2.5.1直线与圆的位置关系 教学设计

2.5.1直线与圆的位置关系
一、教学内容
运用交点个数、代数法、几何法判断直线与圆的位置关系，直线与圆的方程解决简单的问题.
二、教学目标
通过具体实例，能说出直线与圆的位置关系，体会数形结合的数学思想，发展直观想象核心素养。
通过课堂小组讨论，能用交点个数、代数法、几何法判断直线与圆的位置关系，体会数形结合的数学思想，发展数学抽象核心素养。
通过例题的解答，会判断直线与圆的位置关系，会求弦长，切线，体会数形结合的数学思想，发展数学运算核心素养。
三、教学重点与难点
重点：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系.
难点：运用直线与圆的方程解决简单的问题.
四、教学过程设计
引导语：在平面几何中,我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线的方程、圆的方程,以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法,利用直线和圆的方程,通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系.
问题一
在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系 根据上述定义,如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系
直线与圆的位置关系 图形表示 交点个数 代数法 （ 的情况） d与r的关系
师生活动：学生先独立思考再小组讨论后回答并回答。
设计意图：引导学生发现用交点个数、代数法、几何法判断直线与圆的位置关系。
问题二
例1已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线与
圆C的位置关系;如果相交,求直线被圆C所截得的弦长.
师生活动：解法1:联立直线l与圆C的方程,得
消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1
所以,直线l与圆C相交,有两个公共点.
把x1=2,x2=1分别代入方程,得y1=0,y2=3.
所以,直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3)，因此
解法2：圆C的方程x2+y2-2y-4=可化为x2+(y-1)2=5,因此圆心C的坐
标为(0，1),半径为,圆心C（0,1)到直线l的距离
所以,直线l与圆C相交,有两个公共点.
由垂径定理,得.
设计意图：思路1:将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方性成的方程组有无实数解、有几个实数解;若相交,可以由方程组解得两交点的坐标,利两同的距离公式求得弦长.
思路2:依据圆心到直线的距离与半径的关系,判断直线与圆的位置关系;若相交,则可利用勾股定理求得弦长.
问题三
例2过点P(2,1)作圆O:x2+ y2=1的切线l,求切线l的方程.
师生活动：解法1:设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得
解得k=0或.
因此,所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0.
解法2:设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1-k(x-2)
因为直线l与圆相切,所以方程组
只有一组解.
消元,得
(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0 ①
因为方程①只有一个解,所以
△=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0
解得k=0或.
所以,所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0
设计意图：点P(2,1)位于圆O:x2+ y2=1外,经过圆外一点有两条直线与这个圆相切,我们设切线方程为y-1=k(x-2),k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
五、目标检测设计
1.判断下列各组直线与圆C的位置关系:
(1)1:x-y+1=0， 圆C：x2+y2=3;
(2)1：3x+4y+2=0, 圆C：x2+y2-2x=0
(3)1：x+y+3=0, 圆C：x2+y2+2y=0
2.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相切,求圆C的方程。
3.判断直线2x-y+2=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4的位置关系:如果相交,求直线被圆得的弦长。
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