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第19章 四边形 单元综合复习检测卷
一、单选题
1．如图，某学校门口的伸缩门在伸缩的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形外侧，作等边，则为（ ）
A．75° B．55° C．15° D．25°
3．如图，在中，，，为斜边上一动点，，，垂足分别为、．则线段的最小值为
A． B． C． D．
4．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OE长为（ ）
A．6 B．5 C．8 D．10
5．如图，矩形的对角线相交于点，，若矩形对角线长为4，则线段的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
6．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 的对角线，交于点，是的中点，连结，，，若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点．将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．如图，点E，F在正方形的边上，以为一边，在正方形内作正方形，连接，当的面积为4时，的面积为（ ）
A．4 B．4.5 C．3 D．3.5
10．如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
二、填空题
11．一个七边形的内角和度数为 度．
12．如图，ABC中，，CD是AB边上的中线，且，则AB的长为 .
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是线段AB的中点，则OC的长是 ．
14．如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，则顶点B的坐标是 ．
15．如图，已知长方形纸片，点在边上，且，将沿直线翻折，使点B落在点G，延长交于点F处，则线段的长为 ．
16．如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为 ．
三、综合题
17． ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF=BE，连接：BF，AF。
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE-3，DF=5，求矩形BFDE的面积。
18．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；
（2）求阴影部分△GED的面积．
19．已知，四边形ABCD，AB=CD=BC，点E是BC中点，连接AE，DE，∠AED=90°．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，连接AC，AC与DE交于F，若∠B=60°，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（不包括等边三角形）．
20．已知：在 中，点E是边AD上一点，点F是线段AE的中点，延长BF至点G，使 ，连接DG、EG．
（1）如图1，求证：四边形CDGE是平行四边形；
（2）如图2，当DA平分 时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与AB相等的线段（AB除外）．
21．如图，在矩形ABCD中，点E在DC边上，且BE平分.
.
（1）判断△ADE的形状，并说明理由；
（2）求∠EBC的度数.
22．根据要求作图.
（1）如图1，平行四边形ABCD，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，连接EF.请你只用无刻度直尺画出线段EF的中点O.（保留画图痕迹，不必说明理由）.
（2）如图2，平行四边形ABCD，点E在边AB上，请你只用无刻度直尺在边CD上找一点F，使得四边形AECF为平行四边形，并说明理由.（注意：无刻度直尺只能过点画线段或直线或射线）.
23．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，线段的端点在格点上．在图①、图②给定的网格中以为边各画一个四边形，四边形的顶点都在格点上，并求出所画四边形的面积．
（1）在图①中画一个正方形，这个正方形的面积为 ．
（2）在图②中画一个菱形（与图①所画图形不全等），这个菱形的面积为 ．
24．在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，∠NMP= 度；
（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．
25．如图①，已知等腰直角 中，BD为斜边上的中线，E为DC上的一点，且 于G，AG交BD于F.
（1）求证：AF=BE.
（2）如图②，当点E在DC的延长线上，其它条件不变，①的结论还能成立吗？若不能，请说明理由；若能，请予以证明。
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第19章 四边形 单元综合复习检测卷
一、单选题
1．如图，某学校门口的伸缩门在伸缩的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．如图，在正方形外侧，作等边，则为（ ）
A．75° B．55° C．15° D．25°
【答案】A
3．如图，在中，，，为斜边上一动点，，，垂足分别为、．则线段的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
，，，
四边形CEDF是矩形，
，
由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，
，，
，
四边形CEDF是矩形，
.
故答案为：D.
【分析】连接CD，则四边形CEDF是矩形，EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，利用勾股定理可得AB，然后根据等面积法可得CD，据此解答.
4．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OE长为（ ）
A．6 B．5 C．8 D．10
【答案】B
5．如图，矩形的对角线相交于点，，若矩形对角线长为4，则线段的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 矩形的对角线相交于点， 矩形对角线长为4，
∴AO=OB=OC=OD=×4=2，
∵，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=2，
在Rt△ABD中，AD=，
故答案为：C.
【分析】先证出△ABO是等边三角形，可得AB=AO=2，再利用勾股定理求出AD的长即可.
6．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】 解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故答案为：C
【分析】过点D作交的延长线于点F，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，即可求出答案.
7．如图， 的对角线，交于点，是的中点，连结，，，若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得AO=CO，AD=BC=10，根据垂直的概念可得∠ACD=90°，利用勾股定理可得CD的值，由题意可得OE是△ACD的中位线，则CD=2OE，据此计算.
8．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点．将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
9．如图，点E，F在正方形的边上，以为一边，在正方形内作正方形，连接，当的面积为4时，的面积为（ ）
A．4 B．4.5 C．3 D．3.5
【答案】A
10．如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
【答案】B
二、填空题
11．一个七边形的内角和度数为 度．
【答案】900
12．如图，ABC中，，CD是AB边上的中线，且，则AB的长为 .
【答案】8
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，D是AB边的中点，
，
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AB，然后根据CD+AB=12就可求出AB的长.
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是线段AB的中点，则OC的长是 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：令x=0则OA=y=6，
令y=0，则-x+6=0，
解得x=8，
所以，OB=8，
由勾股定理，AB=，
∵点C是线段AB的中点，
∴OC=AB=×10=5．
【分析】先求出OB=8，再利用勾股定理求出AB=10，最后根据线段的中点求解即可。
14．如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，则顶点B的坐标是 ．
【答案】
15．如图，已知长方形纸片，点在边上，且，将沿直线翻折，使点B落在点G，延长交于点F处，则线段的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：将沿直线翻折，，
，
长方形纸片，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得即；
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质可得∠BEC=∠FEC，∠CGE=∠B，BE=GE=2，BC=CG=3，根据矩形以及平行线的性质可得∠BEC=∠FCE，推出FE=FC，设FG=x，则FC=x+2，然后在Rt△FGC中，利用勾股定理计算即可.
16．如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点D作于点M，如图所示：
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
设所拼成的正方形的边长为a，
则，
根据拼图可知：，
，
，
，
，
∴所拼成的正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】过点D作DM⊥BC于点M，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABMD是矩形，由矩形的对边相等得DM=AB=12，AD=BM，结合图形，由已知得出MC=BC-AD=5，在Rt△DMC中，由勾股定理得DC的长，设所拼成的正方形的边长为a，则，根据拼图可知，则，进而得，据此可得所拼成的正方形的边长．
三、综合题
17． ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF=BE，连接：BF，AF。
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE-3，DF=5，求矩形BFDE的面积。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF=5，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，由勾股定理得：DE= =4，
∴矩形BFDE的面积=DF×DE=5×4=20
【解析】【分析】（1）先判断四边形BFDE是平行四边形，再判断出一个角等于90°，即证明出四边形BFDE是矩形。
（2）先根据角相等得出 AD=DF，再根据勾股定理求出DE，就能求出矩形BFDE的面积。
18．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；
（2）求阴影部分△GED的面积．
【答案】（1）解：设DE=EG=x，则AE=8-x．
在Rt△AEG中，AG2+EG2=AE2，∴16+x2=（8-x）2，解得x=3，∴DE=3．
（2）解：过G点作GM⊥AD于M，则 AG×GE= AE×GM，AG=AB=4，AE=CF=5，GE=DE=3，∴GM= ，
∴S△GED= GM×DE= ．
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质设DE=EG=x，则AE=8-x，在Rt△AEG中运用勾股定理列出勾股方程求出DE=3；（2）先过G点作GM⊥AD于M，由DE=3得，AE＝5，GE=DE=3，运用三角形的等面积法求出GM＝，再求得S△GED= 185 。
19．已知，四边形ABCD，AB=CD=BC，点E是BC中点，连接AE，DE，∠AED=90°．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，连接AC，AC与DE交于F，若∠B=60°，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（不包括等边三角形）．
【答案】（1）证明：设∠AEB=α，∵E是BC中点，∴BE=CE=BC
∵AB=CD=BC，∴BA=BE，CE=CD
∴∠BAE=∠AEB=α，∴∠B=180°-∠BAE-∠BEA=180°-2α
∵∠AED=90°
∴∠CED=180°-∠AED-∠AEB=90°-α
∴∠CDE=∠CED=90°-α，∴∠C=180°-∠CDE-∠CED=2α
∴∠B+∠C=180°-2α+2α=180°
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四形
（2）△AEC，△ECD，△AFD，△EFC
【解析】【解答】解：（2）∵CE=CD，
∴△CDE是等腰三角形，
∴∠CED=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四形，
∴∠ADC=∠B=60°，∠CED=∠ADE，
∴∠CED=∠ADE=∠CDE=30°，
∵BA=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=CE，∠AEB=60°，
∴△AEC是等腰三角形，∠EAC=∠ACE=∠DAC=30°=∠CDE，
∴EF=CF，AF=DF，
∴△EFC和△AFD是等腰三角形.
【分析】（1）设∠AEB=α，求出∠B=180°-2α，∠C=2α，得出∠B+∠C=180°，从而得出AB∥CD，再根据平行四边形的判定定理即可证出四边形ABCD是平行四形；
（2）根据题意得出∠EAC=∠ACE=∠DAC=∠CDE=∠CED=30°，再根据等腰三角形的判定即可得出答案.
20．已知：在 中，点E是边AD上一点，点F是线段AE的中点，延长BF至点G，使 ，连接DG、EG．
（1）如图1，求证：四边形CDGE是平行四边形；
（2）如图2，当DA平分 时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与AB相等的线段（AB除外）．
【答案】（1）证明：∵点F是线段AE的中点，
∴AF＝EF，
在△ABF和△EGF中，
，
∴△ABF≌△EGF（SAS），
∴AB＝GE，∠ABF＝∠FGE，
∴AB∥GE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴GE＝CD，GE∥DC，
∴四边形CDGE是平行四边形；
（2）解：图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．
理由：∵DA平分∠CDG，
∴∠CDE＝∠GDE，
由（1）可得，GE∥CD，
∴∠CDE＝∠GED，
∴∠GDE＝∠GED，
∴GE＝GD，
又∵四边形CDGE是平行四边形，
∴四边形CDGE是菱形，
∴CD＝DG＝GE＝CE，
又∵AB＝CD，
∴图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．
【解析】【分析】（1）依据△ABF≌△EGF（SAS），即可得出AB＝GE，∠ABF＝∠FGE，再根据GE＝CD，GE∥DC，即可得出四边形CDGE是平行四边形；
（2）判定四边形CDGE是菱形，即可得出CD＝DG＝GE＝CE，再根据AB＝CD，即可得出图2中与AB相等的线段为GE，GD，DC，CE．
21．如图，在矩形ABCD中，点E在DC边上，且BE平分.
.
（1）判断△ADE的形状，并说明理由；
（2）求∠EBC的度数.
【答案】（1）解： 矩形 ，
∴∠ABE=∠BEC ，
∵BE平分∠AEC，
∴∠AEB=∠CEB，
∴∠ABE=∠AEB ，
∴，
∴AD=2
是等腰直角三角形.
（2）解： 是等腰直角三角形.
∵∠AED=45°，
∴∠AEC=180°-45°=135°，
∴∠BEC=∠AEB= 67.5°，
∴∠EBC=90°- 67.5°=22.5°.
【解析】【分析】（1）首先根据以及BE平分∠AEC，可得，再根据勾股定理，可求出DE，即可知是等腰直角三角形；
（2）首先根据是等腰直角三角形，可知∠AED=45°，再根据BE平分∠AEC，求出∠BEC，即可根据三角形内角和求出答案.
22．根据要求作图.
（1）如图1，平行四边形ABCD，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，连接EF.请你只用无刻度直尺画出线段EF的中点O.（保留画图痕迹，不必说明理由）.
（2）如图2，平行四边形ABCD，点E在边AB上，请你只用无刻度直尺在边CD上找一点F，使得四边形AECF为平行四边形，并说明理由.（注意：无刻度直尺只能过点画线段或直线或射线）.
【答案】（1）解：如图点O即为所求，
（2）解：如图点F即为所求，
证明：连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F，连接EC，AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD
∴ ∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO
∴△AEO≌△CFO
∴AE＝CF
∴四边形AECF是平行四边形.
【解析】【分析】（1）连接AC交EF于一点，即为点O；
（2） 连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F， 则点F即为所求； 根据AAS可证AEO≌
△CFO，可得AE=CF，由AE∥CF，利用一组对边平行且相等即证四边形AECF是平行四边形.
23．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，线段的端点在格点上．在图①、图②给定的网格中以为边各画一个四边形，四边形的顶点都在格点上，并求出所画四边形的面积．
（1）在图①中画一个正方形，这个正方形的面积为 ．
（2）在图②中画一个菱形（与图①所画图形不全等），这个菱形的面积为 ．
【答案】（1）如图①，四边形是所求作的正方形，10
（2）如图②，四边形是所求作的菱形，面积为8
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理可得：
故答案为：10.
（2）
故答案为：8.
【分析】（1）根据要求作出正方形，再利用正方形的面积公式计算即可；
（2）根据要求作出菱形，再利用割补法求出菱形的面积即可。
24．在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，∠NMP= 度；
（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．
【答案】（1）30
（2）解：若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，
在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4
∴DE= AD=2，AE=2 ，
∴AM=t，PC=2﹣t
要使四边形AMCP为平行四边形，则AM=PC
∴t=2﹣t得t=1．
若点P在线段DC延长线上时，四边形AMCP不是平行四边形．
（3）解：若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，
∴只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，
如图3中，当∠NPC=90°时，则M、N、P在同一直线上，
∴∠CNP=∠MNB=30°，
∴BM= BN，即4﹣t= t，
解得，t= ．
如图4中，当∠PNC=90°时，
易知BG=2（4﹣t），MG= （4﹣t），
GN=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，GP=NG÷cos30°= （3t﹣8），
∵PM=2 ，
∴MG+GP=2 ，
∴ （4﹣t）+ （3t﹣8）=2 ，
解得t=，
综上所述，t= s或t=时，△PNC是直角三角形．
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵t=2时，AM=BM=2，BN=CN=2，
∵PM⊥AB，
∴PA=PB，
∴P与C重合，
∵MN∥AC，
【分析】连接AC，由t=2可得到AM=BM=2，BN=CN=2，然后依据线段垂直平分线的性质可得到PA=PB，推出P与C重合，由MN∥AC，推出∠NMP=∠ACM=∠ACB=30°；
（2）当点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD，垂足为E，然后依据AM=PC列方程求解即可；
（3）若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，分两种情形讨论求解即可.
25．如图①，已知等腰直角 中，BD为斜边上的中线，E为DC上的一点，且 于G，AG交BD于F.
（1）求证：AF=BE.
（2）如图②，当点E在DC的延长线上，其它条件不变，①的结论还能成立吗？若不能，请说明理由；若能，请予以证明。
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线，
∴BD=AD AC，∠ADB=90°，
∴∠1+∠GAD=90°．
∵AG⊥BE于G，
∴∠2+∠DBE=90°．
∵∠1=∠2，
∴∠DAF=∠DBE．
在△AFD和△BED中，
∵ ，
∴△AFD≌△BED（ASA），
∴AF=BE
（2）解：①的结论还能成立．证明如下：
∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线，
∴BD=AD AC，∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠DEB=90°．
∵AG⊥BE于G，
∴∠GBF+∠F=90°．
∵∠DBE=∠GBF，
∴∠F=∠DEB．
在△AFD和△BED中，
∵ ，
∴△AFD≌△BED（AAS），
∴AF=BE；
【解析】【分析】（1）首先证明AD=BD，再证明∠DAF=∠DBE，可利用ASA定理判定△AFD≌△BED，进而得到AF=BE；（2）方法与（1）类似，利用AAS证明△AFD≌△BED，可得AF=BE．
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