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北师大版2024—2025学年八年级下册期中模拟质量检测卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果把分式 中的 和 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍
3．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
5．若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
8．如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（ ）
A．不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
9．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°“时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60° B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形的三个内角都小于60° D．三角形的三个内角都大于60°
10．如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是的中线，，分别是，的中点，，则的长为 ．
12．已知，则分式的值为 ．
13．等腰三角形的两条边长为3和6，则三角形的周长为 ．
14．如图，四边形是平行四边形，其中点，点，点，则点D的坐标是 ．
15．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和排球共50个，购买资金不超过2800元.若每个篮球80元，每个排球40元，则篮球最多可购买 个.
16．如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，如果，．
（1）求证：；
（2）若，，求AD的长．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB上一点，且∠CDE＝∠DCB．
（1）求证：AD＝DE；
（2）请判断BD与CE的数量关系，并说明理由．
19．如图，在中，对角线、交于点，为延长线上一点，且，连接，交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
20．计算：
（1） ；
（2） ．
21．清明节，除了扫墓踏青之外，传统时令小吃﹣﹣青团也深受大家欢迎.知味观推出一款鲜花牛奶青团和一款芒果青团，鲜花牛奶青团每个售价是芒果青团的 倍，4月份鲜花牛奶青团和芒果青团总计销售60000个.鲜花牛奶青团销售额为250000元，芒果青团销售额为280000元.
（1）求鲜花牛奶青团和芒果青团的售价？
（2）5月份正值知味观店庆，决定再生产12000个青团回馈新老顾客，但考虑到芒果青团较受欢迎，同时也考虑受机器设备限制，因此芒果青团的个数不少于鲜花牛奶青团个数的 ；不多于鲜花牛奶青团的2倍，其中，鲜花牛奶青团每个让利a元销售，芒果青团售价不变，并且让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的 ，问：知味观如何设计生产方案？使总销售额最大.
22．有如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米， ，AB=13米，BC=12米.
（1）试判断以点A、点B、点C为顶点的三角形是什么三角形 并说明理由.
（2）求这块地的面积.
23．已知关于x，y的方程组 的解x，y均为负数.
（1）求m得取值范围
（2）化简：
24．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）
A型 25 45
B型 40 70
（1）若商场进货款为3100元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场在3200元的限额内购进这两种台灯，且A型台灯的进货数量不超过B型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
25．已知：如图1，是直角三角形，，的角平分线与的垂直平分线相交于点．
（1）如图2，若点正好落在边上，求的度数；
（2）如图3，若点满足、、共线，线段、、之间是否满足，若满足请给出证明；若不满足，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2024—2025学年八年级下册期中模拟质量检测卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合.
2．如果把分式 中的 和 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍
【答案】A
【解析】【解答】，值不变.
故选A.
【分析】把3m，3n分别代入.
3．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AC=BC，AE=CD，
∴△AEC≌△CDB（HL），
∴CD=AE=7，CE=BD=2，
∴ED=CD-CE=7-2=5，
故答案为：B.
【分析】根据斜边直角边定理证明△AEC≌△CDB，再由全等三角形的性质定理得对应边相等，则CD和CE的长度可求，于是求出ED的长度。
4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
【答案】B
【解析】【解答】解：A、是a、2b平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
B、﹣x2+16y2＝（4y）2﹣x2是4y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式，故此选项正确；
C、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故此选项错误；
D.a不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差.
5．若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：方程两边同乘以，得①，
∵原方程有增根，
即．
把代入①，得
故答案为：B．
【分析】先将分式方程转换为整式方程，再将x=3代入整式方程求出m的值即可.
6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；
B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242=252，152+202=252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．
故选：C．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
7．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ABCD，
∴OB=OD，ABCD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴S△BOE=S△DOF，
∴S阴影=2S△BOE，
∵，
∴S△BOE=S△AOB，
∵平行四边形ABCD，
∴S△AOB=，
∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
故答案为：B．
【分析】先求出△BOE≌△DOF，再求出S△BOE=S△AOB，最后求解即可。
8．如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（ ）
A．不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】A
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵O是EF的中点，
∴O也是AD的中点，
如图，取AB的中点M，AC的中点N，则MN为点O的运动轨迹，
∴在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，
，
∴点O到线段BC的距离为定值（两条平行线间的距离处处相等），
在整个运动过程中，△OBC的面积始终是以BC为底，两条平行线间的距离为高，
根据同底等高的三角形面积相等可知：△OBC的面积不变，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得出在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，到BC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等，即可判断△OBC的面积不变。
9．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°“时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60° B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形的三个内角都小于60° D．三角形的三个内角都大于60°
【答案】C
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°“时，第一步应先假设三角形的三个内角都小于60° .
故答案为：C.
【分析】反证法的第一步是反设：作出与求证结论相反的假设，据此可得答案.
10．如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵原不等式组至少有3个整数解，
∴，
解分式方程得：，
∵，
∴，解得：，
∵原分式方程的解是非负数，
∴，解得：，
综上分析，a的范围是：且，
∴满足条件的整数a的和为：2+3+5+6=16，
故答案为：C.
【分析】先解不等式为，由原不等式组至少有3个整数解，可得，再解分式方程得，由原分式方程的解是非负数，可得且，求出a的整数值，再相加即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是的中线，，分别是，的中点，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解： ，分别是，的中点，
是的中位线，
，
是的中线，
，
，
故答案为：
【分析】
由中点的概念可知AD等于BD，再由中位线定理可知EF等于AD的一半即可.
12．已知，则分式的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴y-x=3xy，
∴x-y=-3xy，
∴.
故答案为：.
【分析】由已知方程去分母可得y-x=3xy，则x-y=-3xy，进而整体代入分式，分子分母分别合并同类项后约分化简即可.
13．等腰三角形的两条边长为3和6，则三角形的周长为 ．
【答案】15
【解析】【解答】解：若3为等腰三角形的腰长，此时不能构成三角形；
若6为等腰三角形的腰长，此时三角形的三边分别为3、6、6，周长为3+6+6=15.
故答案为：15.
【分析】根据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边，进而可得周长.
14．如图，四边形是平行四边形，其中点，点，点，则点D的坐标是 ．
【答案】（3，2）
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点A（-1，2），点B（-2，-1），点C（2，-1），
∴BC=AD=2-（-2）=4，
∴将点A向右平移4个单位可得到点D，
∴点D（3，2）
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，利用点A，B，C的坐标可求出BC的长，因此将点A向右平移4个单位可得到点D，可得到点D的坐标.
15．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和排球共50个，购买资金不超过2800元.若每个篮球80元，每个排球40元，则篮球最多可购买 个.
【答案】20
【解析】【解答】解：设买篮球m个，则买排球(50 m)个，
根据题意得：80m+40(50 m) 2800，
解得m 20，
∵m为整数，
∴m最大取20，
∴最多可以买20个篮球，
故答案为：20.
【分析】设买篮球m个，则买排球(50 m)个，由“ 某校计划购买篮球和排球共50个，购买资金不超过2800元 ”可列不等式80m+40(50 m) 2800，解得m的取值范围，再根据m为整数，即可得到m的最大值，即可解决问题.
16．如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为 .
【答案】x＞1
【解析】【解答】解：根据图象得：当 时，函数图象位于 轴下方，此时 ，
∴关于x的不等式的解集为x＞1.
故答案为：x＞1.
【分析】 关于x的不等式的解集 ，就是求函数图象位于x轴下方部分相应的自变量的取值范围，据此即可得出答案.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，如果，．
（1）求证：；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）证明：△DAC和△FAE中：∠ADC=∠AFE=90°，DA=FA， AC=AE，
∴△DAC≌△FAE（HL），
∴DC=FE，
△DAB和△FAB中：∠ADB=∠AFB=90°，DA=FA， AB=AB，
∴△DAB≌△FAB（HL），
∴DB=FB，
∴DB-DC=FB-FE，
∴BC=BE；
（2）解：∵△DAB≌△FAB（HL），
∴∠DBA=∠FBA=∠DBF=15°，
∵∠DCA=∠ABC+∠BAC=15°+30°=45°，∠ADC=90°，
∴∠DAC=45°，
∴DA=DC，
Rt△ADC中由勾股定理得：，
∴AD=．
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出△DAC≌△FAE和△DAB≌△FAB，可得DC=FE，DB=FB，再利用线段的和差及等量代换可得BC=BE；
（2）先求出∠DAC=45°，可得DA=DC，利用勾股定理可得，再求出AD=即可。
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB上一点，且∠CDE＝∠DCB．
（1）求证：AD＝DE；
（2）请判断BD与CE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，∠DCB=∠A，
∴∠CDE=∠AED，
∵∠CDE=∠DCB，
∴∠A=∠AED，
∴AD=DE；
（2）解：BD=CE，
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，
由（1）可知：AD=DE，
∴DE=CB，
在△CDE与△DCB中
，
∴△CDE≌△DCB(SAS)，
∴BD=CE，
结论得证．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出，∠DCB=∠A，则∠CDE=∠AED，再证出∠A=∠AED，即可得出结论；
（2）利用三角形全等证出△CDE≌△DCB(SAS)，即可得出结论。
19．如图，在中，对角线、交于点，为延长线上一点，且，连接，交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
【答案】（1）证明：∵在中，
∴AB=CD=DE，AB∥CE，
∴∠ABF=∠E，
又∵∠AFB=∠DFE，
∴；
（2）解：∵，
∴AF=DF，
∵在中，
∴OB=OD，
∴OF是的中位线，
∴=AB=×4=2.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得AB=CD， AB∥CE ，根据平行线的性质得到∠ABF=∠E，利用AAS证明 即可；
（2）由全等三角形的性质得出AF=DF，由平行四边形的性质OB=OD，推出OF是△ABD的中位线，即可求解.
20．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：
＝
＝ ；
（2）解：
＝ ﹣（a＋b）
＝
＝
＝ ．
【解析】【分析】（1）将除法转化为乘法，再进行约分即可；
（2）先通分化为同分母，再利用同分母分式相减法则，进行计算即可.
21．清明节，除了扫墓踏青之外，传统时令小吃﹣﹣青团也深受大家欢迎.知味观推出一款鲜花牛奶青团和一款芒果青团，鲜花牛奶青团每个售价是芒果青团的 倍，4月份鲜花牛奶青团和芒果青团总计销售60000个.鲜花牛奶青团销售额为250000元，芒果青团销售额为280000元.
（1）求鲜花牛奶青团和芒果青团的售价？
（2）5月份正值知味观店庆，决定再生产12000个青团回馈新老顾客，但考虑到芒果青团较受欢迎，同时也考虑受机器设备限制，因此芒果青团的个数不少于鲜花牛奶青团个数的 ；不多于鲜花牛奶青团的2倍，其中，鲜花牛奶青团每个让利a元销售，芒果青团售价不变，并且让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的 ，问：知味观如何设计生产方案？使总销售额最大.
【答案】（1）解：设每个芒果青团的售价为x元，则每个鲜花牛奶青团的售价为 x元，
依题意，得： + ＝60000，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
∴ x＝10.
答：每个鲜花牛奶青团的售价为10元，每个芒果青团的售价为8元.
（2）解：设生产芒果青团m个，则生产鲜花牛奶青团（12000﹣m）个，
依题意，得： ，
解得：7200≤m≤8000.
∵让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的 ，
∴10﹣a≥ ×8，
∴a≤4.
设总销售额w元，则w＝（10﹣a）（1200﹣m）+8m＝（a﹣2）m+1200（10﹣a）.
当0＜a＜2时，a﹣2＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝7200时，w取得最大值；
当a＝2时，a﹣2＝0，w为定值；
当2＜a≤4时，a﹣2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝8000时，w取得最大值.
答：当0＜a＜2时，生产芒果青团7200个、鲜花牛奶青团4800个，使总销售额最大；当a＝2时，生产芒果青团不少于7200个、不超过8000个，总销售额不变；当a＞2时，生产芒果青团8000个、鲜花牛奶青团4000个，使总销售额最大.
【解析】【分析】（1）设每个芒果青团的售价为x元，依题意，得：+＝60000，求解即可；
（2）设生产芒果青团m个，由题意可得关于m的不等式组，求解可得m的范围，同理求出a的范围，设总销售额w元，则w＝(a-2)m+1200(10-a)，然后分0＜a＜2、a＝2、2＜a≤4结合一次函数的性质可得最大值.
22．有如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米， ，AB=13米，BC=12米.
（1）试判断以点A、点B、点C为顶点的三角形是什么三角形 并说明理由.
（2）求这块地的面积.
【答案】（1）解：以点A、点B、点C为顶点的三角形是直角三角形，理由是：
连接AC.
∵AD=4m，CD=3m，AD⊥DC
∴AC=5m
∵122+52=132
∴△ACB为直角三角形；
（2）解：∵△ACB为直角三角形
∴S△ACB= ×AC×BC= ×5×12=30m2，
S△ACD= AD CD= ×4×3=6m2，
∴这块地的面积=S△ACB﹣S△ACD=30﹣6=24m2
【解析】【分析】（1） 连接AC. 根据勾股定理求出AC=5，再根据勾股定理的逆定理可得以点A、点B、点C为顶点的三角形是直角三角形 .（2）由图可知这块地的面积=S△ACB﹣S△ACD，分别求出这两个三角形的面积，即可求出这块地的面积.
23．已知关于x，y的方程组 的解x，y均为负数.
（1）求m得取值范围
（2）化简：
【答案】（1）解：有题意可知， ， ，
因为 ， ，
所以 .
（2）解：由（1）
所以 ，
所以原式
.
【解析】【分析】（1）通过解方程组知 ， ，再由x，y均为负数即可求解m的取值范围.（2）根据（1）m的取值范围代入求解即可.
24．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）
A型 25 45
B型 40 70
（1）若商场进货款为3100元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场在3200元的限额内购进这两种台灯，且A型台灯的进货数量不超过B型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】（1）解：设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100 x）盏，
根据题意得：25x+40（100 x）=3100，
解得：x=60，
∴100 60=40（盏），
答：应购进A型台灯60盏，B型台灯40盏；
（2）解：设商场销售完这批台灯可获利y元，
根据题意得：y=（45 25）x+（70 40）（100 x）=20x+3000 30x= 10x+3000，
即：y= 10x+3000，
∵商场在3200元的限额内购进这两种台灯，且A型台灯的进货数量不超过B型台灯数量的3倍，
∴25x+40（100 x）≤3200且x≤3（100 x），
∴ ≤x≤75，
∵k= 10<0，y随x的增大而减小，
∴当x=54时，y最大值= 10×54+3000=2460（元），
答：商场购进A型台灯54盏，B型台灯46盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为2460元.
【解析】【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100 x）盏，根据“商场进货款为3100元”列出关于x的一元一次方程，即可求解；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，列出y关于x的一次函数解析式，根据“商场在3200元的限额内购进这两种台灯，且A型台灯的进货数量不超过B型台灯数量的3倍”列出关于x的不等式，求出x的范围，进而根据一次函数的性质，即可求解.
25．已知：如图1，是直角三角形，，的角平分线与的垂直平分线相交于点．
（1）如图2，若点正好落在边上，求的度数；
（2）如图3，若点满足、、共线，线段、、之间是否满足，若满足请给出证明；若不满足，请说明理由．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
又∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
（2）解：线段、、之间满足，证明如下：
过点作于点，如图所示：
∵是的垂直平分线，且、、共线，
∴也是的垂直平分线，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵平分，且，，
∴，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出
，由角平分线的性质得出
，由此得解；
（2）过点作于点，由是的垂直平分线，且、、共线，得出也是的垂直平分线，推出，证出是等腰直角三角形和是等腰直角三角形，再利用全等得出，最后得出，即可得出结论。
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