3.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计
文档属性
| 名称 | 3.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-14 09:21:31 | ||
图片预览
文档简介
3.1.1 椭圆及其标准方程（教学设计）
章节 选修一3.1.1椭圆及其标准方程
一、学习者特征分析
1.学生已学过用坐标法解决几何问题，并掌握圆的定义和标准方程，会解决一些基本圆的几何问题。 2.从圆过渡到椭圆，跨度较大，学生难以改变对圆的固有思维，如何将椭圆的几何特征融会贯通，难度较大。 3.初中代数未涉及对几何图形构建标准方程问题，而椭圆标准方程是研究椭圆性质的基础，学生在求椭圆标准方程时，可能遇到根式难以化简问题。 4.经过一年多的学习，学生在一定程度上具备抽象概括能力和语言转换能力；从学习者心理上看，学生头脑中由椭圆的实物形象，如何用数学语言定性定量描述椭圆是学生较为关注的问题，也是本节课的重点。学生对作图、对比分析较为感兴趣，这是学生学好本节课的心理基础。
二、学习内容分析
椭圆是生活中的常见图形，对椭圆的学习有助于解决一些实际问题；椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。 通过之前对圆的学习，几何问题与代数问题的相互转化已有初步了解，椭圆是在圆的基础上进行的延伸，同样需要了解椭圆定义的形成，标准方程的推导，而标准方程的推导涉及较多代数计算问题，是本节课的重难点。
三、学习目标
1.根据创设的情景，理解椭圆的定义. 2.掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点焦距的概念；能由已知条件推导椭圆标准方程。 3.列举身边的椭圆图形，让学生参与画椭圆，定义椭圆的过程，体验坐标法处理几何问题的优越性，掌握数形结合思想，提高代数运算及坐标法解决问题的能力。 4.通过主动探究，合作学习，总结思考，提问质疑，提高解决抽象问题的能力，养成实事求是，一丝不苟的科学精神与学习态度。通过课下查阅椭圆在航天、核潜艇等高科技领域的应用，扩展学生的视野，培养学生对数学的兴趣，让学生产生民族自豪感和使命感。 5.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
四、教学重难点及解决措施
重点：椭圆定义的形成，标准方程的推导 解决措施：运用几何画板，让学生直观感受椭圆的形成过程，借助图钉和细绳模拟画出椭圆，结合定义，老师带领推导标准方程，再运用坐标法定量描述椭圆，将抽象表达式化为具体图形，进而验证标准方程的正确性。 难点：椭圆标准方程的推导过程 解决措施：回顾圆的标准方程的推导过程，比较圆与椭圆的异同点，掌握推导思想，多种例子重复练习推导。
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，
问题1：椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
环节二 观察分析，感知概念
问题2:取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，（图3.1-1），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
问题3：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
问题4：应该如何完善刚才对椭圆的定义？
我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focusdistance），焦距的一半称为半焦距．由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆．
环节三 抽象概括，形成概念
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程．
问题5：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图3.1-2所示．
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，的坐标分别为，．根据椭圆的定义，设点与焦点，的距离的和等于．
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
．
设为能为问题研究带来方便．
因为，．
所以． ①
为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得
②
对方程②两边平方，得
整理，得
③
对方程③两边平方，得
整理，得
④
将方程④两边同除以，得
⑤
由椭圆的定义可知，，即，所以．
问题6：观察图3.1-3，你能从中找出表示，，的线段吗？
由图3.1-3可知，，，．令，那么方程⑤就是
⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形．这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点，的距离之和为，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上．我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程．它表示焦点在轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里．
环节四 辨析理解 深化概念
问题7：如图3.1-4，如果焦点，在轴上，且，的坐标分别为，，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
容易知道，此时椭圆的方程是．
这个方程也是椭圆的标准方程．
例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
解法一：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为．
由椭圆的定义知，
所以．．所以，所求椭圆的标准方程为．
你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点．
解法二：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为．
由椭圆的定义知，所以，所以，将代入，得
，整理得，，解得，，
所以，所求椭圆的标准方程为．
例2如图3.1-5，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么 为什么
分析：点在圆上运动，点的运动引起点运动．我们可以由为线段的中点得到点与点坐标之间的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点的坐标所满足的方程．
解：设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，由点是线段的中点，得，．
因为点在圆上，所以
①
把，代入方程①，得
，
即
．
所以点的轨迹是椭圆．
寻求点的坐标中与之间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法．利用信息技术，可以更方便地探究点的轨迹的形状．
思考
由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
环节五 概念应用，巩固内化
例3 如图3.1-6，设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程．
分析：设点的坐标为，那么直线的斜率就可用含的关系式分别表示．由直线的斜率图3.1-6之积是，可得出之间的关系式，进而得到点的轨迹方程．
解：设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率
．
同理，直线的斜率
．
由已知，有
．
化简，得点的轨迹方程为
．
点的轨迹是除去，两点的椭圆．
运用信息技术，可以探究点的轨迹形状．
结论：已知椭圆方程为，，，为椭圆上任一点，则
．
推广：已知椭圆方程为，点，是椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上任一点，则．
环节六 归纳总结,反思提升
问题8：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
（1）本节课学习的主要知识是什么
（2）求椭圆标准方程常用方法是什么？
（3）本节课涉及到了哪些数学思想方法？
知识总结：
活动过程:（师）提问 ----- （生）小结 ----- （师生）补充完善.
一动二定求和常：两个方程大对焦；
三个字母勾股弦；四个想法留心间：
求美，求简，定义，待定系数法
【设计意图】归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力，他们及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯.）
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第109页 练习 第1，2，3,4题
第115 页 习题3.1 第1,2,5,6,9，10题
练习（第109页）
1．如果椭圆上一点与焦点的距离等于6，那么点与另一个焦点的距离是 ．
1．答案：14
解析：由题意知，，由椭圆的定义知，，
所以．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，，焦点在轴上；
(2)，，焦点在轴上；
(3)，．
2．解析：（1）椭圆的标准方程为．
（2） 焦点在轴上，∴设椭圆的标准方程为，
，， ，∴椭圆的标准方程为．
（3），，，．由，得．
∴当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；
当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．
3．经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点．
（1）求的周长；
（2）如果不垂直于轴，的周长有变化吗 为什么
3．解析：（1）的周长为，所以的周长为20．
（2）当不垂直于轴时，的周长不会变化．因为上式仍然成立，所以的周长为定值20．
4．已知，两点的坐标分别是，，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点的轨迹是什么 为什么
4．解析：设点的坐标为，由已知得，直线的斜率，
直线的斜率．由题意，得，所以，
化简，得．因此，点的轨迹是直线，并去掉点．
章节 选修一3.1.1椭圆及其标准方程
一、学习者特征分析
1.学生已学过用坐标法解决几何问题，并掌握圆的定义和标准方程，会解决一些基本圆的几何问题。 2.从圆过渡到椭圆，跨度较大，学生难以改变对圆的固有思维，如何将椭圆的几何特征融会贯通，难度较大。 3.初中代数未涉及对几何图形构建标准方程问题，而椭圆标准方程是研究椭圆性质的基础，学生在求椭圆标准方程时，可能遇到根式难以化简问题。 4.经过一年多的学习，学生在一定程度上具备抽象概括能力和语言转换能力；从学习者心理上看，学生头脑中由椭圆的实物形象，如何用数学语言定性定量描述椭圆是学生较为关注的问题，也是本节课的重点。学生对作图、对比分析较为感兴趣，这是学生学好本节课的心理基础。
二、学习内容分析
椭圆是生活中的常见图形，对椭圆的学习有助于解决一些实际问题；椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。 通过之前对圆的学习，几何问题与代数问题的相互转化已有初步了解，椭圆是在圆的基础上进行的延伸，同样需要了解椭圆定义的形成，标准方程的推导，而标准方程的推导涉及较多代数计算问题，是本节课的重难点。
三、学习目标
1.根据创设的情景，理解椭圆的定义. 2.掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点焦距的概念；能由已知条件推导椭圆标准方程。 3.列举身边的椭圆图形，让学生参与画椭圆，定义椭圆的过程，体验坐标法处理几何问题的优越性，掌握数形结合思想，提高代数运算及坐标法解决问题的能力。 4.通过主动探究，合作学习，总结思考，提问质疑，提高解决抽象问题的能力，养成实事求是，一丝不苟的科学精神与学习态度。通过课下查阅椭圆在航天、核潜艇等高科技领域的应用，扩展学生的视野，培养学生对数学的兴趣，让学生产生民族自豪感和使命感。 5.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
四、教学重难点及解决措施
重点：椭圆定义的形成，标准方程的推导 解决措施：运用几何画板，让学生直观感受椭圆的形成过程，借助图钉和细绳模拟画出椭圆，结合定义，老师带领推导标准方程，再运用坐标法定量描述椭圆，将抽象表达式化为具体图形，进而验证标准方程的正确性。 难点：椭圆标准方程的推导过程 解决措施：回顾圆的标准方程的推导过程，比较圆与椭圆的异同点，掌握推导思想，多种例子重复练习推导。
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，
问题1：椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
环节二 观察分析，感知概念
问题2:取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，（图3.1-1），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
问题3：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
问题4：应该如何完善刚才对椭圆的定义？
我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focusdistance），焦距的一半称为半焦距．由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆．
环节三 抽象概括，形成概念
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程．
问题5：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图3.1-2所示．
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，的坐标分别为，．根据椭圆的定义，设点与焦点，的距离的和等于．
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
．
设为能为问题研究带来方便．
因为，．
所以． ①
为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得
②
对方程②两边平方，得
整理，得
③
对方程③两边平方，得
整理，得
④
将方程④两边同除以，得
⑤
由椭圆的定义可知，，即，所以．
问题6：观察图3.1-3，你能从中找出表示，，的线段吗？
由图3.1-3可知，，，．令，那么方程⑤就是
⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形．这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点，的距离之和为，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上．我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程．它表示焦点在轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里．
环节四 辨析理解 深化概念
问题7：如图3.1-4，如果焦点，在轴上，且，的坐标分别为，，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
容易知道，此时椭圆的方程是．
这个方程也是椭圆的标准方程．
例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
解法一：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为．
由椭圆的定义知，
所以．．所以，所求椭圆的标准方程为．
你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点．
解法二：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为．
由椭圆的定义知，所以，所以，将代入，得
，整理得，，解得，，
所以，所求椭圆的标准方程为．
例2如图3.1-5，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么 为什么
分析：点在圆上运动，点的运动引起点运动．我们可以由为线段的中点得到点与点坐标之间的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点的坐标所满足的方程．
解：设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，由点是线段的中点，得，．
因为点在圆上，所以
①
把，代入方程①，得
，
即
．
所以点的轨迹是椭圆．
寻求点的坐标中与之间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法．利用信息技术，可以更方便地探究点的轨迹的形状．
思考
由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
环节五 概念应用，巩固内化
例3 如图3.1-6，设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程．
分析：设点的坐标为，那么直线的斜率就可用含的关系式分别表示．由直线的斜率图3.1-6之积是，可得出之间的关系式，进而得到点的轨迹方程．
解：设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率
．
同理，直线的斜率
．
由已知，有
．
化简，得点的轨迹方程为
．
点的轨迹是除去，两点的椭圆．
运用信息技术，可以探究点的轨迹形状．
结论：已知椭圆方程为，，，为椭圆上任一点，则
．
推广：已知椭圆方程为，点，是椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上任一点，则．
环节六 归纳总结,反思提升
问题8：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
（1）本节课学习的主要知识是什么
（2）求椭圆标准方程常用方法是什么？
（3）本节课涉及到了哪些数学思想方法？
知识总结：
活动过程:（师）提问 ----- （生）小结 ----- （师生）补充完善.
一动二定求和常：两个方程大对焦；
三个字母勾股弦；四个想法留心间：
求美，求简，定义，待定系数法
【设计意图】归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力，他们及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯.）
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第109页 练习 第1，2，3,4题
第115 页 习题3.1 第1,2,5,6,9，10题
练习（第109页）
1．如果椭圆上一点与焦点的距离等于6，那么点与另一个焦点的距离是 ．
1．答案：14
解析：由题意知，，由椭圆的定义知，，
所以．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，，焦点在轴上；
(2)，，焦点在轴上；
(3)，．
2．解析：（1）椭圆的标准方程为．
（2） 焦点在轴上，∴设椭圆的标准方程为，
，， ，∴椭圆的标准方程为．
（3），，，．由，得．
∴当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；
当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．
3．经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点．
（1）求的周长；
（2）如果不垂直于轴，的周长有变化吗 为什么
3．解析：（1）的周长为，所以的周长为20．
（2）当不垂直于轴时，的周长不会变化．因为上式仍然成立，所以的周长为定值20．
4．已知，两点的坐标分别是，，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点的轨迹是什么 为什么
4．解析：设点的坐标为，由已知得，直线的斜率，
直线的斜率．由题意，得，所以，
化简，得．因此，点的轨迹是直线，并去掉点．