3.2.1 函数的单调性 教学设计

3.2.1函数的单调性
教材内容分析
本节课选自人教A版必修第一册第三章3.2.1节内容。从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据；从学科角度来讲.函数的单调性是重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是发展学生逻辑推理，数学抽象，数学运算的重要素材，同时是一节具有奠基意义的数学方法课.
学情分析
学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对函数的增减性有一个初步的感性认识，知图象的变化趋势；本节课为函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念，学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从观察图象，用自然语言描述函数图象特征，以函数解析式为依据经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.
教学目标
1.学习目标：
(1)借助函数图象，归纳总结出函数单调性的定义；
(2)会用定义法研究函数的单调性.
2.核心素养：发展学生直观想象能力与数学运算能力.
重点: 借助函数图象，归纳总结出函数单调性的定义.
难点: 会用定义法研究函数的最大（小）值.
教学方法
结合本节内容的特征，采用“问题引领，自主探究”式教学.
教学过程
旧知回顾，引入新课
引入1：（师）函数的作用是什么？
（生）函数是描述客观世界中变量之间的一种对应关系。
因此，我们可以通过研究函数的性质来认识客观规律。
引入2：（师）函数的表示图象法有什么优点？
（生）直观、形象生动并且能够反应函数的变化趋势。
因此，函数的图象可以放映出函数的一些性质。
【设计意图】学生对函数的作用和函数的图象法已经非常地熟悉，但是对于图象的作用理解并不深刻，所以教师应该引导学生温故而知新。
创设情境，提出问题
问题1：请画出的图象，
并用自己的话描述它的变化趋势。
从右图可以看出，的图象在y轴左侧部分从左到右下降，在y轴右侧部分从左到右上升。
问题2：在下降和上升的过程中，函数值随自变量的变化发生什么变化？
当x<0,函数值随自变量的增大而减小;当x>0,函数值随自变量的增大而增大.
问题3： 你能用符号语言描述这两种变化吗
【设计意图】学生对函数已经非常地熟悉，对于图象的上升和下降变化趋势也是比较容易，但对于用符号语言去描述这种趋势感到陌生而抽象，所以教师在这里应该多给学生一些时间，耐心引导。
抽象概念，辨析内涵
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间;
特别地，当函数f(x)在定义域上单调递增，我们就称它为增函数。
(图1) (图2)
追问1：为什么要单独提出新的区间D 区间D可以看作哪个变量的取值范围
因为函数单调递增是在某个区间上定义的，不一定在整个定义域上，区间D可以看作自变量的取值。
追问2：
这里的x取值不能特殊化，必须对所有x1,x2都要满足条件。
追问3：你能类比单调递增的定义，给出函数单调递减的定义吗？
特别地，当函数f(x)在定义域上单调递增，我们就称它为减函数。
思考：函数的单调性是对某个区间而言，你能举出在整个定义域内是单调递增的例子吗？你能举出在定义域内某些区间上单调递增，但在一些区间上单调递减的例子吗？
举例：y=x在定义域R上单调递增，
在 上单调递增。
【设计意图】对于这个定义，很多同学能够说得出来，但是并不理解其中的含义，所以教师应该引导学生沉沉剖析，深刻、透彻理解这个概念。并通过举例子的方式，让学生进一步感受单调性是一个局部性质。
及时演练：下列函数在R上单调递增的有（ ）
【设计意图】函数单调性的概念是一个比较抽象的内容，学生很难理解透彻，所以教师应该设计题目帮助学生进行理解。
典例剖析，巩固理解
例1 根据定义，研究函数y=kx+b()的单调性。
分析：根据函数的单调性，需要考察当根据实数大小关系的基本事实，只要考察与0的关系即可。
例2 物理学中玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减少，压强p将增大。试对此用函数的单调性证明。
分析：根据题意，只要证明是减函数即可。
例3 根据定义证明在区间上单调递增。
【设计意图】设计这3个例子的目的既是为了巩固单调性的定义，也是为了总结出利用定义研究函数单调性的方法和步骤，体现了数学运算的核心素养。在例1的时候学生对如何研究函数的单调性还比较陌生，教师应该适当地引导。
课堂小结，形成结构
经过本节课的学习，你有什么收获？
课后作业
必做：课本79页练习1, 2, 3, 4.
选做：课本86页习题3.2 第2, 3题.
板书设计
3.2.1 函数的单调性
增函数 减函数 例1 例2 例3