA+∠CEG=180°，∠ADB+∠ADE=180°，∠FEB+∠CEF=180°
∴∠ADE+∠FEB=180°，∴AD∥EF；
（2）解： ∠F=∠H，理由是：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠EDH=∠C，∴HD∥AC，∴∠H=∠CGH．
∵AD∥EF，∴∠CAD=∠CGH，∴∠BAD=∠F，∴∠H=∠F．
【解析】【分析】（1）AD∥EF.理由： 求出ADE+∠FEB=180°， 根据平行线的判定即得结论；
（2） ∠F=∠H，理由：根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD， 由∠EDH=∠C得出HD∥AC，继而可得∠H=∠CGH．由AD∥EF得出∠CAD=∠CGH，利用等量代换即证结论.
24．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【答案】（1）解：∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴S1=a2﹣b2，
S2= （2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）
（2）解：根据题意得：
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【解析】【分析】（1）先用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求出S1，再根据梯形的面积公式即可求出S2．（2）根据（1）得出的值，直接可写出乘法公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
25．一个小区的路面规划示意图如图所示，已知AD⊥EF，CE⊥EF，∠2+∠3=180°
（1）判断∠1与∠BDC的数量关系，并说明理由；
（2）若∠1=70°，DA平分∠BDC，试求∠FAB的度数
【答案】（1）猜想：∠1=∠BDC
证明：∵AD⊥EF，CE⊥EF
∴∠GAD=∠GEC=90°
∴AD∥CE
∴∠ADC+∠3=180°
∵∠2+∠3=180°
∴∠2=∠ADC
∴AB∥CD
∴∠1=∠BDC
（2）∵AD⊥EF
∴∠FAD=90°
∵AB∥CD
∴∠BDC=∠1=70°
∵DA平分∠BDC
∴∠ADC=∠BDC=×70°=35°
∵AB∥CD
∴∠2=∠ADC=35°
∴∠FAB=∠FAD-∠2=90°-35°=55°
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义即可得到AD∥CE，继而由平行线的性质得到∠ADC+∠3=180°，即可得到AB∥CD，得到答案即可；
（2）根据平行线的性质即可得到∠BDC=∠1=70°，继而由DA平分∠BDC得到∠ADC的度数，求出∠2的度数，由∠FAB=∠FAD-∠2得到结论即可。
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