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第四章 因式分解 单元综合巩固卷
一、单选题
1．分解因式： （ ）
A． B．
C． D．
2．将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知有一个因式为，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
4．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
5．下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．分解因式m﹣ma2的结果是（ ）
A．m（1+a）（1﹣a） B．m（1+a）2
C．mm（1﹣a）2 D．（1﹣a）（1+a）
7． 下列分解因式正确的是（ ）
A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．x2+y2=（x+y）（x﹣y）
C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16 D．m2+m+ =（m+ ）2
8．257﹣512能被下列四个数①12；②15；③24；④60整除的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
10．已知正整数a，b，c，d满足，且，下列几个说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有5组解．其中错误说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．分解因式： ．
12．分解因式y3﹣2y2+y＝ .
13．夏老师发现，两位同学将一个二次三项式分解因式时，聪聪同学因看错了一次项而分解成3(x-1)·(x-9)，江江同学因看错了常数项而分解成3(x-2)(x-4)．那么，聪明的你，通过以上信息可以知道，原多项式应该是被因式分解为 .
14．因式分解：27a3﹣3a＝ .
15．（-2）2018+（-2）2019= .
16．阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ．
三、综合题
17．先分解因式，再求值：
（1）a4﹣4a3b+4a2b2，其中a=8，b=﹣2；
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2，其中a=3.5，b=1.5．
18．因式分解：
（1）（a+1）x﹣a﹣1
（2）ax3﹣2ax2y+axy2．
19．综合题
（1）已知x = ，y = ，求 （n为正整数）的值；
（2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，72-52=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.
20．因式分解：
（1）a2﹣1+b2﹣2ab；
（2）（p4+q4）2﹣（2p2q2）2．
21．分解因式：
（1）
（2）
22．因式分解：
（1）
（2）
23． 因式分解：
（1）－a3+2a2－a；
（2）x4－1 ．
24．
利用因式分解计算或说理：
（1）523-521能被120整除吗？
（2）817-279-913能被45整除吗？
25．阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）.
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式.这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子.所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示.
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”.
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24.
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值.
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第四章 因式分解 单元综合巩固卷
一、单选题
1．分解因式： （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】首先提取公因式x2，然后利用平方差公式进行分解.
2．将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．已知有一个因式为，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】D
4．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
【答案】C
5．下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、右边不是积的形式，该选项不符合题意；
B、 ，该选项不符合题意；
C、右边不是积的形式，该选项不符合题意；
D、 ，是因式分解，符合题意．
故答案为：D．
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
6．分解因式m﹣ma2的结果是（ ）
A．m（1+a）（1﹣a） B．m（1+a）2
C．mm（1﹣a）2 D．（1﹣a）（1+a）
【答案】A
【解析】【解答】解：原式=m（1﹣a2）=m（1+a）（1﹣a）．
故选A
【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．
7． 下列分解因式正确的是（ ）
A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．x2+y2=（x+y）（x﹣y）
C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16 D．m2+m+ =（m+ ）2
【答案】D
【解析】【解答】因为x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x-1），所以A错误；因为x2+y2不能分解因式，所以B错误；因为（a+4）（a﹣4）=a2﹣16是整式的乘法运算，不是因式分解，所以C错误；因为m2+m+ =（m+ ）2，所以D正确，故答案为：D.
【分析】根据把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；判断即可.
8．257﹣512能被下列四个数①12；②15；③24；④60整除的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵原式=512（52﹣1）=24×512=120×511．
∴257﹣512能被①12；②15；③24；④60整除．
故答案为：D．
【分析】先用提公因式法分解，再计算括号里面的有理数的混合运算，把结果写成120×511，由于120是12，15，24，60的倍数，从而得出答案。
9．已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，
x2+4xy+4y2+2x2﹣4x+2＝0，
（x+2y）2+2（x﹣1）2＝0，
则x+2y＝0，x﹣1＝0，
解得，x＝1，y＝﹣ ，
则x+y＝ ，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式把方程的左边化为平方和的形式，根据偶次方的非负性计算即可．
10．已知正整数a，b，c，d满足，且，下列几个说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有5组解．其中错误说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
二、填空题
11．分解因式： ．
【答案】
12．分解因式y3﹣2y2+y＝ .
【答案】y（y﹣1）2
【解析】【解答】解：y3﹣2y2+y，
＝y（y2﹣2y+1），
＝y（y﹣1）2.
故答案为：y（y﹣1）2.
【分析】先提取公因式y，再利用完全平方公式继续分解即可得答案.
13．夏老师发现，两位同学将一个二次三项式分解因式时，聪聪同学因看错了一次项而分解成3(x-1)·(x-9)，江江同学因看错了常数项而分解成3(x-2)(x-4)．那么，聪明的你，通过以上信息可以知道，原多项式应该是被因式分解为 .
【答案】3(x-3)2
【解析】【解答】解：∵3(x-1)(x-9)=3(x2-10x+9)=3x2-30x+27，3(x-2)(x-4) =3(x2-6x+8)=3x2-18x+24，
∴原多项式为3x2-18x+27，
∴3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2.
故答案为：3(x-3)2.
【分析】将3(x-1)(x-9)按多项式的乘法法则展开可得二次项及常数项；将3(x-2)(x-4)按多项式的乘法法则展开可得二次项及一次项，从而得出原多项式，进而将原多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式进行第二次分解可得答案.
14．因式分解：27a3﹣3a＝ .
【答案】3a(3a+1)(3a﹣1)
【解析】【解答】原式＝3a(9a2﹣1)＝3a(3a+1)(3a﹣1)，
故答案为：3a(3a+1)(3a﹣1)
【分析】先根据提公因式法提公因式，再利用平方差公式分解即可.
15．（-2）2018+（-2）2019= .
【答案】-
【解析】【解答】解：原式= = =- ．
故答案为：- ．
【分析】根据乘方的意义把原式变形为： ，然后提公因式 ，再计算即可求解．
16．阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ．
【答案】-450
【解析】【解答】解：∵多项式含有因式和，
∴ 设=
∵ 上式为恒等式
∴ 当x=1时，，即：1+m+n-16=0
当x=2时，，即：16+4m+2n-16=0
∴
解得：m=-15，n=30
∴ mn=-450
故答案为：-450.
【分析】本题考查多项式的因式分解的应用。根据题目，列出关于m，n的方程组，是解题关键。
三、综合题
17．先分解因式，再求值：
（1）a4﹣4a3b+4a2b2，其中a=8，b=﹣2；
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2，其中a=3.5，b=1.5．
【答案】（1）解：原式=a2（a2﹣4ab+4b2）
=a2（a﹣2b）2，
当a=8，b=﹣2时，原式=82×[8﹣2×（﹣2）]2=9216
（2）解：原式=（a2+b2+2ab）（a2﹣b2﹣2ab）
=（a+b）2（a﹣b）2，
当a=3.5，b=1.5时，原式=（3.5+1.5）2×（3.5﹣1.5）2=100．
【解析】【分析】（1）先提公因式a2，再利用完全平方公式分解得到原式=a2（a﹣2b）2，然后把a与b的值代入计算即可；（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解得到原式=（a+b）2（a﹣b）2，然后把a与b的值代入计算即可．
18．因式分解：
（1）（a+1）x﹣a﹣1
（2）ax3﹣2ax2y+axy2．
【答案】（1）解：（a+1）x﹣a﹣1
=（a+1）x﹣（a+1）
=（a+1）（x﹣1）；
（2）解：ax3﹣2ax2y+axy2
=ax（x2﹣2xy+y2）
=ax（x﹣y）2
【解析】【分析】（1）直接提取公因式（a+1），进而得出答案；（2）直接提取公因式ax，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
19．综合题
（1）已知x = ，y = ，求 （n为正整数）的值；
（2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，72-52=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.
【答案】（1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- ）2n=25［（-5）×（- ）］2n=25
（2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n.
验证：（2n+1)2-（2n-1)2＝[(2n+1)+（2n-1)] [(2n+1)-（2n-1)] =4n×2=8n
【解析】【分析】（1）将x、y的值代入代数式，得出（-5）2×（-5）2n×（- 1 5 ）2n，再利用同底数幂的乘法法则及积的乘方法则计算即可。
（2）根据各个算式可知，左边为两个连续奇数的平方差，右边是8的倍数，根据此规律，即可得出第n个等式为（2n+1)2-（2n-1)2=8n；再将等式的左边化简即可得证。
20．因式分解：
（1）a2﹣1+b2﹣2ab；
（2）（p4+q4）2﹣（2p2q2）2．
【答案】（1）解：a2﹣1+b2﹣2ab
=a2+b2﹣2ab-1
=（a-b）2-1
=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
（2）解：（p4+q4）2﹣（2p2q2）2
=（p4）2+2p4q4+（q4）2-4p4q4
=（p4）2-2p4q4+（q4）2
=（p4-q4）2
=[（p2+q2）（p2-q2）]2
=（p2+q2）2[（p+q）（p﹣q）]2
=（p2+q2）2（p+q）2（p﹣q）2．
【解析】【分析】（1）原式因式分解即可得出答案；
（2）根据原式利用分组分解法因式分解即可得出答案。
21．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用平方差公式可得原式=(a2+1)(a2-1)，再次利用平方差公式分解即可；
（2）首先提取公因式-x，然后利用完全平方公式分解即可.
22．因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=
（2）解：
=
=
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可；
(2)根据平方差公式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案。
23． 因式分解：
（1）－a3+2a2－a；
（2）x4－1 ．
【答案】（1）解：原式=－a（a2－2a+1）=－a（a－1）
（2）解：原式= （x2+1）（x2－1）=（x2+1）（x+1）（x－1）
【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式是 因式分解；由平方差公式和完全平方公式分解即可.
24．
利用因式分解计算或说理：
（1）523-521能被120整除吗？
（2）817-279-913能被45整除吗？
【答案】（1）解：中可以先提取520，则523-521=520（53-5）=520×120
（2）解：∵45可以分解为5×3×3，故只需说明817-279-913能分解为5×3×3即可. ∵817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13=328-327-326=326×（32-3-1）=326×5=324×32×5=324×45
【解析】【解答】（1） 在 523和521中可以先提取520，
则523-521=520（53-5）=520×120 ，
∴能被120整除.
（2） ∵45可以分解为5×3×3，
故只需说明817-279-913能分解为5×3×3即可，
∵817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13=328-327-326=326×（32-3-1）=326×5=324×32×5=324×45，
∴能被45整除.
【分析】（1）先提取公因数，再计算括号内的数，因为有一个因数是120，即可得出结论；
（2）把三项都统一化成成以3为底的乘方的形式，然后提取公因数，再计算括号内的数，因为能凑出一个公因数是45，即可得出结论；
25．阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）.
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式.这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子.所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示.
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”.
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24.
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值.
【答案】（1）解：y2﹣2y﹣24＝（y+4）（y﹣6）；
（2）解：若 ，此时
若 ，此时
若 ，此时
若 ，此时
若 ，此时
，此时
综上所述，若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，
m的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11.
【解析】【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；
（2）利用十字相乘法分解因式得出所有的可能.
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