2025年中考数学一轮复习 17 锐角三角函数与解直角三角形 小测验（含答案）

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17 锐角三角函数与解直角三角形
分值：50分 时间30分钟
选择题（15分）
1.(2024·石家庄桥西区模拟)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,则cos A= (　　)
B. C. D.
2、(2024·唐山丰南区二模)如图,小明在点C处测得树的顶端A仰角为62°,测得BC=10米,则树的高AB(单位:米)为(　　)
A. B.
C.10tan 62° D.10sin 62°
3、 （2024甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
4、 （2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
5、（2024安徽省）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
填空题（15分）
6、(2024·唐山古冶区二模)四边形具有不稳定性.如图,将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形,则sin α=　　　　;若α=30°,则平行四边形的面积为　　　　.
7、（2024内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
8、（2024武汉市）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：）
9、 （2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）
10、（2024江西省）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______．
解答题（20分）
11、（2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
12、（2024河南省）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明．
（2）经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
13、（2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
14、 （2024天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
答案
一、选择题（15分）
1.(2024·石家庄桥西区模拟)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,则cos A= (　　)
B. C. D.
解析:∵∠B=90°,∴cos A=.故选B.
2、(2024·唐山丰南区二模)如图,小明在点C处测得树的顶端A仰角为62°,测得BC=10米,则树的高AB(单位:米)为(　　)
A. B.
C.10tan 62° D.10sin 62°
解析:由题意得,∠ABC=90°,∠ACB=62°,
在Rt△ABC中,BC=10米,
∴AB=BC·tan 62°=10tan 62°(米).故选C.
3、 （2024甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
解：如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
4、 （2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上，
依题意，，
∴
∴
又，
∴
∴
故选：B．
5、（2024安徽省）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
解：过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（15分）
6、(2024·唐山古冶区二模)四边形具有不稳定性.如图,将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形,则sin α=　　　　;若α=30°,则平行四边形的面积为　　　　.
解析:如图,过点A作AH⊥BC,垂足为H,
∵AB·BC=5,AH·BC=4,
∴,
∴sin α=,
∵α=30°,
∴sin 30°=,
∴AH=AB,
∴平行四边形的面积为BC·AH=AB·BC=×5=.
7、（2024内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
解：如图，过点D作，交的延长线于点M，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，（米），
∴（米），
∴古树的高度约为米．
故答案为：．
8、（2024武汉市）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：）
解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
由题可知，，
设，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：51．
9、 （2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）
解：如图，延长交直线于点H，则，
由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
，
故答案为：17．
10、（2024江西省）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______．
解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作的延长线于点，则，，
由图（）可得，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（20分）
11、（2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
12、（2024河南省）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明．
（2）经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
证明：如图，连接．
则．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：在中，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
答：塑像的高约为．
13、（2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
【小问2详解】
能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
14、 （2024天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
解：设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
【小问2详解】
在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
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