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第二十二章 四边形 单元综合测试提升卷
一、单选题
1．如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且，则∠EBC的度数是（ ）
A．45° B．30° C．22.5° D．20°
2．下列命题正确的是（ ）
A．有两个角是直角的四边形是矩形；
B．两条对角线相等的四边形是矩形；
C．两条对角线垂直且相等的四边形是矩形；
D．四个角都是直角的四边形是矩形；
3．如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（ ）
A．若，则四边形为矩形
B．若，则四边形为菱形
C．若是平行四边形，则与互相平分
D．若是正方形，则与互相垂直且相等
4．如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在四边形中、相交于点，下列说法错误的是（ ）
A．，，则四边形是平行四边形
B．，且，则四边形是菱形
C．，则四边形是矩形
D．且，则四边形是正方形
7．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，则平行四边形的面积是( )
A．20 B．24 C．30 D．48
8．如图，将沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F，若，，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ，点E、F分别是BC、CD的中点，BD分别与AE、AF相交于点M、N，连接OE、OF、EF，下列结论：① 是等边三角形；②四边形CEOF是菱形；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正方形 中，点P是 上一动点(不与 重合) ，对角线 相交于点O，过点P分别作 的垂线，分别交 于点 交 于点 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤点O在 两点的连线上．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
二、填空题
11．若正多边形的内角和是，则该正多边形的边数是 ．
12．如图，在直角坐标系中，点的坐标，把线段沿轴正方向移动4个单位，得到四边形.若点在轴上，当时，点的坐标为 .
13．梯形 （如图）是有由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的面积是 ．
14．已知矩形 的面积是 ，它的对角线 与双曲线 交于点 ，且 .则 .
15．如图，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将烧点E顺时什旋转60°得到，连接，则的最小值为 ．
16．如图，在正方形 外侧作直线 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， .其中 交直线 于点 .若 ，则当 ， 时，正方形 的边长为 .
三、综合题
17．如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
18．如图，四边形ABCD是菱形，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求矩形OCED周长．
（3）当∠ABC＝ °时，四边形OCED是正方形．
19．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG并延长，交BA的延长线于点F，连接FD。
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论。
20．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
21．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°．
（1）求这个多边形的边数．
（2）求此多边形的对角线条数．
22．如图，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
23．如图：在正方形ABCD中，点P、Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G，AP、EQ的延长线相交于R．
（1）求证：DP=CG；
（2）判断△PQR的形状，请说明理由．
24．如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，，点P是射线CA上的动点，点Q是x轴上的动点，，分别以AQ和AP为边作平行四边形APEQ，设Q点的坐标是.
（1）求矩形OABC的对角线AC的长；
（2）如图2，当点Q在线段OA上，且点E恰好在y轴上时，求t的值；
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.
25．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，点 为直线 上一点， ，点 为 轴正半轴上一点，连接 ， 的面积为48．
（1）如图1，求点 的坐标；
（2）如图2，点 分别在线段 上，连接 ，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，求 与 的函数关系式(不要求写出自变量 的取值范围)；
（3）在(2)的条件下，如图3，连接 ，点 为 轴正半轴上点 右侧一点，点 为第一象限内一点， ， ，延长 交 于点 ，点 为 上一点，直线 经过点 和点 ，过点 作 ，交直线 于点 ，连接 ，请你判断四边形 的形状，并说明理由．
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第二十二章 四边形 单元综合测试提升卷
一、单选题
1．如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且，则∠EBC的度数是（ ）
A．45° B．30° C．22.5° D．20°
【答案】C
2．下列命题正确的是（ ）
A．有两个角是直角的四边形是矩形；
B．两条对角线相等的四边形是矩形；
C．两条对角线垂直且相等的四边形是矩形；
D．四个角都是直角的四边形是矩形；
【答案】D
3．如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（ ）
A．若，则四边形为矩形
B．若，则四边形为菱形
C．若是平行四边形，则与互相平分
D．若是正方形，则与互相垂直且相等
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点分别是四边形边的中点，
∴FE∥CA∥GH，HE∥GF∥DB，，
∴四边形EFGH为平行四边形，
A、若，则四边形为菱形，A不符合题意；
B、若，则四边形为矩形，B不符合题意；
C、若是平行四边形，则与不一定互相平分，C不符合题意；
D、若是正方形，则与互相垂直且相等，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形中位线定理即可得到FE∥CA∥GH，HE∥GF∥DB，，进而根据平行四边形的判定即可得到四边形EFGH为平行四边形，再运用矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质对选项逐一判断即可求解。
4．如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
5．如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
6．在四边形中、相交于点，下列说法错误的是（ ）
A．，，则四边形是平行四边形
B．，且，则四边形是菱形
C．，则四边形是矩形
D．且，则四边形是正方形
【答案】A
【解析】【解答】解：、，，则四边形有可能是等腰梯形，此选项错误，符合题意；
B、∵，，∴，，∵，，∴，，∴，
∴四边形是菱形，此选项正确，不符合题意；
C、∵，∴四边形是平行四边形，∴，即：，∴平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意；
D、∵，，∴，∴四边形是矩形，
又∵，∴矩形是正方形，此选项正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
7．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，则平行四边形的面积是( )
A．20 B．24 C．30 D．48
【答案】B
8．如图，将沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F，若，，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ，点E、F分别是BC、CD的中点，BD分别与AE、AF相交于点M、N，连接OE、OF、EF，下列结论：① 是等边三角形；②四边形CEOF是菱形；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：①菱形ABCD中，AB=BC，又∠ABC=60°，
∴ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE平分∠BAC，
∴∠EAC=30°；
类似可得∠FAC=30°，
∴∠EAF=60°，
∵AB=AD，∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF
∴△AEF是等边三角形，故①正确；
②在三角形ACD中，点O、F分别是AC、CD的中点，
∴，OF∥AD∥CE；
类似可证OE∥CE，
∴四边形CEOF是平行四边形，
又∵，AD=CD，
∴OF=CF
∴四边形CEOF是菱形，故②正确；
③∵OF∥AD，
∴∠AFO=∠DAF=30°，
又∠AFE=60°，
∴FO是∠AFE的角平分线，
∵△AEF是等边三角形，
∴OF⊥AE，故③正确；
④易得∠ABM=∠BAN=30°，
∴MB=MA；
同理可证，NA=ND，
∵EF∥BD，且三角形AEF是等边三角形，
∴△AMN是等边三角形，
∴MA=MN=AN，
∴BM=MN=ND，故④正确.
故答案为：D.
【分析】①借助有一角为60°的等腰三角形是等边三角形说明即可；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③先说明OF是∠AFE的角平分线，然后根据等边三角形的三线合一定理，即可证得OF是AE的垂直平分线；④分别证得△ABM，△ADF是等腰三角形以及△AEF是等边三角形即可.
10．如图，在正方形 中，点P是 上一动点(不与 重合) ，对角线 相交于点O，过点P分别作 的垂线，分别交 于点 交 于点 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤点O在 两点的连线上．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD正方形，AC、BD为对角线，
∴∠MAE=∠EAP=45°，
根据题意MP⊥AC，故∠AEP=∠AEM=90°， ∴∠AME=∠APE=45°，
在三角形 与 中，
∴ ASA，
故①符合题意；
∴AE=ME=EP= MP，
同理，可证△PBF≌△NBF，PF=FN= NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PM⊥AC，PN⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四边形PEOF为矩形，
∴PF=OE，
∴OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，
又∵ME=PE= MP，
FP=FN= NP，OA= AC，
∴ PM+PN=AC，
故②符合题意；
∵四边形PEOF为矩形，
∴PE=OF，
在直角三角形OPF中， ，
∴ ，
故③符合题意；
∵△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，
故④不符合题意；
连接MO、NO，
在△OEM和△OEP中，
∴△OEM≌△OEP，OM=OP，
同理可证△OFP≌△OFN，OP=ON，
又∵∠MPN=90°，
OM=OP=ON，OP=12MO+NO，
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，OP= MN，
∴MO+NO=MN，点 在 两点的连线上．
故⑤符合题意．
故答案为：B．
【分析】①根据题意及正方形的性质，即可判断 ；②根据 及正方形的性质，得ME=EP=AE＝ MP，同理可证PF=NF= NP，根据题意可证四边形OEPF为矩形，则OE=PF，则OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，AO= AC，故证明 ；③根据四边形PEOF为矩形的性质，在直角三角形OPF中，使用勾股定理，即可判断；④△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，故④可判断；⑤连接MO、NO，证明OP=OM=ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可证明．
二、填空题
11．若正多边形的内角和是，则该正多边形的边数是 ．
【答案】10
12．如图，在直角坐标系中，点的坐标，把线段沿轴正方向移动4个单位，得到四边形.若点在轴上，当时，点的坐标为 .
【答案】或
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥x轴，如图，
由平移得：
∴四边形OABC为平行四边形，
∴
∵点的坐标，
∴
设点D坐标为，则
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴点D坐标为或，
故答案为：或.
【分析】过点C作CE⊥x轴，由平移得：则四边形OABC为平行四边形，即进而得到设点D坐标为，则表示出进而根据题意列出方程：解此方程即可求解.
13．梯形 （如图）是有由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的面积是 ．
【答案】69
【解析】【解答】解：根据折叠可得梯形上底是9cm，下底是（9+5）cm，高是6cm
（9+9+5）×6÷2
=23×6÷2
=138÷2
=69（ ）
故答案为：69
【分析】通过观察图形，可知根据梯形的面积公式，把数字代入公式计算即可。
14．已知矩形 的面积是 ，它的对角线 与双曲线 交于点 ，且 .则 .
【答案】6
【解析】【解答】解：∵OB：OD=4：3，
∴可设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（4m，4n）.
∵矩形OABC的面积为 ，
∴4m 4n= ，
∴mn= ，
把D的坐标代入函数解析式得： ，
∴k=9mn=9× =6，
故答案为：6.
【分析】可设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（4m，4n），可得矩形OABC的面积为4m 4n= ，即得mn= ，把点D坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值.
15．如图，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将烧点E顺时什旋转60°得到，连接，则的最小值为 ．
【答案】
16．如图，在正方形 外侧作直线 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， .其中 交直线 于点 .若 ，则当 ， 时，正方形 的边长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接 、 、 ，
∵点 关于直线 的对称点为 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在正方形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴正方形 的边长 .
故答案为：.
【分析】连接CN、DM、AC，由轴对称的性质可得CN=MN=4，CD=DM，由等腰三角形的性质得∠NCM=∠NMC，∠DCM=∠DMC，则∠DCN=∠DMN，由正方形的性质得AD=CD，则AD=DM，由等腰三角形的性质可得∠DAM=∠DMN，进而推出△ACN为直角三角形，由勾股定理求出AC，进而可得正方形ABCD的边长.
三、综合题
17．如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）
（2）解：∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，
∴107°=72°+∠ECM，
∴∠ECM=35°，
∴∠NAF=35°
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据二直线平行，内错角相等得出∠AFN=∠CEM，然后利用SAS判断出△AFN≌△CEM；
（2）根据全等三角形的性质∠NAF=∠ECM，根据三角形的外角定义由∠CMF=∠CEM+∠ECM，得出∠ECM=35°，从而得出答案。
18．如图，四边形ABCD是菱形，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求矩形OCED周长．
（3）当∠ABC＝ °时，四边形OCED是正方形．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=CB
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）∵∠ABC＝60°，AB=CB=2
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∴OC=1，
∵∠DOC=90°，
∴ ，
∴矩形OCED周长=2（1+ ）=2+2 ；
（3）90
【解析】（3）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形
∵∠ABC＝90°四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD= AC= BD，
∴矩形OCED是正方形；
【分析】（1）依据平行四边形的判定定理得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，于是得到结论；
（2）证出△ABC是等边三角形，因为∠DOC=90°，得出 ，即可得出矩形OCED周长；
（3）证出四边形ABCD是正方形，得出OC=OD= AC= BD，即可得出矩形OCED是正方形。
19．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG并延长，交BA的延长线于点F，连接FD。
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠AFG=∠DCG
又∵GA=GD，∠AGF=∠DGC
∴△AGF≌△DGC( AAS)
∴AF=CD
∴AB= AF
（2）解：∵AF=CD，AF∥CD
四边形ACDF是平行四边形
又∵四边形ABCD是平行四边形
∠∴BAD=∠BCD= 120°
∴∠FAG =60°
∵AB=AG=AF
∴△AGF是等边三角形．
∴AG= GF
又∵四边形ACDF是平行四边形
∴AG=DG=CG=FG，即AD= CF
∴四边形ACDF是矩形
【解析】【分析】（1）证明△AGF≌△DGC( AAS)，可得AF=CD，由平行四边形的性质得出AB=CD，从而可得AB= AF ；
（2）四边形ACDF是矩形，理由： 由AF=CD，AF∥CD，可证四边形ACDF是平行四边形，可得 AG=DG=CG=FG ，再证 △AGF是等边三角形， 可得AG= GF ，由等量代换可得AD= CF，根据矩形的判定即证结论.
20．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
【答案】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形。
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，AO=4，∴AE=2AO=8
【解析】【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质，得到AD∥BC，得到内错角相等，由对边相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABEF为平行四边形，再由邻边相等的平行四边形是菱形，由AB=AF，得到四边形ABEF为菱形；（2）由（1）知四边形ABEF为菱形，得到对角线垂直平分，根据勾股定理求出AE=2AO的长.
21．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°．
（1）求这个多边形的边数．
（2）求此多边形的对角线条数．
【答案】（1）解：设这个多边形的边数为，
由题意得，
解得．
答：这个多边形的边数为10．
（2）解：此多边形的对角线条数．
【解析】【分析】(1) 设这个多边形的边数为， 根据多边形的内角和与外角和公式，利用多边形的内角和与外角和的差为1080°的等量关系列出方程求解即可；
(2)根据多边形的对角线条数公式列式计算即可.
22．如图，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠CAD＝∠ACB＝90°．
又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，AB＝CD．
∴AB＝AE．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠BFE＝90°， ，
在Rt△BFE中，
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得 AD∥BC． 得 ∠CAD＝∠ACB＝90°． 因为 ∠ACE＝90°， 即可证明 四边形ACED是矩形；
（2）根据四边形ACED是矩形和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形 ，再根据特殊角三角函数即可求出BF的长。
23．如图：在正方形ABCD中，点P、Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G，AP、EQ的延长线相交于R．
（1）求证：DP=CG；
（2）判断△PQR的形状，请说明理由．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
AD=CD，∠ADP=∠DCG=90°，
∠CDG+∠ADH=90°，
∵DH⊥AP，∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠CDG=∠DAH，
∴△ADP≌△DCG，
∵DP，CG为全等三角形的对应边，
∴DP=CG．
（2）解：△PQR为等腰三角形．
∠QPR=∠DPA，∠PQR=∠CQE，
∵CQ=DP，由（1）的结论可知
∴CQ=CG，∵∠QCE=∠GCE，CE=CE，
∴△CEQ≌△CEG，即∠CQE=∠CGE，
∴∠PQR=∠CGE，
∵∠QPR=∠DPA，且（1）中证明△ADP≌△DCG，
∴∠PQR=∠QPR，
所以△PQR为等腰三角形．
【解析】【分析】（1）正方形对角线AC是对角的角平分线，可以证明△ADP≌△DCG，即可求证DP=CG．（2）由（1）的结论可以证明△CEQ≌△CEG，进而证明∠PQR=∠QPR．故△PQR为等腰三角形．
24．如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，，点P是射线CA上的动点，点Q是x轴上的动点，，分别以AQ和AP为边作平行四边形APEQ，设Q点的坐标是.
（1）求矩形OABC的对角线AC的长；
（2）如图2，当点Q在线段OA上，且点E恰好在y轴上时，求t的值；
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝6，∠OCA＝30°，
∴AC＝12；
（2）解：∵OQ＝t，
∴CP＝3OQ＝3t，
∴AP＝12－3t，
∵以AQ和AP为边作平行四边形APEQ，
∴EQ＝AP＝12－3t，
∴
∴EQ＝2OQ，
∴12－3t＝2t，
∴；
（3）解：当点P在线段CA上时，OQ＝|t|，分点Q在点A左侧和右侧两种情况分析；
当点Q在点A左侧时，分和两种情况
当时，
∴CP＝3|t|＝3t
∴AP＝12－3|t|＝12－3t，AQ＝6－|t|＝6－t
∵平行四边形APEQ是菱形，
∴AP＝AQ，
∴12－3t＝6－t
∴t＝3；
当时，
∴CP＝3|t|＝-3t，
∴AP＝12－3|t|＝12+3t，AQ＝6+|t|＝6-t
∵平行四边形APEQ是菱形，
∴AP＝AQ，
∴12+3t＝6-t
∴；
当点Q在点A右侧时，即
∴CP＝3|t|＝3t
∴AP＝12－3t，AQ＝t－6，
∵平行四边形APEQ是菱形，
∴AP＝AQ，
∴12－3t＝t－6
∴，和矛盾，故舍去；
当点P在CA的延长线上时，分点Q在点A左侧和右侧两种情况分析；
当点Q在点A左侧时，分和两种情况
当时，
∴CP＝3|t|＝3t
∴AP＝3t－12，AQ＝6－|t|＝6－t
∵平行四边形APEQ是菱形，
∴AP＝AQ，
∴3t－12＝6－t
∴
当时，
∴CP＝3|t|＝-3t，
∴AP＝3|t|－12＝－3t－12，AQ＝6+|t|＝6-t
∵平行四边形APEQ是菱形，
∴AP＝AQ，
∴－3t－12＝6－t
∴；
当点Q在点A右侧时，分
∴OQ＝t，
∴AQ＝t－6，CP＝3t
∴AP＝3t－12，
∵平行四边形APEQ是菱形，
∴AQ＝AP，
∴t－6＝3t－12，
∴，和矛盾，故舍去
∴存在点Q，使是菱形，t＝3或或或-9.
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解；
（2）由题意可得 OQ＝t，CP＝3OQ＝3t，AP＝12－3t，利用平行四边形的性质可得 Q＝AP＝12－3t，，根据平行线的性质可得∠OEQ=∠OCA=30°，利用含30°的直角三角形的性质可得EQ=2OQ，据此列出关于t方程并解之即可；
（3）分两种情况：点P在线段CA上和点P在CA的延长线上，结合（1）结论，根据菱形的性质，通过列绝对值方程并求解即可.
25．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，点 为直线 上一点， ，点 为 轴正半轴上一点，连接 ， 的面积为48．
（1）如图1，求点 的坐标；
（2）如图2，点 分别在线段 上，连接 ，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，求 与 的函数关系式(不要求写出自变量 的取值范围)；
（3）在(2)的条件下，如图3，连接 ，点 为 轴正半轴上点 右侧一点，点 为第一象限内一点， ， ，延长 交 于点 ，点 为 上一点，直线 经过点 和点 ，过点 作 ，交直线 于点 ，连接 ，请你判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：令x＝0，y＝6，令y＝0，x＝ 2，
∴A（ 2，0），B（0，6），
∴AO＝2，CO＝6，
作DL⊥y轴垂足为L点，DI⊥AB垂足为I，
∴∠DLO＝∠COA＝90°，∠DCL＝∠ACO，DC＝AC，
∴△DLC≌△AOC（AAS），
∴DL＝AO＝2，
∴D的横坐标为2，
把x＝2代入y＝3x＋6得y＝12，
∴D（2，12），
∴DI＝12，
∵S△ABD＝ AB DI＝48，
∴AB＝8；
∵OB＝AB AO＝8 2＝6，
∴B（6，0）；
（2）解：∵OC＝OB＝6，
∴∠OCB＝∠CBO＝45°，
∵MN＝MB，
∴设∠MNB＝∠MBN＝α，
作NK⊥x轴垂足为K，MQ⊥AB垂足为Q，MP⊥NK，垂足为P；
∴∠NKB＝∠MQK＝∠MPK＝90°，
∴四边形MPKQ为矩形，
∴NK∥CO，MQ＝PK；
∵∠KNB＝90° 45°＝45°，
∴∠MNK＝45°＋α，∠MBQ＝45°＋α，
∴∠MNK＝∠MBQ，
∵MN＝MB，∠NPM＝∠MQB＝90°，
∴△MNP≌△MQB（AAS），
∴MP＝MQ；
∵B（6，0），D（2，12），
∴设BD的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
∴ ，解得：k=-3，b=18，
∴BD的解析式为y＝ 3x＋18，
∵点M的纵坐标为d，
∴MQ=MP＝d，把y＝d代入y＝ 3x＋18得d＝ 3x＋18，
解得x＝ ，
∴OQ＝ ；
∵N的横坐标为t，
∴OK＝t，
∴OQ＝OK＋KQ＝t＋d，
∴ ＝t＋d，
∴d＝ ；
（3）解：作NW⊥AB垂足为W，
∴∠NWO＝90°，
∵∠ACN＝45°＋∠ACO，∠ANC＝45°＋∠NAO，
∵∠ACO＝∠NAO，
∴∠ACN＝∠ANC，
∴AC＝AN，
又∵∠ACO＝∠NAO，∠AOC＝∠NOW＝90°，
∴△ANW≌△CAO（AAS），
∴AO＝NW＝2，
∴WB＝NW＝2，
∴OW＝OB WB＝6 2＝4，
∴N（4，2）；
延长NW到Y，使NW＝WY，
∴△NFW≌△YFW（SAS）
∴NF＝YF，∠NFW＝∠YFW，
又∵∠HFN＝2∠NFO，
∴∠HFN＝∠YFN，
作NS⊥YF，
∵∠FH⊥NH，
∴∠H＝∠NSF＝90°，
∵FN＝FN，
∴△FHN≌△FSN（AAS），
∴SF＝FH＝ ，NY＝2＋2＝4，
设YS＝a，FY＝FN＝a＋ ，
在Rt△NYS和Rt△FNS中：NS2＝NY2 YS2；NS2＝FN2 FS2；NY2 YS2＝FN2 FS2，
∴42 a2＝(a＋ )2-( )2，
解得a＝
∴FN＝ ；
在Rt△NWF中WF＝ ，
∴FO＝OW＋WF＝4＋6＝10，
∴F（10，0），
∴AW＝AO＋OW＝2＋4＝6，
∴AW＝FW，
∵NW⊥AF，
∴NA＝NF，
∴∠NFA＝∠NAF，
∵∠ACO＝∠NAO，
∴∠NFA＝∠ACO，
设GF交y轴于点T，∠CTF＝∠ACO＋∠CGF＝∠COF＋∠GFO，
∴∠CGF＝∠COF＝90°，
设FN的解析式为y＝px＋q （p≠0），把F（10，0）N（4，2）代入y＝px＋q
得 ，解得 ，
∴ ，
∴联立 ，解得： ，
∴ ，
把G点代入y＝mx＋3，得 ，得m＝ ，
∴y＝ x＋3，
令y＝0得0＝ x＋3，x＝4，
∴R（4，0），
∴AR＝AO＋OR＝2＋4＝6，RF＝OF OR＝10 4＝6，
∴AR＝RF，
∵FE∥AC，
∴∠FEG＝∠AGE，∠GAF＝∠EFA，
∴△GRA≌△EFR（AAS），
∴EF＝AG，
∴四边形AGFE为平行四边形，
∵∠AGF＝180° ∠CGF＝180° 90°＝90°，
∴平行四边形AGFE为矩形．
【解析】【分析】（1）作DL⊥y轴垂足为L点，DI⊥AB垂足为I，证明△DLC≌△AOC，求得D（2，12），再由S△ABD＝ AB DI＝48，求得OB＝AB AO＝8 2＝6，即可求B坐标；（2）设∠MNB＝∠MBN＝α，作NK⊥x轴垂足为K，MQ⊥AB垂足为Q，MP⊥NK，垂足为P；证明四边形MPKQ为矩形，再证明△MNP≌△MQB，求出BD的解析式为y＝ 3x＋18，MQ＝d，把y＝d代入y＝ 3x＋18得d＝ 3x＋18，表达出OQ的值，再由OQ＝OK＋KQ＝t＋d，可得d＝ ；（3）作NW⊥AB垂足为W，证明△ANW≌△CAO，根据边的关系求得N（4，2）；延长NW到Y，使NW＝WY，作NS⊥YF，再证明△FHN≌△FSN，可得SF＝FH= ，NY＝2＋2＝4；设YS＝a，FY＝FN＝a＋ ，在Rt△NYS和Rt△FNS中利用勾股定理求得FN；在Rt△NWF中，利用勾股定理求出WF＝6，得到F（10，0）；设GF交y轴于点T，设FN的解析式为y＝px＋q （p≠0）把F（10，0）N（4，2）代入即可求出直线FN的解析式，联立方程组得到G点坐标；把G点代入得到y＝ x+3，可知R（4，0），证明△GRA≌△EFR，可得四边形AGFE为平行四边形，再由∠AGF＝180° ∠CGF＝90°，可证明平行四边形AGFE为矩形．
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