河南省洛阳市孟津第一高级中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷(pdf版,含答案)

2024-2025 学年河南省洛阳市孟津第一高级中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香 6 盆鲜花放入 3 个不同的房间中，每个房间放 2 盆花，其
中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有( )
A. 12 种 B. 18 种 C. 36 种 D. 54 种
2.函数 ( ) = + 2 在区间[ , 0]上的最小值是( )
A. 2 B. 2 C.

6 + 3 D.
2
3 3
3.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( )
A. 72 B. 120 C. 192 D. 240
4.设函数 ( ) = ，则( )
A. = 1 为 ( )的极大值点 B. = 1 为 ( )的极小值点
C. = 1 为 ( )的极大值点 D. = 1 为 ( )的极小值点
5.若(1 2 )5 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 52 3 4 + 5 ，则| 0| | 1| + | 2| | 3| + | 4| | 5| =( )
A. 243 B. 27 C. 1 D. 1
6.已知函数 ( ) = 3 + 2，过曲线 = ( )上一点 ( 1, )且平行于直线 3 + = 0 的切线方程为( )
A. 3 + 1 = 0 B. 3 + + 1 = 0 C. 3 + 1 = 0 D. 3 + 2 = 0
7.已知( + 1)6( 1)2的展开式中含 3项的系数是 20，则 的值等于( )
A. 0 B. 5 C. 0 或 5 D.以上都不对
8 ( ) = 1 3 (1) 2 + 8 ∈ [0,4], 1.已知函数 3 ′ ，若对任意 3 ≥ ( )恒成立，则实数 的取值范围是
( )
A. [7, + ∞) B. [ 193 , + ∞) C. [
22
3 , + ∞) D. [
17
3 , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( )的定义域为 且导函数为 ′( )，如图是函数 = ′( )
的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数 ( )的增区间是( 2,0)，(2, + ∞)
B.函数 ( )的增区间是( ∞, 2)，(2, + ∞)
C. = 2 是函数的极小值点
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D. = 2 是函数的极小值点
10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的图形，后人称为“三角垛”.某“三角垛”
的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，…设各层球数构成一个数列{ }， 是其前 项和，
则( )
A. 4 = 22 B. +1 = + + 1
C. 100 = 5050 D. 2 +1 = +2
11.已知 ′( )为函数 ( ) 1的导函数，若 2 ′( ) + ( ) = ， (1) = 2，则下列结论错误的是( )
A. ( )在(0, + ∞)上单调递增 B. ( )在(0, + ∞)上单调递减
C. ( ) (0, + ∞) 1 1在 上有极大值2 D. ( )在(0, + ∞)上有极小值2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( + 1)(2 + 1)(3 + 1) ( + 1)( ∈ )的展开式中的一次项系数为______．
13.函数 ( ) = (1 + 2) 1 的零点个数为______．
14.“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，
董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼、智、信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、
信”相邻的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 17 分)
( 1 2 1已知在 ) 2 的展开式中，第 9 项为常数项，求：
(1) 的值；
(2)展开式中 5的系数；
(3)含 的整数次幂的项的个数．
16.(本小题 13 分)
设函数 ( ) = 2 3 3( + 1) 2 + 6 + 8，其中 ∈ .已知 ( )在 = 3 处取得极值．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求 ( )在点 (1,16)处的切线方程．
17.(本小题 15 分)
已知集合 = { |1 < log 2 < 3, ∈ }， = {4,5,6,7,8}．
(1)从 ∪ 中取出 3 个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？
(2)从集合 中取出1 个元素，从集合 中取出 3 个元素，可以组成多少个无重复数字且比 4000 大的自然数？
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18.(本小题 15 分)
函数 ( ) = 3 + 3 2 + 3 ( ≠ 0)．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( )在区间(1,2)上是增函数，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = 3 6 2 + 9 + ．
(1)求 ( )在区间 ∈ [ 2,2]的最值；
(2)若 ( )有且只有两个零点，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ( +1)2
13.1
14.15
15.解：(1)在( 1 22
1 ) 的展开式中，第 9 项为常数项，
而第 9 项的通项公式为 = 8 28 9 2 16 4 = 28 8 2 20 ，
故有 2 20 = 0，解得 = 10．
20 5 (2)由(1)可得展开式的通项公式为 = +1 10 2 10 20 2 ( 1) 2 = ( 1) 2 10 10 2．
5 1 105
令 20 2 = 5，求得 = 6，故展开式中
5的系数为 624 10 = 8 ．
(3)由 20 5 2为整数，可得 = 0，2，4，6，8，10，故含 的整数次幂的项的个数为 6．
16.解：(1) ∵ ( ) = 2 3 3( + 1) 2 + 6 + 8，
∴ ′( ) = 6 2 6( + 1) + 6 ，
又∵ ( )在 = 3 处取得极值，
∴ ′(3) = 6 × 9 6( + 1) × 3 + 6 = 0，解得 = 3．
经检验当 = 3 时， = 3 是 ( )的极值点，故满足题意，
∴ ( ) = 2 3 12 2 + 18 + 8；
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(2) ∵ (1) = 16，
故点 (1,16)在函数 = ( )的图象上，
由(1)可知 ′( ) = 6 2 24 + 18，
′(1) = 6 24 + 18 = 0，
∴切线方程为 = 16．
17.解：由 1 < log2 < 3，得 2 < < 8，又 ∈ ，所以 为 3，4，5，6，7，
即 = {3,4,5,6,7}，
所以 ∪ = {3,4,5,6,7,8}．
(1)从 ∪ 中取出 3 个不同的元素，可以组成 36 = 120 个三位数．
(2)若从集合 中取元素 3，则 3 不能作千位上的数字，
有 35 13 33 = 180 个满足题意的自然数；
若不从集合 中取元素 3，则有 14 3 44 4 = 384 个满足题意的自然数．
所以，满足题意的自然数共有 180 + 384 = 564 个．
18.解：(1)函数 ( ) = 3 + 3 2 + 3 ，
∴ ′( ) = 3 2 + 6 + 3，
令 ′( ) = 0，即 3 2 + 6 + 3 = 0，则△= 36(1 )，
①若 ≥ 1 时，则△≤ 0， ′( ) ≥ 0，∴ ( )在 上是增函数；
≠ 0 ∴ ≤ 1 △> 0 ′( ) = 0 = 1+ 1 1 1 ②因为 ， 当 ， ， 方程有两个根， 1 ， 2 = ，
当 0 < < 1 时，则当 ∈ ( ∞, 2)或( 1, + ∞)时， ′( ) > 0，故函数在( ∞, 2)或( 1, + ∞)是增函数；
在( 2, 1)是减函数；
当 < 0 时，则当 ∈ ( ∞, 1)或( 2, + ∞)时， ′( ) < 0，故函数在( ∞, 1)或( 2, + ∞)是减函数；在
( 1, 2)是增函数；
(2)当 > 0， > 0 时， ′( ) = 3 2 + 6 + 3 > 0 恒成立，故 > 0 时， ( )在区间(1,2)是增函数，
当 < 0 时， ( )在区间(1,2)是增函数，
5
当且仅当： ′(1) ≥ 0 且 ′(2) ≥ 0，解得 4 ≤ < 0，
5
所以 的取值范围[ 4 , 0) ∪ (0, + ∞)．
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19.解：(1) ′( ) = 3 2 12 + 9，令 ′( ) = 0 可得： = 1 或 = 3(舍去)
因为 (1) = 4 + ， ( 2) = 50 + ， (2) = 2 + ，
所以 ( ) = 50 + ， ( ) = 4 + .----------------------------(6 分)
(2)令 ( ) = 3 6 2 + 9 + = 0，可得 = 3 + 6 2 9 ．
设 ( ) = 3 + 6 2 9 ，则 ′( ) = 3 2 + 12 9，
令 ′( ) = 0，得 = 1 或 = 3，列表如下：
( ∞,1) 1 (1,3) 3 (3, + ∞)
′( ) 0 + 0
( ) 递减 有极小值 4 递增 有极大值 0 递减
所以 ( )的大致图象如下：
要使 = 3 + 6 2 9 有且只有两个零点，
只需直线 = 与 ( )的图象有两个不同交点，
所以 = 4 或 = 0.------------------------(12 分)
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