5.1.1任意角 教学设计（表格式）

教学设计
课题 5.1.1任意角
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
教学内容分析
通过实际问题(体操中的转体、齿轮旋转等)引出角的概念的推广问题，引发学生的认知冲突，将角的范围推广到任意角，在直角坐标系中表示角-象限角，并研究象限角的性质--终边相同的角的代数特征.这样可以使学生更好地理解引入任意角概念的必要性，建立“背景一定义一度量-运算一性质”的研究路径.
学习者分析
学生过去接触的角都在到，关于角的认识已经形成一定的思维定势.初中研究过平面图形的旋转，学生已经知道旋转的“三要素”，这是对旋转的定性刻画，可以作为刻画任意角的一个基础.
学习目标确定
1.通过实际问题（体操中的转体、齿轮旋转等），感受角的概念推广的必要性. 2.体会用符号代表方向的意义，类比实数的加、减法得到角的加减法规则及相反角的概念. 3.结合角和平面直角坐标系的关系，建立象限角的概念.借助图象，通过运算，会用集合表示终边相同的角.感受数学地探索事物性质的普遍方法. 4.通过分析旋转运动现象，抽象出任意角概念的构成要素，既体现了具体的推广方法，又蕴含着模型的思想。在体会任意角的加法和减法运算的几何意义、定义象限角的过程中，蕴含着数形结合思想。在探究终边相同的角的量化表示过程中，蕴含着数形结合与化归的数学思想。 5.在对角的定义进行推广的过程中，采用“背景—定义—度量—运算—性质”的研究路径，可以发展学生直观想象和数学抽象素养。通过类比实数的运算体会任意角的加法和减法运算的几何意义，可以发展学生逻辑推理素养。在探究终边相同的角的量化表示过程中，经历从特殊到一般，由图形语言到自然语言再到符号语言表达的过程，可以发展学生直观想象、数学抽象素养。
学习重点难点
重点：将到范围的角扩充到任意角. 难点：任意角概念的构建，用集合表示终边相同的角.
学习活动设计
过程学习内容与教师活动（引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标通过阅读章引言，我们了解到，三角函数是刻画现实世界中周期性变化现象的重要函数模型. 引导学生回忆指数函数、对数函数的学习过程，让学生对三角函数的内容、结构、研究过程与方法等有一个初步的整体的认识.学生独立阅读章引言及观察章头图. 回忆学习指数函数和对数函数的过程，归纳研究函数的学习路径.作为章节起始课，帮助学生回忆研究函数的一般路径，为整章内容的学习做好铺垫.要求学生独立阅读章引言，了解全章的学习目标，有助于提高学生学习时的注意力和学习兴趣.环节一 任意角概念的形成过程内容1.（创设情境，提出问题） 圆周运动是一种常见的也是比较典型的周期性变化现象，接下来这一章所有的内容几乎都可以围绕这一背景逐渐展开，我们先看下面这个问题. 问题1：⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点的位置变化呢？ 学生独立思考，教师通过PPT让学生清楚：圆周上点的运动可以通过角的变化进行刻画.从章引言自然过渡到本节课即将学习的内容，强调圆周运动这一背景对学习本章知识的重要性，指出本节课的学习目标，引出本节课课题. 内容2.（分析实例，归纳特征） 问题2：你还记得初中是怎么定义角的吗？如何表示角？ 用什么来度量？角的范围是什么？ 追问1:生活中有超出 角的例子吗？请你举例说明. 追问2：角可以用来刻画现实世界中什么样的现象？角是怎么形成的？如何使这样的现象量化，需要知道哪些要素？ 教师倾听学生的想法，必要时进行深入交流，要给予恰当的评价. 一起回顾初中角的概念. 学生独立思考，并回答问题. 通过简单的讨论，发现角的不同体现在两个方面：一是大小；二是方向. 回答出角的大小及旋转方向. 这里要让学生先回顾初中学习角的定义，是静态的图形，就因为静所以限制了角的范围，所以高中的定义中特别突出了动态-旋转. 一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；另一方面，学生在用语言描述这些超出 角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他们体会到，要想说清楚这些角,有必要将角的范围进行拓展,而且需要从动态的角度重新定义角. 让学生进一步体会：要想说清楚一个角，包括两个方面：一是旋转方向；二是旋转量. 内容3.（通过阅读，获得概念） 问题3：请同学们阅读课本第168页最后一段至第169页第二段，回答下列问题： ①你能用自己的语言表述任意角的概念吗？ ②你能结合概念说说什么样的两个角是相等的角吗？ ③作出300、6600和-5700的角. 教师通过巡视检查学生作图是否正确、规范. 学生独立阅读课本，回答问题3.在问题引导下，通过阅读教科书进行自主学习、动手画图，加强对任意角概念的记忆和理解.关键是对旋转方向的量化，可以通过类比实数，用符号表示方向.内容4.（任意角运算） 问题4：对于两个已知的任意角α和β ，它们之间能够进行加法运算吗？请同学们通过作图进行比较。 （1）300与-30° （2）300+1200与1500 （3）300-120°与-90° 追问：你能从几何的角度解释α + β 的含义吗？ 教师利用信息技术动态展示. 学生能够结合已有的运算经验说出正确结果. 学生利用几何画板能够理解两角和的运算与实数的加法运算完全一致;同时，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(一β)，即“减去一个角等于加上这个角的相反角”这样，角的减法可以转化为加法.从几何角度看，就是一条射线绕端点旋转任意角.α后再旋转任意角β，这时终边所对应的角是α+β. 定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题.类比实数运算加法法则解释角α + β 的几何含义，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算.同时为今后学习向量运算和其他运算内容做好铺垫. 环节二 象限角概念的形成过程内容5.(象限角的概念) 引导语：为了方便研究角，我们通常在直角坐标系内讨论角.将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的负半轴重合.并且规定角的终边在第几象限就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就说这个角不属于任何象限. 问题5:分别说出300、-1200 是第几象限角. 追问：你能说说在直角坐标系下讨论角的好处吗？ 学生口答. 学生独立思考，并回答.根据象限角定义判断具体的角所在的象限，帮助学生明确象限角的定义.检验学生对角度大小的直观认识.这样讨论角的好处就是：在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示. 环节三 终边相同的角形成过程内容6.(终边相同角的集合) 引导语：我们将角放在直角坐标系讨论后，可以看到，研究一个任意角，只需要研究这个角终边的位置就好了.任意给定一个角，就有一条终边与之对应. 问题6：反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB, 以它为终边的角是否唯一呢？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系呢？ 追问1：对于一个任意角α, 所有与α终边相同的角构成的集合如何表示？ 教师通过引导学生归纳总结，用符号语言精确表示与α终边相同的角的集合. 学生通过观察图5.1-6，完成填空.能用文字语言进行描述. 学生通过借助几何画板的操作，先从几何的角度体会对于一个具体的角α,与其终边相同的角β和角α的图形特征. 利用信息技术，在直角坐标系画出任意角，并测出角的大小，再观察角的终边旋转整数周后，其大小与原角之间的关系，从而将数、形联系起来，给出几何意义的代数解释. 例1:在0°到360°范围，找出与-950012′角终边相同的角，并判定它是第几象限角 例2:写出终边在轴上的角的集合； 例3:写出终边在直线上的角的集合，并把中适合不等式 的元素写出来. 例1：学生先估计-950012′ 大致是3600的几倍，然后在具体求解. 学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方法不唯一. 学生尝试用日常语言描述集合的特征，分析与例2的共性，能推广到其它直线. 能判断一个角所在的象限，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础. 会用集合表示终边相同的角.提高学生解决与分析问题的能力. 课堂练习：171页练习1-5学生独立完成巩固知识，评价学生学习目标达成.课堂小结通过本节课的学习，我们认识到角的推广的必要性，你能说出我们是如何定义任意角的吗？又是如何对任意角进行研究的？ 教师帮助学生进行归纳梳理.学生可能从背景、定义、度量、运算、性质几个方面进行回答.通过小结，让学生建立研究对任意角的研究路径是“背景-定义- 度量- 运算- 性质”，提高学生概括能力.
板书设计
作业与拓展学习设计
作业：习题5.1复习巩固1-3题. 综合运用:第7题。 拓展学习： 有了终边落在坐标轴上角的表示方法，你能表示出第二象限角吗？写出第二象限角的集合表示方法.