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第10章 分式 单元质量检测卷
一、单选题
1．要使分式 有意义，x的取值范围满足（ ）
A． B． C． D．
2．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．1
3．无论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B．(x-1)2 C． D．
4．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的方程=的解是正整数，且k为整数，则k的值是（ ）
A．0 B．-2 C．0或6 D．-2或6
6．下列分式的变形正确的是（ ）
A．＝﹣ B．＝x+y
C． D．
7．某厂接受为四川灾区生产活动板房的任务，计划在 天内完成，若每天多生产 套，则 天完成且还多生产 套，问原计划每天生产多少套板房？设原计划每天生产 套，列方程式是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知x﹣ =3，则4﹣ x2+ x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．设，，，则三数，，中（ ）
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
二、填空题
11．关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
12．已知：分式的值为整数，则整数a有 ．
13．一项工程，甲队独做需a天完成，乙队独做需b天完成，问甲、乙两队合作，需 天完成.
14．分式方程 = 的解为x= ．
15．已知关于的分式方程．
（1）若此方程的解为，则 ．
（2）若此方程的解为正数，则的取值范围为 ．
16．若，，，则 ．
三、综合题
17．解答下面两题，并将结果在数轴上表示出来.
（1）解不等式
并把不等式组的解集在数轴上表示．
（2）解方程
．
18．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.5万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72.6万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
19．已知：．
（1）化简P；
（2）当a满足不等式组且a为整数时，求P的值．
20．某校为美化校园，计划对面积为1 800 m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成·已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元．至少应安排甲队工作多少天
21．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米．
（1）甲、乙两队各修道路多少米？
（2）实际修建过程中，甲队每天修的长度是乙队的倍，最终甲队完成的任务时间比乙队多2天，则甲队每天修道路多少米？
22．某公司生产的一种营养品信息如下表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出.若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
23．甲、乙两同学从家到学校的距离之比是 ，甲同学的家与学校的距离为 米，甲同学乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知公交车速度是乙同学骑自行车速度的 倍，甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到 分钟．
（1）求乙同学的家与学校的距离为多少米？
（2）求公交车的速度．
24．某商场经销A，B两款商品，若买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元.
（1）求A、B两款商品的单价；
（2）若对A、B两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件，求对A、B两款商品进行了几折销售？
（3）若对A商品进行5折销售，B商品进行8折销售，某顾客同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A、B两款商品各几件？
25．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
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第10章 分式 单元质量检测卷
一、单选题
1．要使分式 有意义，x的取值范围满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知：x-4≠0，
∴x≠4，
故答案为：A.
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
2．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
解得：，
故答案为：A．
【分析】根据分式的值为零的条件：分子为0，分母不等于0，可进行求解．
3．无论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B．(x-1)2 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、当x=±1时，x2-1=0，故此选项不符合题意；
B、当x=1时，（x-1）2=0，故此选项不符合题意；
C、由于分式中分母为0无意义，而分子为1，∴不可能为0，故此选项符合题意；
D、当x=-1时，，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据x的取值范围，看看x取何值时该式子为0，如果在x的取值范围内此代数式不能为0 ，那即是正确答案.
4．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．已知关于x的方程=的解是正整数，且k为整数，则k的值是（ ）
A．0 B．-2 C．0或6 D．-2或6
【答案】D
【解析】【解答】解：去分母：3(3-x)=kx，
去括号：9-3x=kx，
移项：(k+3)x=9，
系数化为1：x=，
当k=-2时，x=1，
当k=6时，x=1，
综上所述，k的值为 -2或6 .
故答案为：D.
【分析】将原方程去分母化为整式方程，去括号、移项、合并同类项、再将未知数系数化为1，x=，结合方程的解为正整数， 且k为整数， 分别试值即可解答.
6．下列分式的变形正确的是（ ）
A．＝﹣ B．＝x+y
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；
C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母及分式本身，三处的符号，同时改变其中的任意两处的符号，分式的大小不变，据此即可判断A；分式的分子、分母不含公因式的分式，就是最简分式，据此即可判断B、C；将分式的分子利用平方差公式分解因式，然后约分化简，据此即可判断D.
7．某厂接受为四川灾区生产活动板房的任务，计划在 天内完成，若每天多生产 套，则 天完成且还多生产 套，问原计划每天生产多少套板房？设原计划每天生产 套，列方程式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设原计划每天生产x套，则实际生产（30x+10）套，
∴依题意得 .
故答案为：B.
【分析】设原计划每天生产x套，则实际生产（30x+10）套，根据实际的生产总量除以实际每天的生产量=生产时间即可列出方程。
8．已知x﹣ =3，则4﹣ x2+ x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x﹣ =3，
∴x2﹣1=3x
∴x2﹣3x=1，
∴原式=4﹣ （x2﹣3x）=4﹣ = ．
故选：D．
【分析】所求式子后两项提取公因式变形后，将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值．
9．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，，，，
∴，故①正确
②∵
∴
∴
∵
故②正确
③ 由①②可得分别是以3和6为周期的数列
∵
当为奇数时：
上式
∵
∴
当为偶数时：
上式
∵
∴
∴ 对于任意正整数，都成立
故③正确.
故选：D．
【分析】
①按照规定，依次把代入求出a2，再代入求出a3，同理求出a4，a5即可
②根据，分别求出可以发现Tn是以6为周期的数列，且
，然后根据循环规律进行计算即可
③先根据①②得出：，再进行k是奇数还是偶数进行分类讨论，代入①②计算的结果，进行计算即可.
10．设，，，则三数，，中（ ）
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
【答案】C
二、填空题
11．关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
【答案】且
12．已知：分式的值为整数，则整数a有 ．
【答案】，1，2，4，5，7
【解析】【解答】解：，
∵分式的值为整数，∴或或，
解得：，，，，，.
故答案为 ：，1，2，4，5，7．
【分析】先把的分子分母因式分解为，然后约分，结果是.再由已知的值为整数，可知a-3=±1或±2或±4.然后分别求出每种情况下a的值即可.
13．一项工程，甲队独做需a天完成，乙队独做需b天完成，问甲、乙两队合作，需 天完成.
【答案】
【解析】【解答】这项工程可以看作是“1”，甲一天做 ，乙一天做 ，甲、乙合作一天做 ，所以，两队合作需要的天数为
1÷( )= .
【分析】本题是分式的直接运用.
14．分式方程 = 的解为x= ．
【答案】3
【解析】【解答】去分母得：2x﹣2=x+1，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故答案为：3
【分析】分式方程，先去分母，然后移项，化x前系数为1，解得x的值。
15．已知关于的分式方程．
（1）若此方程的解为，则 ．
（2）若此方程的解为正数，则的取值范围为 ．
【答案】（1）-4
（2）m＜-2且m≠-6
【解析】【解答】（1）解：将代入原方程得，解得：，
的值为-4，
故答案为：-4；
（2）解：解分式方程得：，
分式方程的解为正数，
且，即，且，解得：m＜-2且m≠-6，
故答案为：m＜-2且m≠-6．
【分析】（1）将x=1代入，再求出m的值即可；
（2）先求出分式方程的解，再根据题意列出不等式组，且，再求出m的取值范围即可。
16．若，，，则 ．
【答案】
三、综合题
17．解答下面两题，并将结果在数轴上表示出来.
（1）解不等式
并把不等式组的解集在数轴上表示．
（2）解方程
．
【答案】（1）解： ，
由①得：x＞-2，
由②得：x≥ ，
∴不等式组的解集为x≥ ，
在数轴上表示为：
（2）解：去分母得：x+2（x﹣2）=x+2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解
【解析】【分析】考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
18．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.5万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72.6万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【答案】（1）解：设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元，根据题意得：
解得∶，
经检验：是方程的解且符合题意．
答：甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元
（2）解：设甲种农机具最多能购买a件，则：
解得：
因为a为正整数，
所以甲种农机具最多能购买8件．
【解析】【分析】（1）先求出，再解方程即可；
（2）根据该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72.6万元，列不等式即可。
19．已知：．
（1）化简P；
（2）当a满足不等式组且a为整数时，求P的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
∴整数解，
∴．
【解析】【分析】（1）利用分式的加减乘除法则计算求解即可；
（2）利用不等式的性质求出 不等式组的解集为： ，再求出a=2，最后求解即可。
20．某校为美化校园，计划对面积为1 800 m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成·已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元．至少应安排甲队工作多少天
【答案】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是x(m2)，
根据题意得： ，解得：x=50，经检验得x=50是原方程的解 。
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100(m2)，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m2，50 m2
（2）解：设至少应安排甲队工作y天，根据题意得：0.4y+ ×0，25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天
【解析】【分析】 （1）设乙工程队每天能完成的绿化面积为x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化面积为2x平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设应安排甲工程队工作y天，则乙工程队工作天，根据总费用=0.4×甲工程队工作天数+0.25×乙工程队工作天数，再考虑总费用不超过8万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，取其范围内的最小值即可．
21．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米．
（1）甲、乙两队各修道路多少米？
（2）实际修建过程中，甲队每天修的长度是乙队的倍，最终甲队完成的任务时间比乙队多2天，则甲队每天修道路多少米？
【答案】（1）甲队修道路600米，乙队修道路400米
（2）甲队每天修道路60米
22．某公司生产的一种营养品信息如下表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出.若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【答案】（1）解：设乙食材每千克进价为 元，则甲食材每千克进价为 元，
由题意得 ，解得 .
经检验， 是所列方程的根，且符合题意.
（元）.
答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元
（2）解：①设每日购进甲食材 千克，乙食材 千克.
由题意得 ，解得
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克.
②设 为 包，则 为 包.
记总利润为 元，则
.
的数量不低于 的数量，
， .
， 随 的增大而减小。
当 时， 的最大值为2800元.
答：当 为400包时，总利润最大.最大总利润为2800元
【解析】【分析】（1） 设乙食材每千克进价为 元，则甲食材每千克进价为 元， 根据“ 用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”，构建方程求解即可；
（2） ①设每日购进甲食材千克，乙食材千克， 根据进货成本为18000元和含铁量相等列二元一次方程组求解即可；②设为包，把B的数量用含m的代数式表示， 设总利润为元，根据“利润=销售金额-进货成本-销售费用”列出函数式，结合 的数量不低于的数量求出m的范围， 根据一次函数的性质求最大值即可.
23．甲、乙两同学从家到学校的距离之比是 ，甲同学的家与学校的距离为 米，甲同学乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知公交车速度是乙同学骑自行车速度的 倍，甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到 分钟．
（1）求乙同学的家与学校的距离为多少米？
（2）求公交车的速度．
【答案】（1） 甲、乙两同学从家到学校的距离之比是 ，甲同学的家与学校的距离为 米，
乙同学的家与学校的距离 （米），
答：乙同学的家与学校的距离为 米；
（2）设乙同学骑自行车的速度为 米/分，则公交车的速度为 米/分．
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是方程的根．
，
答：公交车的速度为 米/分．
【解析】【分析】（1）根据题意列出乙同学的家与学校的距离的算式，进行计算即可；
（2） 设乙同学骑自行车的速度为x米/分，得出公交车的速度为2x米/分，根据题意列出分式方程，求出分式方程的解，即可求解.
24．某商场经销A，B两款商品，若买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元.
（1）求A、B两款商品的单价；
（2）若对A、B两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件，求对A、B两款商品进行了几折销售？
（3）若对A商品进行5折销售，B商品进行8折销售，某顾客同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A、B两款商品各几件？
【答案】（1）解：设A商品单价为x元，B商品单价为y元.
根据题意，得：
解得
所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.
（2）解：设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，则
解得a=0.8
经检验，a=0.8为原方程的解且符合题意
所以A、B两款商品进行了8折销售
（3）解：设顾客购买A商品m件，B商品n件.则
∵m、n都为正整数
∴①m=1,n=13
②m=3,n=8
③m=5,n=3
所以顾客购买A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件.
【解析】【分析】（1）设A商品单价为x元，B商品单价为y元，根据题中“买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元”可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，根据题中“用640元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件”可列出关于a的分式方程，求解即可；
（3）设顾客购买A商品m件，B商品n件，根据“同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元”可得关于m，n的二元一次方程，由m，n都为正整数讨论其所有可能性即可.
25．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少
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