2.4.2 圆的一般方程 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 2.4.2 圆的一般方程 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 59.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-14 09:19:25 | ||
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文档简介
教学设计
题目 2.4.2 圆的一般方程
一、内容和内容解析 内容 圆的一般方程安排在高中数学人教A版本（2019）选择性必修一第二章第4节第二课时。
内容解析 圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。
二、学情分析 从知识储备来说，圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的. 从研究经验来说，由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难. 从情感态度来说，学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强.
三、目标和目标解析 目标 1.通过将圆的标准方程变形得到圆的一般方程，能理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系，培养学生数学抽象的核心素养. 2.通过对圆的一般方程和标准方程的互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养. 3.通过具体例题的探究，能掌握求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题的方法，提升学生逻辑推理和直观想象的核心素养.
目标解析 能利用圆的标准方程化简得到圆的一般方程，归纳出圆的一般方程的结构特征，会判断一个二元二次方程是否能表示一个圆. 能根据具体条件，选择适当的圆的方程的形式，利用待定系数法或几何法求出圆的标准方程或圆的一般方程，总结待定系数法的步骤，并能进行圆的标准方程和一般方程的相互转化. 3.能够利用圆的方程和数形结合思想，解决与圆有关的简单的轨迹方程问题，培养直观想象，逻辑推理和数学运算的核心素养.
教学重点 (1)圆的一般方程与标准方程之间的互化 (2) 待定系数法求圆的方程
教学难点 待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解 圆有关的简单的轨迹方程问题的求解
四、教学方法分析 为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入。
五、教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标
环 节 一 内容1：课前练习、巩固旧知 教学情境 1. 知识点复习： 1、圆的定义： 平面内到一 的距离等 于 的点的轨是 。 其中，定点是 ，定长是圆的 。 2、圆心在点 M(a, b) ，半径为 r 的 圆的标准方程： 3、点 P(x0 , y0 ) 和圆 (x a)2 + (y b)2 = r 2 的位置关系： (1) 点 P 在圆上： (2) 点 P 在圆内： (3) 点 P 在圆外： 解决问题1：对应单元目标4 学习任务 1. 生：快速回忆上节课所学知识点，按照教师的提问顺序依次回答 PPT上知识点复习。 针对我校 学生基础薄弱学 习 能 力稍 欠的特点，在课堂上的前2分钟设置“课前练习”，复习旧知识，对学生知识的巩固有很大帮助。
环 节 二 内容2：创设情景、探索新知 教学情境 2. 师：通过前面的研究，我们知道在平面直角坐标系中圆可以用方程 (x a)2 + (y b)2 = r2 表示，反 之，也可以用方程 (x a)2 + (y b)2 = r2 表示圆。 请大家完成以下问题： 问题1 判断下列方程是否为圆的 方程，若是，指出圆心和半径。 (1) (x 1)2 + (y + 2)2 = 9 (2) (x + 1)2 + (y 3)2 = a2 (3) (x + 1)2 + (2y 4)2 = 9 (4) x2 + y 2 2x + 4y 4 = 0 问题 2 由于方程(4)也可以表示 圆，那同学们对于圆的方程有何想法？ 问题 3 什么样的二元二次方程能够表示圆呢？ 师：为了方便，我们将方程改写为 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 解决问题2：对应学习目标（1）（2） 学习任务 2． 生：快速思考并判断 (1)(2)(3) 生：(4)通过配方，方程可化为 (x 1)2 + (y + 2)2 = 9 ，这是圆的标准方程，故表示圆。标准方程，故表示圆。 生：圆的方程可以是关于 x, y 的二元二次方程。 生： x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 通过对这 3 个问题的探究，一方面引导学生回 顾 了 旧 知 识，另一方面，抓 住 了 学 生 的 注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的 学 习兴 趣和学习欲望。这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。
环 节 三 内容3：深入探究、获得新知 教学情境 3. 思考 1 利用已有的知识，对方程 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 进行变形，并求出圆心坐标以及半径。 思考 2 是否所有形如 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的二 元二次方程都能代表圆？如果不是，请说明理由。 思考 3 小组合作学习， 对 D2 + E2 - 4F 的符号进行分类讨论，当D2 + E2 - 4F = 0 和D2 + E2 - 4F < 0 时分别代表什么图形 思考 4 判断下列二元二次方程是否表示圆 若是,求出圆心坐标及半径。 (1)x2 + y2 + 4x 一 6y 一 12 = 0 (2) x2 + y 2 + 4x 一 2y + 5 = 0 (3) x2 + y 2 + x 一 y + 1 = 0 (4) x2 + 2y2 + 4x 一 6y 一 12 = 0 解决问题3：对应学习目标（1）（2） 生：生：圆心坐标, 生：只有当 时才能代表圆。 小组讨论得出结论: 当 D2 + E2 - 4F = 0 时代表点 当D2 + E2 - 4F < 0时不代表任何图形。 生:按照要求作答 思考1，使 新知识建立在 学生已有的知 识之上，是旧知识的应用与延伸。 思考2，目的是突破教学难点：形如x2 + y2+Dx+Ey +F=0 的方程在什么条件下表示圆？采用从特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。 针对学习 中，学生容易忽视前提条件D2 + E2 - 4F > 0 我 设 计 了 思 考3 ，通过对D2 + E2 一 4F 符 号 的 分 类 讨论，使问题化难为易，突破难点，也让学生充了解分 类 思想在数学中的重要地位，强化学生的观察、思考能力，之后得到圆的一般方程的完整表述。
环 节 四 内容4：新知应用、巩固内化 教学情境 4. 例4： 求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心和半径. 解决问题4：对应学习目标（3） 生:独立完成“例4”，进一步熟悉圆的一般方程及其结构特征。 生:利用弦的垂直平分线性质 进行求解 本例题是为圆的一般方程的应用而设置的。主要是让学生根据题设条件，运用待定系数 法 确 定圆的一般方程中的系数 D，E，F， 从而求出圆的一般方程。 例题中没有给出图形，教学时要求学生画出图形加强数与形的联系。
环 节 五 内容5：轨迹方程，方法总结 教学情境 5. 例： 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 师：给出轨迹方程的定义. 师：总结解决轨迹方程的方法，相关点法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，找到关系式，列式求出. 解决问题5：对应学习目标（3） 生:思考探究如何求与圆相关的轨迹方程问题。 通过对教材例5的探究，能够利用圆的方程和数形结合思想，解决与圆有关的简单的轨迹方程问题，培养直观想象，逻辑推理和数学运算的核心素养.
课堂小结 师:请同学们谈谈本节课有哪 些收获 师:点评补充 生:归纳总结 1. 圆的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 一 4F > 0 )。 2.圆心坐标, 。 用待定系数法求圆的一般方程 了解了轨迹方程的定义，会求解一些简单的轨迹方程问题 通过 学 生 的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内 容 和 思 想方法，从而实现对圆 的 一 般方程认 识的再次深化。归纳总结用待 定 系 数 法解题的基本步骤。提炼分类讨论，化归转化，数 形 结 合 等思想。
六、目标检测与作业设计 作业 A 若圆的一般方程为 x2 + y2 + 6x+ 6 = 0 ,则该圆的圆心和半径分别为 A.( 1, 1), 3B.( 1,2), 3C.(3,0),3D.(-3,0), 3
2. 已知圆的方程是 x2 + y2 2x+ 6y+ 8 = 0 ,那么经过圆心的一条直线的方程是( ) A.2x-y + 1 =0 B.2x+y + 1 =0 C.2x-y- 1 =0 D.2x+y- 1 =0 作业 B 求圆x2 + y2 + 2x 2ay 4 = 0 (a R) 的半径的最小值 作业 C 已知线段AB的端点B的坐标是 (4,3),端点A在圆 (x + 1)2 + y 2 = 4 上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。 生:完成层级 A 作业,根据自身 实际情况完成 B 级 C 级作业。 通过设置分层作业，让所 有 的 学 生 既 能吃得饱，又能吃得好，即让每一位同 学 都 能 体验 到 学 习 数 学的乐趣，增强学习 数 学的愿 望与信心。
七、板书设计 2.4.2 圆的一般方程 圆的一般方程; x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 4F > 0 ) 圆心坐标： (2) 半径：
八、 教学反思
题目 2.4.2 圆的一般方程
一、内容和内容解析 内容 圆的一般方程安排在高中数学人教A版本（2019）选择性必修一第二章第4节第二课时。
内容解析 圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。
二、学情分析 从知识储备来说，圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的. 从研究经验来说，由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难. 从情感态度来说，学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强.
三、目标和目标解析 目标 1.通过将圆的标准方程变形得到圆的一般方程，能理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系，培养学生数学抽象的核心素养. 2.通过对圆的一般方程和标准方程的互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养. 3.通过具体例题的探究，能掌握求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题的方法，提升学生逻辑推理和直观想象的核心素养.
目标解析 能利用圆的标准方程化简得到圆的一般方程，归纳出圆的一般方程的结构特征，会判断一个二元二次方程是否能表示一个圆. 能根据具体条件，选择适当的圆的方程的形式，利用待定系数法或几何法求出圆的标准方程或圆的一般方程，总结待定系数法的步骤，并能进行圆的标准方程和一般方程的相互转化. 3.能够利用圆的方程和数形结合思想，解决与圆有关的简单的轨迹方程问题，培养直观想象，逻辑推理和数学运算的核心素养.
教学重点 (1)圆的一般方程与标准方程之间的互化 (2) 待定系数法求圆的方程
教学难点 待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解 圆有关的简单的轨迹方程问题的求解
四、教学方法分析 为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入。
五、教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标
环 节 一 内容1：课前练习、巩固旧知 教学情境 1. 知识点复习： 1、圆的定义： 平面内到一 的距离等 于 的点的轨是 。 其中，定点是 ，定长是圆的 。 2、圆心在点 M(a, b) ，半径为 r 的 圆的标准方程： 3、点 P(x0 , y0 ) 和圆 (x a)2 + (y b)2 = r 2 的位置关系： (1) 点 P 在圆上： (2) 点 P 在圆内： (3) 点 P 在圆外： 解决问题1：对应单元目标4 学习任务 1. 生：快速回忆上节课所学知识点，按照教师的提问顺序依次回答 PPT上知识点复习。 针对我校 学生基础薄弱学 习 能 力稍 欠的特点，在课堂上的前2分钟设置“课前练习”，复习旧知识，对学生知识的巩固有很大帮助。
环 节 二 内容2：创设情景、探索新知 教学情境 2. 师：通过前面的研究，我们知道在平面直角坐标系中圆可以用方程 (x a)2 + (y b)2 = r2 表示，反 之，也可以用方程 (x a)2 + (y b)2 = r2 表示圆。 请大家完成以下问题： 问题1 判断下列方程是否为圆的 方程，若是，指出圆心和半径。 (1) (x 1)2 + (y + 2)2 = 9 (2) (x + 1)2 + (y 3)2 = a2 (3) (x + 1)2 + (2y 4)2 = 9 (4) x2 + y 2 2x + 4y 4 = 0 问题 2 由于方程(4)也可以表示 圆，那同学们对于圆的方程有何想法？ 问题 3 什么样的二元二次方程能够表示圆呢？ 师：为了方便，我们将方程改写为 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 解决问题2：对应学习目标（1）（2） 学习任务 2． 生：快速思考并判断 (1)(2)(3) 生：(4)通过配方，方程可化为 (x 1)2 + (y + 2)2 = 9 ，这是圆的标准方程，故表示圆。标准方程，故表示圆。 生：圆的方程可以是关于 x, y 的二元二次方程。 生： x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 通过对这 3 个问题的探究，一方面引导学生回 顾 了 旧 知 识，另一方面，抓 住 了 学 生 的 注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的 学 习兴 趣和学习欲望。这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。
环 节 三 内容3：深入探究、获得新知 教学情境 3. 思考 1 利用已有的知识，对方程 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 进行变形，并求出圆心坐标以及半径。 思考 2 是否所有形如 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的二 元二次方程都能代表圆？如果不是，请说明理由。 思考 3 小组合作学习， 对 D2 + E2 - 4F 的符号进行分类讨论，当D2 + E2 - 4F = 0 和D2 + E2 - 4F < 0 时分别代表什么图形 思考 4 判断下列二元二次方程是否表示圆 若是,求出圆心坐标及半径。 (1)x2 + y2 + 4x 一 6y 一 12 = 0 (2) x2 + y 2 + 4x 一 2y + 5 = 0 (3) x2 + y 2 + x 一 y + 1 = 0 (4) x2 + 2y2 + 4x 一 6y 一 12 = 0 解决问题3：对应学习目标（1）（2） 生：生：圆心坐标, 生：只有当 时才能代表圆。 小组讨论得出结论: 当 D2 + E2 - 4F = 0 时代表点 当D2 + E2 - 4F < 0时不代表任何图形。 生:按照要求作答 思考1，使 新知识建立在 学生已有的知 识之上，是旧知识的应用与延伸。 思考2，目的是突破教学难点：形如x2 + y2+Dx+Ey +F=0 的方程在什么条件下表示圆？采用从特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。 针对学习 中，学生容易忽视前提条件D2 + E2 - 4F > 0 我 设 计 了 思 考3 ，通过对D2 + E2 一 4F 符 号 的 分 类 讨论，使问题化难为易，突破难点，也让学生充了解分 类 思想在数学中的重要地位，强化学生的观察、思考能力，之后得到圆的一般方程的完整表述。
环 节 四 内容4：新知应用、巩固内化 教学情境 4. 例4： 求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心和半径. 解决问题4：对应学习目标（3） 生:独立完成“例4”，进一步熟悉圆的一般方程及其结构特征。 生:利用弦的垂直平分线性质 进行求解 本例题是为圆的一般方程的应用而设置的。主要是让学生根据题设条件，运用待定系数 法 确 定圆的一般方程中的系数 D，E，F， 从而求出圆的一般方程。 例题中没有给出图形，教学时要求学生画出图形加强数与形的联系。
环 节 五 内容5：轨迹方程，方法总结 教学情境 5. 例： 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 师：给出轨迹方程的定义. 师：总结解决轨迹方程的方法，相关点法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，找到关系式，列式求出. 解决问题5：对应学习目标（3） 生:思考探究如何求与圆相关的轨迹方程问题。 通过对教材例5的探究，能够利用圆的方程和数形结合思想，解决与圆有关的简单的轨迹方程问题，培养直观想象，逻辑推理和数学运算的核心素养.
课堂小结 师:请同学们谈谈本节课有哪 些收获 师:点评补充 生:归纳总结 1. 圆的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 一 4F > 0 )。 2.圆心坐标, 。 用待定系数法求圆的一般方程 了解了轨迹方程的定义，会求解一些简单的轨迹方程问题 通过 学 生 的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内 容 和 思 想方法，从而实现对圆 的 一 般方程认 识的再次深化。归纳总结用待 定 系 数 法解题的基本步骤。提炼分类讨论，化归转化，数 形 结 合 等思想。
六、目标检测与作业设计 作业 A 若圆的一般方程为 x2 + y2 + 6x+ 6 = 0 ,则该圆的圆心和半径分别为 A.( 1, 1), 3B.( 1,2), 3C.(3,0),3D.(-3,0), 3
2. 已知圆的方程是 x2 + y2 2x+ 6y+ 8 = 0 ,那么经过圆心的一条直线的方程是( ) A.2x-y + 1 =0 B.2x+y + 1 =0 C.2x-y- 1 =0 D.2x+y- 1 =0 作业 B 求圆x2 + y2 + 2x 2ay 4 = 0 (a R) 的半径的最小值 作业 C 已知线段AB的端点B的坐标是 (4,3),端点A在圆 (x + 1)2 + y 2 = 4 上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。 生:完成层级 A 作业,根据自身 实际情况完成 B 级 C 级作业。 通过设置分层作业，让所 有 的 学 生 既 能吃得饱，又能吃得好，即让每一位同 学 都 能 体验 到 学 习 数 学的乐趣，增强学习 数 学的愿 望与信心。
七、板书设计 2.4.2 圆的一般方程 圆的一般方程; x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 4F > 0 ) 圆心坐标： (2) 半径：
八、 教学反思