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苏科版2024—2025学年七年级下册期中核心考点专练卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过直线外一点画与已知直线平行的直线（ ）
A．有且只有一条； B．有两条；
C．不存在； D．无数条。
2．已知，则等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．下列三个命题，①对顶角相等：②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4． 如图，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为（ ）
A．60°和135° B．60°和105°
C．105°和45° D．以上都有可能
6．已知一个三角形的两条边长分别为4和6，则第三条边的长度不能是（ ）
A．4 B．7 C．11 D．3
7．我们知道：若am＝an（a＞0且a≠1），则m＝n.设5m＝3，5n＝15，5p＝75.现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．若不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＜4 C．a≤4 D．a≥4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 ．
12．一副三角板按如图所示叠放在一起，点C为直角顶点，边AB和边DE所在的直线交于点P，若固定三角板ABC不动，改变三角板CDE的位置（其中点C位置始终不变），则当∠APD的度数为 时，DE∥AC．
13．如图是某公园里一处矩形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 ．
14．已知，则的值是
15．已知a，b都是有理数，观察表中的运算，则m＝ ．
a，b的运算 a+b a﹣b
运算的结果 0 4 m
16．已知 ，点 在 的内部， 与 关于 对称， 与 关于 对称， .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）x﹣4≥2（x+2）；
（2） .
18．如图，已知 ， .
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 平分 ， 于点 ， ，求 的度数.
19．将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中，，，）设.
（1）若，说明；
（2）将三角形CDE绕点C顺时针转动，若，求的度数.
20．已知：如图，点D、E、G分别是边BC、AB和AC上的点，ADEF，点F在BC上，．求证：
（1）ABDG；
（2）平分．
21．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；
（2）如果要使水面上升到55cm，应放入大球、小球各多少个？
22．按要求解答下列各小题．
（1）如图，在网格图中，把三角形ABC按箭头指示的方向平移，并使点A移动到箭头标示的格点处，请你画出平移后的三角形；
（2）若和是方程ax＋by＝6的两组解，求a，b的值．
23．甲、乙两个长方形的边长如图所示(m>0)，其面积分别为S1，S2
（1）请比较S1和S2的大小；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积(用含m的代数式表示)
24．某中学初一年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人.
（1） 型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A型车需要1000元，一辆8型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少.
25．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题：
（1）求一张凳子中凳脚、凳面的高度；
（2）当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？
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苏科版2024—2025学年七年级下册期中核心考点专练卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过直线外一点画与已知直线平行的直线（ ）
A．有且只有一条； B．有两条；
C．不存在； D．无数条。
【答案】A
【解析】【解答】解：由平行公理可知， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
故答案为：A.
【分析】根据平行公理即可求得.
2．已知，则等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：设a+2b=4为①式，3a+2b=8为②式，用②-①得2a=4，解得a=2. 用a=2代入①式，解得b=1.所以a+b=2+1=3.C符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查利用加减消元法解二元一次方程组，观察题目，两个方程均包含2b项，二式相减即可快速实现消元.
3．下列三个命题，①对顶角相等：②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解： ①对顶角相等，正确，是真命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 ，正确，是真命题；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ，正确，是真命题；
故答案为：D.
【分析】根据对顶角相等、平行线的性质及垂线的性质逐一判断即可.
4． 如图，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A选项不符合题意；
B、∵∠3=∠4，
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），故B选项符合题意；
C、∵∠5=∠D，
∴AD∥BC （内错角相等，两直线平行），故C选项不符合题意；
D、∵∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，逐项分析即可求解.
5．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为（ ）
A．60°和135° B．60°和105°
C．105°和45° D．以上都有可能
【答案】D
【解析】【解答】解：如图
当∥时，；
当∥时，；
当∥时，∵，
∴；
当∥时，∵，
∴．
故选：D．
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，画出图形，由平行线的性质，求得，再由∥，得到，结合∥，利用，即可求解.
6．已知一个三角形的两条边长分别为4和6，则第三条边的长度不能是（ ）
A．4 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 ，满足任意两边之和大于第三边；
B、 ，满足任意两边之和大于第三边；
C、 ，不满足任意两边之和大于第三边；
D、 ，满足任意两边之和大于第三边；
故答案为：C．
【分析】根据三角形的构成条件，任意两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，即可得出答案．
7．我们知道：若am＝an（a＞0且a≠1），则m＝n.设5m＝3，5n＝15，5p＝75.现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】【解答】解：∵5m＝3，
∴5n＝15＝5×3＝5×5m＝51+m，
∴n＝1+m，
∵5p＝75＝52×3＝52+m，
∴p＝2+m，
∴p＝n+1，
①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，故此结论正确；
②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，故此结论错误；
③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）
＝1+m2+2m﹣2m﹣m2
＝1，故此结论正确；
故正确的是：①③.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系.
8．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】设该物品的价格是x钱，共同购买该商品的由y人，
依题意可得
故答案为：B
【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该商品的由y人，根据题意每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱列出二元一次方程组.
9．如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°．
∵∠FDE=30°，
∴∠ADF=90°﹣30°=60°．
∵BC∥DF，
∴∠B=∠ADF=60°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠ADF=90°﹣30°=60°，再利用平行线的性质可得∠B=∠ADF=60°。
10．若不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＜4 C．a≤4 D．a≥4
【答案】C
【解析】【解答】，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵不等式组的解集是，
∴a≤4．
故答案为：C．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】-2＜a≤-1
【解析】【解答】解：，
解①得：x＞2，
解②得：x＜a+7，
∵不等式组只有三个整数解，
∴整数解一定是3，4，5．
根据题意得：5＜a+7≤6，
解得：-2＜a≤-1．
故答案为：-2＜a≤-1．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再结合“不等式组只有三个整数解”，可得5＜a+7≤6，最后求出a的取值范围即可。
12．一副三角板按如图所示叠放在一起，点C为直角顶点，边AB和边DE所在的直线交于点P，若固定三角板ABC不动，改变三角板CDE的位置（其中点C位置始终不变），则当∠APD的度数为 时，DE∥AC．
【答案】
【解析】【解答】解：三角板CDE转动到DE∥AC的情况，如图
，
DE∥AC，
，
故答案为：．
【分析】先证明DE∥AC，可得。
13．如图是某公园里一处矩形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 ．
【答案】198米
【解析】【解答】根据题意，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长米
故答案为：198米．
【分析】根据已知得出此图形可分割为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD-2）2，求出即可。
14．已知，则的值是
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用幂的乘方和同底数幂的除法可得，再将，代入计算即可。
15．已知a，b都是有理数，观察表中的运算，则m＝ ．
a，b的运算 a+b a﹣b
运算的结果 0 4 m
【答案】-8
【解析】【解答】解：根据表格，可得，
解方程组，得 ，
则．
故答案为：-8．
【分析】由表格可得，解之得a、b值，再代入计算即可.
16．已知 ，点 在 的内部， 与 关于 对称， 与 关于 对称， .
【答案】60
【解析】【解答】解：如图：
∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
故答案为60°．
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）x﹣4≥2（x+2）；
（2） .
【答案】（1）解：x﹣4≥2（x+2），
去括号，得x﹣4≥2x+4，
移项，合并同类项，得﹣x≥8，
则x≤﹣8，
将解集表示在数轴上如下：
；
（2）解： ，
去分母，去括号得3x﹣3＜8x﹣10，
移项，得3x﹣8x＜﹣10+3，
合并同类项，得﹣5x＜﹣7，
则 ，
将解集表示在数轴上如下：
.
【解析】【分析】（1）根据一元一次不等式的解题步骤“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”可求得不等式的解；再在数轴上根据“≤”实心向左可将解集在数轴上表示出来；
（2）根据一元一次不等式的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”可求得不等式的解；再在数轴上根据“＞”空心向右可将解集在数轴上表示出来.
18．如图，已知 ， .
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 平分 ， 于点 ， ，求 的度数.
【答案】（1）结论：AC∥EF.
理由：∵ ，
∴AD//CE，
∴∠CAD=∠ACE，
∵ ，
∴ ，
∴AC∥EF；
（2）解：∵ 平分 ， ，
∴∠ACD=∠ACE=40°，
∵∠CAD=∠ACE，
∴∠CAD=40°，
∵AD∥EC，AE⊥EC，
∴∠BAC=∠AFE=90°，
∴∠BAD=90°-40°=50°.
【解析】【分析】（1）结论：AC∥EF；理由：由同位角相等两直线平行可得AD∥CE，根据两直线平行内错角相等可得∠CAD=∠ACE，由等量代换可得∠ACE+∠E=180°，然后根据同旁内角互补两直线平行可求解；
（2）由角平分线定义和平行线的性质可求得∠CAD的度数，再根据直角的构成∠BAC=∠BAD+∠CAD可求解.
19．将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中，，，）设.
（1）若，说明；
（2）将三角形CDE绕点C顺时针转动，若，求的度数.
【答案】（1）解：如图①中，
∵∠，，
∴∠ACE=∠A，
∴；
（2）解：如图②中，当时，则，
；
如图③中，当时，则，
.
综上所述，的值为15°或165°.
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到∠ACE=∠A，利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）分情况画出图形：如图②利用平行线的性质可证得∠BCE=∠E=45°，再根据α=∠ACE=∠ACB-∠BCE，代入计算求出α的值；如图③，利用平行线的性质可证得∠BCD=∠D=90°，再根据α=∠ACE=360°-∠ACB-∠ECD-∠BCD，代入计算求出α的值；综上所述可得到符合题意的α的值.
20．已知：如图，点D、E、G分别是边BC、AB和AC上的点，ADEF，点F在BC上，．求证：
（1）ABDG；
（2）平分．
【答案】（1）证明：，
．
，
．
．
（2）证明：，
．
，
．
平分．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，再结合可得，所以AB//DG；
（2）根据AB//DG可得，再结合可得，所以DG平分∠ADC。
21．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；
（2）如果要使水面上升到55cm，应放入大球、小球各多少个？
【答案】（1）2；3
（2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有
3x+2y=55-31，即3x+2y=24，
∵x，y都是整数，
∴x=0，y=12；
x=2，y=9；
x=4，y=6；
x=6，y=3；
x=8，y=0．
答：应放入大球0个，小球12个，或放入大球2个，小球9个，或放入大球4个，小球6个，或放入大球6个，小球3个，或放入大球8个，小球0个．
【解析】【解答】解：（1）（37-31）÷3
=6÷3
=2（cm），
（37-31）÷2
=6÷2
=3（cm），
答：放入一个小球水面升高 2cm，放入一个大球水面升高 3cm；
故答案为：2，3．
【分析】（1）根据题干中小球的数量与水位的关系列出算式求解即可；
（2）设应放入大球x个，小球y个，根据题意列出方程3x+2y=24，再求解即可。
22．按要求解答下列各小题．
（1）如图，在网格图中，把三角形ABC按箭头指示的方向平移，并使点A移动到箭头标示的格点处，请你画出平移后的三角形；
（2）若和是方程ax＋by＝6的两组解，求a，b的值．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：把和代入ax＋by＝6，
得：，
解得：．
【解析】【分析】（1）先根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）将和代入方程ax＋by＝6可得，再利用加减消元法求出a、b的值即可。
23．甲、乙两个长方形的边长如图所示(m>0)，其面积分别为S1，S2
（1）请比较S1和S2的大小；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积(用含m的代数式表示)
【答案】（1）解：S1=(m+1)(m+ 5)
= m2+6m+5，
S2=(m+2)(m+4)
=m2+6m+8，
因为5<8
所以S1即甲的面积小于乙的面积
（2）解：甲．乙两个长方形的周长和为：2(m+1+m+5+m+4+m+2) ．
=8m+24
正方形的边长为：(8m+24)÷4
=2m+6
该正方形的面积为：(2m+6)2
=4m2+24m+36
答：该正方形的面积为：4m2+24m+36。
【解析】【分析】（1）利用矩形的面积公式，分别求出S1和S2，然后比较大小即可.
（2）先求出两个长方形的周长和，然后用两个长方形的周长和÷4，可得到正方形的边长；然后求出正方形的面积即可.
24．某中学初一年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人.
（1） 型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A型车需要1000元，一辆8型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少.
【答案】（1）解：设每辆A型车可载学生x人，每辆B型车可载学生y人，
依题意，得： ，
解得： .
答：每辆A型车可载学生30人，每辆B型车可载学生40人.
（2）解：设租A型车m辆，租B型车n辆，
依题意，得：30m+40n＝350，
解得：m＝ .
∵m，n均为正整数，
∴ ， ， .
当m＝9，n＝2时，租车费用为1000×9+1200×2＝11400（元）；
当m＝5，n＝5时，租车费用为1000×5+1200×5＝11000（元）；
当m＝1，n＝8时，租车费用为1000×1+1200×8＝10600（元）.
∵11400＞11000＞10600，
∴租1辆A型车、8辆B型车.
【解析】【分析】（1）
设每辆A型车可载学生x人，每辆B型车可载学生y人，根据2辆A人数+1辆B人数=100，1辆A人数+2辆B人数=110，列出方程组，解出即得.
（2）
设租A型车m辆，租B型车n辆，根据m辆A人数+n辆B人数=350，可得
30m+40n＝350 .
即得 m＝ ，根据m，n均为正整数，可求出方程的整数解有三组，分别计算出相对应的租车费用即得答案.
25．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题：
（1）求一张凳子中凳脚、凳面的高度；
（2）当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？
【答案】（1）解：设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是，
根据题意得：，
解得：．
答：一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是；
（2）解：根据题意得：
答：总高度是99.2厘米．
【解析】【分析】（1）设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是，由题意得等量关系：①一张凳子腿的高度+3张凳面的高度=，②一张凳子腿的高度+5张凳面的高度=，根据等量关系列出关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）根据一张凳子腿的高度+20张凳面的高度即可求出20张塑料凳整齐地叠放在一起时的总高度．
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