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第9章 分式 单元同步练习卷
一、单选题
1．不改变分式 的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的有（ ）
①式子：从左到右的变形，属于因式分解；
②式子从左到右的变形，属于因式分解；
③分式的分子，分母同时除以分式的值不变；
④分式的值可能等于零．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．2
4．计算 的结果是（ ）.
A．2 B． C． D．－2
5．若关于x的方程 有增根，则m的值是（ ）
A． B． C．3 D．-3
6．若代数式1÷有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2且x≠-4 B．x≠2且x≠3
C．x≠2且 x≠-1且x≠-4 D．x≠-1且x≠3
7．点满足，那么点的位置可能是（ ）
A．x轴上所有的点 B．y轴上所有的点
C．除去原点后y轴上的所有点 D．除去原点后x轴上的所有点
8．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
10．若，则使p最接近的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
11．若分式的值为0，即 ．
12．北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营.小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：
出行方式 途径站点 路程
地铁 草桥—大兴新城—大兴机场 全程约43公里
公交 北京站—蒲黄榆—榴乡桥—大兴机场 全程约54公里
由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场.若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程: ．
13．若解分式方程产生增根，则它的增根是 ，这时 ．
14．清明缅怀英烈，某校计划组织540名学生外出祭奠．现有A，B 两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆(每辆车刚好满座)，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为
15．某学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程.设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 .
16．有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ．
三、综合题
17．某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 7 200
乙 3 200
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．
（1）乙商品的进价是多少？
（2）请你帮会计算出甲商品的进价及甲，乙商品的进货数量．
18．杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？
（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？
19．为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来小涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个．
（1）求第一批足球每个的进价是多少元？
（2）若商店将第一批足球以售价70元，第二批足球以售价80元全部售出，则其盈利多少元？
20．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式．
21．以“绿色生活，美丽家园”为主题的2019年中国北京世界园艺博览会(简称北京世园会)已拉开帷幕，讲述人与自然和谱共生的精彩故事，世园会甲工程队制作园艺造型300个与乙工程队制作园艺造型400个所用时间相等，乙工程队每天比甲工程队多制作10个园艺造型，求甲工程队每天制作园艺造型多少个？
两名同学所列的方程如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明同学所列方程中的x表示 ，小红同学所列方程中的y表 ；
（2）根据你选择的方程，求出甲工程队每天制作园艺造型多少个.
22．为鼓励物理兴趣小组开展实验项目，某学校决定购入A，B两款物理实验套盒，其中A款套盒单价是B款套盒单价的1.2倍，用9900元购买的A款套盒数量比用7500元购买的B款套盒数量多5个.
（1）求A，B两款物理实验套盒的单价分别是多少元/个
（2）若学校准备用不超过3400元的金额购买A，B两款物理实验套盒共20个，则至少要购买B款物理实验套盒多少个
23．苹果寓意“平平安安”．春节里，“开心水果店”第一次用800元购进一批糖心苹果，很快售完．该店立即又用1920元第二次购进同样品种的糖心苹果，已知第二次购进数量是第一次购进数量的3倍，且第二次的进货价比第一次的进货价每千克少了1元．
（1）求第一次所购进的苹果每千克多少元？
（2）店主在销售第一批苹果时，每千克的售价为8元，发现第一次购进的苹果有的损耗，但其他全部售完，售完之后购进第二批苹果．第二批苹果在购进后到售完的过程中，发现有的损耗，每千克售价比第一批的售价贵1元．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元，求y的最大值．
24．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲队单独完成这项工程需要时间比规定时间早25天，乙单独完成这项工程需要时间比规定时间多20天.若由甲乙两队先合作10天，剩下的工程由乙队单独做，正好在规定时间内完成（既没提前，也没延后）.
（1）求规定时间是多少天？
（2）乙队单独施工2天后，甲队开始加入合作，合作时，甲队的人数增加了10%，每个人的效率提高了3a%，同时乙队的人数增加了a%，每个人的效率提高了40%，结果合作20天完成了任务，求a的值（假设每队每人的效率相等）.
25．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： = = + =1+ ， = = + =2+ ，则 和 都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ；④
（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： = + ；
（3）应用：先化简 - ÷ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
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第9章 分式 单元同步练习卷
一、单选题
1．不改变分式 的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】不改变分式 的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，则分子分母要同时扩大10倍，即分式 = ，
故答案为：B.
【分析】只要将分子分母要同时扩大10倍，分式各项的系数就可都化为整数.
2．下列说法中，正确的有（ ）
①式子：从左到右的变形，属于因式分解；
②式子从左到右的变形，属于因式分解；
③分式的分子，分母同时除以分式的值不变；
④分式的值可能等于零．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
3．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解： 分式 的值为0，
由 可得：
由 可得：
故答案为：D
【分析】利用分式的值为0的条件列出不等式求解即可。
4．计算 的结果是（ ）.
A．2 B． C． D．－2
【答案】B
【解析】【解答】解：原式= = = .
故答案为： B.
【分析】先对括号内的分式进行计算，再对各分式的分子和分母进行因式分解，然后约分化简即得结果.
5．若关于x的方程 有增根，则m的值是（ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】A
【解析】【解答】解：由 得 ，
关于 的方程 有增根，
，
当 时， ，
解得 ，
故答案为：A.
【分析】先将分式方程转化为整式方程，再根据方程有增根，可得到x=3，再将x=3代入整式方程，可求出m的值.
6．若代数式1÷有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2且x≠-4 B．x≠2且x≠3
C．x≠2且 x≠-1且x≠-4 D．x≠-1且x≠3
【答案】C
【解析】【解答】解：依题意有：x-2≠0，x+1≠0，x+4≠0，
∴x≠2且 x≠-1且x≠-4，
故答案为：C.
【分析】根据分式有意义的条件和除数不能为0，可得出x-2≠0，x+1≠0，x+4≠0，然后解不等式即可解答.
7．点满足，那么点的位置可能是（ ）
A．x轴上所有的点 B．y轴上所有的点
C．除去原点后y轴上的所有点 D．除去原点后x轴上的所有点
【答案】D
8．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：原式 .
故答案为：D.
【分析】先对括号内的分式分别通分，然后约分化简即可得出结果.
9．若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
【答案】B
10．若，则使p最接近的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
=
=
=
=，
当n=4时，，
当n=5时，，
当n=6时，，
当n=7时，，
则，
故更接近；
故答案为：A.
【分析】先利用“裂项法“对已知分式变形化简，再分别将n取4，5，6和7代入计算，即可得出答案.
二、填空题
11．若分式的值为0，即 ．
【答案】
【解析】【解答】解：依题意得且，
．
故答案为：．
【分析】分式的值为零的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
12．北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营.小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：
出行方式 途径站点 路程
地铁 草桥—大兴新城—大兴机场 全程约43公里
公交 北京站—蒲黄榆—榴乡桥—大兴机场 全程约54公里
由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场.若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程: ．
【答案】
【解析】【解答】根据时间关系可得：
故答案为：
【分析】根据小贝比小京少用了半小时到达机场可列出方程.
13．若解分式方程产生增根，则它的增根是 ，这时 ．
【答案】；
14．清明缅怀英烈，某校计划组织540名学生外出祭奠．现有A，B 两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆(每辆车刚好满座)，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为
【答案】
15．某学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程.设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设小亮训练前的平均速度为x米/分，
则训练前需要分钟，训练后需要分钟，
根据训练后少用3分钟得：.
故答案为：.
【分析】根据题意用x表示训练前后分别需要的时间，根据训练前时间-训练后时间=3的等量关系，列出方程即可求得.
16．有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ．
【答案】
三、综合题
17．某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 7 200
乙 3 200
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．
（1）乙商品的进价是多少？
（2）请你帮会计算出甲商品的进价及甲，乙商品的进货数量．
【答案】（1）乙商品的进价是40元/件；（2）甲商品的进价：60元/件，甲商品的进货数量：120件，乙商品的进货数量：80件
18．杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？
（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？
【答案】（1）解：设动漫公司第一次购x套玩具，由题意得：
=10，
解这个方程，x=200
经检验x=200是原方程的根．
∴2x+x=2×200+200=600
答：动漫公司两次共购进这种玩具600套
（2）解：设每套玩具的售价y元，由题意得：
≥20%，
解这个不等式，y≥200
答：每套玩具的售价至少是200元
【解析】【分析】（1）设动漫公司第一次购x套玩具，那么第二次购进2x套玩具，根据第二次比第一次每套进价多了10元，可列方程求解．（2）根据利润=售价﹣进价，根据且全部售完后总利润率不低于20%，这个不等量关系可列方程求解．
19．为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来小涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个．
（1）求第一批足球每个的进价是多少元？
（2）若商店将第一批足球以售价70元，第二批足球以售价80元全部售出，则其盈利多少元？
【答案】（1）解：设第一批购进足球的单价为x元/个，则第二批购进足球的单价为（1+25%）x元/个，
依题意得： =40，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．
答：第一批购进足球每个的进价是50元．
（2）解：第一批购进足球的数量为10000÷50=200（个），
第二批购进足球的数量为200-40=160（个），
共盈利（200×70-10000）+（160×80-10000）=4000+2800=6800（元）．
答：一共盈利6800元．
【解析】【分析】（1）设第一批购进足球的单价为x元/个，则第二批购进足球的单价为（1+25%）x元/个，根据题意列出方程求解即可；
（2）利用“利润=售价-进价”计算即可。
20．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式．
【答案】解：任务1：设笔记本的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
这时．
笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，
根据题意，得：，
解得，
购买钢笔30支，笔记本20本．
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有张兑换券兑换钢笔，
根据题意，得，
整理得，
，且，均为正整数，
解得：或或，
文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券时，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本．
【解析】【分析】任务1：设笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为2x元，用120元购买笔记本的数量为，用160元购买钢笔的数量为，然后结合题意建立关于x的方程，求解即可；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据总费用为400元可得10a+5b=400；根据购买钢笔和笔记本的数量之比为3：2可得2a=3b，联立求解即可；
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，则钢笔的数量为30+10y，笔记本的数量为20+20(m-y)，根据笔记本与钢笔的数量相同可表示出y，由121．以“绿色生活，美丽家园”为主题的2019年中国北京世界园艺博览会(简称北京世园会)已拉开帷幕，讲述人与自然和谱共生的精彩故事，世园会甲工程队制作园艺造型300个与乙工程队制作园艺造型400个所用时间相等，乙工程队每天比甲工程队多制作10个园艺造型，求甲工程队每天制作园艺造型多少个？
两名同学所列的方程如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明同学所列方程中的x表示 ，小红同学所列方程中的y表 ；
（2）根据你选择的方程，求出甲工程队每天制作园艺造型多少个.
【答案】（1）x表示甲工程队每天制作园艺造型的个数；y表示甲工程队制作300个园艺造型所用的时间（或乙工程队制作400个园艺造型所用的时间）
（2）解：以小明为例，小明的方程
300（x+10）=400x，
300x+3000=400x，
100x=3000，
∴x=30
经检验，x=30是方程的根
答：甲工程队每天制作园艺造型30个.
【解析】【解答】（1）x表示甲工程队每天制作园艺造型的个数； y表示甲工程队制作300个园艺造型所用的时间（或乙工程队制作400个园艺造型所用的时间）
【分析】（1）根据题意，小明列的方程中x代表的是甲工程队每天制作园艺造型的个数，根据工作总量除以工作效率等于工作时间，由 世园会甲工程队制作园艺造型300个与乙工程队制作园艺造型400个所用时间相等 列出的方程；小红列的方程中y表示甲工程队制作300个园艺造型所用的时间，根据工作总量除以工作时间等于工作效率，从而由 乙工程队每天比甲工程队多制作10个园艺造型 列出的方程；
（2）由于小明设的是直接未知数，故可以选择小明列的方程；方程两边都乘以x(x+10)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程得出x的值，再检验即可得出答案。
22．为鼓励物理兴趣小组开展实验项目，某学校决定购入A，B两款物理实验套盒，其中A款套盒单价是B款套盒单价的1.2倍，用9900元购买的A款套盒数量比用7500元购买的B款套盒数量多5个.
（1）求A，B两款物理实验套盒的单价分别是多少元/个
（2）若学校准备用不超过3400元的金额购买A，B两款物理实验套盒共20个，则至少要购买B款物理实验套盒多少个
【答案】（1）解：设B款物理实验套盒的单价是x元/个，则A款物理实验套盒的单价是1.2x元/个，
依题意得：
解得：x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×150=180.
答：A款物理实验套盒的单价是180元/个，B款物理实验套盒的单价是150元/个.
（2）解：设要购买B款物理实验套盒y个，则购买(20-y)个A款物理实验套盒，
根据题意，得180(20-y)+150y≤3400
解得
∵y是正整数，
∴y的最小值为7.
答：至少要购买B款物理实验套盒7个
【解析】【分析】（1）设B款物理实验套盒的单价是x元，则A款物理实验套盒的单价是1.2x元，利用数量=总价÷单价，结合用9900元购买的A款套盒数量比用7500元购买的B款套盒数量多5个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B款物理实验套盒的单价，再将其代入1.2x中即可求出A款物理实验套盒的单价；
(2)设要购买B款物理实验套盒y个，则购买(20-y)个A款物理实验套盒，根据“学校准备用3400元购买A，B两款物理实验套盒”列出不等式并解答.
23．苹果寓意“平平安安”．春节里，“开心水果店”第一次用800元购进一批糖心苹果，很快售完．该店立即又用1920元第二次购进同样品种的糖心苹果，已知第二次购进数量是第一次购进数量的3倍，且第二次的进货价比第一次的进货价每千克少了1元．
（1）求第一次所购进的苹果每千克多少元？
（2）店主在销售第一批苹果时，每千克的售价为8元，发现第一次购进的苹果有的损耗，但其他全部售完，售完之后购进第二批苹果．第二批苹果在购进后到售完的过程中，发现有的损耗，每千克售价比第一批的售价贵1元．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元，求y的最大值．
【答案】（1）第一次所购进的苹果每千克5元
（2）y的最大值为15
24．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲队单独完成这项工程需要时间比规定时间早25天，乙单独完成这项工程需要时间比规定时间多20天.若由甲乙两队先合作10天，剩下的工程由乙队单独做，正好在规定时间内完成（既没提前，也没延后）.
（1）求规定时间是多少天？
（2）乙队单独施工2天后，甲队开始加入合作，合作时，甲队的人数增加了10%，每个人的效率提高了3a%，同时乙队的人数增加了a%，每个人的效率提高了40%，结果合作20天完成了任务，求a的值（假设每队每人的效率相等）.
【答案】（1）解：设规定时间为x天,则由题意可得：
，
解之得：x=70，
经检验，x=70是原方程的解且符合题意，
∴规定时间是70天.
答：规定时间是70天
（2）解：由（1）可知甲乙两队每天的效率分别为 ，
∴由题意可得：
，
解之可得：a=10
【解析】【分析】（1）设规定时间为x天,根据“甲乙合做10天的工作量+乙队独做（x-10）天的工作量=1”可以得到关于x的分式方程，解方程并检验即可得到解答；
（2）由（1）可以得到甲乙两队每天的效率分别为 ，因为效率与人数成正比，所以人数增加了多少，效率也增加了多少，根据乙队独做两天的工作量+甲乙两队分别增加工人及提高效率的前提下合做20天完成的工作量=1列出关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值.
25．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： = = + =1+ ， = = + =2+ ，则 和 都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ；④
（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： = + ；
（3）应用：先化简 - ÷ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）①③④
（2）a-1；
（3）解：原式= -
= -
=
=
=2+ ，
∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数，
此时x=0或-2或1或-3，
又∵分式有意义时x≠0、1、-1、-2，
∴x=-3
【解析】【解答】解：（1）① =1+ 是和谐分式；③ = =1+ 是和谐分式；④ =1+ 是和谐分式；
故答案为：①③④；
（2） = = =a-1+ ，
故答案为：a-1； .
【分析】（1）分别将四个式子进行化简，结合和谐分式的定义进行判断即可。
（2）根据式子，运用完全平方公式将其进行化简即可。
（3）先计算乘法，再计算减法，将式子进行化简，根据分式的值为整数，得到x的取值即可。
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