4.5.3 函数模型的应用 教学设计（表格式）

课题 4.5.3 函数模型的应用
课型 新授课√□ 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
教学内容分析
函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.本节课是在学生学习了函数的概念及性质和幂函数、指数函数、对数函数后的综合应用，是在函数的应用（一）的基础上进一步展开的.借助投资回报（例5）和选择奖励模型（例6）两个问题的分析，通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，使学生进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律. 本节课的学习，既是前面学习过的函数有关知识的综合应用，也可以让学生体会建立数学模型解决实际问题的一般过程，从现实背景中体现出函数的应用价值.在此过程中，激发学生应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力认识数学的价值，提升数学抽象、数学建模等素养.
学习者分析
首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图象和性质，并应用它们可以解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题.但是面对较复杂的实际问题，如何将其转化为数学问题，特别是如何选择函数模型来刻画实际问题，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力，以及对不同函数模型增长差异的深刻认识. 其次，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯.
学习目标确定
（1）能明确教科书例5中的数量关系，指岀每个方案所对应的函数模型，为将实际问题抽象为数学问题并化归为函数模型作准备； （2）能从教科书中的例题条件出发，根据“对数增长” “直线上升” “指数爆炸”的含义，数形结合地辨别三种函数的增长差异，从而选择不同的函数模型； （3）在选择或建立函数模型解决实际问题的过程中，围绕“是什么数学问题” “选什么函数模型” “为什么要选某个函数模型” “怎么解答实际问题”，提升数学抽象和数学建模素养.
学习重点难点
重点：选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程. 难点：如何选择合适的函数类型建立实际问题的数学模型.
学习条件支持
(1) 分成若干小组并将桌椅按照小组摆放; (2)三角板、多媒体等; (3)几何画板、GGB等作图软件; (4)PPT、EXCEL.
学习活动设计
过程学习内容与教师活动（引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标环节一活动1.引入新课 上一节课，在已知函数模型的情况下，我们借助待定系数法进行了求解并验证，但在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决. 我们这节课主要是选择适当的函数模型解决问题. 教师活动：开门见山的指明本节课要解决的问题. 回顾上节课的解决问题的方法，明确本节课要学习的内容。 既与上节内容建立了联系，也明确了本节课的研究内容.环节二 活动2. 例题教学 例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 问题1. 请初步选择一种你认为合适的投资方案. 追问1(1)你能根据例题提供的三种投资方案的描述，分析出其中的常量、变量及其相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模型吗？ (2)三个方案的本质是三个不同的函数模型，如何选择一个标准来比较它们的差异，从而选择合适的函数模型？ (3)根据例5中的表格提供的数据，你对三种投资方案分别表现岀的回报资金的增长差异有什么认识？ (4)你能借助信息技术作出函数图象，并根据图象描述一下这三种方案的特点吗？ 教师活动：先展示例5和问题1，待学生有了初步判断后展现追问1的（1），给学生时间让其讨论、思考，教师巡视并给出是适当的引导，当学生完成之后给出追问1的（2），让学生进行选择、判断并说明理由，在完成以上工作之后，让学生根据表格和图象感受直线上升、对数增长和指数爆炸。最后运用信息技术验证刚才的结论. 以四人为一组，分工合作计算每一种方案。组员先独立分析其中的数量关系，尝试写出三种投资方案所对应的每天回报金额关于天数的函数解析式，再在组内互相交流，统一答案； 每组派一个代表展示，表格和图象比较分析三种函数模型的增长情况，作出需要分投资天数进行选择的初步判断. 例题教学除了关注例题本身承载的教学目的外，还要注意不同层次的学生在学习上的差异，本例设问意在分层次、有针对性地给出不同的台阶，做到“总体引导，分层指导”，结合学生的实际情况，利用追问逐步深入：追问（1）意在指导学生将实际问题转化为数学问题； 追问（2）意在引导学生根据不同函数的增长差异选择合适的函数模型； 追问（3）意在引导学生利用数表对三种模型的增长情况进行分析，借助增加量初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，尤其是引导学生通过观察增加量体会指数函数y=0.42x-1，(xN*)的增长速度； 追问（4）意在借助计算结果与图象直观理解“对数增长"“直线上升"“指数爆炸"的实际含义，并通过描述三种方案的特点，为下一个问题埋下伏笔. 检测目标（1）问题2. 仅分析每天的回报数就能准确作出选择吗？请结合教科书152页边空的问题进一步思考：关于三种投资方案的选择，你应当如何判断？ 追问2. 教科书第152页边空的问题中，是根据投资天数作出不同方案的选择，划分天数的标准是什么？这种划分正确吗？ 教师活动：给学生思考的时间，让其小组讨论、组织好语言后举手回答，教师仅仅给与适当的补充.学生分组合作思考、讨论并回答问题，能够说明理由. 根据问题2的答案总结影响方案选择的因素还有常用的数据统计手段，通过比较大小作出正确的判断. 分析影响方案选择的因素，如计算每月回报的增加量（或增长率），模型的增长差异等，认识到要作出正确选择， 除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报.最后借助计算工具，得出总收益并作出正确判断. 检测目标（1） 例6 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金火单位：万元）随销售利润％（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%. 三个奖励模型：,,，其中哪个模型能符合公司的要求？ 问题3. 根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公司的要求？ 追问3（1）公司提出的要求与函数的什么性质有关？这对选择函数模型有什么帮助？ （2）函数图象能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断函数模型是否符合公司的要求. 为此，你能否作出函数图象，并通过观察作出初步的判断吗？ 教师活动：利用多媒体展示例6和问题3，让学生根据实际用语言描述要求，之后展示追问3的（1），学生小组讨论后派代表发言，教师给与评价，然后展示追问3的（2），让学生自己动手完成，然后小组内互评，教师最后展示优秀的作答.先独立完成，互相交流后，说明理由. 结合题目条件，分析例题中隐藏的数量关系，根据函数的图象与性质确定符合公司要求的函 数模型. 在总体指导下有针对性地给出不同台阶的分层问题. 追问（1）意在引导学生关注实际问题的变化规律，并建立与函数性质的联系，为选择合适模型作好准备； 追问（2）意在引导学生作出函数图象，并结合函数性质作出初步判断，从而实 现将实际问题向函数模型转化. 检测目标（2） 问题4. 你能说明选择模型的理由，并给岀本题的解答吗？ 追问4（1）如何判定所选择的奖励模型是否符合要求？ （2）能否给出本题的解答过程？ 教师活动：学生在刚才几问的基础上能够独立完成题目，教师给学生以时间让其完成，然后找出完成较好的同学的进行展示点评.学生讨论交流后回答. 从画函数图象入手，通过观察函数的图象，得出初步的判断，再通过具体计算求解得出正确 结果.进一步引导学生分析实际问题，并根据函数性质选择合适的函数模型，给出正确解答. 追问（1）意在引导学生指出判断依据； 追问（2）意在指导学生确认解题基本思路，从而学习运用函数观点分析问题. 检测目标（3）环节三活动3.课堂练习 问题5. 完成教科书第154页练习1, 2. 教师活动：布置题目，之后巡视，最后投影优秀作答.根据刚才例题的解答过程，规范解答，然后小组核对答案，最后派代表展示并说明理由. 促进学生进一步应用函数解决实际问题，并从中评价学生达成教学目标的情况. 检测目标(1)-(3)课堂小结活动4. 课堂小结 问题6. 通过解答以上两道例题的实际问题，并结合教科书中的例3和例4,你能归纳出建立函数模型解决实际问题的基本过程吗？ 教师活动：给学生思考的时间，然后找学生回答，教师要将结论板书至黑板醒目的地方. 回顾例题的解答过程，思考后回答.总结建立函数模型解决实际问题的基本过程，提升解决实际问题的能力.
板书设计
函数模型的应用 例5 小结 例6
作业与拓展学习设计
1.教科书习题4.5第11, 12题，第14题. 2. 为了能在规定时间丁内完成预期的运输量Q0,某运输公司提出了五种运输方案，每种方案的运输量Q与时间的关系如下图所示.运输效率（单伊切可旳即咨按单）逐步提高的图象编号是_____. 3. 某工厂今年前三个月生产某种产品的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件.现有三种函数模型用于描述产量）（单位：万件）关于月份x的关系：y=ax+b, y=ax2+bx + c, y = abx+c. 若4月份的产量为1.37万件，请问哪个函数更符合实际？ 4. 设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，两火箭的最大速 度之差与这两火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为m kg,当燃料质量为 m kg时，该火箭的最大速度为21n2 km/s,当燃料质量为m(e—l) kg时，该火箭的最大速度为 2 km/s. (1)写出该火箭最大速度夕与燃料质量丁的函数解析式； (2)当燃料质量为多少时，火箭的最大速度可达12 km/s 设计意图：检测目标（1）（2）（3）. 考查在具体背景下，根据不同函数模型的增长特点选择合适的函数图象刻画实际问题；选择合适的函数模型刻画实际问题；建立函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题.