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湘教版2024—2025学年八年级下册期中真题专项培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（0，﹣3） C．（﹣2，5） D．（5，﹣3）
2．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．一个直角三角形的三边长分别为，，，那么以，，为三边长的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．在我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题．原文是：今有池方一丈（丈、尺是长度单位，1丈尺），葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．这根芦苇的长度是（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
5．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的( )
A．北偏东75°的方向上 B．北偏东65°的方向上
C．北偏东55°的方向上 D．无法确定
6．如图，的对角线相交于点O，点分别是线段的中点，若厘米，的周长是18厘米，则的长度是（ ）．
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的高是（ ）
A．2.4 B． C．10 D．16
10．将面积为的半圆与两个正方形A和正方形B拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ）
A． B．8 C． D．16
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 ．
12．函数：y=中，自变量x的取值范围是
13．如图，在长方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若，，则CO的长为 .
14．如图，点P是的平分线上一点，于B，且，，，则的面积是 .
15．在 ABCD中，∠B＝100°，则∠D＝ .
16．如图，在中，，点分别在边上，连接，若，且是等边三角形，则 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在Rt△ABF中，∠BAF=90°，∠F=30°，E，D分别是AF，BF的中点，延长ED到点C，使得CD=2DE，连接CB．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DE=，求菱形ABCD的面积．
18．如图所示，在中，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为t秒（）．过点作于点F，连接．
（1）求证：；
（2）四边形可能成为菱形吗？如果可能，求出相应的t值；如果不可能，说明理由．
19．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
20．某商店五月份销售A型电脑的总利润为4320元，销售B型电脑的总利润为3060元，且销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍，已知销售一台B型电脑比销售一台A型电脑多获利50元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=2x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）求点A，B的坐标.
（2）若P是直线x=-2上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
22．如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM.AE为△ABM边BM的中线，AF⊥AB，EG⊥GD，延长FO交AB于点N.
（1）若BM＝4，MC＝6，AC＝10，求AM的长度：
（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝2FG.
23．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G.
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由.
24．在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且分别平分∠DAB，∠ABC。
（1）请求出∠AOB的度数，写出AD，AB，BC之间的等量关系，并给予证明。
（2）设点P为对角线AC上一点，PB=5，若AD+BC=16，四边形ABCD的面积为 ，求AP的长。
25．如图1，边形 为菱形，点 为对角线 上的一个动点，连接 并延长交 于点 ，连接 .
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，且 ，求 的度数.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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湘教版2024—2025学年八年级下册期中真题专项培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（0，﹣3） C．（﹣2，5） D．（5，﹣3）
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，
∴x﹣3＝﹣3，y+5＝2，
解得x＝0，y＝﹣3，
所以，点A的坐标是（0，﹣3）．
故答案为：B．
【分析】根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
2．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查矩形的性质．先根据矩形的性质可推出，再根据可推出是等边三角形，据此可得，利用线段的运算可求出答案
3．一个直角三角形的三边长分别为，，，那么以，，为三边长的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】【解答】解：依题意，当（c>b，c>a）
则（c>b，c>a），此时以ak，bk，ck（k>0）为三边长的三角形是直角三角形；
当（a>b，a>c）
则（a>b，a>c），此时以ak，bk.，ck（k>0）为三边长的三角形是直角三角形；
当（b>a，b>c），
则（b>a，b>c），此时以ak，bk，ck（k>0）力三边长的三角形是直角三角形；
综上：以ak，bk，ck（k>0）三边长的三角形是直角三角形；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理以及勾股定理的逆定理的，结合分类讨论思想求解即可。
4．在我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题．原文是：今有池方一丈（丈、尺是长度单位，1丈尺），葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．这根芦苇的长度是（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】D
【解析】【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：D．
【分析】
设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，水池一边的中点到池边的长度是水池边长的一半，即5尺，根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，建立方程即可求解．
5．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的( )
A．北偏东75°的方向上 B．北偏东65°的方向上
C．北偏东55°的方向上 D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵3002+4002=5002，
∴∠AOB=90°，
∵超市在医院的南偏东25°的方向，
∴∠COB=90°-25°=65°，
∴∠AOC=90°-65°=25°，
∴∠AOD=90°-25°=65°.
故选：B．
【分析】
首先根据勾股定理逆定理可得∠AOB=90°。接着根据题目中给出的信息，超市在医院的南偏东25°的方向，可得∠COB=90°-25°=65°。然后利用已知的∠AOB和∠COB的角度，可以计算出∠AOC和∠AOD的角度。最后根据计算出的角度，即可得出答案。
6．如图，的对角线相交于点O，点分别是线段的中点，若厘米，的周长是18厘米，则的长度是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=24cm，
∴OA+OB=12cm，
∵的周长是18厘米 ，
∴OA+OB+AB=18cm，
∴AB=6cm，
∵ 点分别是线段的中点 ，
∴EF=AB=3cm.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质及AC+BD=24cm，可得OA+OB=12cm，由的周长是18厘米 ，可求出AB=6cm，根据三角形中位线定理可得EF=AB，继而得解.
7．下列说法错误的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【答案】C
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，此项正确，故不符合题意；
B、矩形的对角线相等，此项正确，故不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此项错误，故符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，此项正确，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质逐项判断即可.
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】 A（-3，4），
OA==5，
四边形OABC是菱形，
AO=CB=OC=AB-5，
点B的横坐标为-3-5=-8，
故点B的坐标为：（-8，4），
故选：C
【分析】根据勾股定理求出OA，根据菱形性质求出点B的横坐标，即可求出点B的坐标。
9．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的高是（ ）
A．2.4 B． C．10 D．16
【答案】B
【解析】【解答】解：
菱形的两条对角线长分别是6和8，
菱形的面积为：
，
又
菱形的面积=底×高，
菱形的两条对角线互相垂直且平分，
菱形的边长
，
高
，
高
．
故答案为：B．
【分析】利用菱形的性质及勾股定理求出菱形的边长，根据菱形的面积=对角线乘积的一半=底×高，即可求出菱形的高.
10．将面积为的半圆与两个正方形A和正方形B拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ）
A． B．8 C． D．16
【答案】D
【解析】【解答】解：已知半圆的面积为
，
所以半圆的直径为：
，
即如图直角三角形的斜边为：4，
设两个正方形的边长分别为：
，
，
则根据勾股定理得：
，
即两个正方形面积的和为16．
故答案为：D．
【分析】根据半圆的面积求出半径，即得直角三角形的斜边，然后利用勾股定理即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 ．
【答案】4：3
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，
故答案为4：3．
【分析】根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
12．函数：y=中，自变量x的取值范围是
【答案】x≠﹣1
【解析】【解答】解：根据题意可得x+1≠0；
解可得x≠﹣1；
故答案为x≠﹣1．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解可得答案．
13．如图，在长方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若，，则CO的长为 .
【答案】2
【解析】【解答】解：∵
∴
又∵长方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
∴O为AC，BD的中点，且AC=BD，
∴
∴为等边三角形
∴
∵四边形ABCD是长方形
∴AC、BD相等且互相平分
∴
故答案为：2.
【分析】根据邻补角的性质得∠AOB=60°，根据矩形的性质得，OA=OB=OC=OD，推出△AOB为等边三角形，得到OA=AB=2，据此解答.
14．如图，点P是的平分线上一点，于B，且，，，则的面积是 .
【答案】18
【解析】【解答】解：过P作于D，
点P是的平分线上一点，于B，
，
，
，
在与中，，
≌，
，
，
故答案为：18.
【分析】过P作PD⊥AC于D，根据角平分线的性质可得PD=PB=4，利用勾股定理求出CD，根据AD=AC-CD可得AD，证明△APD≌△APB，得到AB=AD=9，然后根据三角形的面积公式进行计算.
15．在 ABCD中，∠B＝100°，则∠D＝ .
【答案】100°
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝100°.
故答案为：100°.
【分析】直接根据平行四边形的对角相等进行解答即可.
16．如图，在中，，点分别在边上，连接，若，且是等边三角形，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，在FA上截取FG=EC，连接DG，
∵是等边三角形，
∴，DF=FE
∴
∵
∴∠C=60°
∴
∴
∴
∴DG=CF，
∴
∴AG=DG
过G作GH⊥AB于H
AD=AB-DB=15-6=9
AH=
在Rt△AHG中，AG=2HG，
.
故答案为：.
【分析】如图所示，在FA上截取FG=EC，连接DG，过G作GH⊥AB于H，先证明，由全等性质得出DG=CF，再由等腰三角形的性质得出AG=DG，故在Rt△AHG中，利用勾股定理求出CF即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在Rt△ABF中，∠BAF=90°，∠F=30°，E，D分别是AF，BF的中点，延长ED到点C，使得CD=2DE，连接CB．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DE=，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵E，D分别是AP，BF的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE∥AB且2DE=AB．
∵CD=2DE，
∴AB= CD．
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠BAF=90°，D是斜边BF的中点，
∴AD=BF=DF= BD，
∵∠F=30°，∠BAF=90°，
∴∠DBA=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
由(1)可知，AD=DF=BD，DE∥AB，
∴∠DEF=∠BAF=90°，
∴CE⊥AF．
∵∠F=30°，
∴CD=DF=2DE=2，
∴EF==3，
∵E是AF的中点，
∵AE=EF=3，
∴菱形ABCD的面积=CD·AE=2×3=6
【解析】【分析】（1）利用已知可证得DE是△ABF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到DE∥AB且2DE=AB，由此可证得AB=CD，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形；再利用直角三角形的性质可证得AD=BF=DF= BD，可推出△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可知AD=AB，利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用菱形的性质可得到AD=CD，由(1)可知，AD=DF=BD，DE∥AB，利用平行线的性质可知∠DEF=∠BAF=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出DF的长；再利用勾股定理求出EF的长，即可得到AE的长，然后利用菱形的面积公式求出菱形ABCD的面积.
18．如图所示，在中，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为t秒（）．过点作于点F，连接．
（1）求证：；
（2）四边形可能成为菱形吗？如果可能，求出相应的t值；如果不可能，说明理由．
【答案】（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
（2）解：能； 理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB==5，
∴AC=2AB=10，
∴AD=AC-DC=10-2t，
若使△DEF能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∴t=10-2t，
∴t=，
即当t=时，△DEF为等边三角形．
【解析】【分析】（1）由题意可得DC=2t，AE=t， 根据含30°角的直角三角形的性质可得DF=
CD=t，即得AE=DF；
（2）能为菱形，理由： 易证四边形AEFD为平行四边形， 根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AB=10， 从而求出 AD=AC-DC=10-2t， 当AE=AD时平行四边形AEFD为菱形 ，可得t=10-2t， 求出t值即可.
19．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
【答案】（1）证明：四边形是矩形
与相等且互相平分
关于的对称图形为
，
四边形是菱形
（2）解：作于，交于，则如图所示：
沿所在直线折叠，得到
，
在中，
即的最小值为.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得OC=OD，根据轴对称的性质可得OD=ED，EC=OC，推出OD=ED=EC=OC，然后结合四边相等的四边形是菱形进行证明；
（2）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，根据折叠的性质可得∠DCE=∠DCO，PE=PO，则PE+PQ=OQ，易得∠DCE=30°，∠OCQ=60°，∠COQ=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CQ，利用勾股定理求出OQ，据此解答.
20．某商店五月份销售A型电脑的总利润为4320元，销售B型电脑的总利润为3060元，且销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍，已知销售一台B型电脑比销售一台A型电脑多获利50元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为（x+50）元，
根据题意得：，
解得x=120．
经检验，x=120是原方程的解，
则x+50=170．
答：每台A型电脑的利润为120元，每台B型电脑的利润为170元；
（2）解：设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为y元，
据题意得，y=120a+170（100-a），
即y=-50a+17000，
100-a≤2a，
解得a≥，
∵y=-50a+17000，
∴y随a的增大而减小，
∵a为正整数，
∴当a=34时，y取最大值，此时y=-50×34+17000=15300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元．
【解析】【分析】（1）设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为（x+50）元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为y元，根据题意列出函数解析式y=120a+170（100-a），再利用一次函数的性质求解即可。
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=2x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）求点A，B的坐标.
（2）若P是直线x=-2上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，-4）；
（2）解：存在。
如图，
AB=，
∵P是x=-2上的一个动点，
∴P（-2，t），
①当AP为对角线时，AP⊥BQ，
∴P（-2，0），Q（0，4）；
②当BP为对角线时，且P在x轴上方时，
则AP==2，
解得t=2，∴P（-2，2），
∴Q（-4，-2）；
③当BP为对角线时，且P在x轴下方时，
则AP==2，
∴t=-2，P（-2，-2），
由图可得Q（-4，-6），
∴ 点Q的坐标为(0，4)，(-4，-2)，(-4，-6)或(4， )；
④作AB的垂直平分线交 x=-2于一点P，然后再以A、B为圆心，以AP为半径画弧交于一点Q，
则P（-4，），Q (4， ) .
【解析】【分析】（1）分别令x=0，y=0，求出直线l：y=2x-4与x轴交点 A、B坐标即可；
（2）分四种情况讨论，即①当AP为对角线时，AP⊥BQ，②当BP为对角线时，且P在x轴上方时，
③当BP为对角线时，且P在x轴下方时，④作AB的垂直平分线交x=-2于一点P，然后再以A、B为圆心，以AP为半径画弧交于一点Q，分别根据菱形的性质，结合运用勾股定理求解即可.
22．如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM.AE为△ABM边BM的中线，AF⊥AB，EG⊥GD，延长FO交AB于点N.
（1）若BM＝4，MC＝6，AC＝10，求AM的长度：
（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝2FG.
【答案】（1）解：∵BM＝4，AB＝AM，AE为△ABM边BM的中线，
∴BE＝ME＝2，
∴EC＝EM+MC＝2+6＝8，
∴AE＝ ，
∴AM＝ ；
（2）解：如图，过点E作EH⊥AF于H，
∵AB∥CD，AF⊥AB，
∴∠BAO＝∠FCO，∠ANO＝∠CFO，AF⊥CD，
∵点O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∴△ANO≌△CFO（AAS），
∴AN＝CF，
∵∠ACB＝45°，AE⊥EC，
∴AE＝EC，
∵EH⊥AF，EG⊥GD，AF⊥CD，
∴四边形EHFG是矩形，
∴∠HEG＝∠AEC＝90°，
∴∠AEH＝∠CEG，
又∵∠AHE＝∠EGC＝90°，
∴△AEH≌△CEG（AAS），
∴AH＝GC，EH＝EG，
∴四边形EHFG是正方形，
∴HF＝FG，
∴AN+AF＝FC+AH+HF＝FC+CG+FG＝2FG.
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BE＝ME＝2，进而求得EC的值，然后在Rt△ACE、Rt△AEM中，应用勾股定理求解即可；
（2）过点E作EH⊥AF于H，由平行线的性质可得∠BAO＝∠FCO，∠ANO＝∠CFO，根据线段中点的概念可得AO＝CO，证明△ANO≌△CFO，得到AN＝CF，推出四边形EHFG是矩形，则∠AEH＝∠CEG，进而证明△AEH≌△CEG，得到AH＝GC，EH＝EG，推出四边形EHFG是正方形，接下来结合正方形的性质以及线段的和差关系证明即可.
23．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G.
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120 ，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60 （角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60 ，
∴∠MCO=90 -60 =30 ，∠NCO=90 -60 =30 ，
∴∠MCN=30 +30 =60 ，
∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；
【解析】【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断.(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题.
24．在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且分别平分∠DAB，∠ABC。
（1）请求出∠AOB的度数，写出AD，AB，BC之间的等量关系，并给予证明。
（2）设点P为对角线AC上一点，PB=5，若AD+BC=16，四边形ABCD的面积为 ，求AP的长。
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AC，BD分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA= (∠DAB+∠ABC) =90°，
∴∠AOB=90°（3分）
AD，AB，BC之间的等量关系为AD=AB=BC
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，
∴AD=AB=BC
（2）解：∵AD=BC，AD+BC=16，
∴AD=BC=AB=8，
①当∠ABC>90°时，如图1，过点D作DE⊥AB，
∵四边形ABCD的面积为32 ，
∴DE=4 ，
∴AE= =4，
∴点E为AB的中点，BD= =8，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠BAC=30°，
∴OB=4，OA=4 ，
而PB=5，
∴OP=3，
∴AP=4 +3或4 -3
②当∠ABC<90°时，如图2，按照上面的推理发现OB=4 >5，
所以这样的点P不存在，故排除。
综上所述，AP的长为4 +3或4 -3
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对边平行，可证得AD∥BC，∠DAB+∠ABC=180°，再利用角平分线的定义，可证得∠AOB=90°；利用平行四边形的性质及平行线的性质，可证得AD=BC，∠ACB=∠BAC， 再利用等腰三角形的性质，可得到AB=BC，据此可推出AD，AB，BC之间的等量关系。
（2）由题意可知AD，BC，AB的长，再分情况讨论：①当∠ABC>90°时，如图1，过点D作DE⊥AB，利用平行四边形的面积公式及勾股定理求出DE，AE，BD的长，由此可证得△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理求出OB，OA的长，继而可求出AP的长；②当∠ABC<90°时，如图2，由题意可知这样的点P不存在，即可求解。
25．如图1，边形 为菱形，点 为对角线 上的一个动点，连接 并延长交 于点 ，连接 .
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，且 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCE=∠DCE，BC=CD，AB∥CD，
∴∠AFD=∠CDE，
∵BC＝CD，∠BCE＝∠DCE，CE＝CE
∴△BCE≌△DCE，
∴∠CBE=∠CDE，
∵∠AFD=∠CDE，
∴∠AFD=∠CBE.
（2）解：∵DE=CE；
∴∠ EDC=∠ ECD
由（1）知∠EDC=∠ EBC，∠ CAD=∠ CAB，
设∠EDC=∠ ECD=∠ CBE=x；
∵AB∥CD，
∴∠DCB=∠CBF=2x，
∵BE⊥AF，
∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=x+2x=3x=90°，则x=30°；
∴∠DAB=60°.
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出∠BCE=∠DCE，BC=CD，AB∥CD，推出∠AFD=∠CDE，证△BCE≌△DCE，推出∠CBE=∠CDE即可.（2）由（1）可知，∠EDC=∠EBC，通过DE=EC从而得出∠ DCA=30°，从而得出答案
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