第三章 圆锥曲线的方程 单元设计完整版（人教A版新教材）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 单元设计完整版（人教A版新教材） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-14 10:01:34 | ||
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文档简介
圆锥曲线的方程 单元教学设计
一、单元名称：圆锥曲线的方程
二、单元内容和内容解析：
1.单元内容
圆锥曲线的方程是教材中已经划分好的“教学单位”，是以核心数学知识为主线的主题类单元，教学内容主要包括：圆锥曲线的定义、标准方程及其简单几何性质，圆锥曲线的简单应用。教学内容的主线有两条：一条是“从几何直观到代数表示”，另一条是“用代数方法研究几何问题”。明线为每一种圆锥曲线的几何特征、方程、性质和应用，暗线为坐标法和数形结合思想。在本章所有内容结束之后要安排两节小结课，这两节课是将本单元内容进行梳理，建立知识网络，并就学习中出现的常见题型与方法进行总结，主要是两类问题——一是求曲线方程，一是直线与圆锥曲线的位置关系，由此进一步体现解析几何研究的主要问题——根据已知条件，求出表示曲线的方程；通过曲线的方程，研究曲线的性质。
2.内容解析
（1）内容的本质：解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。
（2）内容蕴含的数学思想和方法：在解析几何的学习中一直贯穿“数形结合的思想”；研究圆锥曲线的标准方程时体现了“方程的思想”和“分类讨论的思想”；研究直线与圆锥曲线的位置关系蕴含了“坐标法”的基本思想；研究双曲线和抛物线时蕴含了类比的数学思想；用圆锥曲线的知识解决实际问题蕴含了“化归与转化的思想”，体现了数学建模。
（3）知识的上下位关系：坐标法是研究直线与圆的延续，已有的知识方法可以为圆锥曲线的学习提供知识和方法的保证；椭圆为后续双曲线和抛物线的研究做好了铺垫，研究内容、过程和方法类似，体现了数学知识的前后一致性。
（4）内容的育人价值：利用几何特征得出椭圆、双曲线、抛物线的概念可以发展学生的抽象概括和逻辑推理能力；求椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的过程可以培养学生运算求解、抽象概括能力；由椭圆、双曲线和抛物线的标准方程研究圆锥曲线的性质的过程初步形成用代数方法解决几何问题的能力，发展学生逻辑推理、数学运算素养；利用圆锥曲线的知识解决实际问题的过程可以提升学生数学建模素养，培养应用意识；研究直线与圆锥曲线的位置关系的过程可以进一步领会解析几何的数学本质，提升学生数学运算、几何直观素养。
（5）本单元教学重点：根据已知条件，求出表示曲线的方程；通过曲线的方程，研究曲线的性质；研究圆锥曲线的思路与方法。
三、单元教学目标和目标解析
（一）总目标：在直线与圆的方程研究的基础上，借助几何直观经历由具体情境中抽象出圆锥曲线的过程，认识其几何特征，建立它们的标准方程，并运用坐标法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，可以运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，体会数形结合思想和坐标法。
1.借助于行星运行轨迹、发电厂冷却塔的外形线、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等实际生活中的例子，体会圆锥曲线的实际背景和圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，体会由特殊到一般、数形转化思想，发展数学抽象和逻辑推理素养；
3.根据椭圆的定义，利用坐标法，推导出椭圆的标准方程，并能根据条件求椭圆的标准方程，体会数形结合、方程思想，提升数学运算和逻辑推理素养；
4.利用椭圆的标准方程研究其简单几何性质，体会用代数方法研究几何问题的基本思想，发展逻辑推理、几何直观素养；
5.运用信息技术的演示，了解双曲线的定义、几何图形，类比椭圆标准方程的推导方法推导出双曲线的标准方程，体会数形结合、类比、分类讨论思想，提升数学抽象和数学运算素养；
6.利用双曲线的标准方程研究其简单几何性质，明确数学对象的研究内容，体会类比和数形结合思想，发展逻辑推理、几何直观素养；
7.了解抛物线的定义、几何图形，会求其标准方程，体会数形结合、类比、分类思想，提升数学抽象和数学运算素养；
8.利用抛物线的标准方程研究其简单几何性质，明确研究几何对象的一般套路，进一步体会用代数方法研究几何问题的思想，发展逻辑推理、直观想象素养.
（二）目标解析：
达成上述目标的标志是：
1.能够根据给定的条件建立适当的坐标系求出圆锥曲线的方程；
2.能够对含有根式的表达式进行化简；
3.能够利用方程研究圆锥曲线的性质；
4.能够类比椭圆的研究方法和路径研究双曲线和抛物线；
5.能够运用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。
四、单元教学问题诊断分析
1.学习本单元学生已具备的学习基础：在必修课程中 ，已经用坐标法研究过直线与圆，对用坐标法研究曲线的基本思想与方法已有了解，已经能从代数的角度解决简单的几何问题，具备了一定的运算求解能力。
2.从已有基础到目标学生可能遇到的障碍：（1）从具体实例中抽象出圆锥曲线的几何特征是比较困难的；（2）求椭圆标准方程时的化简过程不太会处理，推理论证能力不强；（3）如何通过标准方程研究曲线的几何性质，这是第一次遇到，在研究什么、如何研究上有困难；（4）圆锥曲线的定义不能够灵活运用，数形转化能力有所欠缺；（5）会用代数方法判断直线与圆锥曲线位置关系，但运算能力不过关。
3.教学难点：由具体情境中抽象出曲线的几何特征；圆锥曲线标准方程的化简；圆锥曲线定义的适时转化；坐标法的灵活应用。
五、教学支持条件分析
使用几何画板软件或GeoGebra软件演示椭圆、双曲线的渐近线、抛物线及圆锥曲线方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响。
用动画软件演示用平面截圆锥得到圆锥曲线的过程。
六、单元分讲设计
1.根据教学主线和知识的逻辑关系，给出本单元内容结构图：
2.本单元共需12课时，各课时安排如下：
第1课时：椭圆及其标准方程（一）（落实目标1,2,3）
第2课时：椭圆及其标准方程（二）（落实目标1,2,3）
第3课时：椭圆的简单几何性质（一）（落实目标4）
第4课时：椭圆的简单几何性质（二）（落实目标1-4）
第5课时：双曲线及其标准方程（落实目标5）
第6课时：双曲线的简单几何性质（一）（落实目标6）
第7课时：双曲线的简单几何性质（二）（落实目标5,6）
第8课时：抛物线及其标准方程（落实目标7）
第9课时：抛物线的简单几何性质（一）（落实目标8）
第10课时：抛物线的简单几何性质（二）（落实目标7,8）
第11课时：小结（一）—求曲线方程习题课（落实目标2,3,5,7）
第12课时：小结（二）—直线与圆锥曲线的位置关系（落实目标1-8）
七、课时教学设计
第1课时 椭圆及其标准方程(一)
（一）课时教学内容：椭圆及其标准方程
（二）课时教学目标：
1.通过用细绳画椭圆的实验，寻找出在画图过程中笔尖满足的几何条件，把握其数学特征，并用准确的数学语言表达椭圆的概念，会初步运用椭圆的概念判断曲线类型，体会由特殊到一般、数形转化思想，发展数学抽象和数学运算素养；
2.根据椭圆的定义，结合求曲线方程的步骤并类比圆推导出椭圆的标准方程，并会用定义及待定系数法求其标准方程，体会数形结合、方程、类比思想，提升数学运算和逻辑推理素养；
3.借助椭圆图形能准确说出参数a、b、c的几何意义，并掌握它们的关系式，可以找出给定的椭圆标准方程中的a、b、c，体会数形结合思想；
4.类比焦点在轴上的椭圆的标准方程得出焦点在轴上的椭圆的标准方程，并能够判断出给定的椭圆方程的焦点的位置，体会类比、分类的思想；
5.能够利用椭圆的定义和标准方程解决简单的数学问题，体会坐标法的基本思想，发展逻辑推理素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：椭圆的定义和标准方程
2.难点：标准方程的推导
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：
引导语：前面我们用坐标法研究了直线、圆及他们的位置关系。生产、生活中还有许多非常有用、有趣、我们不大熟悉的曲线需要研究。
问题1：如图1，用一个垂直于圆锥的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆。如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？
师生活动：教师通过信息技术演示，引导学生认识截面与圆锥的轴所成的角不同时得到的不同的截口曲线，并指出他们分别是椭圆、双曲线、抛物线（图1）。教师可以介绍圆锥曲线的研究历史，指出圆锥曲线在生产、生活中的应用，而这些几何特征和几何性质都是本章要研究的内容。
【设计意图】问题1重在引发学生思考，并不要求学生解决。这个环节的教学目的是明确本章内容的意义与价值，促进学生形成积极探究的心理倾向。
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线。17世纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线。你能猜到这些变化的大致原因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思路与构架吗？
师生活动：在学生回顾、讨论的基础上，明确采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确地计算。本章研究的基本思路：现实背景——曲线的概念——曲线的方程——曲线的性质——实际应用。
【设计意图】让学生从整体上把握本章的学习内容与基本框架，为后续学习提供先行组织者，同时深化学生对坐标法研究问题的基本思路与基本方法的理解。
重点关注的问题：体会到在现实生活中这样的例子还有很多，本章研究的基本思路：现实背景——曲线的概念——曲线的方程——曲线的性质——实际应用。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1.（抽象椭圆的定义）请同学们拿出事先准备好的自制道具：木板、细绳、图钉、铅笔，同桌同学一起合作按要求画图。
要求如下：
（1）取一条细绳长。
（2）把它的两端固定在纸板上的两个图钉上，且。
（3）用笔尖（M）把细绳拉紧，在纸板上慢慢移动，观察画出的图形是什么？
师生活动：通过多媒体投影作图的要求，并巡视学生的完成情况，找学生上黑板演示作图过程，其他学生合作完成作图的过程，并在作图的过程中初步发现椭圆的定义。
【设计意图】 经历画椭圆的过程，强化学生对椭圆的几何特征的认识，加深对椭圆定义的理解。
重点关注的问题：绳长与定点间的距离的大小关系。
追问1.在以上画图的过程中若视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点在运动过程中满足什么条件？其轨迹是什么？
追问2.若绳长等于两图钉之间的距离，画出的图形又是什么？
追问3.若绳长小于两图钉之间的距离，能画出图形吗？
师生活动：教师让学生试着继续画一画，然后引导学生回答。学生们自己动手画图后，可以观察出结论。
【设计意图】以活动为载体，让学生在“做中学”，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累基本活动经验。同时，力求改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论、概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维的能力。
重点关注的问题：满足怎样的条件才会画出椭圆，哪些量是变的，哪些量不变，它们的大小关系如何。
追问4.你能由刚才的画图过程抽象概括出椭圆的定义吗？
师生活动：学生尝试用精确的数学语言给出椭圆的定义。如果学生忽略了“这个常数大于两定点间的距离”这一条件，教师通过追问，启发、帮助学生完善.同时，让学生搞清楚；当常数等于两点间的距离时，点的轨迹是线段；当常数小于两点间的距离时，点的轨迹不存在.再给出椭圆的概念的基础上，教师在引导学生了解焦点、焦距、半焦距等概念.逐步引导学生找出刚才能做出椭圆时所满足的几何条件，进而用规范的语言进行描述，并板书定义。
【设计意图】通过尝试、观察、探究，强化椭圆概念的抽象与建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力；同时让学生获得焦点、焦距等概念.形成椭圆的定义。
重点关注的问题：对定义中相关用语及符号表示的使用是否准确及椭圆需要满足的几何条件。
教学活动2.（用椭圆的定义判断曲线类型）练习1：用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆？
（1）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为6的点M的轨迹。
（2）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹。
（3）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹。
师生活动：教师展示题目，让学生根据自己刚才的作图过程和椭圆的定义自主完成，教师给出提示。
【设计意图】在新概念学习后，设计了常数大于焦距、等于焦距、小于焦距的三个问题，及时帮助学生理解概念的内涵，对提升理解数学的水平具有现实的意义。同时运用反馈调节机制，对学生的学习情况及时评价，既起到激励学生的学习热情的作用，也起到教师评估教学的作用.
重点关注的问题：是否能够紧扣椭圆的定义进行判断。
教学活动3.（推导椭圆的方程）问题1.前面已学求曲线方程的一般步骤是什么？
问题2.圆心在原点与不在原点的圆的方程哪个形式更简单？为什么？
师生活动：教师提出问题，帮学生回顾之前所学的知识，学生积极思考，观察图形得出结论。
【设计意图】引导学生通过复习已知，明确思维的方向，为在椭圆上建立恰当的坐标系搭桥铺路。
重点关注的问题：怎样建系更方便。
问题3.类比图1、图2建立圆的方程的方法，怎样在椭圆上建立直角坐标系，才能使椭圆方程更简单？
师生活动：教师循循善诱，使学生自然而然回答出怎样建系，并在黑板上画出所建的坐标系。学生则可以由刚才回答的问题2联想到如何去建系。
【设计意图】怎样选择适当的坐标系去求曲线方程，尽量使形式简单为原则。
重点关注的问题：如何选择适当的坐标系。
问题4.你能在刚才建立的坐标系的条件下推导出椭圆的方程吗？
师生活动：教师首先要引导学生将椭圆上的点所满足的几何条件用代数形式表示出来，然后让其进行化简，当遇到含有两个根式，学生不会化简时，要适时地给出提示：（1）化简含有根号的式子时，我们通常怎么处理？（2）如何将含有两个根式的等式化成含有一个根式的等式？（3）对于本题中的方程，哪一种处理方式有利于化简？学生则积极思考，相互交流，在教师的提示下，完成化简工作，通过不断的尝试，找出移项后再平方会使化简简化一些，从而化简出结果
【设计意图】这是本节课的难点之一，通过教师引导学生参与移项、平方、整理，让学生感受数学运算的必要性和艰难性。使学生在突破难点的同时，掌握方法、提高运算求解能力。教师根据课堂情况还可以介绍其它的化解方法，供学生在课后思考。
重点关注的问题：如何对含有两个根式的等式进行化简。
教学活动4.（化简得出焦点在轴的椭圆的标准方程、探究参数a、b、c的几何意义）你能在如图所示的椭圆上找出各自所表示的线段吗？
师生活动：教师引导学生利用椭圆的定义及勾股定理找出相应的线段，于是可以提示令，从而可以再继续简化刚才的方程，得出椭圆的标准方程。学生在教师的提示下，可以利用椭圆的定义找到所表示的线段，从图中的直角三角形中利用勾股定理就可以找到所表示的线段。由于可以令，所以就可以将刚才得到的椭圆方程进一步化简，得到椭圆的标准方程。
【设计意图】进一步化简方程，认识a,b,c的几何意义，有利于理解引进b的必要性，也有利于学生体会数形结合思想的价值所在。
重点关注的问题：a,b,c的几何意义。
教学活动5.（探究焦点在轴的椭圆的标准方程）前面我们得到了焦点在轴上的椭圆方程，如果椭圆的焦点在y轴上，椭圆的标准方程是怎样的呢？
师生活动：教师要给学生时间，让其独立思考，学生经过观察思考后，能认识到图形中交换坐标轴对应方程中交换x与y的位置，从而得到了焦点在y轴上的椭圆的标准方程：。
【设计意图】让学生明确由于焦点位置的不同，所得的标准方程也不同。
重点关注的问题：标准方程的形式。
追问1.你能谈谈对椭圆标准方程的认识吗？
师生活动：教师引导学生从形式上、所对应的图形上的异同点进行分析。学生在教师的引导下可以看出标准方程所对应的曲线其焦点一定在坐标轴上，且两焦点的中点必为坐标原点；其形式类似，只是焦点位置决定了分母的大小，进而可以根据方程对焦点位置进行判断。
【设计意图】进一步认识椭圆的标准方程，让学生充分认识两种方程的特点，从中找出它们的区别和联系，体会分类思想以提高学生思维的严密性。为后边双曲线、抛物线及其它知识的学习奠定基础。
重点关注的问题：方程的形式。
3.运用知识、巩固提高
教学活动6.（根据方程求参数，并判断椭圆焦点的位置）求下面椭圆方程中的,并说出焦点的位置。
师生活动：教师展示题目，学生对照椭圆的标准方程，口答出结果。
【设计意图】明确方程中谁是，如何判断焦点的位置，评价学生对椭圆两种形式的标准方程的理解和初步应用程度.
重点关注的问题：对椭圆两种形式的标准方程的认识及焦点位置的判断方法。
教学活动7.（椭圆定义及标准方程的简单应用）写出适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）已知两个焦点的坐标分别是（-4,0），（4,0）,椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10.
（2）将上题焦点改为（0，-4），（0,4），结果如何？
（3）将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10.结果如何？
师生活动：教师给出题目，让学生自主完成，同时找三位同学上黑板板演，其余学生在练习本上自主完成，在解答的过程中适当的给出提示：联系椭圆的定义和标准方程解题。当学生完成后对学生的解答进行点评。
【设计意图】数学概念需要在运用中提升理解并得到巩固，通过该练习使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为素养，并在解题过程中感受"数形结合思想"的作用.
重点关注的问题：椭圆的定义的理解。
教学活动8.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：让学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价检测题：
（1）（检测目标2）如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是_______
（2）（检测目标2）已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于两点，是椭圆的左焦点。
①求的周长；
②如果不垂直于轴，的周长有变化吗？为什么？
（3）（检测目标2、3）如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。
（4）（检测目标3）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
①，焦点在轴上；②，焦点在轴上。
（5）（检测目标3）已知椭圆的两个焦点分别为F1(-4，0)和F2(4，0)，再添加什么条件，可得这个椭圆的方程为？
（6）（检测目标2）已知B，C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程。
（六）学后反思
本节课主要学习了椭圆的定义及其标准方程的推导，难点是标准方程的推导过程中根式的化简。在教学过程中，要引导学生注意思考含有根式的等式我们平时如何处理，如何将含有两个根式的等式化简为含有一个根式的等式？通过让学生动手尝试，发现解决问题的办法。在教学过程中体会数形结合思想、分类讨论思想，发展数学运算、几何直观素养。
第2课时 椭圆及其标准方程(二)
（一）课时教学内容：椭圆及其标准方程应用
（二）课时教学目标：
1. 通过具体的例子，会利用椭圆的定义和待定系数法求其标准方程，体会数形结合思想，发展逻辑推理和数学运算素养；
2.借助坐标法求曲线的方程，发现椭圆的另外的生成方法，体会椭圆与圆之间的关系，进一步熟练直接法、相关点法求轨迹方程，提升逻辑推理、几何直观的素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：求椭圆的标准方程。
2.难点：求轨迹方程的常用方法的归纳。
（四）教学过程设计：
1.复习旧知、引入新课：教学活动1.（复习椭圆的定义和求其标准方程的步骤）我们在之前学习了椭圆的定义及其标准方程的推导过程，请大家回忆一下相关的知识。
师生活动：教师利用多媒体展示复习的内容，学生积极思考，举手回答老师的提问，教师板书椭圆定义的符号表示和标准方程。
【设计意图】回顾之前所学的知识，为本节课的开展做好铺垫。
重点关注的问题：以上知识是否已经完全掌握。
2.运用知识、巩固提高
教学活动2.（定义法和待定系数法求椭圆的标准方程）例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程。
师生活动：教师展示题目，并找学生将解题过程板书至黑板，学生根据题目信息及自己的理解，独立完成题目，然后组内交流，与黑板上同学的解答进行对比分析，这些解答中有定义法求得的结果，也有待定系数法求得的方程，教师要分别进行点评总结，给出定义法和待定系数法求椭圆方程的一般步骤。
【设计意图】进一步掌握椭圆的定义及其标准方程，学会利用其解决数学问题，掌握定义法和待定系数法求椭圆方程的一般步骤，提升逻辑推理和数学运算素养。
重点关注的问题：定义法和待定系数法求椭圆标准方程。
教学活动3.（利用相关点法求曲线方程和椭圆的生成过程）例2.如图所示，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足。当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？
师生活动：教师给出题目，引导学生明确求轨迹方程就是求轨迹上任意的点M的坐标(x,y)所满足的条件，因此必须先搞清楚点M所满足的条件，利用动点与点的关系，借助于点的轨迹方程来求点的曲线方程。之后可以总结这种借助于中间变量求点的轨迹方程的方法——相关点法。在本题最后要强调答案为椭圆。另外做完题之后可以借助于几何画板将刚才的过程进行演示，进一步加深印象——明确圆与椭圆的联系，椭圆可以看成是把圆“压扁”或“拉长”后，圆心一分为二所成的曲线。
【设计意图】（1）再次教给学生利用中间变量求点的轨迹方程的方法；向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；（2）让学生知道，圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆,体会椭圆与圆之间的关系（包括图形、方程）；（3）提高思维的探究性与挑战性。
重点关注的问题：发现动点M与点P的关系，借助于点P的轨迹方程来求点M的轨迹方程。
练习1. 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.求点的轨迹方程.
师生活动：教师展示题目，让学生仿照例题书写本题，并找学生板演，学生在老师的要求下，仿照例题来完成问题，之后教师点评——这也可以得到椭圆，学生要根据老师的点评来更正自己的不足。
【设计意图】体会相关点法求轨迹的步骤及椭圆的生成。
重点关注的问题：相关点之间的关系。
教学活动5.（椭圆的生成另一种生成过程）例3.如图所示，设点的坐标分别为.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程。
师生活动：（1）在学生分析、讨论解题思路的基础上，由学生独立完成；（2） 教师视情况讲解、点评；（3）注意检验方程与曲线之间是否等价。
【设计意图】给出生成椭圆的另一种方法，深化学生对求曲线的方程的方法的认知，为后面的类比学习做铺垫。
重点关注的问题：求出曲线的方程之后去掉不满足条件的点。
练习2. 已知点A( 2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为 .记M的轨迹为曲线C.求C的方程，并说明C是什么曲线；
师生活动：教师引导学生观察本题与例题的区别，然后学生快速作答并说出答案。
【设计意图】引起学生对课本例题的重视，进一步巩固椭圆的概念与标准方程。
重点关注的问题：2019年高考21题来源于此例题。
教学活动7.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：学生根据本节课学习的知识自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和升华。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价检测题：
（1）（检测目标2、3）设点的坐标分别为。直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点的轨迹是什么？为什么？
（2）（检测目标3）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
①焦点在轴上，焦距等于4，并且经过点；
②焦点坐标分别为；
③.
（3）（检测目标2、3）如图，轴，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状，与例2相比，你有什么发现？
（4）（检测目标2）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上.如果△PF1F2是直角三角形，求点P的坐标.
（5）（检测目标2）如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点。线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
（六）学后反思
本节课主要学习了求椭圆的方程，难点是求轨迹方程的常用方法的提炼，尤其是用相关点法求轨迹。在教学过程中，要引导学生从中发现点的相关关系，进而用已知的曲线方程来求未知的曲线，从中体会数形结合思想、化归与转化的思想，提升几何直观和逻辑推理素养。
第3课时 椭圆的简单几何性质(一)
（一）课时教学内容：椭圆的简单几何性质
（二）课时教学目标：
1.能在直观认识椭圆的图形特点的基础上，由椭圆的标准方程和非负实数的含义讨论得出椭圆的范围，从中学会如何利用曲线的方程探究曲线的范围，体会数形结合、转化、分类讨论的思想，发展逻辑推理和几何直观素养；
2.能在直观认识椭圆的图形特点的基础上，经历用代换，代换，方程不变的过程，发现椭圆的对称性，并从中学会利用曲线的方程来判断曲线对称性的方法，体会数形结合、转化的思想，提升逻辑推理和几何直观素养；
3.能在直观认识椭圆的图形特点的基础上，利用椭圆的方程求出椭圆与轴、轴的交点坐标，得出圆锥曲线顶点的概念，明确长轴和短轴的含义，会根据方程求椭圆的顶点、长轴长，短轴长，体会方程的思想、数形结合思想和分类讨论思想，发展数学运算和几何直观素养；
4.通过观察椭圆的扁平程度，探究其与离心率的关系，明确离心率与a,b,c的关系，会根据椭圆方程或有关条件求离心率；
5.经历利用解析法研究椭圆的简单几何性质的过程，体会用代数方法研究几何问题的基本思想，发展数学抽象素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：椭圆的简单几何性质的探究与证明。
2.难点：椭圆的离心率。
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。我们在前面的学习中，已经知道了椭圆的概念、求出了椭圆的标准方程，按照解析几何研究几何图形的内在逻辑，接下去我们应该研究什么？
追问：你觉得应研究椭圆的哪些几何性质？如何研究？
师生活动：通过讨论，明确应研究椭圆的几何性质。然后，在观察椭圆的基础上，明确应研究椭圆的范围、对称性、顶点、扁平程度等。研究的基本思路与方法是先“形”后“数”，即在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过椭圆的标准方程进行计算和推理。
【设计意图】让学生在明确的研究问题、研究方法指引下学习与探究，提高思维的主动性、深刻性，避免思维的被动性和盲目性。
重点关注的问题：本节的主题——用解析法研究曲线的简单几何性质的研究思路与方法。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1.（探究椭圆的范围）观察直角坐标系中的椭圆，它有怎样的范围？你能利用椭圆的标准方程给出证明吗？
师生活动：教师提出问题，画出椭圆，明确曲线的范围即方程中两个变量x,y的取值范围，并将椭圆的方程板书至黑板上方，先引导学生观察图形，得出猜想，再对标准方程适当变形，利用非负数的含义进行探究，从而得出范围，此时可以适时的提醒学生即使没有椭圆的图形，用这一方法我们也可以求出其范围，这就是根据方程研究曲线性质的方法，即把几何问题转化为了代数问题，然后再用代数的结果解释几何问题，最后让学生画出椭圆的图形进行验证。对所用的方法进行总结，让学生初步有一个利用方程研究范围的印象，为后续的总结做好铺垫。绝大数同学可以通过观察图形进行猜测，但当教师提出用方程研究范围时可能会不知所措。在教师的提示下，当对方程变形之后有一部分学生就会利用非负数的概念得出结论，对解决问题的过程提升一下就会得出利用方程研究曲线的范围的方法。
【设计意图】让学生体会利用方程研究图形的性质是解析几何问题的重要思想，培养学生的分析、概括与表述能力。
追问1. 如何利用椭圆的标准方程来研究椭圆的范围？
师生活动：教师让学生仿照刚才的研究过程自己动手完成，对有困难的学生给予适时的引导。大部分学生可以仿照刚才的研究过程对标准方程进行变形讨论，从而得出范围。
【设计意图】熟悉用方程研究图形的范围的方法。
重点关注的问题：利用方程研究图形的性质是解析几何问题的重要思想。
教学活动2.（探究椭圆的对称性）观察椭圆的形状，它有怎样的对称性？在直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？你能利用椭圆的方程证明它的对称性吗？
师生活动：教师先引导学生回顾点关于轴、轴和原点的对称点的坐标分别是什么？再引导学生思考“如何说明曲线关于轴、轴和原点的对称”？然后让学生自己动手用代换，代换，观察方程是否发生变化，从而得出结论，并用椭圆的图形来验证。最后总结出用方程判断曲线的对称性的步骤。在这一过程中始终要强调的是所做的步骤都是代数运算。学生要通过观察图形直观感知再猜想验证。
【设计意图】体会用解析法研究图形的对称性的方法，培养学生的分析、概括与表述的能力。
重点关注的问题：如何利用方程研究曲线的对称性的方法。
教学活动3.（探究椭圆的顶点）观察椭圆，你觉得有哪些比较特殊的点？你能由椭圆的标准方程得出椭圆与轴、轴的交点坐标吗？
师生活动：讨论何为特殊的点，即椭圆与坐标轴的交点。在问题解决之后，教师可以引导学生类比直线在坐标轴上的截距，回顾当点落在轴、轴上时其坐标有何特点，进而分别令求出交点坐标，之后给出椭圆的顶点和长轴、短轴的概念。
【设计意图】明确曲线的顶点的含义及学会利用方程求曲线的顶点的思路与方法。
追问2.当椭圆的标准方程时，其顶点、长轴和短轴分别如何求呢？
师生活动：利用刚才的结论完成。
【设计意图】熟悉概念及方法。
重点关注的问题：利用方程研究曲线的特殊点的方法。
教学活动4.（探究椭圆的离心率）观察图中的不同椭圆，你有何发现？
师生活动：教师利用多媒体设备展示进行图片展示。学生通过观察得出——这些椭圆的扁平程度不一样。
【设计意图】培养学生观察、发现、归纳与总结的能力。
追问3.用什么量来刻画椭圆的扁平程度呢？
师生活动：教师借助于信息技术工具的演示来帮助学生思考，可以进行如下数学实验：（1）保持长半轴长不变，改变椭圆的半焦距，观察椭圆的变化情况；（2）保持椭圆的半焦距不变，改变长半轴长，观察椭圆的变化情况；（3）同时改变长半轴长和椭圆的半焦距，但保证半焦距和长半轴长的比值不变，观察椭圆的变化情况。演示之后可以引入离心率的概念。学生在教师演示数学实验的过程中发现一些不变的规律，进而可以考虑用半焦距和长半轴长的比值来表示椭圆的扁平程度。
【设计意图】借助现代信息技术探究椭圆离心率与椭圆扁平程度的关系，变抽象为形象，以形象的动画演示来代替教师的直接讲解。
追问4. 由及椭圆标准方程中的关系，你能得出离心率的取值范围吗？
师生活动：绝大多数学生能够得到，但易忽视，其比值是大于0的，教师可以给予提醒。
【设计意图】探讨离心率的取值范围。
追问5.和的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？
师生活动：其实在上一个问题之后就有学生有了这样的疑问，现在提出来一起探讨，可以再做数学实验来验证——也可以用这两个量来表示。为了后续研究性质的方便，我们习惯上用即离心率来表示椭圆的扁平程度。
【设计意图】还可以用其它量来表示椭圆的扁平程度。
追问6.你能运用三角函数的知识解释，为什么越大，椭圆越扁？越小，椭圆越圆吗？
师生活动：教师可以画出如图所示得图形，在直角三角形BF2O中借助锐角三角函数的有关知识进行解释。
【设计意图】从多角度解释离心率。
重点关注的问题：离心率的作用，刻画了椭圆的扁平程度。
3.运用知识、巩固提高
教学教学活动5.（椭圆的简单性质）例4.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
师生活动：教师要让学生独立完成，在解决的过程中可以提醒学生：（1）由于给出的方程不是标准方程，故先要引导学生将方程变为标准方程，求出，然后利用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义求相关量，最后核对答案即可；（2）养成画图的习惯。
【设计意图】巩固椭圆的简单几何性质，促进知识的迁移。
重点关注的问题：我们讨论问题的前提应该是标准方程下，故而当不是标准方程时要先变为标准方程再进行求解。
教学活动6.由以上的探究过程，你能说说利用解析法如何研究曲线的简单几何性质吗？
师生活动：帮学生回顾刚才的探究过程，进一步得出以下结论：从曲线的方程入手研究曲线的性质时，变量的范围等价于曲线的范围；点的对称性等价于曲线的对称性；或时方程的解等价于曲线与对称轴的交点（顶点）。
【设计意图】对由方程研究曲线的几何性质的方法进行总结提升，便于日后使用。
重点关注的问题：如何将代数与几何建立联系。
教学活动7.（进行课堂小结）本节课我们研究了曲线的哪些性质 这些性质通过怎样的方法得到？通过方程研究曲线的性质有怎样的特点？
师生活动：在学生独立回顾、思考的基础上进行班级交流，然后教师点评、总结。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价检测题：
（1）（检测目标4）求下列椭圆的范围、长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
①；②.
（2）（检测目标4）比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？
①与；②与
（3）（检测目标4）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
①焦点在轴上，；
②焦点在轴上，；
③经过点；
④长轴长等于20，离心率等于；
⑤长轴长是短轴长的3倍，且经过点；
⑥焦距是8，离心率等于0.8
（4）（检测目标4）过椭圆的中心O的直线l与椭圆相交于A，B两点，F1，F2是椭圆的焦点.
(1)求证：四边形AF1BF2是平行四边形；
(2)平行四边形AF1BF2的面积是否可能等于ab？并说明理由.
(3)点P是椭圆上任意一点，是否是定值？
（六）学后反思
本节课主要学习了用椭圆的标准方程研究其简单的几何性质，难点是从方程入手，利用函数的观点研究几何问题，在教学过程中，要慢慢渗透，可以分解动作来完成，每完成一个就进行一下总结，这样就可以形成规律性的东西便于学生掌握。
第4课时 椭圆的简单几何性质(二)
（一）课时教学内容：椭圆的标准方程及其简单几何性质运用
（二）课时教学目标：
1.经历解决实际例题的过程，会将实际问题转化为代数问题，体会数形结合思想、化归与转化的思想，提升数学建模素养。
2.通过求曲线方程的过程，体会椭圆的另一种定义方式，体会坐标法的应用，发展几何直观和数学运算素养。
3.通过具体的例子学会研究直线与椭圆的位置关系的方法，形成由代数方法研究几何问题的一般思路，体会数形结合、化归与转化思想，提升直观想象和数学运算素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：用代数的方法研究几何问题。
2.难点：将几何问题转化为代数问题、研究直线与椭圆的位置关系。
（四）教学过程设计：
1.复习旧知、引入新课： 教学活动1.（复习所学知识）请大家根据所学的知识，完成下面的表格：
方程
图形
焦点坐标
范围
对称性
顶点坐标、长轴长，短轴长
离心率
师生活动：在教师展示出表格后，学生自主完成。
【设计意图】将所学知识进行回顾归纳、即便于记忆又为本节课打好知识基础。
重点关注的问题：学生对知识的理解记忆。
2.运用知识、巩固提高
教学活动2（椭圆的实际应用）例5.如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，卡片位于另一个焦点F2上。由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）。
师生活动：由于本题是实际问题，所以教师要先引导学生根据题目给出的信息建立直角坐标系，再利用椭圆的性质分别求出进而求出方程。学生们则要仔细读题，独立思考。 如果学生提出通过把点B的坐标代人方程求解，应在肯定其思维合理性的基础上，提醒学生思考有没有更简便的方法。应注意培养学生认真阅读题目的习惯和严谨、认真、不怕运算的习惯。
【设计意图】椭圆的实际应用，让学生体会到所学的知识的应用价值，体会椭圆在生产生活中的应用，发展学生数学抽象、数学建模素养。
重点关注的问题：由题目中的信息建立直角坐标系。
教学活动3.（椭圆的另一种定义方式）例6.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l：的距离的比是常数，求点M的轨迹.
师生活动：先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，再让学生自己动手完成，当学生完成后教师要提问学生最后的结果，对于有的学生给出的是方程形式，要给予纠正。之后带领学生观察求出的方程，分别写出，那么这里的定点实际上就是一个焦点，常数就是离心率，的方程实际就是，同时强调，通过“到定点的距离与定直线的距离的比为常数”这样一种方式我们也可以得到椭圆，这其实也是椭圆的一种定义方式，但不提出椭圆的“第二定义”的概念。
【设计意图】通过一个具体的例子使学生感受椭圆的另一种定义方式，感受椭圆蕴含着丰富的、奇妙的性质。
重点关注的问题：到定点的距离与定直线的距离的比为常数（这里定点指焦点，定直线指，常数为离心率）的轨迹也是椭圆。
教学活动4.（探究直线与椭圆的位置关系）例7.已知直线：和椭圆（如图所示）问当m为何值时，直线l和椭圆C:（1）有两个公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点.
师生活动：类比直线与圆的位置关系，理解直线与椭圆的三种位置关系。先通过学生独立思考、生生讨论、师生交流，明确解题的思路与方法，然后师生一起解决问题，最后比较研究直线与椭圆的位置关系和研究直线与圆的位置关系方法的异同。
【设计意图】使学生更好地掌握通过方程研究曲线问题的基本思路与方法。
重点关注的问题：将几何问题转化为代数问题，再用代数结果去解释几何问题。
教学活动5.（进行课堂小结）请梳理用坐标法研究与椭圆有关的问题的一般思路与方法。
师生活动：对本节课的研究路径进行回顾，归纳整理。
【设计意图】师生共同梳理用坐标法研究椭圆的一般思路与方法，包括椭圆方程的建立过程，椭圆简单几何性质的研究过程，用椭圆及其几何性质解决实际问题的过程，进一步感受坐标法这一解析几何的基本思想和方法。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价检测题：
（1）（检测目标4）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆。测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约1.5×108km），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程。
（2）（检测目标4）已知地球运行的轨道是长半轴长km，离心率e=0.0192的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离。
（3）（检测目标4）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是1:2，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
（4）（检测目标4）求下列直线和椭圆的交点坐标：
①；②.
（5）（检测目标4）经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长。
（6）（检测目标4）已知椭圆和直线l:y=kx+3.k取何值时，这个椭圆和这条直线：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？
（7）（检测目标4）椭圆的焦点分别为，P为这个椭圆上的动点，当∠为钝角角时，求点P横坐标的取值范围。
（六）学后反思
本节课主要学习了应用椭圆的有关知识解决简单问题，难点是如何将要研究的几何问题转化为代数问题，利用程序化的运算解决之后再用代数结果去解释几何问题。在教学过程中要先直观分析建立联系然后再转化为代数问题进行求解，在这一过程中体会化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，提高分析问题、解决问题的能力，发展提升直观想象、运算求解素养。
第5课时 双曲线及其标准方程
（一）课时教学内容：双曲线的定义及其标准方程
（二）课时教学目标：
1.借助信息技术工具的演示，类比椭圆的定义能给出双曲线的定义（自然、符号、图形语言），体会数形结合、类比思想，提升数学抽象和数学运算素养；
2.类比求椭圆的标准方程的方法，能选择恰当的直角坐标系推导出双曲线的标准方程，体会类比的思想，提升数学运算素养；
3.类比焦点在轴上的双曲线的标准方程得出焦点在轴上的双曲线的标准方程，体会类比、分类思想；
4.能够利用双曲线的定义和标准方程解决简单的数学问题，发展逻辑推理和数学建模素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：双曲线的定义。
2.难点：双曲线标准方程推导过程中的化简。
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：我们已经知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆。那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？
师生活动：学生回忆椭圆的定义，教师板书其符号语言，学生回答椭圆的标准方程，教师板书，然后提出上述问题。
【设计意图】提出问题，打破知识结构的平衡，引发学生的学习兴趣。
重点关注的问题：对椭圆定义的描述是否准确。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1.（抽象双曲线的定义）如图所示，在直线上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1,F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|>|AB|，两圆不相交不存在交点轨迹。
如图所示，在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？
我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|；当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|.
总之，点M与两个定点F1,F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数（|AB|<|F1F2|）.这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支。
师生活动：教师借助信息技术工具进行演示，并引导学生观察在演示的过程中点的轨迹的变化情况，通过学生的不断讨论、补充，最终得出双曲线需要满足的条件。
【设计意图】明确双曲线的定义需要满足的条件，缺一不可。
重点关注的问题：常数必须小于两定点之间的距离，曲线是一支还是两支。
追问1.你能由刚才的分析概括出双曲线的定义吗？
师生活动：结合刚才的观察、归纳，学生用准确、规范的数学语言进行概括，并板书定义和定义的数学表达式。
【设计意图】抽象出双曲线的定义，给出准确的描述。
重点关注的问题：定义描述的准确性。
思考：在双曲线的定义中，要求到两定点距离之差的绝对值小于两定点之间的距离，如果没有这一限制，会得到什么情形？
师生活动：教师引导学生自己动手验证，学生们小组合作，动手试验，得出结果后举手回答问题，教师给与评价。
【设计意图】明确双曲线的条件。
重点关注的问题：到两定点的距离之差的绝对值与两定点间的距离的大小对图形的影响。
教学活动2.（探究双曲线的标准方程）我们是怎样建立坐标系求椭圆的标准方程的？
师生活动：师生共同回顾圆、椭圆的建系过程。
【设计意图】回忆建系的过程为双曲线的建系奠定基础。
重点关注的问题：如何选择合适的坐标系。
追问2. 类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？
师生活动：学生口答出建系的过程，并在图中标出，然后自己动手写出双曲线上的点所满足的几何条件即刚才板书的符号语言再代入坐标即可。教师要适时地给与引导和点评。
【设计意图】建立合适的坐标系，能够根据图形写出双曲线上的点所满足的几何条件。
重点关注的问题：如何建系之后写出代数表达式。
追问3.如何化简你刚才写出的表达式？
师生互动：学生板演化简过程，教师巡视，学生有椭圆的标准方程的化简经验，在双曲线的标准方程的化简过程中基本不会有问题，教师仅需对学有困难的学生给予指点，化简完之后小组互相检查，看能否得到正确结果，并交流化简过程中遇到的问题。等学生交流的差不多时评价板演的情况，并对大家刚才讨论的问题给予回答。最后板书出双曲线的标准方程.
【设计意图】类比椭圆化简过程中的处理方式来简化双曲线方程。
重点关注的问题：类比椭圆对含有两个根式的等式化简。
追问4.你能在轴上找一点，使得吗？
师生活动：学生观察图形，先找到，又有，点在轴上，故而可以联想勾股定理，进而找到所求的点。
【设计意图】类比椭圆中对的几何意义的认识，在双曲线中认识的几何意义。
追问5.椭圆有两个标准方程，双曲线是否也有两个标准方程？另一个的方程是怎样的？
师生活动：类比焦点在轴上的椭圆的标准方程的推导过程，得出焦点在轴上的双曲线的标准方程，并板书。
【设计意图】反复类比椭圆学习双曲线。
重点关注的问题：方程的形式。
3.运用知识、巩固提高
教学活动3.（双曲线的定义和标准方程的应用）例1.已知双曲线两个焦点分别为，,双曲线线上一点到距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
师生活动：找几位学生板演解题过程，其他同学独立完成后互相交流，之后教师对板演的过程进行点评，规范解题的步骤。
【设计意图】明确双曲线的定义和标准方程。
重点关注的问题：对定义的理解。
教学活动4.（双曲线的定义和标准方程的实际应用）例2.已知两地相距800，在地听到炮弹爆炸声比在地晚2，且声速为340,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
师生活动：先分析题意，判断出轨迹的形状，然后再将问题转化为求双曲线的方程问题，当学生求出双曲线的方程后，教师要提醒学生是双曲线的两支还是其中一支？即要考虑实际情形，最后还可以设问：如果A,B两地同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
【设计意图】用所学的知识解决实际问题，体会如何将实际问题通过建立数学模型转化为代数问题进行求解，体现了知识的有用性。
重点关注的问题：对曲线形状的判断和实际问题要注意范围.
教学活动5.（双曲线的生成过程）探究：如图所示，设点的坐标分别为。直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1例3比较，你有什么发现？
师生活动：学生利用求曲线方程的一般步骤求出曲线的方程，这一过程可以找学生板演，然后对学生的解答进行点评，特别要强调去掉不满足条件的点。教师在讲解完本题之后可以用几何画板演示这一过程，加深印象。这个“探究”与3.1例3相呼应，那时斜率之积是一个负的常数，此时斜率之积是正的常数。
【设计意图】给出生成双曲线的另一种方法并与之前所学作比较。
重点关注的问题：求出曲线的方程之后去掉不满足条件的点，双曲线和椭圆的另一种生成方式。
教学活动6.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价检测题：
（1）（检测目标5）双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于1，那么点到它的另一个焦点的距离等于_________
（2）（检测目标5）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
①焦点在轴上，；
②焦点在轴上，经过点
③焦点为，且经过点；
④焦点在轴上，，经过点；
⑤经过两点。
（3）（检测目标5）求证：双曲线与椭圆的焦点相同。
（4）（检测目标5）已知方程表示双曲线，求的取值范围。
（5）（检测目标5）双曲线的一个焦点坐标是(-2，0)，则m=_____;
若已知该双曲线的焦距为4，则m=________.
（6）（检测目标5）如图，圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点。线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
（六）学后反思
本节课主要学习了双曲线的定义及其标准方程，其难点是双曲线标准方程推导过程中的化简，在教学过程中可以类比推导椭圆的标准方程时的化简，先移项再平方，然后再移项平方，同时依照那时的经验需要令使化简结果形式更简单。这一过程要反复强调类比椭圆会使难度降低很多。在这一过程中要让学生体会类比的思想、数形结合思想、化归与转化思想，发展和提升数学运算素养。
第6课时 双曲线的简单几何性质(一)
（一）课时教学内容：双曲线的简单几何性质
（二）课时教学目标：
1.通过类比椭圆的简单几何性质的研究方法来研究双曲线的范围、对称性和顶点，体会类比的思想，发展逻辑推理素养；
2.借助信息技术工具的演示感知渐近线，理解渐近线的含义，给定双曲线的方程会求其渐近线方程，体会数形结合思想，发展直观想象素养；
3.类比椭圆的离心率研究双曲线的离心率，会根据双曲线方程或有关条件求离心率，探究离心率与曲线形状的关系，体会类比的思想、数形结合思想；
4.利用双曲线的标准方程研究其简单几何性质，明确数学对象的研究内容，体会类比和数形结合思想，发展逻辑推理、几何直观素养；
（三）教学重点与难点：
1.重点：类比椭圆的简单几何性质的研究方法研究双曲线的简单几何性质
2.难点：渐进线的理解。
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：还记得椭圆的简单几何性质所包含的内容和研究方法吗？你能类比椭圆的方法来研究双曲线的简单几何性质吗？
师生活动:师生共同回顾椭圆简单几何性质所包含的内容及研究方法：从曲线的方程入手研究曲线的性质时，变量的范围等价于曲线的范围；点的对称性等价于曲线的对称性；或时方程的解等价于曲线与对称轴的交点（顶点），然后简单板书，便于后续使用。
【设计意图】引入本节课所要用到的研究方法及研究的内容，起一个提纲挈领的作用。
重点关注的问题：椭圆的简单几何性质所研究的问题及方法。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1（探究双曲线的范围）你能类比椭圆范围的研究方法来研究双曲线的范围吗？
师生活动：观察图形，结合椭圆当时的研究路径，学生可以自己动手完成，个别需要给予提示，等学生完成之后将结果板书。
【设计意图】还是先“形”后“数”，先直观感知再从方程本身入手进行探究，类比了椭圆的研究方式，再一次强调了由方程研究几何性质时用的方法。
重点关注的问题：方程本身变形之后用到的代数性质。
教学活动2.（探究双曲线的对称性）还记得椭圆的对称性吗？你能判断出双曲线的对称性吗？
师生活动：学生回答椭圆的对称性及其判断方法，然后自己进行判断，最后回答结果，并将其结论板书。
【设计意图】类比椭圆的对称性研究双曲线的对称性。
重点关注的问题：对称性的判断。
教学活动3.（探究双曲线的顶点、实轴和虚轴）椭圆有几个顶点？它们的坐标如何求？你能由此得出双曲线的顶点坐标吗？
师生活动：教师先找学生回答椭圆的顶点个数及坐标，回忆如何由方程入手求顶点坐标，然后让学生动手求双曲线的顶点坐标，当令时发现此时方程无解，所以与轴无公共点，这时双曲线就只有两个顶点，说明它不是封闭的曲线。但要强调：我们一般也把画在轴上。之后引入实轴和虚轴的概念。
【设计意图】类比椭圆求出双曲线的顶点坐标，再次体会由方程研究曲线性质的方法。
重点关注的问题：对虚轴的理解。
教学活动4.（感知、探究双曲线的渐近线）认真观察演示，你有什么发现？
师生活动：教师用信息技术工具画双曲线和两条直线，在位于第一象限的曲线上画一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离为。沿双曲线向右上方拖动点，让学生观察与的大小关系，发现：点的横坐标越来越大时，它到直线的距离为越来越小，但永远不等于0。当学生发现规律之后，还可以提问：初中见过这样的情况吗？再次借助信息技术工具继续演示，直观感知渐近线，从而引入渐近线的描述性概念。
【设计意图】直观形象的引入渐近线的描述性定义。
重点关注的问题：无限接近但不相交。
追问1：双曲线的渐近线方程如何求？
师生活动：教师引导学生观察刚才演示中直线的方程与双曲线方程的系数关系先进行猜测，然后利用信息技术工具进行如下演示：经过作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，如图所示。请学生写出对角线所在的直线方程为，继续演示上述拖动点的过程，进而发现规律——对角线就是渐近线，于是渐近线的方程就是，板书至黑板。
【设计意图】直观感知渐近线，并知道渐近线方程的求法。
重点关注的问题：对角线就是渐近线。
教学活动5.（介绍等轴双曲线）当时实轴长和虚轴长相等，此时得到的双曲线就是等轴双曲线，它的渐近线方程是如何呢？
师生活动：介绍等轴双曲线的概念，根据刚才得到的渐近线方程的求法得出等轴双曲线的渐近线方程，并板书。
【设计意图】掌握渐近线方程的求法，特别是对于任意的等轴双曲线其渐近线方程都是一样的。
重点关注的问题：任意的等轴双曲线其渐近线方程都是一样的。
教学活动6.（探究双曲线的离心率）椭圆的离心率是怎样求的？你能类比它求双曲线的离心率吗？
师生活动：先回忆椭圆离心率的公式，然后回答双曲线的离心率。
【设计意图】类比椭圆的离心率定义双曲线的离心率，会求离心率。
重点关注的问题：类比椭圆的离心率来定义双曲线的离心率。
追问2.你能说出双曲线的离心率的取值范围吗？
师生活动：回忆双曲线的方程中的关系，进而得出，并板书。
【设计意图】明确双曲线离心率的取值范围。
重点关注的问题：由的关系求离心率的范围。
追问3.椭圆离心率可以刻画椭圆的扁平程度，那么双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？
师生活动：学生进行猜测，然后用信息技术工具进行演示，随着离心率的变化，双曲线会有怎样的变化？双曲线的“张口”会发生改变，即离心率越大，双曲线的“张口”就越大。然后将这一发现归纳整理板书。
【设计意图】借助信息技术工具演示增强学生对“双曲线的离心率是如何影响双曲线‘张口’大小的”认识。
重点关注的问题：离心率与“张口”大小的关系。
3.运用知识、巩固提高
教学活动7.（双曲线简单几何性质的应用）例3．求双曲线9y2-16x2=144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
师生活动：找三个学生板演，其余学生自主完成，在学生完成之后对学生的解答进行点评，规范解题，并回答学生遇到的问题。
【设计意图】巩固双曲线的几何性质。
重点关注的问题：几何性质的掌握。
教学活动8.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：让学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价题：
（1）（检测目标6）1求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率：
①； ②；
③； ④.
（2）（检测目标6）已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程。
①；②.
（3）（检测目标6）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
①顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，；
②焦点在y轴上，焦距是16，.
③以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
④焦点在轴上，实轴长是10，虚轴长是8；
⑤焦点在轴上，焦距是10，虚轴长是8；
⑥离心率，经过点
（4）（检测目标6）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0)，求它的标准方程和渐近线方程。
（5）（检测目标6）求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程。
（六）学后反思
本节课主要学习了双曲线简单几何性质，难点是对渐进线的理解，在教学的过程中可以借助于几何画板演示直观感知，加深理解，方便记忆。
第7课时 双曲线的简单几何性质(二)
（一）课时教学内容：双曲线简单几何性质的应用
（二）课时教学目标：
1.经历解决具体的例子的过程，会将实际问题转化为代数问题，体会数形结合思想、化归与转化的思想，提升数学建模、几何直观素养。
2.通过求曲线方程的过程，发现双曲线的另一种定义方式，并与椭圆中例6进行对比，体会类比思想，对比双曲线与椭圆的异同；
3.通过具体的例子学会研究直线与双曲线的位置关系的方法，形成由代数方法研究几何问题的一般思路，体会数形结合思想、化归与转化思想、方程思想，提升数学建模、数学运算素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：双曲线几何性质的应用
2.难点：用代数方法研究直线与圆锥曲线的位置关系。
（四）教学过程设计：
1.复习旧知、引入新课： （复习所学知识）前面课程的学习我们已经学习了双曲线的标准方程及其简单几何性质，请大家根据所学的知识，完成下面的表格：
方程
图形
焦点坐标
范围
对称性
顶点坐标、长轴长，短轴长
渐近线方程
离心率
师生活动：根据表格的提示，一一回顾所学的内容，为后续内容的开展做好铺垫。
【设计意图】将所学知识进行回顾归纳、即便于记忆又为本节课打好知识基础。
重点关注的问题：学生对知识的记忆。
2.运用知识、巩固提高
教学活动1.（双曲线方程的实际应用）例4．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
师生活动：由于本题是实际问题，所以教师要引导学生根据题目给出的信息建立直角坐标系，然后学生独立利用双曲线的性质分别求出进而求出方程。
【设计意图】双曲线的实际应用，让学生体会到所学的知识的应用价值。
重点关注的问题：如何将实际问题转化为数学问题，如何由题目中的信息建立直角坐标系。
教学活动2.（双曲线的另一种定义方式）例5．动点M(x，y)到定点F(4，0)的距离和它到定直线l:的距离的比是常数，求动点M的轨迹。
师生活动：先回顾求曲线方程的一般步骤，再自己动手完成，当学生完成后教师要提问学生最后的结果，对于有的学生给出的是方程形式，要给予纠正。之后教师带领学生观察求出的方程，分别写出，那么这里的定点实际上就是一个焦点，常数就是离心率，的方程实际就是，同时强调，通过“到定点的距离与定直线的距离的比为常数”这样一种方式我们也可以得到双曲线，与椭圆当时的处理例6的处理方式一样，不提出双曲线的“第二定义”的概念。
【设计意图】通过一个具体的例子使学生感受双曲线的另一种定义方式，与椭圆那一节的例6进行对比，发现“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数”的点的轨迹可以是椭圆，也可以是双曲线，主要是取决于常数。
重点关注的问题：到定点的距离与定直线的距离的比为常数（这里定点指焦点，定直线指，常数为离心率）的轨迹是双曲线。
教学活动3.（直线与双曲线的位置关系）例6.过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.
师生活动：学生在练习本上画出草图，发现只要求出A，B两点的坐标就可以利用两点间的距离公式求长度，这时教师要提问“如何求交点坐标？”等学生回答之后让其独立完成后续的工作。
【设计意图】将几何问题转化为代数问题解决，让学生体会联立方程组求解问题是解决直线与圆锥曲线问题的普适方法，提升数学运算素养。
重点关注的问题：将几何问题恰当的转化为代数问题求解，运算能力的提升。
追问1：还可以采用怎样的方法来求|AB|？
师生活动：学生刚开始没有一点思路，此时教师可以提醒学生思考的方向——不求解方程组能不能求出|AB|？根与系数的关系是怎样的？两点间的距离公式是怎样的？并将其都写至黑板上，学生观察黑板上写出的式子的关系，同小组的同学一起交流合作，自然而然的想到可以用根与系数的关系求解，但总结归纳还有些欠缺，于是教师再将刚才的结论一般化，就可以推出弦长公式，并要求学生记忆。
【设计意图】体现“设而不求，联而不解”的方法，让学生体会坐标法的应用，推导出弦长公式。
重点关注的问题：如何将根与系数的关系与两点间距离公式联系起来和弦长公式的推导。
追问2.你能求出的周长吗？
师生活动:结合图形学生自己运算后可以求出答案，然后小组核对，派代表发言，教师及时点评即可。
【设计意图】熟练运算。
重点关注的问题：运算的准确性和快速性。
教学活动4.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价题：
（1）（检测目标6）求下列直线和双曲线的交点坐标：
①；②.
（2）（检测目标6）求到定点和它到定直线距离之比是的点的轨迹方程。
（3）（检测目标6）已知直线l1：5x+3y=0和l2：5x-3y=0：
①写出两个以直线l1和l2为渐近线的双曲线的标准方程；
②如果以直线l1和l2为渐近线的双曲线经过点M(1，3)，求此双曲线的标准方程.
（4）（检测目标6）已知双曲线的两个焦点为F1，F2，虚轴的一个端点为B，且∠F1BF2=，求此双曲线的离心率。
（六）学后反思
本节课主要学习了双曲线简单几何性质的应用，难点是直线与圆锥曲线的位置关系，在教学时要注意发现几何特征并将其转化为代数问题进行求解，另外这类问题普遍运算量较大，要耐心细致的完成计算过程，注意运算的速度和准确度，提升逻辑推理、几何直观和数学运算素养。
第8课时 抛物线及其标准方程
（一）课时教学内容：抛物线的定义及其标准方程
（二）课时教学目标：
1.借助信息技术工具的演示，直观感知抛物线的生成过程，认识抛物线的几何特征，并由此归纳出抛物线的定义（自然、符号、图形语言），体会数形结合、转化思想，提升直观想象和数学抽象素养；
2.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，建立恰当的坐标系，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，明确标准方程中的几何意义，从中体会数形结合、类比思想，发展数学运算和直观想象素养；
3.能根据抛物线在坐标系内的不同位置求出它的其他形式的标准方程，体会类比、分类思想，发展直观想象和逻辑推理素养；
4.能利用抛物线的定义和标准方程解决简单的问题，发展逻辑推理、直观想象和数学运算素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：抛物线的定义和标准方程。
2.难点：选择恰当的坐标系建立抛物线的标准方程
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与动点M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当01时，点M的轨迹为双曲线，一个自然的问题是：当k=1时，点M的轨迹是什么形状？
师生活动：一起回顾之前所学，提出问题。
【设计意图】引发学生的好奇心，激发学习的兴趣。
重点关注的问题：激发学生学习的积极性。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1.（探究抛物线的定义）问题1.利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线。H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹，在你熟悉的图形中有与此类似的吗？你能发现点M满足的几何条件吗？
师生活动：教师展示问题，引导学生分析问题中的几何元素及其相互关系，并利用信息技术工具进行操作，拖动点H ，观察点M的轨迹及相关数据的变化规律。
追问：（1）动点M是如何获得的？
（2）线段FM和线段MH的几何意义分别是什么？
（3）变化的量有哪些？变化顺序如何？变化中是否存在不变的关系？
（4）当直线l经过点F时，线段FH的垂直平分线m与过点H的定直线l的垂线是什么位置关系？
师生活动：四个追问是让学生在利用信息技术工具操作的过程中从思维层面对问题1进行分析。对于追问（1），学生分析与点M相关的点与直线，发现点M是定直线l的垂线MH与线段FH的垂直平分线m的交点，其中点H在直线l上运动，随之产生了动点M.对于追问（2），学生分析出线段FM是点M与定点F间的距离，线段MH是点M到定直线l的距离。教室一定要让学生说出定点F和定直线l，而不仅仅是点F和直线l，只有这样，学生的思维活动才能聚焦到确定抛物线的几何特征上来。对于追问（3），学生应在分析前两个追问的基础上梳理变化的量及其变化顺序，可以发现FM和MH的大小随点M的变化而变化，但是始终有|FM|=|MH|。对于追问（4），学生发现线段FH的垂直平分线m与过点H的定直线l的垂线平行，即不能获得点M，也就明白了为什么要求定直线l不经过定点F。在上述基础上，给出抛物线的概念。
【设计意图】通过对问题1的探究及其四个追问，引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特征，抽象得出抛物线的概念，发展学生的数学抽象素养。
重点关注的问题：抛物线上的点所满足的条件。
教学活动2.（探究抛物线的标准方程）问题2.观察问题1图中的抛物线，如何选择坐标系可能使所求抛物线的方程形式简单？
师生活动：学生观察抛物线形状，教师引导学生直观发现抛物线的对称性，建立平面直角坐标系，自主推导抛物线的方程。一般来说，会有以下三种情况：
展示学生所求的三种不同形式的抛物线方程。
追问：（1）类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，每个方程的推导过程是否满足抛物线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系？
（2）三种不同形式的抛物线方程哪个更简单？为什么？
（3）三种不同形式的抛物线方程是否有联系？
师生活动：当学生思考问题2时，一般会出现将坐标系的原点选在定点F、线段FK的中点、定直线l上三种情况。无论是哪一种情况，追问（1）是必不可少的步骤，也容易被学生忽略。当学生分别得到自己推出的方程后，教师提出追问（2），要求学生对它们进行比较，以确定哪个方程更适合作为抛物线的标准方程。之后，教师再提出追问（3），从联系的角度让学生思考三种不同形式的抛物线方程怎样互相转换（平移变换）。在学生充分思考与推导的基础上，对比分析三种不同形式的抛物线方程及其联系，由学生确定将作为抛物线的标准方程，同时写出其焦点坐标和准线方程。
【设计意图】通过问题2及其三个追问，注重学生思维的发生点，让学生类比椭圆与双曲线标准方程的推导方法，自主推导抛物线的标准方程，体验类比方法，提升数学运算素养。
重点关注的问题：坐标系的选择方式。
问题3.在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
师生活动：在已获得抛物线的方程的基础上，让学生类比椭圆、双曲线方程的不同形式，再分别获得开口向左、上、下的抛物线的标准方程，确定相应的焦点坐标和准线方程，并将结果填入表格。
追问：（1）只研究表中四种形式的抛物线标准方程基于怎样的思考？
（2）你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。
师生活动：对于追问（1），学生类比椭圆、双曲线的标准方程，并根据抛物线只有一个焦点，按焦点所在坐标轴的位置能判断出表中其他三种情况；对于追问（2），教师引导学生从抛物线的标准方程分析，选择将变形为求焦点坐标、准线方程。
【设计意图】通过问题3及其两个追问，类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程，利用表格的形式呈现抛物线不同形式（焦点位置的不同）的标准方程。
重点关注的问题：要用我们的一些结论就先要有标准方程，因此先要判断给出的方程是否为标准方程。
3.运用知识、巩固提高
教学活动3.（抛物线方程的应用）例1.（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.
师生活动：教师展示题目，找几个学生上黑板板演，其余学生根据抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，根据抛物线焦点坐标求其标准方程，然后小组互查，教师巡视学生的作答情况，等同学们都答完后进行讲评。
【设计意图】无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，还是由抛物线的焦点坐标或准线方程求其标准方程，正确认识抛物线的标准方程以及方程中p的意义都非常关键，p是抛物线的唯一特征量，决定抛物线的焦点坐标和准线方程，通过例1强化学生对抛物线标准方程、p、焦点坐标以及准线方程的认识
重点关注的问题： p的值为多少。
教学活动4.（抛物线方程的实际应用）例2.一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线。在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，如图3.3-3（1）。已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m。试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
师生活动：教师展示题目，引领学生读懂题意，启发学生从所给出的实物图中抽象出数学图形，根据题目所给的信息建立适当的坐标系，并在图中标出，再将问题转化为抛物线模型，运用待定系数法确定方程，然后求出焦点坐标。标出坐标系后得求解过程由学生独立完成，教师巡视，最后讲评。
【设计意图】让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历将实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的的过程，说明抛物线的应用价值，体现知识的有用性。
重点关注的问题：将实际问题转化为数学问题。
教学活动5.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：让学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价题：
（1）（检测目标7）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
①焦点是F(3，0)；
②准线方程是；
③焦点到准线的距离是2.
（2）（检测目标7）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
①； ②； ③； ④.
（3）（检测目标7）填空.
①准线方程为的抛物线的标准方程是_____________；
②抛物线上一点M到焦点距离是，则点M到准线的距离是_____，点M的横坐标是_________；
③抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是________.
（4）（检测目标7）一个动点到点F(0,-4)的距离比到直线y-3=0的距离多1，求这个动点的轨迹方程.
（六）学后反思
本节课主要学习了抛物线的定义和标准方程，难点是选择恰当的坐标系建立抛物线的方程，由于抛物线在坐标系内的位置不同，其标准方程的形式也不同，因此它会有四种形式的标准方程，在这一过程中，学生会有各种想法，可以让其一试，从运算中体会哪一种建系方式是合适的。
第9课时 抛物线的简单几何性质(一)
（一）课时教学内容：抛物线的简单几何性质
（二）课时教学目标：
1.类比椭圆、双曲线的几何性质研究抛物线的简单几何性质，体会类比的思想，发展逻辑推理素养；
2.利用抛物线的标准方程研究其简单几何性质，明确研究几何对象的一般套路，进一步体会用代数方法研究几何问题的思想，体会坐标法的应用，提升直观想象素养.
（三）教学重点与难点：
1.重点：抛物线的几何性质
2.难点：抛物线的几何性质
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？
师生活动：教师抛出问题，找学生回答，并将学生的答案板书。
【设计意图】引入本节课的主题及研究的主要方向。
重点关注的问题：对椭圆和双曲线几何性质的记忆情况。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1.（探究抛物线的范围）你能仿照研究椭圆和双曲线范围的方法研究形如的范围吗？
师生活动：给学生两分钟时间，让其思考后会发现：恒成立，，所以，而可以取一切实数且随着的增大，也增大。
【设计意图】类比研究椭圆和双曲线进行研究，再次体会解析法研究问题的思路。
重点关注的问题：随的增大的变化情况。
教学活动2.（探究抛物线的对称性）你能仿照研究椭圆和双曲线对称性的方法研究形如的对称性吗？
师生活动：学生自己动手用代，发现方程改变；用代，发现方程不变，所以得到抛物线关于轴对称，无对称中心的结论，教师板书至黑板。
【设计意图】体会用坐标法研究曲线对称性的思路。
重点关注的问题：用代，用代方程是否发生变化。
教学活动3.（探究抛物线的顶点）你能仿照研究椭圆和双曲线顶点的方法研究形如的顶点吗？
师生活动：给学生时间，让其自己验证，然后回答出答案，并提示此时的顶点为坐标原点。
【设计意图】找出抛物线的顶点，体会用坐标法研究曲线几何性质的方法。
重点关注的问题：顶点的求法。
教学活动4.（介绍抛物线的离心率）抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率。那么，根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率为1.
师生活动：直接给出抛物线的离心率的定义，随后可以让学生回答出：抛物线的离心率为1。
【设计意图】研究抛物线的离心率，结合定义进行转化。
重点关注的问题：由抛物线的定义得出离心率为1.
3.运用知识、巩固提高
教学活动5.（抛物线几何性质的简单应用）例3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，-2)，求它的标准方程.
师生活动：找学生上黑板书写解题过程，教师巡视其他同学的完成情况，在学生们完成之后进行点评。
【设计意图】巩固抛物线的简单几何性质。
重点关注的问题：确定抛物线的开口方向。
思考：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，-2)的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程。
师生活动：对比刚才的例题，发现不同之处，绘制出图形，结合抛物线的标准方程求解。
【设计意图】抛物线的标准方程的灵活应用。
重点关注的问题：结合图形求标准方程。
教学活动6.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价题：
（1）（检测目标8）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
①顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5,-4)；
②顶点在原点，焦点是F(0,5)；
③顶点在原点，准线是x=4；
④焦点是F(0,-8)，准线是y=8;
⑤顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
⑥顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点
（2）（检测目标8）在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数有怎样的关系：
①； ②； ③； ④.
（3）（检测目标7）已知抛物线，P是抛物线上一点.
①设F为焦点，一个定点为A(6，3)，求|PA|+|PF|的最小值，并指出此时点P的坐标；
②设点M的坐标为（m，0），mR，求|PM|的最小值（用m表示），并指出此时点P的坐标。
（六）学后反思
本节课主要学习了抛物线的简单几何性质，其难点是用坐标法根据方程研究图形的几何性质，在教学中可以类比椭圆和双曲线的研究方法突破这一难点。
第10课时 抛物线的简单几何性质(二)
（一）课时教学内容：抛物线的简单几何性质应用
（二）课时教学目标：
1.通过具体的例子，借助抛物线的定义，表示出焦点弦的长度，并总结归纳出焦点弦长公式，体会数形结合思想、化归与转化思想，提升几何直观、数学抽象素养；
2．借助信息技术工具，直观感知抛物线焦点弦的性质，能用坐标法给出证明，体会数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想，发展几何直观、逻辑推理素养；
3.通过对方程组解的讨论，会用判别式法、分类讨论法研究直线与抛物线公共点的问题，体会数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想，提升几何直观和数学运算素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：利用坐标法解决直线和抛物线的位置关系
2.难点：将几何问题转化为代数问题并选择合适的运算方法。
（四）教学过程设计：
1.复习旧知、引入新课：之前我们学习了抛物线的有关知识，抛物线是如何定义的？
师生活动：找学生回答，将定义的符号语言板书出来。
【设计意图】复习基础知识，为后面做题做铺垫。
重点关注的问题：抛物线的定义。
追问：之前我们是通过什么方法研究直线和圆锥曲线的位置关系的？
师生活动：引导学生回忆坐标法坐标法研究直线和椭圆、双曲线的位置关系的一般思路。
【设计意图】回忆坐标法研究直线和椭圆、双曲线的位置关系的一般思路，为后续解题作准备。
重点关注的问题：坐标法研究直线和圆锥曲线的位置关系的一般思路。
2.运用知识、巩固提高
教学活动1.（抛物线的焦点弦长）例4.斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
师生活动：教师引导学生分析题目，有很多同学会想到之前用到的求弦长的方法：将直线方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，再利用两点间距离公式求解，这时要对学生的解答思路进行点评：这种思路虽然简单，但是需要复杂的代数运算。此时可以引导学生利用抛物线的定义，把求斜线段的长转化为求与坐标轴平行的线段的长。
【设计意图】焦点弦的计算过程体现了用坐标法研究直线与圆锥曲线位置关系的特点，进一步巩固用联立方程，根与系数的关系解决弦长问题，这一方法突出了抛物线的定义。
重点关注的问题：问题的分析。
教学活动2.（抛物线焦点弦的性质）例5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
师生活动：教师先利用题目中所给出的信息借助于信息技术工具做出图形，然后提问学生：如何说明“直线DB平行于抛物线的对称轴”，当学生回答出“只需证明D,B的纵坐标相等即可”后要提问“如何求D,B的纵坐标？”学生回答出“联立方程组求解后”要问学生直线的方程如何求？使其明确对直线斜率存在和不存在时的讨论，然后师生一起完成本题的书写。
【设计意图】此问题的一个目的就是坐标法的运用。之前已经初步了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，这个问题是对该方法的进一步的应用。
重点关注的问题：坐标法研究直线与圆锥曲线位置关系的特点。
教学活动3.（探究直线与圆锥曲线的位置关系）例6.如图3.3-6，已知定点B(a,-h),BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程。
师生活动：观察图形，发现P与M两点的横坐标相同，然后在这两点各自满足的方程之间实施转换与联立，获得问题的解决。
【设计意图】关注抛物线的具体应用。
重点关注的问题：通过图形发现几何特征。
教学活动4.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：让学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价题：
（1）（检测目标8）过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线于A,B两点，求|AB|.
（2）（检测目标8）垂直于x轴的直线交抛物线于A,B两点，且|AB|=4，求直线AB的方程.
（3（检测目标8）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边，为终边的角°，求。
（4）（检测目标8）如图，直线与抛物线相交于两点，求证：.
（六）学后反思
本节课主要学习了抛物线的简单几何性质的应用，其难点是用坐标法根据直线与圆锥曲线的位置关系及其在这一过程中的运算问题，在教学过程中要师生共同讨论、归纳，给时间让学生思考、让其动手运算，让其体会其中蕴含的规律，不断发展逻辑推理和数学运算的素养，体会化归与转化的思想。
第11课时小结——求曲线方程习题课
（一）课时教学内容：小结——求曲线方程的常见方法
（二）课时教学目标：
1.通过对本章知识的梳理，建立知识网络，总结出研究圆锥曲线的一般路径和研究方法，归纳出本章重点解决的两类问题：求曲线方程和利用方程研究曲线的性质；
2.通过对具体例题的计算，能够用定义法判断出曲线类型，再用待定系数法求轨迹方程，并总结步骤，体会转化思想，发展逻辑推理和数学运算素养；
3.通过对具体例题的计算，能够用直接法求到两定点的距离之比为常数时的点的轨迹方程，并总结结论，体会转化思想，发展逻辑推理和数学运算素养；
4. 通过对具体例题的计算，总结出到两定点的距离之和、之差、之比为常数时的点的轨迹，体会由特殊到一般、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：求轨迹方程的常用方法
2.难点：从具体到一般地探索、概括出到两定点的距离之和、差、比为常数时的点的轨迹
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：本章我们主要学习了圆锥曲线的有关知识，学习了研究圆锥曲线的一般路径和研究方法，你能对本章进行一下总结归纳吗？
师生活动：学生会说出所学的知识、用到的方法，但缺乏整体、逻辑性，没有经过提升，教师可以在学生回答的基础之上引导学生进行归纳、总结，找出共性，然后形成如图所示的知识网络结构，便于学生理解与掌握。
上面的框架具体化就是如下形式：
由上面的框架我们看到，解析几何所要研究的问题之一就是根据条件求曲线的方程，求曲线方程的常用方法有哪些呢？
师生活动：回顾在本章学习中用到的求曲线方程的方法。
【设计意图】说明本节课研究的主要问题。
2.运用知识、巩固提高
教学活动1.（定义法求轨迹方程）例1.已知圆，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，求点的轨迹方程。
师生活动：教师引导学生先根据题目信息在练习本上画出草图，然后观察图中的几何特征，将其用代数形式表示，进而得出结论。找学生板书解题过程，之后进行点评，规范书写。
【设计意图】从几何特征入手找到定义所满足的条件，用定义求方程。
变式1.若将例1中圆的方程变为，其它条件不变，则点的轨迹方程为__
一、单元名称：圆锥曲线的方程
二、单元内容和内容解析：
1.单元内容
圆锥曲线的方程是教材中已经划分好的“教学单位”，是以核心数学知识为主线的主题类单元，教学内容主要包括：圆锥曲线的定义、标准方程及其简单几何性质，圆锥曲线的简单应用。教学内容的主线有两条：一条是“从几何直观到代数表示”，另一条是“用代数方法研究几何问题”。明线为每一种圆锥曲线的几何特征、方程、性质和应用，暗线为坐标法和数形结合思想。在本章所有内容结束之后要安排两节小结课，这两节课是将本单元内容进行梳理，建立知识网络，并就学习中出现的常见题型与方法进行总结，主要是两类问题——一是求曲线方程，一是直线与圆锥曲线的位置关系，由此进一步体现解析几何研究的主要问题——根据已知条件，求出表示曲线的方程；通过曲线的方程，研究曲线的性质。
2.内容解析
（1）内容的本质：解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。
（2）内容蕴含的数学思想和方法：在解析几何的学习中一直贯穿“数形结合的思想”；研究圆锥曲线的标准方程时体现了“方程的思想”和“分类讨论的思想”；研究直线与圆锥曲线的位置关系蕴含了“坐标法”的基本思想；研究双曲线和抛物线时蕴含了类比的数学思想；用圆锥曲线的知识解决实际问题蕴含了“化归与转化的思想”，体现了数学建模。
（3）知识的上下位关系：坐标法是研究直线与圆的延续，已有的知识方法可以为圆锥曲线的学习提供知识和方法的保证；椭圆为后续双曲线和抛物线的研究做好了铺垫，研究内容、过程和方法类似，体现了数学知识的前后一致性。
（4）内容的育人价值：利用几何特征得出椭圆、双曲线、抛物线的概念可以发展学生的抽象概括和逻辑推理能力；求椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的过程可以培养学生运算求解、抽象概括能力；由椭圆、双曲线和抛物线的标准方程研究圆锥曲线的性质的过程初步形成用代数方法解决几何问题的能力，发展学生逻辑推理、数学运算素养；利用圆锥曲线的知识解决实际问题的过程可以提升学生数学建模素养，培养应用意识；研究直线与圆锥曲线的位置关系的过程可以进一步领会解析几何的数学本质，提升学生数学运算、几何直观素养。
（5）本单元教学重点：根据已知条件，求出表示曲线的方程；通过曲线的方程，研究曲线的性质；研究圆锥曲线的思路与方法。
三、单元教学目标和目标解析
（一）总目标：在直线与圆的方程研究的基础上，借助几何直观经历由具体情境中抽象出圆锥曲线的过程，认识其几何特征，建立它们的标准方程，并运用坐标法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，可以运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，体会数形结合思想和坐标法。
1.借助于行星运行轨迹、发电厂冷却塔的外形线、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等实际生活中的例子，体会圆锥曲线的实际背景和圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，体会由特殊到一般、数形转化思想，发展数学抽象和逻辑推理素养；
3.根据椭圆的定义，利用坐标法，推导出椭圆的标准方程，并能根据条件求椭圆的标准方程，体会数形结合、方程思想，提升数学运算和逻辑推理素养；
4.利用椭圆的标准方程研究其简单几何性质，体会用代数方法研究几何问题的基本思想，发展逻辑推理、几何直观素养；
5.运用信息技术的演示，了解双曲线的定义、几何图形，类比椭圆标准方程的推导方法推导出双曲线的标准方程，体会数形结合、类比、分类讨论思想，提升数学抽象和数学运算素养；
6.利用双曲线的标准方程研究其简单几何性质，明确数学对象的研究内容，体会类比和数形结合思想，发展逻辑推理、几何直观素养；
7.了解抛物线的定义、几何图形，会求其标准方程，体会数形结合、类比、分类思想，提升数学抽象和数学运算素养；
8.利用抛物线的标准方程研究其简单几何性质，明确研究几何对象的一般套路，进一步体会用代数方法研究几何问题的思想，发展逻辑推理、直观想象素养.
（二）目标解析：
达成上述目标的标志是：
1.能够根据给定的条件建立适当的坐标系求出圆锥曲线的方程；
2.能够对含有根式的表达式进行化简；
3.能够利用方程研究圆锥曲线的性质；
4.能够类比椭圆的研究方法和路径研究双曲线和抛物线；
5.能够运用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。
四、单元教学问题诊断分析
1.学习本单元学生已具备的学习基础：在必修课程中 ，已经用坐标法研究过直线与圆，对用坐标法研究曲线的基本思想与方法已有了解，已经能从代数的角度解决简单的几何问题，具备了一定的运算求解能力。
2.从已有基础到目标学生可能遇到的障碍：（1）从具体实例中抽象出圆锥曲线的几何特征是比较困难的；（2）求椭圆标准方程时的化简过程不太会处理，推理论证能力不强；（3）如何通过标准方程研究曲线的几何性质，这是第一次遇到，在研究什么、如何研究上有困难；（4）圆锥曲线的定义不能够灵活运用，数形转化能力有所欠缺；（5）会用代数方法判断直线与圆锥曲线位置关系，但运算能力不过关。
3.教学难点：由具体情境中抽象出曲线的几何特征；圆锥曲线标准方程的化简；圆锥曲线定义的适时转化；坐标法的灵活应用。
五、教学支持条件分析
使用几何画板软件或GeoGebra软件演示椭圆、双曲线的渐近线、抛物线及圆锥曲线方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响。
用动画软件演示用平面截圆锥得到圆锥曲线的过程。
六、单元分讲设计
1.根据教学主线和知识的逻辑关系，给出本单元内容结构图：
2.本单元共需12课时，各课时安排如下：
第1课时：椭圆及其标准方程（一）（落实目标1,2,3）
第2课时：椭圆及其标准方程（二）（落实目标1,2,3）
第3课时：椭圆的简单几何性质（一）（落实目标4）
第4课时：椭圆的简单几何性质（二）（落实目标1-4）
第5课时：双曲线及其标准方程（落实目标5）
第6课时：双曲线的简单几何性质（一）（落实目标6）
第7课时：双曲线的简单几何性质（二）（落实目标5,6）
第8课时：抛物线及其标准方程（落实目标7）
第9课时：抛物线的简单几何性质（一）（落实目标8）
第10课时：抛物线的简单几何性质（二）（落实目标7,8）
第11课时：小结（一）—求曲线方程习题课（落实目标2,3,5,7）
第12课时：小结（二）—直线与圆锥曲线的位置关系（落实目标1-8）
七、课时教学设计
第1课时 椭圆及其标准方程(一)
（一）课时教学内容：椭圆及其标准方程
（二）课时教学目标：
1.通过用细绳画椭圆的实验，寻找出在画图过程中笔尖满足的几何条件，把握其数学特征，并用准确的数学语言表达椭圆的概念，会初步运用椭圆的概念判断曲线类型，体会由特殊到一般、数形转化思想，发展数学抽象和数学运算素养；
2.根据椭圆的定义，结合求曲线方程的步骤并类比圆推导出椭圆的标准方程，并会用定义及待定系数法求其标准方程，体会数形结合、方程、类比思想，提升数学运算和逻辑推理素养；
3.借助椭圆图形能准确说出参数a、b、c的几何意义，并掌握它们的关系式，可以找出给定的椭圆标准方程中的a、b、c，体会数形结合思想；
4.类比焦点在轴上的椭圆的标准方程得出焦点在轴上的椭圆的标准方程，并能够判断出给定的椭圆方程的焦点的位置，体会类比、分类的思想；
5.能够利用椭圆的定义和标准方程解决简单的数学问题，体会坐标法的基本思想，发展逻辑推理素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：椭圆的定义和标准方程
2.难点：标准方程的推导
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：
引导语：前面我们用坐标法研究了直线、圆及他们的位置关系。生产、生活中还有许多非常有用、有趣、我们不大熟悉的曲线需要研究。
问题1：如图1，用一个垂直于圆锥的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆。如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？
师生活动：教师通过信息技术演示，引导学生认识截面与圆锥的轴所成的角不同时得到的不同的截口曲线，并指出他们分别是椭圆、双曲线、抛物线（图1）。教师可以介绍圆锥曲线的研究历史，指出圆锥曲线在生产、生活中的应用，而这些几何特征和几何性质都是本章要研究的内容。
【设计意图】问题1重在引发学生思考，并不要求学生解决。这个环节的教学目的是明确本章内容的意义与价值，促进学生形成积极探究的心理倾向。
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线。17世纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线。你能猜到这些变化的大致原因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思路与构架吗？
师生活动：在学生回顾、讨论的基础上，明确采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确地计算。本章研究的基本思路：现实背景——曲线的概念——曲线的方程——曲线的性质——实际应用。
【设计意图】让学生从整体上把握本章的学习内容与基本框架，为后续学习提供先行组织者，同时深化学生对坐标法研究问题的基本思路与基本方法的理解。
重点关注的问题：体会到在现实生活中这样的例子还有很多，本章研究的基本思路：现实背景——曲线的概念——曲线的方程——曲线的性质——实际应用。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1.（抽象椭圆的定义）请同学们拿出事先准备好的自制道具：木板、细绳、图钉、铅笔，同桌同学一起合作按要求画图。
要求如下：
（1）取一条细绳长。
（2）把它的两端固定在纸板上的两个图钉上，且。
（3）用笔尖（M）把细绳拉紧，在纸板上慢慢移动，观察画出的图形是什么？
师生活动：通过多媒体投影作图的要求，并巡视学生的完成情况，找学生上黑板演示作图过程，其他学生合作完成作图的过程，并在作图的过程中初步发现椭圆的定义。
【设计意图】 经历画椭圆的过程，强化学生对椭圆的几何特征的认识，加深对椭圆定义的理解。
重点关注的问题：绳长与定点间的距离的大小关系。
追问1.在以上画图的过程中若视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点在运动过程中满足什么条件？其轨迹是什么？
追问2.若绳长等于两图钉之间的距离，画出的图形又是什么？
追问3.若绳长小于两图钉之间的距离，能画出图形吗？
师生活动：教师让学生试着继续画一画，然后引导学生回答。学生们自己动手画图后，可以观察出结论。
【设计意图】以活动为载体，让学生在“做中学”，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累基本活动经验。同时，力求改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论、概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维的能力。
重点关注的问题：满足怎样的条件才会画出椭圆，哪些量是变的，哪些量不变，它们的大小关系如何。
追问4.你能由刚才的画图过程抽象概括出椭圆的定义吗？
师生活动：学生尝试用精确的数学语言给出椭圆的定义。如果学生忽略了“这个常数大于两定点间的距离”这一条件，教师通过追问，启发、帮助学生完善.同时，让学生搞清楚；当常数等于两点间的距离时，点的轨迹是线段；当常数小于两点间的距离时，点的轨迹不存在.再给出椭圆的概念的基础上，教师在引导学生了解焦点、焦距、半焦距等概念.逐步引导学生找出刚才能做出椭圆时所满足的几何条件，进而用规范的语言进行描述，并板书定义。
【设计意图】通过尝试、观察、探究，强化椭圆概念的抽象与建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力；同时让学生获得焦点、焦距等概念.形成椭圆的定义。
重点关注的问题：对定义中相关用语及符号表示的使用是否准确及椭圆需要满足的几何条件。
教学活动2.（用椭圆的定义判断曲线类型）练习1：用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆？
（1）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为6的点M的轨迹。
（2）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹。
（3）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹。
师生活动：教师展示题目，让学生根据自己刚才的作图过程和椭圆的定义自主完成，教师给出提示。
【设计意图】在新概念学习后，设计了常数大于焦距、等于焦距、小于焦距的三个问题，及时帮助学生理解概念的内涵，对提升理解数学的水平具有现实的意义。同时运用反馈调节机制，对学生的学习情况及时评价，既起到激励学生的学习热情的作用，也起到教师评估教学的作用.
重点关注的问题：是否能够紧扣椭圆的定义进行判断。
教学活动3.（推导椭圆的方程）问题1.前面已学求曲线方程的一般步骤是什么？
问题2.圆心在原点与不在原点的圆的方程哪个形式更简单？为什么？
师生活动：教师提出问题，帮学生回顾之前所学的知识，学生积极思考，观察图形得出结论。
【设计意图】引导学生通过复习已知，明确思维的方向，为在椭圆上建立恰当的坐标系搭桥铺路。
重点关注的问题：怎样建系更方便。
问题3.类比图1、图2建立圆的方程的方法，怎样在椭圆上建立直角坐标系，才能使椭圆方程更简单？
师生活动：教师循循善诱，使学生自然而然回答出怎样建系，并在黑板上画出所建的坐标系。学生则可以由刚才回答的问题2联想到如何去建系。
【设计意图】怎样选择适当的坐标系去求曲线方程，尽量使形式简单为原则。
重点关注的问题：如何选择适当的坐标系。
问题4.你能在刚才建立的坐标系的条件下推导出椭圆的方程吗？
师生活动：教师首先要引导学生将椭圆上的点所满足的几何条件用代数形式表示出来，然后让其进行化简，当遇到含有两个根式，学生不会化简时，要适时地给出提示：（1）化简含有根号的式子时，我们通常怎么处理？（2）如何将含有两个根式的等式化成含有一个根式的等式？（3）对于本题中的方程，哪一种处理方式有利于化简？学生则积极思考，相互交流，在教师的提示下，完成化简工作，通过不断的尝试，找出移项后再平方会使化简简化一些，从而化简出结果
【设计意图】这是本节课的难点之一，通过教师引导学生参与移项、平方、整理，让学生感受数学运算的必要性和艰难性。使学生在突破难点的同时，掌握方法、提高运算求解能力。教师根据课堂情况还可以介绍其它的化解方法，供学生在课后思考。
重点关注的问题：如何对含有两个根式的等式进行化简。
教学活动4.（化简得出焦点在轴的椭圆的标准方程、探究参数a、b、c的几何意义）你能在如图所示的椭圆上找出各自所表示的线段吗？
师生活动：教师引导学生利用椭圆的定义及勾股定理找出相应的线段，于是可以提示令，从而可以再继续简化刚才的方程，得出椭圆的标准方程。学生在教师的提示下，可以利用椭圆的定义找到所表示的线段，从图中的直角三角形中利用勾股定理就可以找到所表示的线段。由于可以令，所以就可以将刚才得到的椭圆方程进一步化简，得到椭圆的标准方程。
【设计意图】进一步化简方程，认识a,b,c的几何意义，有利于理解引进b的必要性，也有利于学生体会数形结合思想的价值所在。
重点关注的问题：a,b,c的几何意义。
教学活动5.（探究焦点在轴的椭圆的标准方程）前面我们得到了焦点在轴上的椭圆方程，如果椭圆的焦点在y轴上，椭圆的标准方程是怎样的呢？
师生活动：教师要给学生时间，让其独立思考，学生经过观察思考后，能认识到图形中交换坐标轴对应方程中交换x与y的位置，从而得到了焦点在y轴上的椭圆的标准方程：。
【设计意图】让学生明确由于焦点位置的不同，所得的标准方程也不同。
重点关注的问题：标准方程的形式。
追问1.你能谈谈对椭圆标准方程的认识吗？
师生活动：教师引导学生从形式上、所对应的图形上的异同点进行分析。学生在教师的引导下可以看出标准方程所对应的曲线其焦点一定在坐标轴上，且两焦点的中点必为坐标原点；其形式类似，只是焦点位置决定了分母的大小，进而可以根据方程对焦点位置进行判断。
【设计意图】进一步认识椭圆的标准方程，让学生充分认识两种方程的特点，从中找出它们的区别和联系，体会分类思想以提高学生思维的严密性。为后边双曲线、抛物线及其它知识的学习奠定基础。
重点关注的问题：方程的形式。
3.运用知识、巩固提高
教学活动6.（根据方程求参数，并判断椭圆焦点的位置）求下面椭圆方程中的,并说出焦点的位置。
师生活动：教师展示题目，学生对照椭圆的标准方程，口答出结果。
【设计意图】明确方程中谁是，如何判断焦点的位置，评价学生对椭圆两种形式的标准方程的理解和初步应用程度.
重点关注的问题：对椭圆两种形式的标准方程的认识及焦点位置的判断方法。
教学活动7.（椭圆定义及标准方程的简单应用）写出适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）已知两个焦点的坐标分别是（-4,0），（4,0）,椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10.
（2）将上题焦点改为（0，-4），（0,4），结果如何？
（3）将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10.结果如何？
师生活动：教师给出题目，让学生自主完成，同时找三位同学上黑板板演，其余学生在练习本上自主完成，在解答的过程中适当的给出提示：联系椭圆的定义和标准方程解题。当学生完成后对学生的解答进行点评。
【设计意图】数学概念需要在运用中提升理解并得到巩固，通过该练习使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为素养，并在解题过程中感受"数形结合思想"的作用.
重点关注的问题：椭圆的定义的理解。
教学活动8.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：让学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价检测题：
（1）（检测目标2）如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是_______
（2）（检测目标2）已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于两点，是椭圆的左焦点。
①求的周长；
②如果不垂直于轴，的周长有变化吗？为什么？
（3）（检测目标2、3）如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。
（4）（检测目标3）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
①，焦点在轴上；②，焦点在轴上。
（5）（检测目标3）已知椭圆的两个焦点分别为F1(-4，0)和F2(4，0)，再添加什么条件，可得这个椭圆的方程为？
（6）（检测目标2）已知B，C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程。
（六）学后反思
本节课主要学习了椭圆的定义及其标准方程的推导，难点是标准方程的推导过程中根式的化简。在教学过程中，要引导学生注意思考含有根式的等式我们平时如何处理，如何将含有两个根式的等式化简为含有一个根式的等式？通过让学生动手尝试，发现解决问题的办法。在教学过程中体会数形结合思想、分类讨论思想，发展数学运算、几何直观素养。
第2课时 椭圆及其标准方程(二)
（一）课时教学内容：椭圆及其标准方程应用
（二）课时教学目标：
1. 通过具体的例子，会利用椭圆的定义和待定系数法求其标准方程，体会数形结合思想，发展逻辑推理和数学运算素养；
2.借助坐标法求曲线的方程，发现椭圆的另外的生成方法，体会椭圆与圆之间的关系，进一步熟练直接法、相关点法求轨迹方程，提升逻辑推理、几何直观的素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：求椭圆的标准方程。
2.难点：求轨迹方程的常用方法的归纳。
（四）教学过程设计：
1.复习旧知、引入新课：教学活动1.（复习椭圆的定义和求其标准方程的步骤）我们在之前学习了椭圆的定义及其标准方程的推导过程，请大家回忆一下相关的知识。
师生活动：教师利用多媒体展示复习的内容，学生积极思考，举手回答老师的提问，教师板书椭圆定义的符号表示和标准方程。
【设计意图】回顾之前所学的知识，为本节课的开展做好铺垫。
重点关注的问题：以上知识是否已经完全掌握。
2.运用知识、巩固提高
教学活动2.（定义法和待定系数法求椭圆的标准方程）例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程。
师生活动：教师展示题目，并找学生将解题过程板书至黑板，学生根据题目信息及自己的理解，独立完成题目，然后组内交流，与黑板上同学的解答进行对比分析，这些解答中有定义法求得的结果，也有待定系数法求得的方程，教师要分别进行点评总结，给出定义法和待定系数法求椭圆方程的一般步骤。
【设计意图】进一步掌握椭圆的定义及其标准方程，学会利用其解决数学问题，掌握定义法和待定系数法求椭圆方程的一般步骤，提升逻辑推理和数学运算素养。
重点关注的问题：定义法和待定系数法求椭圆标准方程。
教学活动3.（利用相关点法求曲线方程和椭圆的生成过程）例2.如图所示，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足。当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？
师生活动：教师给出题目，引导学生明确求轨迹方程就是求轨迹上任意的点M的坐标(x,y)所满足的条件，因此必须先搞清楚点M所满足的条件，利用动点与点的关系，借助于点的轨迹方程来求点的曲线方程。之后可以总结这种借助于中间变量求点的轨迹方程的方法——相关点法。在本题最后要强调答案为椭圆。另外做完题之后可以借助于几何画板将刚才的过程进行演示，进一步加深印象——明确圆与椭圆的联系，椭圆可以看成是把圆“压扁”或“拉长”后，圆心一分为二所成的曲线。
【设计意图】（1）再次教给学生利用中间变量求点的轨迹方程的方法；向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；（2）让学生知道，圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆,体会椭圆与圆之间的关系（包括图形、方程）；（3）提高思维的探究性与挑战性。
重点关注的问题：发现动点M与点P的关系，借助于点P的轨迹方程来求点M的轨迹方程。
练习1. 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.求点的轨迹方程.
师生活动：教师展示题目，让学生仿照例题书写本题，并找学生板演，学生在老师的要求下，仿照例题来完成问题，之后教师点评——这也可以得到椭圆，学生要根据老师的点评来更正自己的不足。
【设计意图】体会相关点法求轨迹的步骤及椭圆的生成。
重点关注的问题：相关点之间的关系。
教学活动5.（椭圆的生成另一种生成过程）例3.如图所示，设点的坐标分别为.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程。
师生活动：（1）在学生分析、讨论解题思路的基础上，由学生独立完成；（2） 教师视情况讲解、点评；（3）注意检验方程与曲线之间是否等价。
【设计意图】给出生成椭圆的另一种方法，深化学生对求曲线的方程的方法的认知，为后面的类比学习做铺垫。
重点关注的问题：求出曲线的方程之后去掉不满足条件的点。
练习2. 已知点A( 2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为 .记M的轨迹为曲线C.求C的方程，并说明C是什么曲线；
师生活动：教师引导学生观察本题与例题的区别，然后学生快速作答并说出答案。
【设计意图】引起学生对课本例题的重视，进一步巩固椭圆的概念与标准方程。
重点关注的问题：2019年高考21题来源于此例题。
教学活动7.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：学生根据本节课学习的知识自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和升华。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价检测题：
（1）（检测目标2、3）设点的坐标分别为。直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点的轨迹是什么？为什么？
（2）（检测目标3）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
①焦点在轴上，焦距等于4，并且经过点；
②焦点坐标分别为；
③.
（3）（检测目标2、3）如图，轴，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状，与例2相比，你有什么发现？
（4）（检测目标2）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上.如果△PF1F2是直角三角形，求点P的坐标.
（5）（检测目标2）如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点。线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
（六）学后反思
本节课主要学习了求椭圆的方程，难点是求轨迹方程的常用方法的提炼，尤其是用相关点法求轨迹。在教学过程中，要引导学生从中发现点的相关关系，进而用已知的曲线方程来求未知的曲线，从中体会数形结合思想、化归与转化的思想，提升几何直观和逻辑推理素养。
第3课时 椭圆的简单几何性质(一)
（一）课时教学内容：椭圆的简单几何性质
（二）课时教学目标：
1.能在直观认识椭圆的图形特点的基础上，由椭圆的标准方程和非负实数的含义讨论得出椭圆的范围，从中学会如何利用曲线的方程探究曲线的范围，体会数形结合、转化、分类讨论的思想，发展逻辑推理和几何直观素养；
2.能在直观认识椭圆的图形特点的基础上，经历用代换，代换，方程不变的过程，发现椭圆的对称性，并从中学会利用曲线的方程来判断曲线对称性的方法，体会数形结合、转化的思想，提升逻辑推理和几何直观素养；
3.能在直观认识椭圆的图形特点的基础上，利用椭圆的方程求出椭圆与轴、轴的交点坐标，得出圆锥曲线顶点的概念，明确长轴和短轴的含义，会根据方程求椭圆的顶点、长轴长，短轴长，体会方程的思想、数形结合思想和分类讨论思想，发展数学运算和几何直观素养；
4.通过观察椭圆的扁平程度，探究其与离心率的关系，明确离心率与a,b,c的关系，会根据椭圆方程或有关条件求离心率；
5.经历利用解析法研究椭圆的简单几何性质的过程，体会用代数方法研究几何问题的基本思想，发展数学抽象素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：椭圆的简单几何性质的探究与证明。
2.难点：椭圆的离心率。
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。我们在前面的学习中，已经知道了椭圆的概念、求出了椭圆的标准方程，按照解析几何研究几何图形的内在逻辑，接下去我们应该研究什么？
追问：你觉得应研究椭圆的哪些几何性质？如何研究？
师生活动：通过讨论，明确应研究椭圆的几何性质。然后，在观察椭圆的基础上，明确应研究椭圆的范围、对称性、顶点、扁平程度等。研究的基本思路与方法是先“形”后“数”，即在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过椭圆的标准方程进行计算和推理。
【设计意图】让学生在明确的研究问题、研究方法指引下学习与探究，提高思维的主动性、深刻性，避免思维的被动性和盲目性。
重点关注的问题：本节的主题——用解析法研究曲线的简单几何性质的研究思路与方法。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1.（探究椭圆的范围）观察直角坐标系中的椭圆，它有怎样的范围？你能利用椭圆的标准方程给出证明吗？
师生活动：教师提出问题，画出椭圆，明确曲线的范围即方程中两个变量x,y的取值范围，并将椭圆的方程板书至黑板上方，先引导学生观察图形，得出猜想，再对标准方程适当变形，利用非负数的含义进行探究，从而得出范围，此时可以适时的提醒学生即使没有椭圆的图形，用这一方法我们也可以求出其范围，这就是根据方程研究曲线性质的方法，即把几何问题转化为了代数问题，然后再用代数的结果解释几何问题，最后让学生画出椭圆的图形进行验证。对所用的方法进行总结，让学生初步有一个利用方程研究范围的印象，为后续的总结做好铺垫。绝大数同学可以通过观察图形进行猜测，但当教师提出用方程研究范围时可能会不知所措。在教师的提示下，当对方程变形之后有一部分学生就会利用非负数的概念得出结论，对解决问题的过程提升一下就会得出利用方程研究曲线的范围的方法。
【设计意图】让学生体会利用方程研究图形的性质是解析几何问题的重要思想，培养学生的分析、概括与表述能力。
追问1. 如何利用椭圆的标准方程来研究椭圆的范围？
师生活动：教师让学生仿照刚才的研究过程自己动手完成，对有困难的学生给予适时的引导。大部分学生可以仿照刚才的研究过程对标准方程进行变形讨论，从而得出范围。
【设计意图】熟悉用方程研究图形的范围的方法。
重点关注的问题：利用方程研究图形的性质是解析几何问题的重要思想。
教学活动2.（探究椭圆的对称性）观察椭圆的形状，它有怎样的对称性？在直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？你能利用椭圆的方程证明它的对称性吗？
师生活动：教师先引导学生回顾点关于轴、轴和原点的对称点的坐标分别是什么？再引导学生思考“如何说明曲线关于轴、轴和原点的对称”？然后让学生自己动手用代换，代换，观察方程是否发生变化，从而得出结论，并用椭圆的图形来验证。最后总结出用方程判断曲线的对称性的步骤。在这一过程中始终要强调的是所做的步骤都是代数运算。学生要通过观察图形直观感知再猜想验证。
【设计意图】体会用解析法研究图形的对称性的方法，培养学生的分析、概括与表述的能力。
重点关注的问题：如何利用方程研究曲线的对称性的方法。
教学活动3.（探究椭圆的顶点）观察椭圆，你觉得有哪些比较特殊的点？你能由椭圆的标准方程得出椭圆与轴、轴的交点坐标吗？
师生活动：讨论何为特殊的点，即椭圆与坐标轴的交点。在问题解决之后，教师可以引导学生类比直线在坐标轴上的截距，回顾当点落在轴、轴上时其坐标有何特点，进而分别令求出交点坐标，之后给出椭圆的顶点和长轴、短轴的概念。
【设计意图】明确曲线的顶点的含义及学会利用方程求曲线的顶点的思路与方法。
追问2.当椭圆的标准方程时，其顶点、长轴和短轴分别如何求呢？
师生活动：利用刚才的结论完成。
【设计意图】熟悉概念及方法。
重点关注的问题：利用方程研究曲线的特殊点的方法。
教学活动4.（探究椭圆的离心率）观察图中的不同椭圆，你有何发现？
师生活动：教师利用多媒体设备展示进行图片展示。学生通过观察得出——这些椭圆的扁平程度不一样。
【设计意图】培养学生观察、发现、归纳与总结的能力。
追问3.用什么量来刻画椭圆的扁平程度呢？
师生活动：教师借助于信息技术工具的演示来帮助学生思考，可以进行如下数学实验：（1）保持长半轴长不变，改变椭圆的半焦距，观察椭圆的变化情况；（2）保持椭圆的半焦距不变，改变长半轴长，观察椭圆的变化情况；（3）同时改变长半轴长和椭圆的半焦距，但保证半焦距和长半轴长的比值不变，观察椭圆的变化情况。演示之后可以引入离心率的概念。学生在教师演示数学实验的过程中发现一些不变的规律，进而可以考虑用半焦距和长半轴长的比值来表示椭圆的扁平程度。
【设计意图】借助现代信息技术探究椭圆离心率与椭圆扁平程度的关系，变抽象为形象，以形象的动画演示来代替教师的直接讲解。
追问4. 由及椭圆标准方程中的关系，你能得出离心率的取值范围吗？
师生活动：绝大多数学生能够得到，但易忽视，其比值是大于0的，教师可以给予提醒。
【设计意图】探讨离心率的取值范围。
追问5.和的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？
师生活动：其实在上一个问题之后就有学生有了这样的疑问，现在提出来一起探讨，可以再做数学实验来验证——也可以用这两个量来表示。为了后续研究性质的方便，我们习惯上用即离心率来表示椭圆的扁平程度。
【设计意图】还可以用其它量来表示椭圆的扁平程度。
追问6.你能运用三角函数的知识解释，为什么越大，椭圆越扁？越小，椭圆越圆吗？
师生活动：教师可以画出如图所示得图形，在直角三角形BF2O中借助锐角三角函数的有关知识进行解释。
【设计意图】从多角度解释离心率。
重点关注的问题：离心率的作用，刻画了椭圆的扁平程度。
3.运用知识、巩固提高
教学教学活动5.（椭圆的简单性质）例4.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
师生活动：教师要让学生独立完成，在解决的过程中可以提醒学生：（1）由于给出的方程不是标准方程，故先要引导学生将方程变为标准方程，求出，然后利用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义求相关量，最后核对答案即可；（2）养成画图的习惯。
【设计意图】巩固椭圆的简单几何性质，促进知识的迁移。
重点关注的问题：我们讨论问题的前提应该是标准方程下，故而当不是标准方程时要先变为标准方程再进行求解。
教学活动6.由以上的探究过程，你能说说利用解析法如何研究曲线的简单几何性质吗？
师生活动：帮学生回顾刚才的探究过程，进一步得出以下结论：从曲线的方程入手研究曲线的性质时，变量的范围等价于曲线的范围；点的对称性等价于曲线的对称性；或时方程的解等价于曲线与对称轴的交点（顶点）。
【设计意图】对由方程研究曲线的几何性质的方法进行总结提升，便于日后使用。
重点关注的问题：如何将代数与几何建立联系。
教学活动7.（进行课堂小结）本节课我们研究了曲线的哪些性质 这些性质通过怎样的方法得到？通过方程研究曲线的性质有怎样的特点？
师生活动：在学生独立回顾、思考的基础上进行班级交流，然后教师点评、总结。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价检测题：
（1）（检测目标4）求下列椭圆的范围、长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
①；②.
（2）（检测目标4）比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？
①与；②与
（3）（检测目标4）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
①焦点在轴上，；
②焦点在轴上，；
③经过点；
④长轴长等于20，离心率等于；
⑤长轴长是短轴长的3倍，且经过点；
⑥焦距是8，离心率等于0.8
（4）（检测目标4）过椭圆的中心O的直线l与椭圆相交于A，B两点，F1，F2是椭圆的焦点.
(1)求证：四边形AF1BF2是平行四边形；
(2)平行四边形AF1BF2的面积是否可能等于ab？并说明理由.
(3)点P是椭圆上任意一点，是否是定值？
（六）学后反思
本节课主要学习了用椭圆的标准方程研究其简单的几何性质，难点是从方程入手，利用函数的观点研究几何问题，在教学过程中，要慢慢渗透，可以分解动作来完成，每完成一个就进行一下总结，这样就可以形成规律性的东西便于学生掌握。
第4课时 椭圆的简单几何性质(二)
（一）课时教学内容：椭圆的标准方程及其简单几何性质运用
（二）课时教学目标：
1.经历解决实际例题的过程，会将实际问题转化为代数问题，体会数形结合思想、化归与转化的思想，提升数学建模素养。
2.通过求曲线方程的过程，体会椭圆的另一种定义方式，体会坐标法的应用，发展几何直观和数学运算素养。
3.通过具体的例子学会研究直线与椭圆的位置关系的方法，形成由代数方法研究几何问题的一般思路，体会数形结合、化归与转化思想，提升直观想象和数学运算素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：用代数的方法研究几何问题。
2.难点：将几何问题转化为代数问题、研究直线与椭圆的位置关系。
（四）教学过程设计：
1.复习旧知、引入新课： 教学活动1.（复习所学知识）请大家根据所学的知识，完成下面的表格：
方程
图形
焦点坐标
范围
对称性
顶点坐标、长轴长，短轴长
离心率
师生活动：在教师展示出表格后，学生自主完成。
【设计意图】将所学知识进行回顾归纳、即便于记忆又为本节课打好知识基础。
重点关注的问题：学生对知识的理解记忆。
2.运用知识、巩固提高
教学活动2（椭圆的实际应用）例5.如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，卡片位于另一个焦点F2上。由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）。
师生活动：由于本题是实际问题，所以教师要先引导学生根据题目给出的信息建立直角坐标系，再利用椭圆的性质分别求出进而求出方程。学生们则要仔细读题，独立思考。 如果学生提出通过把点B的坐标代人方程求解，应在肯定其思维合理性的基础上，提醒学生思考有没有更简便的方法。应注意培养学生认真阅读题目的习惯和严谨、认真、不怕运算的习惯。
【设计意图】椭圆的实际应用，让学生体会到所学的知识的应用价值，体会椭圆在生产生活中的应用，发展学生数学抽象、数学建模素养。
重点关注的问题：由题目中的信息建立直角坐标系。
教学活动3.（椭圆的另一种定义方式）例6.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l：的距离的比是常数，求点M的轨迹.
师生活动：先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，再让学生自己动手完成，当学生完成后教师要提问学生最后的结果，对于有的学生给出的是方程形式，要给予纠正。之后带领学生观察求出的方程，分别写出，那么这里的定点实际上就是一个焦点，常数就是离心率，的方程实际就是，同时强调，通过“到定点的距离与定直线的距离的比为常数”这样一种方式我们也可以得到椭圆，这其实也是椭圆的一种定义方式，但不提出椭圆的“第二定义”的概念。
【设计意图】通过一个具体的例子使学生感受椭圆的另一种定义方式，感受椭圆蕴含着丰富的、奇妙的性质。
重点关注的问题：到定点的距离与定直线的距离的比为常数（这里定点指焦点，定直线指，常数为离心率）的轨迹也是椭圆。
教学活动4.（探究直线与椭圆的位置关系）例7.已知直线：和椭圆（如图所示）问当m为何值时，直线l和椭圆C:（1）有两个公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点.
师生活动：类比直线与圆的位置关系，理解直线与椭圆的三种位置关系。先通过学生独立思考、生生讨论、师生交流，明确解题的思路与方法，然后师生一起解决问题，最后比较研究直线与椭圆的位置关系和研究直线与圆的位置关系方法的异同。
【设计意图】使学生更好地掌握通过方程研究曲线问题的基本思路与方法。
重点关注的问题：将几何问题转化为代数问题，再用代数结果去解释几何问题。
教学活动5.（进行课堂小结）请梳理用坐标法研究与椭圆有关的问题的一般思路与方法。
师生活动：对本节课的研究路径进行回顾，归纳整理。
【设计意图】师生共同梳理用坐标法研究椭圆的一般思路与方法，包括椭圆方程的建立过程，椭圆简单几何性质的研究过程，用椭圆及其几何性质解决实际问题的过程，进一步感受坐标法这一解析几何的基本思想和方法。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价检测题：
（1）（检测目标4）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆。测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约1.5×108km），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程。
（2）（检测目标4）已知地球运行的轨道是长半轴长km，离心率e=0.0192的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离。
（3）（检测目标4）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是1:2，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
（4）（检测目标4）求下列直线和椭圆的交点坐标：
①；②.
（5）（检测目标4）经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长。
（6）（检测目标4）已知椭圆和直线l:y=kx+3.k取何值时，这个椭圆和这条直线：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？
（7）（检测目标4）椭圆的焦点分别为，P为这个椭圆上的动点，当∠为钝角角时，求点P横坐标的取值范围。
（六）学后反思
本节课主要学习了应用椭圆的有关知识解决简单问题，难点是如何将要研究的几何问题转化为代数问题，利用程序化的运算解决之后再用代数结果去解释几何问题。在教学过程中要先直观分析建立联系然后再转化为代数问题进行求解，在这一过程中体会化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，提高分析问题、解决问题的能力，发展提升直观想象、运算求解素养。
第5课时 双曲线及其标准方程
（一）课时教学内容：双曲线的定义及其标准方程
（二）课时教学目标：
1.借助信息技术工具的演示，类比椭圆的定义能给出双曲线的定义（自然、符号、图形语言），体会数形结合、类比思想，提升数学抽象和数学运算素养；
2.类比求椭圆的标准方程的方法，能选择恰当的直角坐标系推导出双曲线的标准方程，体会类比的思想，提升数学运算素养；
3.类比焦点在轴上的双曲线的标准方程得出焦点在轴上的双曲线的标准方程，体会类比、分类思想；
4.能够利用双曲线的定义和标准方程解决简单的数学问题，发展逻辑推理和数学建模素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：双曲线的定义。
2.难点：双曲线标准方程推导过程中的化简。
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：我们已经知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆。那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？
师生活动：学生回忆椭圆的定义，教师板书其符号语言，学生回答椭圆的标准方程，教师板书，然后提出上述问题。
【设计意图】提出问题，打破知识结构的平衡，引发学生的学习兴趣。
重点关注的问题：对椭圆定义的描述是否准确。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1.（抽象双曲线的定义）如图所示，在直线上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1,F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|>|AB|，两圆不相交不存在交点轨迹。
如图所示，在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？
我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|；当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|.
总之，点M与两个定点F1,F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数（|AB|<|F1F2|）.这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支。
师生活动：教师借助信息技术工具进行演示，并引导学生观察在演示的过程中点的轨迹的变化情况，通过学生的不断讨论、补充，最终得出双曲线需要满足的条件。
【设计意图】明确双曲线的定义需要满足的条件，缺一不可。
重点关注的问题：常数必须小于两定点之间的距离，曲线是一支还是两支。
追问1.你能由刚才的分析概括出双曲线的定义吗？
师生活动：结合刚才的观察、归纳，学生用准确、规范的数学语言进行概括，并板书定义和定义的数学表达式。
【设计意图】抽象出双曲线的定义，给出准确的描述。
重点关注的问题：定义描述的准确性。
思考：在双曲线的定义中，要求到两定点距离之差的绝对值小于两定点之间的距离，如果没有这一限制，会得到什么情形？
师生活动：教师引导学生自己动手验证，学生们小组合作，动手试验，得出结果后举手回答问题，教师给与评价。
【设计意图】明确双曲线的条件。
重点关注的问题：到两定点的距离之差的绝对值与两定点间的距离的大小对图形的影响。
教学活动2.（探究双曲线的标准方程）我们是怎样建立坐标系求椭圆的标准方程的？
师生活动：师生共同回顾圆、椭圆的建系过程。
【设计意图】回忆建系的过程为双曲线的建系奠定基础。
重点关注的问题：如何选择合适的坐标系。
追问2. 类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？
师生活动：学生口答出建系的过程，并在图中标出，然后自己动手写出双曲线上的点所满足的几何条件即刚才板书的符号语言再代入坐标即可。教师要适时地给与引导和点评。
【设计意图】建立合适的坐标系，能够根据图形写出双曲线上的点所满足的几何条件。
重点关注的问题：如何建系之后写出代数表达式。
追问3.如何化简你刚才写出的表达式？
师生互动：学生板演化简过程，教师巡视，学生有椭圆的标准方程的化简经验，在双曲线的标准方程的化简过程中基本不会有问题，教师仅需对学有困难的学生给予指点，化简完之后小组互相检查，看能否得到正确结果，并交流化简过程中遇到的问题。等学生交流的差不多时评价板演的情况，并对大家刚才讨论的问题给予回答。最后板书出双曲线的标准方程.
【设计意图】类比椭圆化简过程中的处理方式来简化双曲线方程。
重点关注的问题：类比椭圆对含有两个根式的等式化简。
追问4.你能在轴上找一点，使得吗？
师生活动：学生观察图形，先找到，又有，点在轴上，故而可以联想勾股定理，进而找到所求的点。
【设计意图】类比椭圆中对的几何意义的认识，在双曲线中认识的几何意义。
追问5.椭圆有两个标准方程，双曲线是否也有两个标准方程？另一个的方程是怎样的？
师生活动：类比焦点在轴上的椭圆的标准方程的推导过程，得出焦点在轴上的双曲线的标准方程，并板书。
【设计意图】反复类比椭圆学习双曲线。
重点关注的问题：方程的形式。
3.运用知识、巩固提高
教学活动3.（双曲线的定义和标准方程的应用）例1.已知双曲线两个焦点分别为，,双曲线线上一点到距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
师生活动：找几位学生板演解题过程，其他同学独立完成后互相交流，之后教师对板演的过程进行点评，规范解题的步骤。
【设计意图】明确双曲线的定义和标准方程。
重点关注的问题：对定义的理解。
教学活动4.（双曲线的定义和标准方程的实际应用）例2.已知两地相距800，在地听到炮弹爆炸声比在地晚2，且声速为340,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
师生活动：先分析题意，判断出轨迹的形状，然后再将问题转化为求双曲线的方程问题，当学生求出双曲线的方程后，教师要提醒学生是双曲线的两支还是其中一支？即要考虑实际情形，最后还可以设问：如果A,B两地同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
【设计意图】用所学的知识解决实际问题，体会如何将实际问题通过建立数学模型转化为代数问题进行求解，体现了知识的有用性。
重点关注的问题：对曲线形状的判断和实际问题要注意范围.
教学活动5.（双曲线的生成过程）探究：如图所示，设点的坐标分别为。直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1例3比较，你有什么发现？
师生活动：学生利用求曲线方程的一般步骤求出曲线的方程，这一过程可以找学生板演，然后对学生的解答进行点评，特别要强调去掉不满足条件的点。教师在讲解完本题之后可以用几何画板演示这一过程，加深印象。这个“探究”与3.1例3相呼应，那时斜率之积是一个负的常数，此时斜率之积是正的常数。
【设计意图】给出生成双曲线的另一种方法并与之前所学作比较。
重点关注的问题：求出曲线的方程之后去掉不满足条件的点，双曲线和椭圆的另一种生成方式。
教学活动6.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价检测题：
（1）（检测目标5）双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于1，那么点到它的另一个焦点的距离等于_________
（2）（检测目标5）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
①焦点在轴上，；
②焦点在轴上，经过点
③焦点为，且经过点；
④焦点在轴上，，经过点；
⑤经过两点。
（3）（检测目标5）求证：双曲线与椭圆的焦点相同。
（4）（检测目标5）已知方程表示双曲线，求的取值范围。
（5）（检测目标5）双曲线的一个焦点坐标是(-2，0)，则m=_____;
若已知该双曲线的焦距为4，则m=________.
（6）（检测目标5）如图，圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点。线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
（六）学后反思
本节课主要学习了双曲线的定义及其标准方程，其难点是双曲线标准方程推导过程中的化简，在教学过程中可以类比推导椭圆的标准方程时的化简，先移项再平方，然后再移项平方，同时依照那时的经验需要令使化简结果形式更简单。这一过程要反复强调类比椭圆会使难度降低很多。在这一过程中要让学生体会类比的思想、数形结合思想、化归与转化思想，发展和提升数学运算素养。
第6课时 双曲线的简单几何性质(一)
（一）课时教学内容：双曲线的简单几何性质
（二）课时教学目标：
1.通过类比椭圆的简单几何性质的研究方法来研究双曲线的范围、对称性和顶点，体会类比的思想，发展逻辑推理素养；
2.借助信息技术工具的演示感知渐近线，理解渐近线的含义，给定双曲线的方程会求其渐近线方程，体会数形结合思想，发展直观想象素养；
3.类比椭圆的离心率研究双曲线的离心率，会根据双曲线方程或有关条件求离心率，探究离心率与曲线形状的关系，体会类比的思想、数形结合思想；
4.利用双曲线的标准方程研究其简单几何性质，明确数学对象的研究内容，体会类比和数形结合思想，发展逻辑推理、几何直观素养；
（三）教学重点与难点：
1.重点：类比椭圆的简单几何性质的研究方法研究双曲线的简单几何性质
2.难点：渐进线的理解。
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：还记得椭圆的简单几何性质所包含的内容和研究方法吗？你能类比椭圆的方法来研究双曲线的简单几何性质吗？
师生活动:师生共同回顾椭圆简单几何性质所包含的内容及研究方法：从曲线的方程入手研究曲线的性质时，变量的范围等价于曲线的范围；点的对称性等价于曲线的对称性；或时方程的解等价于曲线与对称轴的交点（顶点），然后简单板书，便于后续使用。
【设计意图】引入本节课所要用到的研究方法及研究的内容，起一个提纲挈领的作用。
重点关注的问题：椭圆的简单几何性质所研究的问题及方法。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1（探究双曲线的范围）你能类比椭圆范围的研究方法来研究双曲线的范围吗？
师生活动：观察图形，结合椭圆当时的研究路径，学生可以自己动手完成，个别需要给予提示，等学生完成之后将结果板书。
【设计意图】还是先“形”后“数”，先直观感知再从方程本身入手进行探究，类比了椭圆的研究方式，再一次强调了由方程研究几何性质时用的方法。
重点关注的问题：方程本身变形之后用到的代数性质。
教学活动2.（探究双曲线的对称性）还记得椭圆的对称性吗？你能判断出双曲线的对称性吗？
师生活动：学生回答椭圆的对称性及其判断方法，然后自己进行判断，最后回答结果，并将其结论板书。
【设计意图】类比椭圆的对称性研究双曲线的对称性。
重点关注的问题：对称性的判断。
教学活动3.（探究双曲线的顶点、实轴和虚轴）椭圆有几个顶点？它们的坐标如何求？你能由此得出双曲线的顶点坐标吗？
师生活动：教师先找学生回答椭圆的顶点个数及坐标，回忆如何由方程入手求顶点坐标，然后让学生动手求双曲线的顶点坐标，当令时发现此时方程无解，所以与轴无公共点，这时双曲线就只有两个顶点，说明它不是封闭的曲线。但要强调：我们一般也把画在轴上。之后引入实轴和虚轴的概念。
【设计意图】类比椭圆求出双曲线的顶点坐标，再次体会由方程研究曲线性质的方法。
重点关注的问题：对虚轴的理解。
教学活动4.（感知、探究双曲线的渐近线）认真观察演示，你有什么发现？
师生活动：教师用信息技术工具画双曲线和两条直线，在位于第一象限的曲线上画一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离为。沿双曲线向右上方拖动点，让学生观察与的大小关系，发现：点的横坐标越来越大时，它到直线的距离为越来越小，但永远不等于0。当学生发现规律之后，还可以提问：初中见过这样的情况吗？再次借助信息技术工具继续演示，直观感知渐近线，从而引入渐近线的描述性概念。
【设计意图】直观形象的引入渐近线的描述性定义。
重点关注的问题：无限接近但不相交。
追问1：双曲线的渐近线方程如何求？
师生活动：教师引导学生观察刚才演示中直线的方程与双曲线方程的系数关系先进行猜测，然后利用信息技术工具进行如下演示：经过作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，如图所示。请学生写出对角线所在的直线方程为，继续演示上述拖动点的过程，进而发现规律——对角线就是渐近线，于是渐近线的方程就是，板书至黑板。
【设计意图】直观感知渐近线，并知道渐近线方程的求法。
重点关注的问题：对角线就是渐近线。
教学活动5.（介绍等轴双曲线）当时实轴长和虚轴长相等，此时得到的双曲线就是等轴双曲线，它的渐近线方程是如何呢？
师生活动：介绍等轴双曲线的概念，根据刚才得到的渐近线方程的求法得出等轴双曲线的渐近线方程，并板书。
【设计意图】掌握渐近线方程的求法，特别是对于任意的等轴双曲线其渐近线方程都是一样的。
重点关注的问题：任意的等轴双曲线其渐近线方程都是一样的。
教学活动6.（探究双曲线的离心率）椭圆的离心率是怎样求的？你能类比它求双曲线的离心率吗？
师生活动：先回忆椭圆离心率的公式，然后回答双曲线的离心率。
【设计意图】类比椭圆的离心率定义双曲线的离心率，会求离心率。
重点关注的问题：类比椭圆的离心率来定义双曲线的离心率。
追问2.你能说出双曲线的离心率的取值范围吗？
师生活动：回忆双曲线的方程中的关系，进而得出，并板书。
【设计意图】明确双曲线离心率的取值范围。
重点关注的问题：由的关系求离心率的范围。
追问3.椭圆离心率可以刻画椭圆的扁平程度，那么双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？
师生活动：学生进行猜测，然后用信息技术工具进行演示，随着离心率的变化，双曲线会有怎样的变化？双曲线的“张口”会发生改变，即离心率越大，双曲线的“张口”就越大。然后将这一发现归纳整理板书。
【设计意图】借助信息技术工具演示增强学生对“双曲线的离心率是如何影响双曲线‘张口’大小的”认识。
重点关注的问题：离心率与“张口”大小的关系。
3.运用知识、巩固提高
教学活动7.（双曲线简单几何性质的应用）例3．求双曲线9y2-16x2=144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
师生活动：找三个学生板演，其余学生自主完成，在学生完成之后对学生的解答进行点评，规范解题，并回答学生遇到的问题。
【设计意图】巩固双曲线的几何性质。
重点关注的问题：几何性质的掌握。
教学活动8.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：让学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价题：
（1）（检测目标6）1求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率：
①； ②；
③； ④.
（2）（检测目标6）已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程。
①；②.
（3）（检测目标6）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
①顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，；
②焦点在y轴上，焦距是16，.
③以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
④焦点在轴上，实轴长是10，虚轴长是8；
⑤焦点在轴上，焦距是10，虚轴长是8；
⑥离心率，经过点
（4）（检测目标6）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0)，求它的标准方程和渐近线方程。
（5）（检测目标6）求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程。
（六）学后反思
本节课主要学习了双曲线简单几何性质，难点是对渐进线的理解，在教学的过程中可以借助于几何画板演示直观感知，加深理解，方便记忆。
第7课时 双曲线的简单几何性质(二)
（一）课时教学内容：双曲线简单几何性质的应用
（二）课时教学目标：
1.经历解决具体的例子的过程，会将实际问题转化为代数问题，体会数形结合思想、化归与转化的思想，提升数学建模、几何直观素养。
2.通过求曲线方程的过程，发现双曲线的另一种定义方式，并与椭圆中例6进行对比，体会类比思想，对比双曲线与椭圆的异同；
3.通过具体的例子学会研究直线与双曲线的位置关系的方法，形成由代数方法研究几何问题的一般思路，体会数形结合思想、化归与转化思想、方程思想，提升数学建模、数学运算素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：双曲线几何性质的应用
2.难点：用代数方法研究直线与圆锥曲线的位置关系。
（四）教学过程设计：
1.复习旧知、引入新课： （复习所学知识）前面课程的学习我们已经学习了双曲线的标准方程及其简单几何性质，请大家根据所学的知识，完成下面的表格：
方程
图形
焦点坐标
范围
对称性
顶点坐标、长轴长，短轴长
渐近线方程
离心率
师生活动：根据表格的提示，一一回顾所学的内容，为后续内容的开展做好铺垫。
【设计意图】将所学知识进行回顾归纳、即便于记忆又为本节课打好知识基础。
重点关注的问题：学生对知识的记忆。
2.运用知识、巩固提高
教学活动1.（双曲线方程的实际应用）例4．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
师生活动：由于本题是实际问题，所以教师要引导学生根据题目给出的信息建立直角坐标系，然后学生独立利用双曲线的性质分别求出进而求出方程。
【设计意图】双曲线的实际应用，让学生体会到所学的知识的应用价值。
重点关注的问题：如何将实际问题转化为数学问题，如何由题目中的信息建立直角坐标系。
教学活动2.（双曲线的另一种定义方式）例5．动点M(x，y)到定点F(4，0)的距离和它到定直线l:的距离的比是常数，求动点M的轨迹。
师生活动：先回顾求曲线方程的一般步骤，再自己动手完成，当学生完成后教师要提问学生最后的结果，对于有的学生给出的是方程形式，要给予纠正。之后教师带领学生观察求出的方程，分别写出，那么这里的定点实际上就是一个焦点，常数就是离心率，的方程实际就是，同时强调，通过“到定点的距离与定直线的距离的比为常数”这样一种方式我们也可以得到双曲线，与椭圆当时的处理例6的处理方式一样，不提出双曲线的“第二定义”的概念。
【设计意图】通过一个具体的例子使学生感受双曲线的另一种定义方式，与椭圆那一节的例6进行对比，发现“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数”的点的轨迹可以是椭圆，也可以是双曲线，主要是取决于常数。
重点关注的问题：到定点的距离与定直线的距离的比为常数（这里定点指焦点，定直线指，常数为离心率）的轨迹是双曲线。
教学活动3.（直线与双曲线的位置关系）例6.过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.
师生活动：学生在练习本上画出草图，发现只要求出A，B两点的坐标就可以利用两点间的距离公式求长度，这时教师要提问“如何求交点坐标？”等学生回答之后让其独立完成后续的工作。
【设计意图】将几何问题转化为代数问题解决，让学生体会联立方程组求解问题是解决直线与圆锥曲线问题的普适方法，提升数学运算素养。
重点关注的问题：将几何问题恰当的转化为代数问题求解，运算能力的提升。
追问1：还可以采用怎样的方法来求|AB|？
师生活动：学生刚开始没有一点思路，此时教师可以提醒学生思考的方向——不求解方程组能不能求出|AB|？根与系数的关系是怎样的？两点间的距离公式是怎样的？并将其都写至黑板上，学生观察黑板上写出的式子的关系，同小组的同学一起交流合作，自然而然的想到可以用根与系数的关系求解，但总结归纳还有些欠缺，于是教师再将刚才的结论一般化，就可以推出弦长公式，并要求学生记忆。
【设计意图】体现“设而不求，联而不解”的方法，让学生体会坐标法的应用，推导出弦长公式。
重点关注的问题：如何将根与系数的关系与两点间距离公式联系起来和弦长公式的推导。
追问2.你能求出的周长吗？
师生活动:结合图形学生自己运算后可以求出答案，然后小组核对，派代表发言，教师及时点评即可。
【设计意图】熟练运算。
重点关注的问题：运算的准确性和快速性。
教学活动4.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价题：
（1）（检测目标6）求下列直线和双曲线的交点坐标：
①；②.
（2）（检测目标6）求到定点和它到定直线距离之比是的点的轨迹方程。
（3）（检测目标6）已知直线l1：5x+3y=0和l2：5x-3y=0：
①写出两个以直线l1和l2为渐近线的双曲线的标准方程；
②如果以直线l1和l2为渐近线的双曲线经过点M(1，3)，求此双曲线的标准方程.
（4）（检测目标6）已知双曲线的两个焦点为F1，F2，虚轴的一个端点为B，且∠F1BF2=，求此双曲线的离心率。
（六）学后反思
本节课主要学习了双曲线简单几何性质的应用，难点是直线与圆锥曲线的位置关系，在教学时要注意发现几何特征并将其转化为代数问题进行求解，另外这类问题普遍运算量较大，要耐心细致的完成计算过程，注意运算的速度和准确度，提升逻辑推理、几何直观和数学运算素养。
第8课时 抛物线及其标准方程
（一）课时教学内容：抛物线的定义及其标准方程
（二）课时教学目标：
1.借助信息技术工具的演示，直观感知抛物线的生成过程，认识抛物线的几何特征，并由此归纳出抛物线的定义（自然、符号、图形语言），体会数形结合、转化思想，提升直观想象和数学抽象素养；
2.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，建立恰当的坐标系，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，明确标准方程中的几何意义，从中体会数形结合、类比思想，发展数学运算和直观想象素养；
3.能根据抛物线在坐标系内的不同位置求出它的其他形式的标准方程，体会类比、分类思想，发展直观想象和逻辑推理素养；
4.能利用抛物线的定义和标准方程解决简单的问题，发展逻辑推理、直观想象和数学运算素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：抛物线的定义和标准方程。
2.难点：选择恰当的坐标系建立抛物线的标准方程
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与动点M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当0
师生活动：一起回顾之前所学，提出问题。
【设计意图】引发学生的好奇心，激发学习的兴趣。
重点关注的问题：激发学生学习的积极性。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1.（探究抛物线的定义）问题1.利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线。H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹，在你熟悉的图形中有与此类似的吗？你能发现点M满足的几何条件吗？
师生活动：教师展示问题，引导学生分析问题中的几何元素及其相互关系，并利用信息技术工具进行操作，拖动点H ，观察点M的轨迹及相关数据的变化规律。
追问：（1）动点M是如何获得的？
（2）线段FM和线段MH的几何意义分别是什么？
（3）变化的量有哪些？变化顺序如何？变化中是否存在不变的关系？
（4）当直线l经过点F时，线段FH的垂直平分线m与过点H的定直线l的垂线是什么位置关系？
师生活动：四个追问是让学生在利用信息技术工具操作的过程中从思维层面对问题1进行分析。对于追问（1），学生分析与点M相关的点与直线，发现点M是定直线l的垂线MH与线段FH的垂直平分线m的交点，其中点H在直线l上运动，随之产生了动点M.对于追问（2），学生分析出线段FM是点M与定点F间的距离，线段MH是点M到定直线l的距离。教室一定要让学生说出定点F和定直线l，而不仅仅是点F和直线l，只有这样，学生的思维活动才能聚焦到确定抛物线的几何特征上来。对于追问（3），学生应在分析前两个追问的基础上梳理变化的量及其变化顺序，可以发现FM和MH的大小随点M的变化而变化，但是始终有|FM|=|MH|。对于追问（4），学生发现线段FH的垂直平分线m与过点H的定直线l的垂线平行，即不能获得点M，也就明白了为什么要求定直线l不经过定点F。在上述基础上，给出抛物线的概念。
【设计意图】通过对问题1的探究及其四个追问，引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特征，抽象得出抛物线的概念，发展学生的数学抽象素养。
重点关注的问题：抛物线上的点所满足的条件。
教学活动2.（探究抛物线的标准方程）问题2.观察问题1图中的抛物线，如何选择坐标系可能使所求抛物线的方程形式简单？
师生活动：学生观察抛物线形状，教师引导学生直观发现抛物线的对称性，建立平面直角坐标系，自主推导抛物线的方程。一般来说，会有以下三种情况：
展示学生所求的三种不同形式的抛物线方程。
追问：（1）类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，每个方程的推导过程是否满足抛物线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系？
（2）三种不同形式的抛物线方程哪个更简单？为什么？
（3）三种不同形式的抛物线方程是否有联系？
师生活动：当学生思考问题2时，一般会出现将坐标系的原点选在定点F、线段FK的中点、定直线l上三种情况。无论是哪一种情况，追问（1）是必不可少的步骤，也容易被学生忽略。当学生分别得到自己推出的方程后，教师提出追问（2），要求学生对它们进行比较，以确定哪个方程更适合作为抛物线的标准方程。之后，教师再提出追问（3），从联系的角度让学生思考三种不同形式的抛物线方程怎样互相转换（平移变换）。在学生充分思考与推导的基础上，对比分析三种不同形式的抛物线方程及其联系，由学生确定将作为抛物线的标准方程，同时写出其焦点坐标和准线方程。
【设计意图】通过问题2及其三个追问，注重学生思维的发生点，让学生类比椭圆与双曲线标准方程的推导方法，自主推导抛物线的标准方程，体验类比方法，提升数学运算素养。
重点关注的问题：坐标系的选择方式。
问题3.在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
师生活动：在已获得抛物线的方程的基础上，让学生类比椭圆、双曲线方程的不同形式，再分别获得开口向左、上、下的抛物线的标准方程，确定相应的焦点坐标和准线方程，并将结果填入表格。
追问：（1）只研究表中四种形式的抛物线标准方程基于怎样的思考？
（2）你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。
师生活动：对于追问（1），学生类比椭圆、双曲线的标准方程，并根据抛物线只有一个焦点，按焦点所在坐标轴的位置能判断出表中其他三种情况；对于追问（2），教师引导学生从抛物线的标准方程分析，选择将变形为求焦点坐标、准线方程。
【设计意图】通过问题3及其两个追问，类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程，利用表格的形式呈现抛物线不同形式（焦点位置的不同）的标准方程。
重点关注的问题：要用我们的一些结论就先要有标准方程，因此先要判断给出的方程是否为标准方程。
3.运用知识、巩固提高
教学活动3.（抛物线方程的应用）例1.（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.
师生活动：教师展示题目，找几个学生上黑板板演，其余学生根据抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，根据抛物线焦点坐标求其标准方程，然后小组互查，教师巡视学生的作答情况，等同学们都答完后进行讲评。
【设计意图】无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，还是由抛物线的焦点坐标或准线方程求其标准方程，正确认识抛物线的标准方程以及方程中p的意义都非常关键，p是抛物线的唯一特征量，决定抛物线的焦点坐标和准线方程，通过例1强化学生对抛物线标准方程、p、焦点坐标以及准线方程的认识
重点关注的问题： p的值为多少。
教学活动4.（抛物线方程的实际应用）例2.一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线。在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，如图3.3-3（1）。已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m。试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
师生活动：教师展示题目，引领学生读懂题意，启发学生从所给出的实物图中抽象出数学图形，根据题目所给的信息建立适当的坐标系，并在图中标出，再将问题转化为抛物线模型，运用待定系数法确定方程，然后求出焦点坐标。标出坐标系后得求解过程由学生独立完成，教师巡视，最后讲评。
【设计意图】让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历将实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的的过程，说明抛物线的应用价值，体现知识的有用性。
重点关注的问题：将实际问题转化为数学问题。
教学活动5.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：让学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价题：
（1）（检测目标7）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
①焦点是F(3，0)；
②准线方程是；
③焦点到准线的距离是2.
（2）（检测目标7）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
①； ②； ③； ④.
（3）（检测目标7）填空.
①准线方程为的抛物线的标准方程是_____________；
②抛物线上一点M到焦点距离是，则点M到准线的距离是_____，点M的横坐标是_________；
③抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是________.
（4）（检测目标7）一个动点到点F(0,-4)的距离比到直线y-3=0的距离多1，求这个动点的轨迹方程.
（六）学后反思
本节课主要学习了抛物线的定义和标准方程，难点是选择恰当的坐标系建立抛物线的方程，由于抛物线在坐标系内的位置不同，其标准方程的形式也不同，因此它会有四种形式的标准方程，在这一过程中，学生会有各种想法，可以让其一试，从运算中体会哪一种建系方式是合适的。
第9课时 抛物线的简单几何性质(一)
（一）课时教学内容：抛物线的简单几何性质
（二）课时教学目标：
1.类比椭圆、双曲线的几何性质研究抛物线的简单几何性质，体会类比的思想，发展逻辑推理素养；
2.利用抛物线的标准方程研究其简单几何性质，明确研究几何对象的一般套路，进一步体会用代数方法研究几何问题的思想，体会坐标法的应用，提升直观想象素养.
（三）教学重点与难点：
1.重点：抛物线的几何性质
2.难点：抛物线的几何性质
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？
师生活动：教师抛出问题，找学生回答，并将学生的答案板书。
【设计意图】引入本节课的主题及研究的主要方向。
重点关注的问题：对椭圆和双曲线几何性质的记忆情况。
2.师生合作、寻找规律
教学活动1.（探究抛物线的范围）你能仿照研究椭圆和双曲线范围的方法研究形如的范围吗？
师生活动：给学生两分钟时间，让其思考后会发现：恒成立，，所以，而可以取一切实数且随着的增大，也增大。
【设计意图】类比研究椭圆和双曲线进行研究，再次体会解析法研究问题的思路。
重点关注的问题：随的增大的变化情况。
教学活动2.（探究抛物线的对称性）你能仿照研究椭圆和双曲线对称性的方法研究形如的对称性吗？
师生活动：学生自己动手用代，发现方程改变；用代，发现方程不变，所以得到抛物线关于轴对称，无对称中心的结论，教师板书至黑板。
【设计意图】体会用坐标法研究曲线对称性的思路。
重点关注的问题：用代，用代方程是否发生变化。
教学活动3.（探究抛物线的顶点）你能仿照研究椭圆和双曲线顶点的方法研究形如的顶点吗？
师生活动：给学生时间，让其自己验证，然后回答出答案，并提示此时的顶点为坐标原点。
【设计意图】找出抛物线的顶点，体会用坐标法研究曲线几何性质的方法。
重点关注的问题：顶点的求法。
教学活动4.（介绍抛物线的离心率）抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率。那么，根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率为1.
师生活动：直接给出抛物线的离心率的定义，随后可以让学生回答出：抛物线的离心率为1。
【设计意图】研究抛物线的离心率，结合定义进行转化。
重点关注的问题：由抛物线的定义得出离心率为1.
3.运用知识、巩固提高
教学活动5.（抛物线几何性质的简单应用）例3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，-2)，求它的标准方程.
师生活动：找学生上黑板书写解题过程，教师巡视其他同学的完成情况，在学生们完成之后进行点评。
【设计意图】巩固抛物线的简单几何性质。
重点关注的问题：确定抛物线的开口方向。
思考：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，-2)的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程。
师生活动：对比刚才的例题，发现不同之处，绘制出图形，结合抛物线的标准方程求解。
【设计意图】抛物线的标准方程的灵活应用。
重点关注的问题：结合图形求标准方程。
教学活动6.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价题：
（1）（检测目标8）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
①顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5,-4)；
②顶点在原点，焦点是F(0,5)；
③顶点在原点，准线是x=4；
④焦点是F(0,-8)，准线是y=8;
⑤顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
⑥顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点
（2）（检测目标8）在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数有怎样的关系：
①； ②； ③； ④.
（3）（检测目标7）已知抛物线，P是抛物线上一点.
①设F为焦点，一个定点为A(6，3)，求|PA|+|PF|的最小值，并指出此时点P的坐标；
②设点M的坐标为（m，0），mR，求|PM|的最小值（用m表示），并指出此时点P的坐标。
（六）学后反思
本节课主要学习了抛物线的简单几何性质，其难点是用坐标法根据方程研究图形的几何性质，在教学中可以类比椭圆和双曲线的研究方法突破这一难点。
第10课时 抛物线的简单几何性质(二)
（一）课时教学内容：抛物线的简单几何性质应用
（二）课时教学目标：
1.通过具体的例子，借助抛物线的定义，表示出焦点弦的长度，并总结归纳出焦点弦长公式，体会数形结合思想、化归与转化思想，提升几何直观、数学抽象素养；
2．借助信息技术工具，直观感知抛物线焦点弦的性质，能用坐标法给出证明，体会数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想，发展几何直观、逻辑推理素养；
3.通过对方程组解的讨论，会用判别式法、分类讨论法研究直线与抛物线公共点的问题，体会数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想，提升几何直观和数学运算素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：利用坐标法解决直线和抛物线的位置关系
2.难点：将几何问题转化为代数问题并选择合适的运算方法。
（四）教学过程设计：
1.复习旧知、引入新课：之前我们学习了抛物线的有关知识，抛物线是如何定义的？
师生活动：找学生回答，将定义的符号语言板书出来。
【设计意图】复习基础知识，为后面做题做铺垫。
重点关注的问题：抛物线的定义。
追问：之前我们是通过什么方法研究直线和圆锥曲线的位置关系的？
师生活动：引导学生回忆坐标法坐标法研究直线和椭圆、双曲线的位置关系的一般思路。
【设计意图】回忆坐标法研究直线和椭圆、双曲线的位置关系的一般思路，为后续解题作准备。
重点关注的问题：坐标法研究直线和圆锥曲线的位置关系的一般思路。
2.运用知识、巩固提高
教学活动1.（抛物线的焦点弦长）例4.斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
师生活动：教师引导学生分析题目，有很多同学会想到之前用到的求弦长的方法：将直线方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，再利用两点间距离公式求解，这时要对学生的解答思路进行点评：这种思路虽然简单，但是需要复杂的代数运算。此时可以引导学生利用抛物线的定义，把求斜线段的长转化为求与坐标轴平行的线段的长。
【设计意图】焦点弦的计算过程体现了用坐标法研究直线与圆锥曲线位置关系的特点，进一步巩固用联立方程，根与系数的关系解决弦长问题，这一方法突出了抛物线的定义。
重点关注的问题：问题的分析。
教学活动2.（抛物线焦点弦的性质）例5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
师生活动：教师先利用题目中所给出的信息借助于信息技术工具做出图形，然后提问学生：如何说明“直线DB平行于抛物线的对称轴”，当学生回答出“只需证明D,B的纵坐标相等即可”后要提问“如何求D,B的纵坐标？”学生回答出“联立方程组求解后”要问学生直线的方程如何求？使其明确对直线斜率存在和不存在时的讨论，然后师生一起完成本题的书写。
【设计意图】此问题的一个目的就是坐标法的运用。之前已经初步了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，这个问题是对该方法的进一步的应用。
重点关注的问题：坐标法研究直线与圆锥曲线位置关系的特点。
教学活动3.（探究直线与圆锥曲线的位置关系）例6.如图3.3-6，已知定点B(a,-h),BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程。
师生活动：观察图形，发现P与M两点的横坐标相同，然后在这两点各自满足的方程之间实施转换与联立，获得问题的解决。
【设计意图】关注抛物线的具体应用。
重点关注的问题：通过图形发现几何特征。
教学活动4.（进行课堂小结）本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
师生活动：让学生自己归纳总结，教师在学生发言的基础上给予补充和完善。
【设计意图】通过课堂小结，使学生明确学习的重点，并对所学知识进行提炼和提升。
重点关注的问题：学生对重点知识的理解和掌握，从所学知识中提炼数学思想和方法。
（五）课时评价题：
（1）（检测目标8）过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线于A,B两点，求|AB|.
（2）（检测目标8）垂直于x轴的直线交抛物线于A,B两点，且|AB|=4，求直线AB的方程.
（3（检测目标8）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边，为终边的角°，求。
（4）（检测目标8）如图，直线与抛物线相交于两点，求证：.
（六）学后反思
本节课主要学习了抛物线的简单几何性质的应用，其难点是用坐标法根据直线与圆锥曲线的位置关系及其在这一过程中的运算问题，在教学过程中要师生共同讨论、归纳，给时间让学生思考、让其动手运算，让其体会其中蕴含的规律，不断发展逻辑推理和数学运算的素养，体会化归与转化的思想。
第11课时小结——求曲线方程习题课
（一）课时教学内容：小结——求曲线方程的常见方法
（二）课时教学目标：
1.通过对本章知识的梳理，建立知识网络，总结出研究圆锥曲线的一般路径和研究方法，归纳出本章重点解决的两类问题：求曲线方程和利用方程研究曲线的性质；
2.通过对具体例题的计算，能够用定义法判断出曲线类型，再用待定系数法求轨迹方程，并总结步骤，体会转化思想，发展逻辑推理和数学运算素养；
3.通过对具体例题的计算，能够用直接法求到两定点的距离之比为常数时的点的轨迹方程，并总结结论，体会转化思想，发展逻辑推理和数学运算素养；
4. 通过对具体例题的计算，总结出到两定点的距离之和、之差、之比为常数时的点的轨迹，体会由特殊到一般、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。
（三）教学重点与难点：
1.重点：求轨迹方程的常用方法
2.难点：从具体到一般地探索、概括出到两定点的距离之和、差、比为常数时的点的轨迹
（四）教学过程设计：
1.创设情境、引入新课：本章我们主要学习了圆锥曲线的有关知识，学习了研究圆锥曲线的一般路径和研究方法，你能对本章进行一下总结归纳吗？
师生活动：学生会说出所学的知识、用到的方法，但缺乏整体、逻辑性，没有经过提升，教师可以在学生回答的基础之上引导学生进行归纳、总结，找出共性，然后形成如图所示的知识网络结构，便于学生理解与掌握。
上面的框架具体化就是如下形式：
由上面的框架我们看到，解析几何所要研究的问题之一就是根据条件求曲线的方程，求曲线方程的常用方法有哪些呢？
师生活动：回顾在本章学习中用到的求曲线方程的方法。
【设计意图】说明本节课研究的主要问题。
2.运用知识、巩固提高
教学活动1.（定义法求轨迹方程）例1.已知圆，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，求点的轨迹方程。
师生活动：教师引导学生先根据题目信息在练习本上画出草图，然后观察图中的几何特征，将其用代数形式表示，进而得出结论。找学生板书解题过程，之后进行点评，规范书写。
【设计意图】从几何特征入手找到定义所满足的条件，用定义求方程。
变式1.若将例1中圆的方程变为，其它条件不变，则点的轨迹方程为__