3.1 椭圆大单元导学案（无答案）

椭圆（5课时）
【课标要求】
解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是微积分创立的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过实例了解椭圆及其他圆锥曲线的背景及应用；在平面直角坐标系中，认识椭圆的几何特征，建立椭圆的标准方程，掌握并熟练应用椭圆的简单几何性质。
【学习目标】
1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，探究椭圆的定义并能正确地表述，理解椭圆定义中参数的实际意义和限制条件，提高抽象概括能力；
2.经历椭圆标准方程的推导过程，感悟选择“适合”的坐标系的意义和价值，掌握焦点在坐标轴上的椭圆标准方程的两种形式，进一步体会用坐标法研究几何问题的思维过程和步骤；
3.理解椭圆参数三者之间的关系，会根据已知条件求椭圆的标准方程，解决一些简单的实际问题，体会数形结合的思想；
4.经历由具体椭圆抽象出一般椭圆的几何图形和简单性质的过程，观察得到椭圆范围、对称性、顶点及几何形状的性质，并能熟练应用，进一步提升抽象概括能力；
5.经历观察不同椭圆的扁平程度和分析特征三角形的过程，理解离心率是刻画椭圆扁平程度的量，会运用三角函数知识解释离心率与椭圆扁平程度的关系，进一步体会各模块间知识的联系及数形结合的思想.
【评价任务】
1．通过思考并回答问题1-5，检测目标1；
2．通过思考并回答问题6,检测目标2；
3．通过思考并回答问题7-10，完成例1、例2，检测目标3；
4．通过思考并回答问题11-15，检测目标4；
5．通过思考并回答问题16-18，完成例3、例4，检测目标5.
重点：1、掌握椭圆的定义及标准方程；2. 掌握椭圆的简单几何性质；
难点：1、椭圆标准方程的推导和化简；2、理解离心率是如何刻画椭圆扁平程度的.
【学习过程】
椭圆的标准方程（2课时）
一、阅读思考
结合教科书33页引言，你能理解为什么把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为抛物线吗？你能举出现实生活中圆锥曲线的例子吗？
二、动手实践，归纳椭圆定义
问题1.准备一根定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么？
问题2如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
问题3.视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？
问题4.改变在两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
问题5.绳长能小于两图钉之间的距离吗？
六人小组讨论，归纳概括椭圆的定义：
我们把平面内与两个定点的__________________________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_________，两焦点间的距离叫做椭圆的__________.
说明：
（1）若，则动点的轨迹是椭圆；
（2）若，则动点的轨迹是线段；
（3）若，则动点的轨迹不存在；
问题6.观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？
问题7.推导椭圆的标准方程：
以 为轴， 为轴，建立坐标系；
设是椭圆上的任意一点，, ；
根据条件，得 ；
化简过程：
问题8.椭圆的标准方程是：
焦点在轴上时，_____________________；焦点在轴上时，_____________________；
问题9.上面的三个量满足的关系式是______________________；
问题10.如何判断椭圆的焦点位置呢？
三、典型例题：
例1用定义判断下列动点M的轨迹是什么：
到的距离之和为6的点的轨迹；
到的距离之和为4的点的轨迹；
到的距离之和为3的点的轨迹。
小结：
例2 判断下列方程是否表示椭圆，如果是，请你写出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，及的值；如果不是，请说明理由。
；（2）；（3）；（4）；（5）；
；（7）.
椭圆的简单几何性质（3课时）
一、复习导入
椭圆，焦点在什么位置，的值分别是多少？
二、分析实例，得出椭圆的简单几何性质
问题11.你能画出椭圆的图象吗？我们曾学过什么画图象的方法呢？
问题12.作图时，首先需要知道图象的范围，请问椭圆上点的横纵坐标有范围限制吗？如果有，范围是多少呢？
问题13.作图时，运用描点法，是否必须取四个象限的点呢？你能利用椭圆的对称性想到更好的方法吗？
问题14.作图时，除了取象限内的点，还需要找到椭圆与坐标轴的交点，你能找到椭圆与坐标轴有几个交点，交点坐标是什么吗？
问题15.现在，请你画出椭圆的图象？
问题16.不同的椭圆扁平程度不同，如何刻画椭圆的扁平程度呢？
归纳得出椭圆的离心率定义
我们把椭圆的____________________________，用表示，即______.
问题17.在你作出的椭圆的图形中，你能否找到表示的量呢？(特征三角形)
问题18.根据前面的分析，填写表格，并类比写出焦点在轴上的椭圆的简单几何性质：
标准方程
范围 _________ _________ _________ _________
对称性 对称轴：________ 对称中心：______ 对称轴：________ 对称中心：______
顶点 _________，_________ _________，_________ _________，_________ _________，_________
轴 长轴：________，长度为_______ 短轴：________，长度为_______ 长轴：________，长度为_______ 短轴：________，长度为_______
焦距 _________ _________
焦点 _________，_________ _________，_________
离心率 ____________ ___________
三、典型例题：
例3椭圆的一个顶点与两个焦点构成正三角形，则____________.
小结：
例4 椭圆的对称轴是坐标轴，为坐标原点，为椭圆的一个焦点，是椭圆的一个顶点，若长轴长是26，，求椭圆的标准方程.
小结：
课堂小结
1.本主题我们学到了哪些知识？请用表格或树状图进行描述。
2.请用表格的形式梳理本主题学习过程中涉及的主要数学思想和方法，标注这些思想或方法在解题时的作用。
【课后作业】（90分钟）
一、选择题：（每题5分）
1. 椭圆上的一点到焦点的距离等于1，则点到另一个焦点的距离是（ ）
A．1 B．3 C． D．
2. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的一个焦点为，则椭圆的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
4.已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，那么线段的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D.
5.已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，且，则三角形的面积等于（ ）
A. 24 B. 26 C. D.
6.椭圆的离心率是，则（ ）
A. B. 　　　C. 或　　D. 或
7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍 ，则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
9. 若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10.已知是椭圆的左、右焦点，是直线上的一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（每题5分）
11.若方程表示椭圆，则的取值范围是______________.
12．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则
13．椭圆的焦点坐标为_______________，顶点坐标为____________________________，长轴长是____________，短轴长是____________，离心率等于___________.
14．椭圆的离心率为，则的值是 .源:Z
三、解答题：
15..（10分）写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1），焦点在x轴上； （2），焦点在y轴上；
（3）焦点坐标分别为 （4）
（5）
16. （10分）已知椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，为椭圆上的动点，则的最大值是多少？
17. （10分）已知椭圆的对称轴是坐标轴 ，O为坐标原点 ，F是一个焦点 ，A是一个顶点 ，若椭圆的长轴长是6 ，且 ，求椭圆的方程.