锐角三角函数专项特训卷（含解析）-2025年中考数学二轮复习题

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锐角三角函数专项特训卷-2025年中考数学二轮复习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，E为菱形对角线上一点，．已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．经过坐标原点，分别与轴、轴交于点、点，点是位于第一象限部分上的一点，如图，若点坐标为，点坐标为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在半径为4的半圆O中，为直径，C是半圆上的一点，且，D为弧的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形边上高的长度为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
7．如图1，把一个等腰三角形分割成三块，恰好能按图方式拼放，则 ．
8．如图的三个顶点在网格中格点上，求 ．
9．如图，四边形和四边形分别是边长为3和2的正方形，连结，，，则五边形的面积为 ．
10．武汉长江大桥是武汉市重要的历史标志性建筑之一，素有“万里长江第一桥”美誉．毛泽东同志一句“一桥飞架南北，天堑变通途”吟唱出长江大桥的气势磅礴．如图，某校数学“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量武汉长江大桥的长度，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的正上方612米的点处悬停，此时测得桥上两处的俯角分别为和，则桥之间的距离是 米．（，结果保留整数）
11．如图，P是内部一点，若，，则 ．
12．如图，在等腰中，底边的中点是，底角的正切值是，将该等腰三角形绕其腰上的中点顺时针旋转，使旋转后的点与重合，得到，若旋转后的底边与交于点，则 ．
13．如图，在中，，，，平分交于点D，过C作交的延长线于点E，则线段的长为 ．
14．如图，机器人（看成点）从边长为的正八边形的顶点出发，沿着正八边形的边按逆时针方向行走，第次走条边长到点，第次走条边长到点，第次走条边长到点， ，依此类推，当机器人第次行走结束时，与起点的距离为 ．

三、解答题
15．计算：
16．已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值．
17．2025年央视春节联欢晚会中机器人参与表演的《秧》令人印象深刻，随着科技发展，机器人逐步走进我们的生活，给生产活动带来了极大的助力．如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似．如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时：
(1)求大、小臂连接处B到移动基座的水平距离；
(2)求点C到工作台的高度的长．
参考数据：，，
18．如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中作点，连接，，使得．
(2)在图2中作点，连接，，使得．
19．“浪漫月牙岛，福顺中国年”．抚顺市月牙岛新春夜游季是近年来我市打造的规模最大的冰雪旅游项目，每天吸引着大量市民前来观赏游玩．如图，小澎同学想用无人机测量月牙岛造型景观舞台的高度，将无人机垂直上升到距地面的点处，测得造型景观舞台底端点的俯角为，再将无人机沿造型景观舞台的方向水平飞行至点处，测得造型景观舞台顶端点的俯角为，点，，，均在同一竖直平面内，求造型景观舞台的高度约为多少米．（结果稍确到，参考数据：，，）
20．在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随点的位置变化而变化，连接．
推理证明：
（）当点在菱形内部或边上时，如图①，求证：；写出图①的证明过程；
探究问题：
（）当点在菱形外部时，如图②，图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需证明；
拓展思考：
（）在（）和（）的条件下，若，，则的长为__________．
图① 图② 图③
《锐角三角函数专项特训卷-2025年中考数学二轮复习题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B B D A B
1．B
【分析】本题考查了化简二次根式，特殊角的三角函数值，二次根式的加法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
因为，，所以，即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，连接交于点，勾股定理求出的长，锐角三角函数求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：连接交于点，则，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
3．B
【分析】本题主要考查了坐标与图形、圆周角、勾股定理、求余弦等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，首先解得的长度，由“同弧或等弧所对的圆周角相等”以及“直径所对的圆周角为直角”可得，即可获得答案．
【详解】解：连接，如下图，
∵点坐标为，点坐标为，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．
根据坡度的定义列式计算即可．
【详解】解：堤高，迎水坡的坡比为，
，
，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了不规则图形的面积，涉及扇形面积公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，垂径定理等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
连接，交于点H，可得，再分别求和即可．
【详解】解：连接，交于点H，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
而（圆心角相等，半径相等），
∴，
∴，
∵∵D为弧的中点，为半径，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．根据菱形的性质得出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，即，
∴．
故选：B．
7．/
【分析】本题主要考查了勾股定理，正切，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据题意，得，，从而得，，．根据，得，，利用三角函数即可得解。
【详解】如图，根据题意，得，，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
，
．
．
∴，
．
．
8．
【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，解本题的关键是构造出直角三角形，利用三角形的面积求出，也是解本题的难点．
先利用网格线得出，再用面积求出边上的高，最后用三角函数的定义即可．
【详解】解：如图，过点作，设网格中每个小正方形的边长为1，
，
根据面积相等得，，
，
，
在中，，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，作于点，交于点，设，利用勾股定理求得，由三角函数的定义，求得，，再由，利用三角函数的定义求得，根据五边形的面积为，据此计算即可求解．
【详解】解：作于点，作于点，交于点，设，如图，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的面积为
，
故答案为：．
10．1672
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，过点C作，垂足为D，根据题意可得米，，从而可求出，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】解：过点C作，垂足为D，
由题意得∶
米，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴桥的长度是1672米，
故答案为：1672．
11．
【分析】过点P作，垂足分别为，过点作于点Q，延长交于点E，设，，求出，，证明，推出，求出，再证明，得到，由，即可得到结果．
【详解】解：如图，过点P作，垂足分别为，过点作于点Q，延长交于点E，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理及二次根式的计算，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键．
12．/
【分析】本题考查等腰三角形性质，旋转性质，角度余弦值及正切值等．根据题意连接，再得到，再利用旋转性质可得，再利用正切值可设，，再取中点，连接，过点作于，继而得到本题答案．
【详解】解：如图，连接，
，
∵等腰，
∴，
∵腰上的中点，
∴根据旋转性质知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，
取中点，连接，过点作于，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】过A作于点F，交于点G，则，由已知得到，，，，再根据角平分线得到，，再根据得到，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角函数值，掌握作辅助线是解题的关键．
【详解】过A作于点F，交于点G，则，
∵，，，
∴，，，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，．（也可以用二倍角公式求出）
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
．
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，正确理解题意，找出规律是解题的关键．
当第次时，共计走了条边，由题意得，从点出发，走条边即可回到点，故，因此第次时，相当于绕八边形圈后回到点，再顺时针走条边，即到达顶点，故第次走到顶点，连接，延长，相交于点，先求出，则，即可得出．
【详解】解：第次走条边长到点，第次走条边长到点，次走条边长到点……以此类推，第次走条边长，故当第次时，共计走了条边，
由题意得，从点出发，走条边即可回到点，
，
第次时，相当于绕八边形圈后回到点，再逆时针走条边，即到达顶点，
第次走到顶点，
连接，延长，相交于点，
由题意可得：，，
，，
，则，
，
，
，
故答案为：．

15．7
【分析】本题考查实数的混合运算，先进行特殊角的三角函数，零指数幂，去绝对值，负整数指数幂，开方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
16．，
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，先根据正弦的定义求出，由勾股定理得出，最后根据正切的定义计算即可得解．
【详解】解：在中，，，，
根据勾股定理得：，
∴．
17．(1)大、小臂连接处B到移动基座的水平距离为3米
(2)点C到工作台的高度的长为米
【分析】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的意义是解题的关键．
（1）根据锐角的三角函数的意义求解；
（2）先根据锐角函数的意义求出，再根据线段的和差求解．
【详解】（1）解：如图过点B作，交的延长线于点E，
，
，
在中，，
，
大、小臂连接处B到移动基座的水平距离为3米；
（2）解：延长交的延长线于点F，
由（1）得，
在中，，
，
四边形为矩形，
，
又，
，
，即，
，
在中，，
，
，
点C到工作台的高度的长为米．
18．(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】本题考查的是网格作图，平行线的性质，锐角三角函数的应用，熟练的作图是解本题的关键．
（1）如图，取格点，且，，，连接，则点即为所求；
（2）如图，取格点，且，，，与格线的交点为，则点即为所求
【详解】（1）解：如图，取格点，且，，，连接，则点即为所求；
由网格特点可得：，，，
∴；
（2）解：如图，取格点，且，，，与格线的交点为，点即为所求；
理由如下：由作图可得：
，，，
∴，
∵，
∴，
∴
19．造型景观舞台的高度约为14米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，延长，相交于点，则，先求出，再根据计算即可得解．
【详解】解：如图，延长，相交于点，则，
，
由题意知，，，，．
在中，，
．
在中，
．
答：造型景观舞台的高度约为14米．
20．（）证明见解析；（）图②中，；图③中，；（）或
【分析】（）连接，交于，可证，得到，即得，由可得，即可求证；
（）如图②，连接，同理（）可证，得，即得，由可得即可求解；如图③，连接，同理可求解；
（）由已知可得点在线段上，再根据图①和图②解答即可求解．
【详解】（）证明：连接，交于，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（）如图②，，理由如下：
连接，
同理（）可证，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图③，，理由如下：
连接，
同理（）可证，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）∵，，
∴点在线段上，
如图①，当点在菱形内部或边上时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在菱形外部时，如图②，
同理可得，
∴；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
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