2025年中考数学一轮复习 14 三角形 小测验（含答案）

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14 三角形
分值：50分 时间30分钟
选择题（15分）
1、（2024·吉林长春·一模）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于
2、（2024·湖北·模拟预测）如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3、（2024·广东·模拟预测）已知一个三角形的两边长分别为4和1，则这个三角形的第三边长可能是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
4、（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交于点E，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
5、（2024·浙江·模拟预测）如图，D是的边上一点，且，过点D作，交于点E，取线段的中点F，连接．若，则中边上的中线长为（ ）
A．2 B．6 C．7 D．8
填空题（15分）
6、（2024·青海·一模）一个等腰（非等边）三角形的三边长均满足一元二次方程，则这个三角形的周长是 ．
7、（2024·山东济南·中考真题）如图，已知， ABC是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
8、（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠 ABC，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
9、（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．

10、（2024·全国·模拟预测）如图，在等边 ABC中，点为边上一动点，点为上一点，且满足，连接，，当线段的长度最小时，的值为 ．
简单题（20分）
11、（2024云南省）如图，在和中，，，．
求证：．
12、（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
13、（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的；
(2)仅用无刻度直尺作出的高．
14、（2024·湖南·模拟预测）【问题背景】
已知，在正方形中，为正方形的对角线，为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接．
【猜想感知】
（1）如图①，当点在线段上时，判断的形状，并说明理由；
【类比探讨】
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系；
【问题解决】
（3）若，求线段的长．
答案：
一、选择题（15分）
1、（2024·吉林长春·一模）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于
解：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性
故选：B．
2、（2024·湖北·模拟预测）如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
解：如图，点为外圈所对的圆心，连接、、，

由题意得，，
由圆周角定理可知，，，
∴，
故选：C．
3、（2024·广东·模拟预测）已知一个三角形的两边长分别为4和1，则这个三角形的第三边长可能是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
解：设三角形的第三边为，
∵三角形的两边长分别为和，
∴，
即，
∴这个三角形的第三边长可能是．
故选：C．
4、（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交于点E，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
解：根据作图可得：，为的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故选：B．
5、（2024·浙江·模拟预测）如图，D是的边上一点，且，过点D作，交于点E，取线段的中点F，连接．若，则中边上的中线长为（ ）
A．2 B．6 C．7 D．8
解：取中点为H，连接，则为边上的中线，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵线段的中点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（15分）
6、（2024·青海·一模）一个等腰（非等边）三角形的三边长均满足一元二次方程，则这个三角形的周长是 ．
解：，
∴，
∴或，
解得：或，
当该等腰三角形的腰为时，
∵，
∴以、、为边不能构成三角形，舍去；
∴该等腰三角形的腰只能为，
∴这个三角形的周长是：．
故答案为：．
7、（2024·山东济南·中考真题）如图，已知， ABC是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
解：∵ ABC是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
8、（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠 ABC，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
解：由折叠的性质，得，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，
解得.
故答案为：3．
9、（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．

解：∵，，，
∴，，
①点D在线段时，

∵，，
∴，
∴，
∴；
②点D在线段延长线上时，

∵，，
∴，
∴，
∴；
③点D在线段延长线上时，

此时，即，故不符合题意，舍去，
综上，的长为6或12．
10、（2024·全国·模拟预测）如图，在等边 ABC中，点为边上一动点，点为上一点，且满足，连接，，当线段的长度最小时，的值为 ．
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征，定弦定角问题，解答即可．
【详解】解：∵ ABC为等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
作的垂直平分线，作，与垂直平分线交于点O，
则点F的运动轨迹是以O为圆心，以为半径的圆的三角形内部的一段弧，
连接与弧交于点H，
当F与点H重合时，最小，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，设二线的交点为Q，
则，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、简单题（20分）
11、（2024云南省）如图，在和中，，，．
求证：．
证明：，
，即，
在和中，
，
．
12、（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴的长为．
13、（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的；
(2)仅用无刻度直尺作出的高．
（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：如图所示，为所求．
取格点D，连接交于点P，即为所求；
取格点M，N，与相交于点G，
∵，，
∴
∴
∵，
∴
∴，点P即为所求
14、（2024·湖南·模拟预测）【问题背景】
已知，在正方形中，为正方形的对角线，为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接．
【猜想感知】
（1）如图①，当点在线段上时，判断的形状，并说明理由；
【类比探讨】
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系；
【问题解决】
（3）若，求线段的长．
解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：
延长交于点，如图：
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）如图2，延长交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段上时，由（1）可知：，是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，由（2）可知：，
∴，
∴，
综上：或．
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